tom tat lu thuyet toan 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.27 MB, 93 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1. Sự đồng biến - nghịch biến của hàm số...4

2. Cực trị của hàm số...6

3. GTNN - GTLN của hàm số...12

4. Tiệm cận...13

5. Khảo sát hàm số...14

6. Một số bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị...17

Chương II: HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LƠGARIT
1. Mũ, lũy thừa và lơgarit...29

2. Phương trình mũ...33

3. Phương trình lơgarit...35

4. Bất phương trình mũ, lơgarit...36

Chương III: NGUN HÀM - TÍCH PHÂN
1. Ngun hàm...37

2. Tích phân...41

3. Ứng dụng hình học của tích phân...45

Chương IV: SỐ PHỨC...47

Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRỊN 
XOAY...49

Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG 
GIAN
1. Hệ tọa độ trong khơng gian...51

2. Phương trình mặt cầu...55

3. Phương trình mặt phẳng...60

4. Phương trình đường thẳng...66

5. Vị trí tương đối...73

6. Khoảng cách và góc...75

7. Tìm một số điểm đặc biệt...77

Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Tam thức bậc hai, PT, BPT bậc hai...79

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3. Giới hạn vô cực và tại vô cực của hàm số...89

4. Đạo hàm...92

5. Cơng thức lượng giác và phương trình lượng giác...95

PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm bài thi mơn Tốn...102



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
* Bài tốn: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định.

2. Tính đạo hàm, tìm các giá trị x0 làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc

đạo hàm không xác định.
3. Xét dấu đạo hàm.

4. Kết luận:

a) Nếu f ' x

 

0 với mọi x



a;b



thì hàm số f x

 

đồng
biến trên khoảng



a;b



b) Nếu f ' x

 

0 với mọi x



a;b



thì hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng



a;b



 Chú ý:f ' x

 

0chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng



a;b



thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên đó.
* Bài tập: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

2
3

)

2 a y x

  

x

 

x

2
3

1
3

)

2

5 b y

 

x



x

  

x

4 2

) 4

c y  x  x

4 3

) 3

d y  x  x 

2 1

)

x
e y

x



  



1
)

x
f y

x



  



)

2 g y

 

x x



h y x) 1 x2

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

1. Tìm tập xác định
2. Tìm f ' x

 

3. Tìm các điểm tại đó f ' x

 

0hoặc f ' x

 

khơng xác định .
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu

đạo hàm.

5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:

Bài tốn 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính f ' x

 

. Giải phương trình f ' x

 

0.

Gọi x ii



1 2, ,...



là các nghiệm của phương trình này.

2. Tính f " x

 

và f " x

 

i

3. Dựa vào dấu của f " x

 

i suy ra kết luận về cực trị của điểm
i

x như sau:

a) Nếu f " x

 

o 0thì xolà điểm cực tiểu.

b) Nếu f " x

 

o 0thì xolà điểm cực đại.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
cho trước.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 Chú ý: Nếu f ' x

 

o 0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại
điểm x x o. Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.

Bài toán 4: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0:

 

0
0
0
0
 






y' x
y" x
 
(hoặc

 

đổidấutừ +sang khiqua

 





y' x
y' x
)

Bài toán 5: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0:

 

0
0

0
0
 





y' x
y" x
(hoặc

 

đổidấutừ sang khiqua

 


 


y' x
y' x
)
* Bài tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = -2x3 + 3x2 + 12x -5 b) y = x4 – 2x2 - 3

2 2 2

1
x x
y
x
 
 

 d) y =

4x4 – x3 + 3

y x

 

2 1



x

2 f) y 3 2 x x 2
g) y = sinx + cosx h)

1 cos

cos 2

2 y



x



x

cos

x

y

 

x





j)

y



x



sin2

x



* Bài tập 2: Tìm m để hàm số:

a) y = x3 + mx2 + (m+1)x – 1 đạt cực trị tại x =

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) y =

3x3 + mx2 + (m2 – 4)x + 2 đạt cực đại tại x = 1

c) y = - m2x2 + 2mx – 3m + 2 có giá trị cực đại bằng –3

1

x

mx

y

x m









đạt cực đại tại x =

Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa:

 

0 0

K

f x m, x K

min y m

x K : m f x

   


  

  




 

0 0

K

f x M , x K

max y M

x K : M f x

   



  

  




Bài tốn 1: Tìm GTNN, GTLN c a hàm s trên đo n ủ ố ạ a;b
Cách 1: Qua 3 bước:

1. Tìm các điểm x ,x ,...,x1 2 ntrên a;b mà tại đó f ' x

 

0
hoặc f ' x

 

khơng xác định.

2. Tính f a , f b , f x , f x ,..., f x

       

1 2

 

n .

3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:

 

   

   

 

a;b a;b

M max f x ,m min f x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng

Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y f x

 

trên khoảng



a;b



ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng



a;b



rồi dựa
vào đó mà kết luận.

* Bài tập: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số:

a) y x 5 5x45x33 trên [-1,2] b) y 2x x 2

c) y=x+1+

√

4− x2 d) y = 2sinx + sin2x trên

3
0;
2

 
 

  e) y=x −5+

x trên (0; )

f)
2 1
2
x x

y
x
 


 trên ( ; -2)

Bài 4: TIỆM CẬN
*Cách tìm tiệm cận:

 Nếu  0

 

x xlim y hoặc 0





x xlim y hoặc 0



 

x xlim y hoặc
0





x xlim y thì đường thẳng x x 0là tiệm cận đứng.

 Nếu xlim y y    0 hoặc xlim y y   0 thì đường thẳng y y 0là tiệm
cận ngang.

* Bài tập: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm
số sau:
2 -1
)
2
x
a y
x



) 3- 2

3 1
x
b y
x
 

5
)

2 - 3

c y

x

  ) -4

1
d y
x


 
2
2
-12 27
)

- 4 5

x x
e y
x x








- - 2
)
-1
x x
f y
x

 

2
2
3
)
- 4
x x
g y
x


  ) 22

-- 4 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

)

-1

x x
y

x


 

i ) 3

x
j y

x






Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Sơ đồ khảo sát:

1. Tập xác định: D 
2. Sự biến thiên:

- Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
- Tính đạo hàm

- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc kxđ.
- Lập bảng biến thiên.

- Nêu sự biến thiên của hàm số.
- Nêu cực trị của hàm số.

3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ
đồ thị.

 Chú ý:

- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm.
- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.

2. Các dạng đồ thị:

a. Hàm số bậc ba:





3 2 0

    

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

b. Hàm số trùng phương:





4 2 0

   

y ax bx c a

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c. Đồ thị hàm số





0


   


ax b

y c ;ad bc

cx d

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Bài tập:Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:





) 1 3

a y x  x b y) x3 3x2

  c y) 



4 x x

 

 1



3 2

) 3 3

d y x  x  x e y x)  4 8x22 f y) x42x21

1
)

x
g y

x






2 3

)

x
h y

x






3
)

2 1

x
i y

x

 




Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN

LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị

Cho hai đường cong

 

C : y f x , C : y g x1 

   

2 

 

.

Để xét sự tương giao giữa

   

C , C1 2 ta lập phương trình hồnh

độ giao điểm f x

 

g x

 

(1)

 

C1 khơng có điểm chung với

 

C2  pt (1) vô nghiệm.

 

C1 cắt

 

C2 tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm

phân biệt. Nghiệm của pt (1) gọi là hoành độ giao điểm của

 

C1 và

 

C2 .

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình





0

F x,m

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1. Biến đổi F x,m





0về dạng f x

 

g m

 

2. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị
hàm số y f x

 

và đường thẳng y g m

 

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.

 Chú ý: y g m

 

là đường thẳng song song hoặc trùng với
trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng g m

 

Bài tốn 3: Phương trình tiếp tuyến

 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị: 
Phương trình tiếp tuyến của (C): y f x

 

tại điểm M x ;y



o o



thuộc (C) là: y y 0 f ' x

  

0 x x 0



Trong đó: + M x ;y



0 0



gọi là tiếp điểm.

+ k f ' x

 

0 là hệ số góc của tiếp tuyến.

 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:

1. Giải phương trình f ' x

 

ktìm x0 là hồnh độ tiếp điểm.

2. Tính y0 f x

 

0 .

3. Phương trình tiếp tuyến là y y 0 k x x



 0



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b  thì k a
- Nếu tiếp tuyến vng góc đường thẳng y ax b  thì k.a1
Bài toán 4: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm:

 Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và trục hoành là:









3 2

0
0

   

     

ax bx cx d

x Ax Bx C

 

2 0 1

 

 

  


x

Ax Bx C

(đặt

 

  

g x Ax Bx C
)

 Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

khác . Khi đó 
 

 

1 0

 




 


g

* Bài tập:

Bài 1 : Cho hàm số y x 3 2x2 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:

3 2

x  2x  1 m 0 

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A thuộc (C) có
hồnh độ xA = - 2

Bài 2 : Cho hàm số





3 2

y x  3mx  3 2m 1 x 1 

, (Cm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b) Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt.

Bài 3 : Cho hàm số y 2mx - x 4 24m 1 (m tham số )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng y = 6x +1

c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:
4 2

2x - x 5 - k 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục
tung.

