De HSG(De xuat)- De 4

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP HUYỆN
Môn : toán 9
Năm học: 2010 - 2011
Chủ đề
MỨC ĐỘ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng
cao
Số học C3a,b
4
C1
3
3
7
Đại số

C2
3
C4
4
2
7
Hình học C6a
2
C6b,c
4
3
6

Tổng
1
2
5
11
2

7
8
20

Câu 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng
{
{
11...1 22..2
−
2n chữ số n chữ số
là một số chính phương.
Câu 2: (3 điểm)Cho biểu thức: M =
)
1
1
1.(
)1(4
)1(4)1(4
2
−
−
−−

−++−−
x
xx
xxxx
a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
b.Rút gọn M.
Câu 3 (4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giá trị biểu thức
2
2
4 1
3 2 1 1
n
M
n n n
= +
+ − +
không thể là một số tự nhiên.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( )
2 2
3 2 18 73 0x y xy x y
+ + − + + =
Câu 4 (4 điểm).
a.Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a

+ + ≤
+ + + + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
2 1
2 x x
+
−
với 0 < x < 2
Câu6: (3 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm) dây BC = 24cm. Các tiếp tuyến của
đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC.
a, Chứng minh rằng HB=HC.
b,Tính độ dài OH.
c, Tính dộ dài OA.
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Câu Đáp án Thang
điểm
1
(3đ)
Đặt
{
11...1 k

=
n chữ số
Ta có
{
{
11...1 22..2
−
= k.10
n
+ k -2k
2n chữ số n chữ số
= k(10
n
-1) = k.9k = (3k)
2
= (33...3)
2

n chữ số
Vậy
{
{
11...1 22..2
−

2n chữ số n chữ số
là một số chính phương
1
1
0.75

0.25
2
(4đ)
a) M có nghĩa khi:
2
4( 1) 0
4( 1) 0
4( 1) 0
1 0
x x
x x
x x
x

− − ≥


+ − ≥

− − >


− ≠



⇔
1 < x < 2 hoặc x > 2
1.25
0.75

b) M
1
2
.
2
1111
1
2
)2(
)11()11(
2
22
−
−
−
+−+−−
=
−
−
−
+−+−−
=
x
x
x
xx
x
x
x
xx

- Với 1 < x < 2, ta có: M
xx
x
x
xx
−
=
−
−
−
+−+−−
=
1
2
1
2
.
2
1111

-Với x > 2, ta có: M
1
2
1
2
2
1111
−
=

−
−
−
+−+−−
=
x
x
x
x
xx

0,5
0.75
0.75
3
(4đ)
a. Ta có M =
( ) ( )
2
4 1
3 1 1 1
n
n n n
+
− + +
=
( ) ( )
2
4 3 1 4 1
3 1 1 3 1

n n n
n n n
+ − −
=
− + −
Giả sử M là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n. Suy ra:
(4n–1)
M
(3n–1), ∀n
⇒ (12n –3)
M
(3n – 1), ∀n
Mặt khác: (12n – 4)
M
(3n – 1 ) , ∀n
Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)]
M
(3n -1),∀n
Hay 1
M
(3n – 1) , ∀n (vô lý)
Vậy M không thể là số tự nhiên (đpcm)
0.5
0.5
0.5
0.5
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI : TOÁN
b. Phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( )
2
2 2
2 9 9 8 2x x y y y+ − + − = −

( )
2
2
9 8 2x y y⇔ + − = −
(*)
Pt (*) có nghiệm nguyên khi:
y∈Ζ, 8 – 2y
2
≥ 0
⇒ y∈Ζ và
2y ≤
⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 }
+ Với y = 0, ta có: ( x + y – 9 )
2
= 8 ( loại )
+ Với y = ± 1, ta có: ( x + y – 9 )
2
= 6 ( loại )
+ Với y = ± 2, ta có: ( x + y – 9 )
2
= 0
- Nếu y = 2 thì x = 7 (thỏa mãn)

- Nếu y = -2 thì x = 11 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm:
( 7; 2) , (11; - 2)
0.5
0.5
0.5
0.5
4
(3đ)
a. Ta có: a
2
– ab + b
2
≥ ab, ∀a, b ≥ 0
⇒ (a+b)( a
2
– ab + b
2
) ≥ ab(a+b), ∀a, b ≥ 0
⇒ a
3
+b
3
+1 ≥ ab(a+b+c), ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
⇒
3 3
a+b+c
a b 1 0
c
+ + ≥ >

, ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
⇒
3 3
1
1
c
a b a b c
≤
+ + + +
(1)
+ Tương tự, ta chứng minh được:

3 3
1
1
a
b c a b c
≤
+ + + +
(2)
và
3 3
1
1
b
c a a b c
≤
+ + + +
(3)
+ Cộng vế theo vế (1), (2) và (3):

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
( a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
≥
(ax +by )
2
Ta có:
2A =
( ) ( )
2 2 2

2 2
2 1 2 1
2 2
2 2
x x x x
x x x x
 
     
 
 
+ − + ≥ − +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 
 
− −
 
     
 
=> 2A
( )
22312
2
+=+≥
Suy ra: min 2A =
2 1
2
3 2 2
2
x x

x x
−
+ ⇔ =
−

( )
2
2
2 1
2
x
x
⇔ =
−

2 2
2 4 4x x x⇔ = − +
0.25
0.25
0.25
0.25

2
4 4 8⇔ + + =x x

( )
2
2 8x⇔ + =
2 8x⇔ + = Vì 0 < x < 2

2 2 2x⇔ = −
Vậy min A =
1,5 2 2 2 2x
+ ⇔ = −
0.25
0.25
5
(6đ)
Vẽ hình, ghi Gt,kl :
a. Tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của
·
BOC

nên HB= HC .
b. OH =
2 2
OB HB−
=
2 2
15 12 9cm− =

c. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam tam giác OBA
ta có OB
2
= OH.OA => OA =
2 2
15
25( )
9
OB

cm
OH
= =

1
1
2
2
NGƯỜI RA ĐỀ
Nguyễn Tiến Hải