Bài 5 : Cho hàm số : y =

x 4
x 1



 có đồ thị là (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường
thẳng (D) : x 3y 6 0  

Bài 6 : Cho hàm số y =

2mx 3m 1
x -1

 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 ( gọi đồ thị là (C) )
b) Gọi A là giao điểm của (C) và trục Ox . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại A .

c) Viết phương trình đường thẳng (D) qua M( -1 ; 1 ) và có hệ số
góc k . Định k để (D) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 7 : Cho hàm số y =

x - 4 có đồ thị là (C) .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng
(D) : y = kx .

c) Gọi M thuộc (C) có hồnh độ a 4. Viết phương trình tiếp

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

MŨ, LŨY THỪA VÀ LÔGARIT
1. Lũy thừa, căn bậc n:

a) Định nghĩa:
*





. ... , *

thừa số
n

n

a a a  a a n

0 1; n 1

n

a a

a


 

b) Tính chất:

Với a b, *; ,m n ta có:
* a am n am n *

m

m n
n

a
a
a








n n n

ab a b *

n n

n

a a

b b

 

 
 
*

 

n

m mn

a a

* Nếu: 0a b thì: an bn, n 0
an bn, n 0
* Nếu a1và m n thì: am an
* Nếu 0a1và m n thì: am an
c) Các tính chất của căn bậc n:

Giả sử các biểu thức dưới đây đều có nghĩa. Khi đó:

* na b.n n ab *

n
n
n

a a

b
b 

 

m

m
n

n a a



,
| |,

n

na a n

a n





khi lẻ
khi chẵn

* n ma mna

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:

m

m
n
n

a  a

2. Lôgarit:

a)Định nghĩa: logab c  b a c



0a1,b0



b) Tính chất:

Cho a,b > 0, a1

* log 1 0a  * logaa1

* alogab b

* logaak k k



 



c) So sánh logarit:

Cho a,b,c > 0, c1. Ta có:
*log log

* 1 log log

* 0 1 log log

c c

a b a b

c a b a b

  

   

    

Neáu thì:

Nếu thì:

d) Các quy tắc tính logarit:
 Logarit của một tích:

Cho a x x, ,1 2 0,a1.Ta có: loga



x x1 2



logax1logax2

 Logarit của một thương:
Cho a x x, ,1 2 0,a1.Ta có:

1 2

loga x logax logax

x  

 Logarit của một lũy thừa:

Cho a b, 0,a1. Ta có: log log





k

ab k ab k 

Đổi cơ số:

log
log

log

c
a

c
b
b

a


Đặc biệt:













*log 1

log
1

*log log 0

*log log .log 0 1

k

a

b

a
a

a a c

b b

a

b b k

k

b c b c

 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 Logarit thập phân:

- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân
- log10athường được viết là lgahoặc loga

 Logarit tự nhiên:

- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên.



e2,71828...



- logeathường được viết là lna

Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số 
logarit:

Hàm cơ bản Hàm hợp

 

/ 1

.
x x


2/
/
2
1 1
x x

 

 
 
3/

 

/ 1

2
x

x


 

u / .u1. 'u



1 u'

u u

 

 
 

 

u / 2u'
u


 

x x

e e
5/

 

.ln

x x

a a a

 

eu / e uu. '


 

au / auln . 'a u






/ 1

lnx
x






/ 1

ln x
x






/ 1
log
ln
ax
x a






/ 1
log
ln
a x
x a





lnu



/ u'

u




lnu



/ u'

u




log



/ '

ln
a
u
u
u a




log



/ '

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

* Bài tập:

1.Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)

c) ( )– 10.27 – 3 + (0,2)– 4.25– 2 d) 2a−

3
4

+3a

3
4

¿2
¿

e) a
4
3
(a
−1
3
+a
2
3
)
a
1
4
(a
3
4
+a
−1
4
)
f)

1− a2¿−1
¿

(+2

3
2
a−2¿):

(

a−2
1+a−2

)

−1

√

¿
¿

2.Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a)

√

5 2.3

√

2 :

√

2 b)

√

34 .

√

32.

√

8 c)

√

a

√

a

√

a

√

a:a1116
d) 3

√

a.

√

a3.

√

a:a

2 e)

√

4 x2.

√

3x.

√

5 x f) 5

√

b
a.

√

ab g)
63+√5

22+√5. 31+√5

3.Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)y(x – 4x 3)2  2 b)

3 2 3

y=(x – 3x  2x)

2 3

y=(x x – 6)


 d) y=(x – 8)3 3



4.So sánh các cặp số sau:
a)

(

π

)

√5/2

và

(

π
2

)

√10/3

(

π
2

)

√2

và

(

π
5

)

√3

(

3
5

)

√10/4

và

(

4
7

)

√5/2

(

6
7

)

√3

và

(

7
8

)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

(

π
6

)

√5

và

(

π
5

)

(

2
5

)

√2

và

(

3
5

)

√3

5.Tính:

a) log24

√

316 b) log1
3

√

33 c)
log√285

√

32 d) loga

√

a

√

a e) log3(log28)

6.Tính:

a) 2log83 b) 49log72 c) 253 log510 d)

642 log27 e) 42+log23 f) 103 log108

g) 0,25¿3 log25

¿ h)

√

log85

+49
1
log67 i)

(

)

1
2log34

7.Rút gọn các biểu thức sau:

a) log√63. log336 b) log√38 . log481 c)
log2

√

15. log25

√

8.Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)ylog (3 x2 5x6) b) 6

3 2

y = log
1

x
x





c) 2

1
log ( 1)

y

x



 d)y = logx log x ( 2)

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Với a0,a1. Ta có:

     

 



 

f x g x

a a f x g x

2. Phương pháp đặt ẩn phụ: 
Dạng 1:

3 2

  

   

x x

x x x

A.a B.a C

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Đặt 



0



x

a t t
Dạng 2:

 

2 2
2
0
0
  
   

       
   
x
x x
x x

A.a B ab C.b

a a

A B C

b b

Đặt:





0
 
 
 
 
x

a t t
b

Dạng 3: A.ax B.bx C 0 với a .bx x 1
Đặt: 



0



x

a t t

. Khi đó:
1


x

b
t

3. Phương pháp logarit hóa: Với M 0 0, a1. Ta có:
 

 

  

f x

a

a M f x log M

* Bài tập:

1.Giải các phương trình sau:
a) 22x – 4  4x2+3x −5

b) 27

x+1

x−1

9. 81
4x−2

x+2

c)

x x-1 1 2 - x

2 .5 = .10

5 d)

x x 1 x 2 2x – 1

9 – 2  2  – 3



2.Giải các phương trình sau:

a)2 – 4x x – 1 1 b)5x – 1 53– x  26

c)9 – 3 – 6 02x 2x  d)

-1 2- 7

2 - 2
2

x x



e)3x + 1 + 32 – x = 28 f)

8 2
5
4 2
x x
x




g)8x  18x  2.27x h)3.4x2.9x  5.6x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

k) 4x+√x2

−2−5 .2x−1+√x2

−2

=6 l) 2sin

x

+4 . 2cos

x

3. Tìm m để phương trình: m.2x 2– x – 5 0 có nghiệm duy nhất

4.Tìm m để phương trình 4 – m.2x x 1  2m 0 có 2 nghiệm x1,x2

thoả x1 + x2 = 3

5.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :





x – x x –

a) m.2  m 2 2  m 2 0 b) m.3   m.3 x  8
6. Tìm m để phương trình :



m 3 4



x 2m – 1 2





x m 1 0

    

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Với 0a1. Ta có:

 

0hoặc

 

 

  
 


a a

f x g x
log f x log g x

f x g x

Chú ý:

 

 

 



M

a

log f x M f x a

(không cần đặt điều 
kiện của f(x))

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:

Lưu ý: Khi đặt: log x ta  thì khơng có điều kiện t > 0

3. Phương pháp mũ hóa:

 

 

 

 M

a

log f x M f x a
* Bài tập:

1.Giải các phương trình sau:









2 2

log x – x – 9 log 2x –1









lg x - 6x 7 lg x – 3 





3 3

6 9

log log x 1

2 2

x x

x

 

 

 d)

log1
2

(x+1)=log2(2− x)

e) log4



x3 – log





x–1 2 – log 8



 4 f) log [ 2x 1 x – 3 ] 23





 




g)log 2x 13







log x – 33





2 h) log log log x 03 2





 
i) log x log x log x 113  9  27  j)









x 3 x 3

2 2

log 25  –1 2 log 5  1

  

2.Giải các phương trình sau:

a) (log2x)2 – 3log2x = log2x2 – 4 b) log1

x −3 .

√

log1
3

x+2=0

c) log√2x¿
2

+3 log2x+log1
2

x=2

[

log1
2

(4x)

]

2+log2x
2
8=8
e) log2(2x + 1).log2(2x+1 + 2) = 6

f) 2

x

−2¿2=2

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT

Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lơgarit thì 
cần chú ý:

1. Điều kiện xác định của bất phương trình.

2. Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1

thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số
nghịch biến.



   

 

 f x  g x  

a : a a f x g x



   

 

0a1: af x ag x  f x g x



 

 



   






a a

f x g x
a : log f x log g x

f x



 

0 1

 



    






a a

f x g x
a : log f x log g x

g x

Trong q trình giải bất phương trình có thể dùng phương pháp
đặt ẩn phụ, logarit hóa hoặc mũ hóa. Nếu có ẩn ở mẫu số thì quy
đồng nhưng khơng được bỏ mẫu.

* Bài tập:

1.Giải các bất phương trình sau:
a)

(

)

6−5x

2+5x < b) 44x2

−2x −2≤42x−3 c)

(

)

√x+2
> 3– x

d) 4 – 3.2 +2 0x x  e) ()x – 1 – ()x > 3 f)  0

2.Giải các bất phương trình sau:









2 2

log x  3x2 log x14

b) log 222



x



 log2x31

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

NGUYÊN HÀM

1. Định nghĩa:

Hàm số F x

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x

 

trên khoảng



a;b



nếu với mọi x thuộc



a;b



, ta có: F' x

 

f x

 

2. Định lí:

Nếu F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên khoảng



a;b



thì:

a) Với mọi hằng số C, F x

 

Ccũng là một nguyên hàm của
hàm số f x

 

trên khoảng đó.

b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x

 

trên khoảng



a;b



đều có thể viết dưới dạng F x

 

Cvới C là một hằng
số.

Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

là

 



f x dx. Như vậy:

 



 

 

 



 



f x dx F x C F' x f x
3. Các tính chất của nguyên hàm:



f x dx F x

 



 

C  F' x

 

f x

 





 





 

/

f x dx f x

và





 





 



/

f x dx f x C



af x dx a f x dx a

 





 



0



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>



 f x

 

g x

 

 



f x dx

 





g x dx

 

4. Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

thường gặp Nguyên hàm của các hàm số

hợp (dưới đây t t x

 

)
*



dx x C 





1
1
1


   
 



x dx x C



dx ln x C xx  



0



* 2

1
 



dxx x C



 

x x

e dx e C



 



0 1



x

x a

a dx C a

ln a



cos xdx sin x C 
*



sin xdx cos x C



2  

dx tan x C
cos x



2  

dx cot x C
sin x



dt t C 





1
1
1


   
 



t dt t C



dt ln t C tt  



0



* 2

1
 



dtt t C



 

t t

e dt e C



 



0 1



t

t a

a dt C a

lna



costdt sint C 
*



sintdt cost C



2  

dt tant C
cos t



2  

dt cot t C
sin t
*













1
1

 
  
 



ax b dx ax ba C
*













1
1

 
  
 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

  





ax b adx ln ax b C









 






ax bdx a ax b C

 

 



eax bdx aeax b C









   



cos ax b dx asin ax b C









   



sin ax b dx acos ax b C

  





at b adt ln at b C









 






at bdt a at b C

 

 



e dtat b aeat b C









   



cos at b dt asin at b C









   



sin at b dt acos at b C
5. Các phương pháp tìm nguyên hàm

 Đổi biến:

Nếu



f t dt F t

 



 

Cvà t

 

x có đạo hàm liên tục thì:

 

      

   



f x . ' x dx F x C
Chú ý:

- t

 

x  dt ' x dx

 

- g t

 



 

x  g' t dt

 

' x dx

 

Nguyên hàm từng phần:

Nếu hai hàm số u x

 

và v x

 

có đạo hàm liên tục trên một khoảng
hay một đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó:

   



   



   



u x v' x dx u x v x



u' x v x dx

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

* Đặt:

 


  
 

 
   
 
 



du f ' x dx
u f x

dv g x dx v g x dx G x C

Ta thường chọn C  0 v G x

 

 Các dạng cơ bản: Cho P x

 

là một đa thức.

- Dạng 1:



P x sin ax b dx

 







. Đặt:

 





 


 



u P x

dv sin ax b dx

- Dạng 2:



P x cos ax b dx

 







. Đặt:

 





 


 




u P x

dv cos ax b dx

- Dạng 3:

 





P x eax bdx. Dặt:

 


 





 ax b
u P x
dv e

- Dạng 4:



P x ln ax b dx

  





. Đặt:





 

  







u ln ax b
dv P x dx

 Dạng 5:









eax bsin a' x b' dx hoặc









eax bcos a' x b' dx.

Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u e ax b

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi 
lượng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn
giản, dễ tìm

 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng

 

P x
Q x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) và Q(x)=0 có nghiệm
thì dùng phương pháp hệ số bất định như sau:

 



 



  

 

P x P x A B

ax b mx n
Q x ax b mx n

. Quy đồng mẫu
ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B.

 



 







   

 

  

P x P x A B C

ax b mx n

Q x ax b mx n mx n

.
Quy đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được
A,B,C.

Từ đó biến đổi được bài tốn đã cho về dạng đơn giản hơn để tính.
* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức

 

f x g x f x g x

h x h x h x



 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:

 



 



 



 



b b

a
a

f x dx F x F b F a
2. Các tính chất của tích phân:

 

0




a

f x dx

 



 



b a

a b

f x dx f x dx

 



 











b b

a a

kf x dx k f x dx k

 

    

 



b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 



 



 



b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6. f x

 

0trên đoạn a;b

 







b

a

f x dx

7. f x

 

g x

 

trên đoạn a;b

 









b b

a a

f x dx g x dx

8. m f x

 

Mtrên đoạn a;b





 





  



 

b

a

m b a f x dx M b a
3. Các phương pháp tính tích phân

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Nếu u u x

 

và v v x

 

là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên

đoạn a;b thì

 



b b

a a

b

udv uv vdu
a

Chú ý: Phương pháp đặt u, dv cũng giống như nguyên hàm từng

phần.

 Phương pháp đổi biến loại 1:
Tính tích phân có dạng:

   

 





 

b

a

I g x x dx

Đặt: 

 

x t. Khi đó:

 

 
 




 





  



b
b

a a

I g x ' x dx g t dt

Chú ý:

- t

 

t  dt ' x dx

 

- g t

 



 

x  g' t dt

 

' x dx

 

 Phương pháp đổi biến loại 2:

Tính

 





b

a

I f x dx

Đặt: x

 

t . Với là hàm số có đạo hàm liên tục tr6n đoạn
 

 ;  trong đó: a 

 

,b 

 

.

Khi đó:

 





 









 

b

a

I f x dx f t ' t dt
Các dạng cơ bản (với k>0)

a) Dạng 1:

1



b

a

x dx

. Đặt: 2 2

  

   

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Mở rộng:
2 2




b
a

k x dx

. Đặt: 2 2
  

   

 

x k sint,t ;

b) Dạng 2:



1 2

b

a

dx

x . Đặt: 2 2

  

   

 

x sint,t ;

Mở rộng:



2 2

b

a

dx

k x . Đặt: 2 2
  

   

 

x k sint,t ;

c) Dạng 3:

2 1




b
a
dx

x . Đặt: 2 2

  

   

 

x tant,t ;
Mở rộng: 

2 2




b
a
dx

x k . Đặt: 2 2

  

   

 

x k tant,t ;







2 2
 



b
a
dx
ax b k

. Đặt: 2 2

  

    

 

ax b k tant,t ;



 

2 2




b
a

f ' x
dx
f x k

. Đặt:

 

2 2

  

   

 

f x k tant,t ;

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và

trục hoành:

Cho hàm số y f x

 

bởi (C), trục hoành và hai
đường thẳng x a,x b 
được tính bởi cơng thức:

 





b

a

S f x dx

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

Cho hai hàm số

 


y f x

 

(C’) liên tục trên đoạn a;b.
Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (C), (C’) và hai đường
thẳng x a,x b  , được tính
bởi cơng thức:

 







b

a

S f x g x dx
Chú ý:

- Trong trường hợp chưa cho cận a,b thì phải giải phương trình
hồnh độ giao điểm để tìm cận. Nghiệm nhỏ nhất là cận dưới
a, nghiệm lớn nhất là cận trên b.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân để bỏ dấu giá

trị tuyệt đối theo tính chất

0
0

neáu
neáu

 



 



A, A

A

A, A

 Cách 2: Nếu f x

 

không đổi dấu trên



a;b



(tức là

 

0

f x

khơng có nghiện thuộc



a;b



) thì ta có

 



 



b b

a a

f x dx f x dx

. Cách thứ 2 này giúp giải tốn
nhanh hơn.

3. Tính thể tích vật thể trịn xoay trục Ox:

Cho hàm số y f x

 

phẳng giới hạn bởi các đường (C), x=a, x=b, trục Ox quay quanh trục
Ox thì thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra được tính theo công
thức:

 



b

a

V y dx

Hay:

 





b

a

V f x dx

4. Thể tích vật thể trịn xoay trục Oy:

Cho hàm số x g x

 

(C) liên tục trên đoạn c;d . Nếu hình 
phẳng giới hạn bởi các đường (C), y=c, y=d, trục Oy quay quanh trục

Oy thì thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra được tính theo cơng
thức:

 



d

c

V x dy

Hay:

 





d

c

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

1. Số i: i2 1
2. Định nghĩa:

- Số phức z là biểu thức có dạng: z a bi, a,b  ,i2 1
 a gọi là phần thực.

 b gọi là phần ảo.

 i gọi là đơn vị ảo.

- Tập hợp số phức kí hiệu là . Vậy 
3. Số phức bằng nhau:

Cho hai số phứcz a bi,z' a' b' i    ,

 
  




a a'
z z'

b b'
4. Biểu diễn hình học của số phức:

 Cho số phức z a bi  , điểm M a;b





trong mặt phẳng tọa độ
Oxy gọi là điểm biểu diễn cho số phức z

 Giả sử số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M a;b





. Độ
dài của vectơ



OMgọi là mơđun của số phức z, kí hiệu: z. Vậy:

2 2

  



z OM a b

5. Số phức liên hợp:

- Số phức z a bi  gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi 
- Ta có: z z; z z

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

6. Cộng, trừ, nhân hai số phức:

Cho hai số phức z a bi;z' a' b' i    . Ta có;



 



    

z z' a a' b b' i



 



    

z z' a a' b b' i



 



   

z.z' aa' bb' a' b ba' i
7. Số phức nghịch đảo, chia hai số phức:

- Số phức nghịch đảo của số phức z a bi  là một số phức, kí hiệu
là:

2 2 2

1  1

  


z

z z

z z a b

 Chia hai số phức:


z z.z'
z' z'

(nhân tử và mẫu cho z')
8. Phương trình bậc hai hệ số thực trên tập :

Cho phương trình





2 0 0

     

ax bx c a ;a,b,c

. Gọi

2 4

 b  ac:

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực: 2
  
 b
x

a

+ Nếu  0 phương trình có một nghiệm thực:  2
b
x

a

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phức:

2 2


 b 

x i

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

I. Thể tích khối đa diện:

1. Thể tích khối lập phương cạnh a: V a 3

2. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c là V a.b.c
3. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là S, chiều cao là h là:


V S.h

4. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S, chiều cao h là:
1

3

V Sh

5. Một số tính chất:

 Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương
tỉ số đồng dạng.

 Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần
lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:



S.A' B' C'
S.ABC

V SA' SB' SC'. .

V SA SB SC

II. Thể tích khối trịn xoay:
1. Mặt nón trịn xoay:

Cho hình nón N có chiều cao là h, đường sinh l, bán kính đáy
R

* Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq Rl

* Diện tích tồn phần:

đáy

    

tp xq

S S S Rl R

* Thể tích khối nón:

1
3
 

V R h

2. Mặt trụ trịn xoay:

Cho hình trụ T có chiều cao h và bán kính đáy R.
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

- Thể tích khối trụ: V R h2
3. Mặt cầu:

- Diện tích mặt cầu (S) bán kính R là: S 4 R2
- Thể tích khối cầu (S) bán kính R là:

4
3
 

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>



HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian:

2. Tọa độ của điểm và của vectơ:





   

   

M x;y;z OM xi y j zk





    

    

u x;y;z u xi y j zk

* Tính chất: Cho 



1 2 3







1 2 3



 

a a ;a ;a ; b b ;b ;b

1 1

2 2

3 3

 

   

 


  a b

a b a b

a b



1 1 2 2 3 3



    

 

a b a b ;a b ;a b

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>



1 2 3







ka ka ;ka ;ka

3. Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:

Cho ba điểm A x ;y ;z ,B x ;y ;z ,C x ;y ;z



A A A

 

B B C

 

C C C



. Khi đó:

 



  





B A B A B A

AB x x ;y y ;z z

 Cơng thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2
2
2
 





  







A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z

 Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm tam giác ABC

3
3
3
  



 

  

 






A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

z z z
z

 Khoảng cách giữa hai điểm:













 B A  B A  B  A

AB x x y y z z

4. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng:
Cho 



1 2 3







1 2 3



 

a a ;a ;a ; b b ;b ;b
.

1 1 2 2 3 3

  

 

a.b a b a b a b

2 2 2 2

1 2 3

  



a a a a

2 2 2

1 2 3

  



</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

1 1 2 2 3 3

     

   

a b a.b a b a b a b
5. Góc giữa hai vectơ:

 

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

 

 

   

 
 

 a.b a b a b a b
cos a,b

a . b a a a b b b
6. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:

a) Định nghĩa:

2 3 1 3 1 2

 

    

 

 

 

  a a a a a a

a,b ; ;

b b b b b b

Chú ý:

 
a b ad bc
c d

b) Tính chất:

Nếu
 

 
  
c a,b
thì:
 





 
 
c a
c b
 

a,bcùng phương    0
  
a,b
c) Diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có diện tích là S. Khi đó:
1

2  



 

 

S AB,AC

(đvdt)

d) Thể tích khối hộp:

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Khi đó:

 



 

  

V AB,AD .AA'

(đvtt)
e) Thể tích khối tứ diện:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Khi đó:
1

6  



 

  
V AB,AC .AD

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình chính tắc:

Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c





bán kính R:













2 2

     

x a y b z c R

2. Phương trình tổng qt:

Trong khơng gian Oxyz, phương trình :

2 2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d với

2 2 2 0

   

a b c d là phương trình mặt cầu tâm I a;b;c





, 
bán kính R a2b2c2 d

Chú ý: Nếu phương trình cho dưới dạng

2 2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d với

2 2 2 0

   

a b c d thì mặt cầu có tâm I a; b; c



  



, bán
kính R a2b2c2 d

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng

 

 :
* Nếu dI ,  R

: mặt phẳng và mặt cầu khơng có điểm chung
* Nếu dI ,  R

: mặt phẳng

 

 tiếp xúc mặt cầu (S), khi đó

 


gọi là tiếp diện của mặt cầu (S).

Điều kiện để mặt phẳng

 

 tiếp xúc mặt cầu là dI ;  R
* Nếu dI ,  R: mặt phẳng cắt mặt cầu theo 1 đường trịn có

phương trình

 











ptmc S
ptmp

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

4. Cách xác định tâm của đường trịn giao tuyến có phương trình

 











ptmc S
ptmp

trong không gian:

* Gọi H là tâm đường trịn (C). Lập
phương trình IH (IH qua I và nhận 



n
làm VTPT)

* Tọa độ H là nghiệm của hệ

 

pt
ptmp









IH

4. Cách tính bán kính đường trịn trong khơng gian có phương

trình

 











ptmc S
ptmp

Áp dụng   

2 2 2



 

   

 

 I , 

r R IH R d

, với I là tâm mặt cầu.
5. Mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng (ngoại tiếp tứ 
diện ABCD):

- Gọi phương mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là:

2 2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d (1)

- Do A,B,C,D

 

S nên thay tọa độ của A,B,C,D vào
phương trình (1) ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn a,b,c,d.
- Giải hệ tìm được a,b,c,d từ đó có được phương trình mặt cầu

(S) cần tìm.

6. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng :
Do mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng nên R d I , 

với I là tâm của
mặt cầu.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Do mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d nên   
 I , d
R d

với I là tâm
của mặt cầu.

8. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc 
mặt cầu (S):

* Gọi là mặt phẳng chứa d. Lập phương trình mặt phẳng dưới 
dạng chùm mặt phẳng.

* Do tiếp xúc mặt cầu (S) nên R d I , 

. Từ đây chọn và tìm
.

9. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm nằm trên 
mặt phẳng 

* Gọi

 

2 2 2 2 2 2 0

      

S : x y z ax by cz d

* Thay tọa độ điểm A, B, C vào phương trình trên và tâm I a;b;c





vào phương trình rồi giải hệ tìm được a,b,c,d.

10. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại H:
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại H là mặt phẳng đi qua H và có 
vectơ pháp tuyến là



IH (I là tâm mặt cầu)

11. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó song song

1 2

d ,d :

* Tìm VTCP của d1là 1



u , VTCP của d2là u 2. Tính





1 2

 

 

 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
   

n u ,u A,B,C

* Gọi

 

 là mặt phẳng song song d ,d1 2nên có VTPT là





1 2

 

 

 

  

n u ,u A;B;C

và có phương trình là
0

   

Ax By Cz m

* Điều kiện để

 

 là tiếp diện của (S) là dI ,  R.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

* Gọi H là tiếp điểm. Lập phương trình IH (H qua I và nhận  



n

làm
VTPT)

* Tọa độ của H là nghiệm của hệ

 

pt
ptmp









IH

13. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d:
* Gọi

 

 là mặt phẳng qua I và vuông góc với d. Lập phương trình
mặt phẳng

 

 (

 

 qua I và nhận



d

u làm VTPT)

* Tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d là nghiệm

của hệ

 

ptmp
ptñt

 





 d

14. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao
cho AB=L:

Áp dụng





2
 

 

     

 
L
R d I ,(d)

15. Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua M (M nằm trong mặt 
cầu (S)) và cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có bán kính nhỏ 
nhất:

* Ta có r R2 IH2 , r nhỏ nhất  IH lớn nhất. Mặt khác


IH IM, nên IH lớn nhất khi IH=IM, khi đó H M , do đó

 

 
IM

* Vậy mặt phẳng

 

 cần tìm cính là mặt phẳng qua M và nhận



IM
làm VTPT.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

* Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua mặt phẳng

 


* Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt
cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’).

17. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua 
đường thẳng :

* Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua đường thẳng .
* Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt
cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’).

18. Tìm điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt 
phẳng

 

 đạt GTLN (GTNN):

* Tìm tâm I của mặt cầu (S).

* Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc

 

 dưới dạng
tham số (d qua I và có VTCP là  


n

)

* Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ

 

ptđt
ptmc







d
S

(tìm
được M và N)

* Tính dM , ,dN , 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

nlà VTPT của mặt
phẳng

 

  giá
của



n vng góc với
mặt phẳng

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

- Mặt phẳng

 

 đi qua M x ;y ;z



0 0 0



và nhận 







n A;B;C

thì phương trình mp

 

 là:



 0







 0







 0



0
A x x B y y C z z
- Mỗi phương trình dạng



2 2 2



0 0

      

Ax By Cz D A B C

đều là phương
trình của một mặt phẳng xác định, và 







n A;B;C

là một
VTPT của mặt phẳng đó.

- Mặt phẳng

 

 cắt các trục Ox,Oy,Oz theo các giao điểm



0 0

 

0 0

 

0 0



A a; ; ,B ;b; ,C ; ;c

thì phương trình của mặt
phẳng

 

 là:   1

x y z

a b c (phương trình theo đoạn chắn.
Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng:

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm M
của AB

- Tìm tọa độ vectơ AB

 

 là mặt phẳng qua M và
có VTPT là


AB

Dạng 2: mp

 

 là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C

Phương pháp:

- Tìm:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

AB,AC

- Tìm:  
  
n AB,AC

- mp

 

 là mặt phẳng qua A
và có VTPT là


n
Dạng 3: mp

 

 là mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng (d)

Phương pháp:

- Chọn B thuộc (d)

- mp

 

 là mặt phẳng qua A
và có VTPT là  



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

d

n AB,u

Dạng 4: mp

 

 qua điểm M x ;y ;z



0 0 0



và song song mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- 







n A;B;C

là VTPT của

 



mp

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

là VTPT của mp

 



- mp

 

 là mặt phẳng qua M
và có VTPT là


n

Dạng 5: mp

 

 qua hai điểm M,N và vng góc mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- Tìm



MN;  







n A;B;C
là
VTPT của

 

 .

- Tìm  
  
n MN ,n

- mp

 

 là mặt phẳng qua M
và có VTPT là


n
Dạng 6: mp

 

 chứa đường thẳng (d) và vng góc

 

 : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- Chọn M

 

d

- Tìm



ulà VTCP của (d), u là 
VTCP của (d), 


n

là VTPT của

 



- Tìm  
  
n u,n

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

VTPT là

n

Dạng 7: mp

 

 đi qua M và vng góc hai mặt phẳng (P), (Q) cho
trước

Phương pháp:

- Tìm:


P

n là VTPT của (P);


Q

n

là VTPT của (Q).
- Tìm  



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

P Q

n n ,n
.

- mp

 

 là mặt phẳng qua M
và nhận



nlàm VTPT.

Dạng 8: mp

 

 tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I tại điểm M

 

S

Phương pháp:

- Tìm tâm I của mặt cầu (S).
- Tìm IM

- mp

 

 là mặt phẳng đi
qua M và có VTPT là


IM

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Phương pháp:

- Tìm


alà VTCP của đường

thẳng (d).

- Do mp

 

 song song với
(d) nên



acũng là VTPT của

 



mp
.

Dạng 10: mp

 

 qua M và song song với hai đường thẳng

   

d , d1 2 cho trước

Phương pháp:

- Tìm: 1



a là VTCP của

 

d1 ;
2



a là VTCP của

 

d2

- Tìm  1 2

  
n a ,a

- mp

 

 là mặt phẳng qua
M và có VTPT là


n
Dạng 11: mp

 

 là mặt phẳng chứa đường thẳng

 

d1 và song

song đường thẳng

 

d2

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc

 

d1

 

 là mặt phẳng qua M và
có VTPT là  1 2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Dạng 12: mp

 

 chứa hai đường thẳng cắt nhau

   

d , d1 2

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc

 

d1

hoặc

 

d2 .

- VTPT của

 

 là

1 2

 



 

  
n a ,a

Dạng 13: mp

 

 chứa hai đường thẳng

 

d / / d1

 

Phương pháp:

- Chọn A

 

d1 , B

 

d2

- mp

 

 là mặt phẳng qua
3 điểm A và có VTPT là

 



 

  
n AB,u

Dạng 14: mp

 

 chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q),
đồng thời vng góc mặt phẳng (R)

Phương pháp:

- Chọn M,N thuộc

   

P  Q

(bằng cách cho
x=0, x=1,…và thay vào hệ

 








ptmp P
ptmp Q

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

- mp

 

 là mặt phẳng qua
M,N và vng góc (R) (dạng
4)

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua M x ;y ;z



0 0 0



, song song d và vuông góc mặt phẳng

 

 :

Khi đó mặt phẳng

 

 :



0 0 0









 



  



  

d

qua M x ;y ;z
VTPT n u ,n

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: cắt 
Ox tại A a; ;



0 0



, cắt Oy tại B ;b;



0 0



, cắt Oz tại C ; ;c



0 0



:

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ



agọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d)  giá
của



a song song hoặc trùng (d).

2. Các dạng phương trình đường thẳng:
Cho điểm M x ;y ;z



0 0 0



và vectơ 







u a;b;c
 Đường thẳng (d) qua M và nhận



u làm VTCP có phương

trình tham số là





0
0

  


  




 



x x at

y y bt t
z z ct

 Đường thẳng (d) qua M và nhận


u làm VTCP có phương

trình chính tắc là





0 0 0 0

  

  

x x y y z z

a,b,c

a b c

3. Các dạng toán viết phương trình đường thẳng:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua 2 điểm AB
Phương pháp:

- Tìm

AB

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là

AB

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song 
đường thẳng

 



Phương pháp:
- Tìm vectơ



ulà VTCP của

 



- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là

u .

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Phương pháp:
- Tìm



n là VTPT của mặt phẳng

 


.
- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là



n

Dạng 4:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P) và (Q)

Phương pháp:
- Tìm



P

n là VTPT của mp(P), nQ là VTPT của mp(Q).

- Tìm  

  

P Q

u n ,n

- Chọn điểm M thuộc giao tuyến bằng cách cho 1 ẩn bằng 0
thay vào pt (P) và mp(Q) giải hệ tìm được 2 ẩn cịn lại.
- (d) là đường thẳng qua M và nhận



ulàm VTCP

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song 2 
mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc song song với giao tuyến của hai mặt 
phẳng (P) và (Q))

Phương pháp:
- Tìm



P

n là VTPT của mp(P), nQ là VTPT của mp(Q)

- Tìm

 



 

  

P Q

u n ,n

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là

u

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của 
đường thẳng

 

 lên mặt phẳng (P)

Phương pháp

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vng góc mặt
phẳng (P) (xem dạng 5 của phương trình mặt phẳng)

- Chọn N

   

P  Q bằng cách cho 1 ẩn bằng 0, thay vào pt
(P) và pt (Q), giải hệ tìm được 2 ẩn cịn lại.

- Tìm  
  

P Q

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

- (d) là đường thẳng qua N và có VTCP là


u

Dạng 7:Viết phương trình đường thẳng (d) là đường cao kẻ từ A 
của tam giác ABC

Phương pháp:

- Tìm  

    

AC,BC,n AC,BC

- Tìm  
  
u n ,BC

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là

u

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực 
của cạnh BC của tam giác ABC

Phương pháp:
- Tìm

 



 

    

AC,BC,n AC,BC

- Tìm

 



 

  
u n,BC

- Tìm M là trung điểm của BC

- (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là

u

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường vng góc 
chung của 2 đường thẳng chéo nhau

   

d , d1 2

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

 

d2 và song song

 

d1 (dạng 11 phương trình mặt phẳng)

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa

 

d1 và vng góc mặt

phẳng (P) (dạng 6 phương trình mặt phẳng)

- Tìm giao điểm M của đường thẳng

 

d2 và mặt phẳng (Q).

- (d) là đường thẳng qua M và vng góc với mặt phẳng (P)
(dạng 3 phương trình đường thẳng)

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

- Chuyển phương trình d ,d1 2dưới dạng tham số.

- Gọi M d1dưới dạng chứa tham số t1 và N d 2dưới dạng

chứa tham số t2. Tính vectơ MN


.

- Do

1
2

MN u

 








 
 

. Từ đây tìm được t ,t1 2 và có M,N

- Đường vng góc chung qua M và nhận MN


làm VTCP.
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cắt hai 
đường thẳng d1, d2 cho trước:

C1:

* Chuyển d1,d2 về phương trình tham số

* Gọi M d ,N d1  2(tọa độ M,N chứa
1 2

t ,t ). Tính  AM , AN.

* Do AM



cùng phương AN


nên từ đk
cùng phương tìm được t ,t1 2và có được

M,N.

* Đường thẳng cần tìm qua A và có
VTCP AM


Cách khác:

* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A
và chứa

 

d1 (xem dạng 3 của phương

trình mặt phẳng)

* Tìm giao điểm M của mặt phẳng (P) và

 

d2

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Dạng 11: Viết phương trình đường hẳng (d) qua A, vng 
góc và cắt đường thẳng :

* Tìm VTCP của là u



* Gọi M  (tọa độ M chứa tham 
số t). Tính AM


* AM u

 

. Từ đây tìm t và có M.
Đường thẳng cần tìm qua M và nhận

AM


làm VTCP
Cách khác:

* Gọi

 

 là mặt phẳng qua A và
vng góc . Lập phương trình mặt 
phẳng

 

 (qua A và nhận u


làm
VTPT)

* Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng

 

 và  là nghiệm của hệ

 

ptmp
pt

 







 .

.* Đường thẳng cần tìm qua A và
nhận AH làm VTCP.

Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng

 

 và cắt 2 đường thẳng d

1,d2:

* Tìm giao điểm A của d1 và mp

 



: Giải hệ:

 

pt d
ptmp









</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

: Giải hệ:

 

pt d
ptmp









* Đường thẳng d chính là đường
thẳng qua A và nhận AB



làm
VVTCP.

Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng (d) song song và

cắt 2 đường thẳng d ,d1 2:

* Chuyển phương trình d ,d1 2dưới

dạng tham số chứa t ,t1 2.

* Gọi Md ,N d1  2 (tọa độ M, N

chứa t ,t1 2). Tính MN


* MN



cùng phương u


, từ đây tìm

1 2

t ,t và có M,N.

* Đường thẳng cần tìm qua M và
nhận u



làm VTCP

Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm 
của

 

 và , nằm trong

 

 và vng góc :

* Tìm giao điểm A của

 

 và :

giải hệ

 

ptmp
ptdt

 









* Dường thẳng d qua A và có VTCP
là un ,u 

  

Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc d1 và

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

* Chuyển phương trình d2 về dạng

tham số. Gọi N thuộc d2 (tọa độ N

chứa tham số t). Tính vectơ MN

* Do MN ud1

 

, từ phương trình
này ta tìm được tham số t, từ đó tìm
được N.

Đường thẳng d qua M và có VTCP
là MN

Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc mặt phẳng

 

 và cắt 2 đường thẳng d

1, d2:

* Chuyển phương trình d1, d2 về dạng

tham số.

* Gọi M thuộc d1 dưới dạng chứa

tham số t1, N thuộc d2 dưới dạng

chứa tham số t2. Tính vectơ MN


.
* Do MN



cùng phương n



, từ đó
tìm được tham số t ,t1 2 ta tìm được

M,N

* Đường thẳng cần tìm qua M và
nhận MN



làm VTCP

Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc 
hai đường thẳng d ,d1 2:

Khi đó (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là uu ,ud1 d2

  

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

* Đường thẳng (d):
Qua M

VTCP u n ,u 




  



  



  

Dạng 19: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt

phẳng

 

 và cắt đường thẳng :

* Chuyển phương trình thành
phương trình tham số.

* Gọi N thuộc  (tọa độ N chứa 
tham số t). Tính MN


* Do MN u

 

nên từ đây tìm được
t, từ đó có N.

* Đường thẳng d cần tìm qua M và
nhận vectơ MN



</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1. CM

 

 cắt

 

 : Ta chứng minh A : B : C A' : B' : C'

2. CM

   

   : Ta chứng minh

A B C D

A' B' C' D'

3. CM

 

 //

 

 : Ta chứng minh

A B C D

A' B' C' D'

4. CM d ,d' đồng phẳng: Ta chứng minh u,u' .MM ' 0


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

với
M d ,M ' d'

5. CM d ,d' cắt nhau: u,u' .MM ' 0

  

và a : b : c a' : b' : c'

6. CM d // d’: Ta chứng minh



0 0

 

0 0

 

0 0



a : b : c a' : b' : c'  x'  x : y'  y : z'  z

7. CM dd’: Ta chứng minh



0 0

 

0 0

 

0 0



a : b : c a' : b' : c'  x'  x : y'  y : z'  z

8. CM d và d’ chéo nhau: ta chứng minh u,u' .MM ' 0
  

với
M d ,M ' d'

9. CM d cắt

 

 : Ta chứng minh: aA bB cC  0

10. CM d//

 

 : Ta chứng minh 0 0

 

0
aA bB cC

M d M

  





   




11. CM d 

 

 : Ta chứng minh 0 0

 

0
aA bB cC

M d M

  





   



Chú ý:

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

* CM d  

 

ta chứng minh a : b : cA : B : C.

* Chứng minh A x ; y ; z ,B x ; y ; z



A A A





B B C



nằm về 2 phía đối
với

 

 : Ax By Cz D   0, ta chứng minh:

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

 

P : Ax By Cz D   0

  2 2 2

 
 

  



 

M M M

M , P

A.x B.y C.z D
d

A b C

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P)//(Q):

     

 

   

   

  

P , Q A, Q

d d , A P

3. Khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), với (d)//
(P):

     

 

   

 d , P  A, P  

d d , A d

4. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d): (khơng có cơng 
thức tính trong chương trình chuẩn, nhưng có thể tính theo các bước 
sau đây)

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vng góc đường

thẳng (d).

 Tìm giao điểm H của (d) và (P)
- Khi đó   



A, d

d AH

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

 

d1 //

 

d2 :

   1 2  2

 

   

 d ; d   A, d   

d d , A d

6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

   

d , d1 2 :

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

 

d2 và song song

 

d1 .
 Tìm M thuộc

 

d1 .

- Khi đó    1 2    


d , d M , P

d d

7. Góc giữa hai mp (P): A1x+B1y+C1z+D1 = 0

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

thì

2
1 2

n1
os = 

 

 .n
c

n . n
=

2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

    

   

A B B C C

A B C . A B C

Với  ((mp(Q),mp(P))

8. Góc giữa đường thẳng (d):

0
0
0
 
 
 






x x at

y y bt

z z ct

và mặt phẳng (P):
Ax+By+Cz+D = 0 là

nP
sin = 

 

d
.u
n . uP

d

= 2 2 2 2 2 2

    

   

bB cC

A B C .

a

b c

với  ((D),mp(P))



9. Góc giữa hai đường thẳng (D1) :

1
1
1
0
0
0
 
 
 











x x a t

y y b t

z z c t

và (D2):

0 2
0 2
0 2
 
 
 











/ /
/ /
/ /

x x a t

y y b t

z z c t

thì

1 2

1
os = 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .
c
.
u u
u u
=

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

 

   

a a b b c c

a b c a b c

với



1 2

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

1. Tìm giao điểm M của đường thẳng (d):

0
0
0

 




 


  


x x at

y y bt

z z ct và mặt 
phẳng (P): Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- M

 

d nên M x



0at;y0bt;z0ct



(1)

- M

 

P nên tọa độ M phải thỏa mãn phương trình của (P). Thay
tọa độ của M vào phương trình (P) giải tìm được t.

- Thay t vừa tìm vào (1) ta tìm được tọa độ của M.

2. Tìm hình chiếu vng góc H của M lên mặt phẳng (P):

Phương pháp:

- Viết phương trình đường
thẳng (d) qua M và vng góc

với mặt phẳng (P).

- Tìm giao điểm H của đường
thẳng (d) và mặt phẳng (P).
- H chính là hình chiếu cần
tìm.

3. Tìm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P):

Phương pháp:

- Tìm hình chiếu vng góc H
của M lên mặt phẳng (P)

- M’ đối xứng với M qua mp(P)
 H là trung điểm của MM’.
- Áp dụng cơng thức trung điểm
ta tìm được tọa độ M’

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng
(P) qua M và vng góc đường
thẳng (d).

- Tìm giao điểm H của đường
thẳng (d) và mặt phẳng (P).
- H là hình chiếu cần tìm

Cách khác:

- Chuyển phương trình của (d)
về dạng tham số, suy ra VTCP
u.

- H thuộc (d) nên tọa độ H chứa
t. Tính MH .

- Do MH  u nên từ đây tìm 
được t và có H.

5. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d)

Phương pháp:

- Tìm hình chiếu vng góc H
của M lên đường thẳng (d).
- M’ đối xứng m qua (d)  H 
là trung điểm MM’.

- Áp dụng cơng thức trung điểm
ta tìm được tọa độ điểm M.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Phương pháp:

- Gọi H x;y;z





- Tọa độ của H là nghiệm của
hệ phương trình:

0
0

 







  

 


 
 

  
AH.BC
AH.BD

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG

CHỦ ĐỀ 1: TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I. Tam thức bậc hai:

1. ĐN: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng: ax2bx c ,

trong đó x là biến số; a, b, c là các số thực a0.

Chú ý: + Ta thường đặt f x

 

ax2bx c .

+ Nếu b0 thì ta có tam thức bậc hai dạng

 

f x ax c

+ Nếu c0 thì ta có tam thức bậc hai dạng

 

f x ax bx

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

 





f x ax bx c a 

. Gọi  b2 4ac. Khi đó:

- Nếu  0 thì a f x.

 

0,  x R (tức là f x

 

cùng dấu
với a).

Bảng xét dấu:
a>0

x   

f(x)

+

a<0

x   

f(x)

-- Nếu  0 thì a f x.

 

  0, x R (tức là f x

 

cùng dấu

với a với mọi 2
b
x

a




 

0 2

b

f x x

a



  

)
Bảng xét dấu:

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

X   2
b
a





</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

a<0

x   2

b
a





f(x)

-

0

-- Nếu  0 thì f x

 

có hai ngiệm phân biệt





1, 2 1 2

x x x x và:

+ a f x.

 

0,   x



;x1

 

 x2;



+ a f x.

 

0, x



x x1; 2



.

Bảng xét dấu:
a>0
x  

x x2 

f(x

) + 0

-

0 +

a<0
X  

x x2 

f(x

) - 0

+

0

-II. Phương trình bậc hai:

1. ĐN: Phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến có dạng





0 0

ax bx c  a

. Trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực
đã biết.

2. Cách giải:

Gọi  b2 4ac. Khi đó:

- Nếu  0: phương trình vơ nghiệm.
- Nếu  0: phương trình có nghiệp kép

1 2

b
x x

a



</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

- Nếu  0: phương trình có hai nghiệm phân

biệt 1 2 , 2 2

b b

x x

a a

     

 

* Chú ý:

- Nếu hệ số b của phương trình là số chẵn, ta có cơng
thức nghiệm thu gọn như sau:

Gọi

 

' b' ac

  

(trong đó ' 2
b
b 

). Khi đó:
+ Nếu  ' 0: phương trình vơ nghiệm.

+ Nếu  ' 0: phương trình có nghiệp kép

1 2

b
x x

a



 

+ Nếu  0: phương trình có hai nghiệm phân

biệt 1 2

' ' ' '

b b

x x

a a

     

 

- Nếu hai hệ số a và c có dấu trái ngược nhau thì phương
trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu hệ số b=0, phương trình có dạng: ax2 c 0

2 c
x

a

 

+ Nếu a, c trái dấu nhau thì phương trình có hai

nghiệm là 1,2

c
x

a

 

+ Nếu a, c cùng dấu nhau thì phương trình vơ
nghiệm.

- Nếu hệ số c=0, phương trình có dạng





1
2

0 0

x

ax bx x ax b b

x
a





     

 



</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

* Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:
1 2

1 2

b
S x x

a
c
P x x

a




  





  




- Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số
thực đó là nghiệm của phương trình x2 Sx P 0.

* Chú ý:

- Nếu tam thức bậc hai f x

 

ax2bx c có hai nghiệm
1, 2

x x thì có thể viết lại thành f x

 

a x x



 1

 

x x 2



.

- Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hệ số a,b,c

thỏa a b c  0 thì phương trình có hai nghiệm là:
1 1, 2

c

x x

a

 

- Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hệ số a,b,c

thỏa a b c  0 thì phương trình có hai nghiệm là:

1 1, 2
c

x x

a

 

4*. Xác định dấu các nghiệm số của phương trình bậc 2:

2 0

ax bx c  :

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac0

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

0
0

c
a

 


 

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

- Phương trình có hai nghiệm cùng dương

0
0
0

b
a
c
a


 



  







- Phương trình có hai nghiệm cùng âm

0
0
0

b
a
c
a


 



  








III. Bất phương trình bậc hai:

1. ĐN: Bất phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến thuộc 1
trong 4 dạng sau:

2 0; 2 0; 2 0; 2 0

ax bx c  ax bx c  ax bx c  ax bx c  ,

trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết.

2. Cách giải:

- Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái (dựa vào định lí về
dấu của tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu)

- Dựa vào bảng xét dấu để chọn các khoảng chứa x mà
làm cho vế trái thỏa mãn dấu của bất phương trình (nếu bất
phương trình cho >0 thì lấy phần dấu “+”, <0 thì lấy phần dấu “
– ”, cịn nếu có dấu “=” thì lấy ln nghiệm của tam thức)

* Chú ý: Nguyên tắc chung để giải các bất phương trình
là:

- Chuyển tất cả về bên trái của dấu bất đẳng thức,
còn vế phải phải là số 0. Nếu có ẩn số ở mẫu số thì khi quy
đồng không được bỏ mẫu.

- Phải xét dấu biểu thức ở vế trái.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74></div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

CHỦ ĐỀ 2: XÉT DẤU BIỂU THỨC

Xét dấu biểu thức là một bài toán trung gian để giải
nhiều bài toán, đặc biệt là để giải các bài tốn bất phương
trình, hệ bất phương trình. Ngoài phương pháp đã học ở
chương trình Đại số 10, ta có thể sử dụng phương pháp giải
nhanh được trình bày sau đây để rút ngắn thời gian làm bài. Vì
đây là bài tốn trung gian nên cách giải sẽ khơng được trình
bày trong bài tốn, do đó ta không cần quan tâm đến cách
chứng minh phương pháp xét dấu này (nhưng có thể dùng kiến
thức về giới hạn để chứng minh dễ dàng)

I. PHƯƠNG PHÁP:

1. Khái niệm nghiệm bội của phương trình: Số thực x0 được
gọi là một nghiệm bội k của phương trình f x

 

0 nếu như
nghiệm x0 được lặp lại k lần.

Ví dụ:

VD1. Phương trình









1
1 0

1 6 5 0 1

6 5 0

x
x

x x x x

x x

x




 

 

       



  

  

 . Khi đó số 1

gọi là một nghiệm bội 2 của phương trình (cịn gọi là nghiệm
kép)

VD2. Phương trình









1 4 3 0 1

x

x x x x

x





     


 

 .

Trong đó số 1 là nghiệm bội 3 của phương trình, vì







 



1 0 1 1 1 0 1

x

x x x x x

x





        

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

2. Xét dấu biểu thức f x

 

là một đa thức có dạng:

 

1 1 ... 1 0

n n

P x a x a x  a x a



    



an 0



(các số hạng củaP x

 

được sắp xếp theo thứ tự giảm dần theo số mũ của x)

- Tìm các nghiệm của P x

 

, giả sử các nghiệm đó là
1, ,...,2 n

x x x và x1x2...xn (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, 
nghiệm bội chỉ viết 1 lần)

- Lập bảng xét dấu:

+ Là bảng gồm 2 dòng và 2 cột,

+ Điền các giá trị của x là các nghiệm của P x

 

vừa tìm được ở trên và các kí hiệu   , vào bảng theo
thứ tự từ nhỏ đến lớn.

+ Điền dấu của P x

 

vào bảng theo quy tắc:
* Trong khoảng cuối cùng bên phải của xn
(nghiệm lớn nhất) thì P x

 

cùng dấu với hệ số của x mang mũ
cao nhất trong biểu thức P x

 

(tức là cùng dấu với an)

* Xen kẻ dấu của P x

 

về bên trái khi đi qua
các nghiệm của P x

 

nếu nghiệm đó là nghiệm bội lẻ, và giữ
nguyên dấu khi đi qua nghiệm bội chẵn của P x

 

Bảng xét dấu:

n

a  , giả sử P x

 

có nghiệm bội chẵn là xn1

x   …

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … 0 …

+

-

+

n

a  , giả sử P x

 

có nghiệm bội chẵn là xn1

x   …

x … xn2 xn1 xn 

 

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

-3. Xét dấu biểu thức dạng tích của các đa thức:

 

   



1 1 ... 0

 

1 1 ... 0



n n m m

P x f x g x a x a x  a b x b x  b

 

       

- Tìm nghiệm của các đa thức f x g x

 

, giả sử các
nghiệm đó là x x1, ,...,2 xn và x1x2 ...xn (xếp theo thứ tự từ
nhỏ đến lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần)

- Lập bảng xét dấu như trên và điền dấu của P x

 

theo
nguyên tắc:

+ Trong khoảng cuối cùng bên phải của xn

(nghiệm lớn nhất) thì P x

 

cùng dấu với tích của hệ số của x có

mũ cao nhất trong mỗi đa thức f x g x

 

(tức là cùng dấu với
tích a bn. m)

+ Xen kẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của

 

P x nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua

nghiệm bội chẵn của P x

 

4. Xét dấu của biểu thức dạng hữu tỷ: (có biến số ở mẫu số)

 

   

 



 



1 0 1 0

1 0

... ...

...

n n m m

k k

a x a x a b x b x b

f x g x
P x

h x c x c x c

 




     

 

  

(trong đó f x g x h x

 

   

, là các đa thức theo biến số x, được

xếp theo thứ tự giảm dần số mũ của x)

- Tìm nghiệm của các đa thức f x g x h x

 

   

, , giả sử
các nghiệm đó là x x1, ,...,2 xn và x1x2 ...xn (xếp theo thứ tự
từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần và tính ln nghiệm
của h x

 

)

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

+ Trong khoảng cuối cùng bên phải của xn

(nghiệm lớn nhất) thì P x

 

cùng dấu với tích của hệ số của x có
mũ cao nhất trong mỗi đa thức f x g x h x

 

   

, (tức là cùng
dấu với tích a b cn. .m k)

+ Xen kẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của

 

P x

nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua
nghiệm bội chẵn của P x

 

(tính ln cả nghiệm của h x

 

)

Bảng xét dấu:

. . 0

n m k

a b c  , giả sử có nghiệm bội chẵn là xn1, P x

 

không xác định tại xn(tức xnlà nghiệm của mẫu)

x   …

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … 0 …

+

-

- ||

+

. . 0

n m k

a b c  , giả sử có nghiệm bội chẵn là xn1, P x

 

khơng xác định tại xn(tức xnlà nghiệm của mẫu)

x   …

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … 0 …

-

+

+ ||

-II. CÁC VÍ DỤ:

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

a. f x

 

x3 8 b.

 



 



2 3 2 2 6 5
f x  x  x x  x

  







3 2

2 2 3 2

f x   x x  x  x

 



 



2 2

2 3 1

4 5 6

x x

f x

x x x

 



  

Giải:

a. Ta có

 









3 2

8 0 2 2 4 0 2

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Bảng xét dấu: (hệ số của x3là 1>0)

x   2 

 

f x

-

+

 



 



2
2 2
2
1

3 2 0 2

3 2 6 5 0

6 5 0

x

x x x

f x x x x x

x
x x
x



    


        
 
  





(x=1 là nghiệm bội 2)
Bảng xét dấu:

(Tích các hệ số của x có mũ cao nhất của hai tam thức là
1.1>0)

x   1 2 5 

 

f x

+

0 +

0 -

0 +

  















3 2
3 2
2
2 0

. 2 2 3 2 0

2 3 2

2 2

1 2 0 1

x

c f x x x x x

x x x

x x

x x x x

 

       
  


  
   
     


Bảng xét dấu: (Tích các hệ số của x có mũ cao nhất là 
-1.1<0)

x   1 2 

 

f x

-

0 +

0

-d.

 



 



2 2

2 3 1

4 5 6

x x

f x

x x x

 



  

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

*2 3 1 0 1

x
x x

x





   

 


2 2

* 4 0

x




   




2 2

* 5 6 0

x

x x

x




    





Bảng xét dấu: (x=2 là nghiệm bội 2, f x

 

không xác 
định tại

x=-2;2;3, tích các hệ số của x mũ cao nhất là 2.1.1>0)

x   -2 1/2 1 2 3 

 

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN VÔ CỰC VÀ GIỚI HẠN TẠI VÔ
CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực:

Các giới hạn sau đây được xét khi





0 0, 0, ,

x x x x x x x x

       

Qui tắc nhân

 

lim f x limg x

 

L lim f x g x

   

 L0 

 L0 

Qui tắc chia

 

lim f x limg x

 

L

 

lim f x

g x

L  0

 

lim f x L limg x

 

Dấu của g x

 

lim f x

g x
0

L 0  

L 0   

L 0   

L 0  

2. Một số giới hạn cơ bản:

a) 0
0
lim

xx x x ; 0 0
lim
xxx x

; 0

0
lim
xx x x

b) 0

lim

xx c x



; 0

lim

xxc x

0
0

lim

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

c) xlim x d) xlim c c e)

lim 0

x
c
x

  

f) xlim  x;

lim

x  x

g) lim
k

x x ;

2
lim k

x  x ;





2 1
lim k

x x k

 

      

3. Một số lưu ý khi tìm giới hạn:

a) Phương pháp xác định dấu của g x

 

khi tìm giới hạn 
dạng

 

lim

x x
f x
g x




:

Khi tính giới hạn của hàm số có dạng

 

f x
y

g x



khi
0

x x

 với x0là nghiệm của đa thức f x

 

thì ta cần xác định

 

f x dần tới 0

hay 0

. Có thể làm như sau:

- Lập bảng xét dấu của f x

 

(làm ở ngoài nháp), giả sử
ta có bảng sau:

x   …

x … 

 

f x … + 0 - …

- Xác định dấu của f x

 

:
+ x x0



x x0





  thì dấu của f x

 

là dấu ở phía 
bên phải số 0 nằm dưới x0 (theo bảng trên là dấu “-” do đó

 

f x 

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

+ x x0



x x0





 

thì dấu của f x

 

là dấu ở phía
bên phải số 0 nằm dưới x0 (theo bảng trên là dấu “+” do
đó f x

 

 0)

b) Phương pháp tìm nhanh giới hạn dạng

 

1 1 0

...

lim lim

...

m m

n n

x x

n n

f x a x a x a x a

g x b x b x b x b





   



   



    (trong đó

 

f x g x là các đa thức có bậc lần lượt là m và n):

- Nếu m n : thì

 

lim 0

x

f x
g x

  

- Nếu m n : thì

 

lim m

x

n
f x a
g x b

  

- Nếu m n : thì

 

lim

x

f x
g x

  

hoặc

 

lim

x

f x
g x

   

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

CHỦ ĐỀ 4: ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa:

Đạo hàm hàm số yf x

 

tại điểm x0 kí hiệu là f x'

 

0
và được định nghĩa

 





 

0 0 0

' lim lim

x x

f x x f x y

f x

x x

   

   

 

 

Số   x x x0được gọi là số gia của biến số tại điểm x0;
số  y f x



0 x



 f x

 

0 gọi là số gia của hàm số ứng với số
gia x tại điểm x0.

Ngoài ra người ta cịn định nghĩa theo cơng thức sau:

 

0
0

' lim

x x

f x f x

f x

x x






 .

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Đạo hàm của hàm số yf x

 

tại điểm x0 là hệ số góc
của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M x y0



0; 0



.

- Nếu hàm số yf x

 

có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y0



0; 0



có phương trình là:

  



0 ' 0 0

y y f x x x

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng:

Hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng I nếu nó có đạo
hàm f x'

 

tại mọi điểm x I .

4. Quy tắc tính đạo hàm:

* Các công thức:
1)

 

n n

x nx 





n,n1



 

c ' 0 (c là hằng số)

 

x ' 1 ; 2

1 1

x x

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

 





1
' 0
2
x x
x

  

5) Giả sử u u x v v x

 

, 

 

là các hàm số có đạo hàm tại
điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

















 





2
2
' ' '
' ' '
. ' ' '
' '
'
. ' . '
1 '
' 0

u v u v
u v u v
u v u v uv

u u v uv

v v

k u k u
v

v v x

v v
  
  
 

 

 
 

 
  
 
 

6) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số ug x

 

có đạo
hàm tại x là u'x và hàm số yf u

 

có đạo hàm tại u là y'u thì
hàm hợp yf g x



 



có đạo hàm tại x là: y'x y u' . 'u x

7) Đạo hàm của hàm số lượng giác:
Bảng tóm tắt:

















2
2

sin ' cos

cos ' sin

1
tan '
cos
1
cot '
sin
x x
x x
x
x
x
x





















2
2

sin ' '.cos

cos ' '.sin

'
tan '
cos
'
cot '
sin

u u u

u
u
u
u
u
u





</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>









2
2
2

2
'

ax b ad bc

y y

cx d cx d

b c
amx anx

m n
ax bx c

y y

mx n mx n

 

  

 

 

  

 





2
2

2 2

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

a b a c b c

x x

a b a c b c

ax bx c

y y

a x b x c a x b x c

 

  

   

5. Đạo hàm cấp 2:

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

CHỦ ĐỀ 5:CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Công thức lược giác:

1. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0
6

4

3

2
 2
3
 3
4
 5
6
 

sin 0 1

2
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0

cos 1 3

2
2
2

2 0 –

1
2 –

2 –

2 1

tan 0 1

3 1 3

||

 3 1 –

3 0

cot

||

3 1 1

3 0

1
3

 1 – 3

||

* Công thức lượng giác cơ bản:

2 2

sin xcos x1 tan .cotx x1

2
2

1 tan
cos x   x

2
2

1 cot
sin x   x

sin
tan
cos
x
x
x

 cot cos

sin
x
x

x


2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

cos .cos [cos( ) cos( )]
2

sin .sin [cos( ) cos( )]
2

sin .cos [sin( ) sin( )]
2

a b a b a b

   

   

   

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

cos cos 2 cos .cos

2 2

cos cos 2sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos

2 2

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Công thức nhân đôi:

2 2 2 2

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos

2 tan

tan 2 ( , , )

1 tan 2 2 2

a a a a a

a a a

a

a a k a k k

a
     

     

  
 Z

5. Công thức nhân ba:

3
3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

 

6. Công thức hạ bậc:

cos 2 1
cos

2
1 cos 2
sin

2
1 cos 2
tan

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

7. Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

  

  

  

  

Ngồi ra ta cũng có cơng thức sau với một số điều kiện:
tan tan

tan( ) (*)

1 tan .tan
tan tan

tan( ) (**)

1 tan .tan

a b

a b

a b

a b

a b



 



 



(*) có điều kiện: a 2 k b, 2 k a b, 2 k

  

      

(**) có điều kiện: a 2 k b, 2 k a b, 2 k

  

      

8. Công thức tính tana, cosa, sina theo tan2

a
t

:

2
2
2

2
sin

1
1
cos

1
2

tan ,

1 2

t
a

t
t
a

t
t

a a k

t








  





9. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau 
và hơn kém nhau 1 góc  hoặc 2



:

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

 

 
 
 






9.2. Hai góc phụ nhau:

sin( ) cos

cos( ) sin

tan( ) cot

cot( ) tan

a a

 



9.3. Hai góc đối nhau:

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot

a a

 

 

 

9.4 Hai góc hơn kém nhau 2



:

sin( ) cos

cos( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

 

 



</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

9.5 Hai góc hơn kém nhau :

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

 

 






9.6. Một số công thức đặc biệt:

sin cos 2 sin( ) 2 cos

4 4

sin cos 2 sin( ) 2 cos

4 4

cos sin 2 cos

x x x x

x x x

 

      

 

 

      

 

 

    

 

 



III. Phương trình lượng giác:

1. Phương trình cơ bản:





2
2
2

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

u v k

* u v

u v k

* u v u v k

* u v u v k u k

* u v u v k u k

  



  

   


    



 

       

 

      

2. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Các phương trình lượng giác

* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x +d= 0 (1)

* a sin x b sin xcos x c sin xcos x d cos x m sin x ncos x3  2  2  3   0
(2)

* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x =

0 (3)

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

- Kiểm tra cosx=0 có là nghiệm không?

- Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo
thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về

ph-ương trình mới với ẩn t=tanx và ta dễ dàng giải các phph-ương
trình này.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có

nghiệm
a2 + b2 - c2 ≥ 0

Có ba cách giải loại phương trình này :

Cách 1: Giả sử a ≠ 0

(1) sin cos 0

b c

x x

a a

   

(2)

Cách 2: Đặt : tan
b
a




(2) sin tan cos 0
c

x x

a

    

sin( ) cos

c
x

a

 

  

Ta dễ dàng giải phương trình này.

- Đặt :

tan2
x

t


2 2

2 1

(1) 0

1 1

t t

a b c

t t



   

 

Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương
trình (1).

Cách 3: Do a2b2 0, chia hai vế của phương trình cho

2 2

a b :

2 2 2 2 2 2

(1) a sinx b cosx c

a b a b a b

  

  

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

2 2
2 2

sin
cos

a
a b

b
a b













 

 



2 2

(1) sin(x ) c

a b



  

 (đây là phương trình cơ bản).
Chú ý : Ta ln có :

| sina x b sin |x  a2 b2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng
số)

Giải phương trình (1) bằng cách đặt :
sinx + cosx = t , | |t  2
Đưa (1) về phương trình

bt22at (b2 ) 0c  . Giải phương trình (2) với | |t  2
.

5. Phương trình lượng giác sử dụng nhiều đến phép biến đổi 
lượng giác:

Đây là dạng tốn chủ yếu trong các kì thi ĐH-CĐ, cách
giải chủ yếu là sử dụng các phép biến đổi lượng giác thơng
dụng để đưa phương trình về một trong các dạng trên hoặc dạng
phương trình tích mà mỗi thừa số là một phương trình cơ bản để
giải để giải.

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

PHỤ LỤC

Một số gợi ý cụ thể về cách học mơn tốn để chuẩn bị cho
các kỳ thi TNPT và tuyển sinh vào các trường ĐH
- Sau khi nghe giảng trên lớp cần đọc lại ngay và thực hiện các bài
tập đơn giản để hiểu bài và ghi nhớ các cơng thức, tính chất cần thiết.
Khơng phải chỉ đọc hiểu mà phải chủ động làm các bài tập áp dụng
tới khi thành thục. Lần học thứ hai là làm các bài tập khó hơn, hãy cố
gắng suy nghĩ để tìm ra cách giải và chỉ nên đọc các hướng dẫn khi
đã làm hết cách nhưng không tự giải được. Lần học thứ ba là để hệ
thống lại bài và làm bổ sung các bài tập mà trước đó ta chưa giải
được.

- Sau khi học xong một chương (gồm nhiều bài), nên thu xếp thời giờ
để làm các bài tập mang tính tổng hợp kiến thức của tồn chương.
Đây là cơ hội tốt để tập luyện cách huy động kiến thức liên quan cần
thiết để giải các bài tập tương tự như các câu hỏi trong đề thi sau này,
đồng thời cũng là dịp phát hiện những thiếu sót trong kiến thức cùng
những sai lầm mà ta hay mắc phải. Việc giải ngay bài tập của từng
bài với luyện giải các đề tốn tổng hợp có những khác biệt rất lớn nên
các em cần phải tập luyện để tích lũy kinh nghiệm.

- Cần đọc trước bài sẽ nghe giảng trên lớp. Việc làm này rất cần thiết
vì nhờ đó ta đã biết một số khái niệm, một số định nghĩa đồng thời
biết được phần nào khó trong bài để tập trung chú ý, nhờ đó dễ dàng
nắm vững nội dung bài giảng ngay tại lớp.

- Thi ĐH mơn tốn ngồi nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12
cịn có các câu hỏi liên quan đến các vấn đề đã học trong chương
trình lớp 10, lớp 11 như bất đẳng thức, phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và các bài tốn về lượng giác. Do đó thí sinh
cần có kế hoạch ơn tập một cách hệ thống các kiến thức nêu trên.

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Cần chú ý vào các sai lầm mà mình hay mắc phải, cần xem kỹ các
công thức mà ta nhớ không chắc chắn. Cần đảm bảo có sức khoẻ tốt
nhất trước khi dự thi. Cần tập thức dậy sớm vào buổi sáng (tự thức
dậy sẽ sảng khối và có trạng thái tâm lý tốt hơn bị gọi dậy).

Khi nhận được đề thi cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các
câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện (ưu tiên giải trước), còn các câu
hỏi khó sẽ giải quyết sau. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả
năng giải quyết của thí sinh, khơng nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong
đề bài. Có thể đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi
nhưng khi làm mới thấy khó thì nên dứt khốt chuyển qua câu khác
giải được dễ dàng, sau đó cịn thời gian thì quay lại giải tiếp câu khó
ấy. Trong khi thi khơng nên làm quá vội vã câu dễ (để rồi có sai sót
đáng tiếc) và đừng sớm chịu thua câu khó. Hãy tận dụng thời gian thi
dò lại các câu đã làm một cách cẩn thận và tập trung cao độ để tìm ra
cách giải các câu khó cịn lại.

(TS Nguyễn Cam, khoa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP.HCM)

Để làm bài thi ĐH đạt điểm cao
Thực hiện nguyên lý “3 Đ”

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

SGK. Đúng thời gian: Có nhiều TS khơng biết phân bố thời gian,
trình bày q cẩn thận dẫn đến có câu đã giải xong trên giấy nháp
nhưng hết thời gian để viết vào bài thi. Cũng có nhiều TS làm bài
nhanh nhưng khơng xem lại bài kỹ nên bị mất điểm đáng tiếc.

Đủ các câu hỏi: TS cần điều tiết thời gian để làm hết các câu
hỏi theo trình tự từ dễ đến khó, tránh tốn q nhiều thời gian cho một

câu hỏi để khơng cịn giờ suy nghĩ câu khác. Trình bày đầy đủ: Do
thang điểm chi tiết đến 0,25 nên những bài có lập luận đầy đủ sẽ dễ
đạt điểm tối đa.

Tìm lời giải đẹp: Khi gặp một bài toán, bạn cần ưu tiên cách
giải cơ bản để xử lý nhanh mà khơng nên loay hoay mất thời gian tìm
cách giải đẹp. Tuy nhiên ở một số bài toán đẳng cấp lại cần đến lối
giải thơng minh, ngắn gọn. Trình bày đẹp: Mặc dù trong mơn Tốn
yếu tố đẹp bị xem nhẹ hơn rất nhiều so với yếu tố đúng, nhưng nếu 2
bài thi có nội dung tương tự nhau thì bài trình bày đẹp dễ được điểm
cao hơn từ 0,5 đến 1 điểm.

</div>

tom tat lu thuyet toan 12

MỤC LỤC



 





 





 





 





 





)

2

<i>a y x</i>

  

<i>x</i>

 

<i>x</i>

)

2

5

<i>b y</i>

 

<i>x</i>



<i>x</i>

  

<i>x</i>

)

2

<i>g y</i>

 

<i>x x</i>



 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i>y x</i>

 

2 1



<i>x</i>

1

cos

cos 2

2

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

cos

<i>x</i>

<i>y</i>

 

<i>x</i>

