Đáp án& bài tập Toán 10./.

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT(Học Kỳ2)
Câu1.( Mức độ: B; 1,0 điểm ; Thời gian: 10 phút. )
2
2 5 4 20 25x x x+ = − +
Đáp án Điểm
Tacó:
2
2 5 4 20 25x x x+ = − +
⇔
2 5 2 5x x
+ = +
2 5 2 5x x⇔ + = +
0.25
Áp dụng:
, ,a b a b a b+ ≥ + ∀ ∈ ¡
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
. 0a b
≥
0.25
Vậy :
2 5 2 5 2 .5 0 0x x x x+ = + ⇔ ≥ ⇔ ≥
.
0.25
Suy ra tập nghiệm PT là :
[
)
0;T = +∞
.
0.25

Câu 2 . ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. ).Giải Bất phương trình :

2
2 4
1
3 10
x
x x
−
>
− −
Đáp Án Điểm
Ta có:
2
2 2 2
2 4 2 4 2 4 3 10
1 1 0 0
3 10 3 10 3 10
x x x x x
x x x x x x
− − − − − −
> ⇔ − > ⇔ >
− − − − − −
0.5
( )
2
2
2 2
2 2
2

2 4 3 10
2 4 3 10 0 2 4 3 10
2 4 0
3 10 0 3 10 0
3 10 0
x x x
x x x x x x
x
x x x x
x x

− > − −
 

− − − − > − > − −
  
⇔ ⇔ ⇔ − >
  
− − > − − >
 

 
− − >


0.5
2
3 13 26 0
2 5
2 5

x x
x x
x x

− + >

⇔ > ⇔ >


< − ∨ >

0.5
Câu 3. (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình :
3x 4 2 3x+ = −
.
Đáp án Điểm
*
3x 4 2 3x (1)
Pt
3x 4 3x 2(2)
+ = −

⇔

+ = −

*
1
x

3
Vn

=

⇔


. Vậy
1
3
x =
là nghiệm phương trình.
0.5
0.5
Câu 4. ( Mức độ: C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho phương trình :
2
mx 2(m - 2)x m 3 0 (1).+ + − =
THPT NGỌC HỒI
Tổ Toán
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho :
1 2
2 1
x x
3

x x
+ =
.
Câu Đáp án Điểm
3a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành :
3
4x 3 0 x
4
−
− − = ⇔ =
.
* Khi
m 0≠
thì (1) là phương trình bậc hai có
4 m∆ = −
.
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
m 4≤
thì phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
Kết luận :

+ m = 0 :
3
S
4
−
=
.
+ m > 4 :
S
= ∅
.
+
m 4≤
và
m 0
≠
: Phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
0.25



0.25

0.25
0.25
0.5
3b
* Khi
m 4≤
và
m 0
≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x x,
.
*
( )
2
1 2
1 2 1 2
2 1
x x
3 x x 5x x 0
x x
+ = ⇔ + − =
.
* Thay vào và tính được
1 65
m
2
− ±
=

: thoả mãn điều kiện
m 4≤
và
m 0
≠
.





0.25
0.25
Câu 5 ( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với
A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− −
. Tìm toạ độ trọng tâm
G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC.
Câu Đáp án Điểm
4
Toạ độ trọng tâm G :
9
G 1
2
;
 
−
 ÷
 
.

Toạ độ trực tâm H :
*
AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

= − − + + =


⇔
 
− + + =
= 


.
* H (3 ; - 1 ).
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
2 2
2 2
AI BI 8x 24
4x 8y 8
AI CI


= =


⇔
 
+ =
=



.
*
1
I 3
2
;
 
 ÷
 
.
0.75
0.75
0.25
0.5
0.25
Câu 6. ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Cho hệ phương trình:
x 2 1
( 1)
m y

x m y m

+ =

+ − =

. Hãy xác định các tham số thực m để hệ
phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Cho phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
. Tìm tham số thực m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
.
Câu Đáp án Điểm
6.1
(1.5
đ)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện :

D 0≠
.
* Tính
2
D m m 2= − −
và giải được
m 1≠ −
và
m 2≠
.
Vậy với
m 1≠ −
và
m 2≠
thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với
1
x
m 2
−
=
−
và
m 1
y
m 2
−
=
−
.

0.75
0.25
0.5
6.2
(1.5
đ)
Phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
có hai ngiệm phân biệt khi
' 0∆ >

0m
⇔ >
TheoYCBT thì:
+
+ = ⇔ =
⇔ + − =
2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
3 3
.x
( ) 5x x 0
x x x x
x x x
x x

2 2 2
(2 ) 5( ) 0 5 0
0( )
5
m m m m m
m L
m
⇔ − − = ⇔ − + =

=
⇔

=

Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 7. ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥
.
Câu Đáp án Điểm
7

(1.0
đ)
, , 0x y z∀ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
3 . .x y z x y z+ + ≥
(1)
1 1 1
, , 0 ; ; 0x y z
x y z
∀ > ⇒ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
1 1 1 1 1 1
3 . .
x y z x y z
+ + ≥
(2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥
. đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25

Câu 8. (Mức độ: B; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:
2 , 5 , 3 2 .OA i j OB i j OC i j= − = − = +
uuur r r uuur r r uuur r r
Tìm tọa
độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
2. Cho
4
sin (0 )
5 2
π
α α
= < <
. Tính giá trị biểu thức:
1 tan
1 tan
P
α
α
+
=
−
.
3.
Câu Đáp án Điểm
8.1
(1.0
đ)
Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2).
Toạ độ trọng tâm G :

1
G 3
3
 
−
 ÷
 
;
.
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H.
*
AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0
2 x 5 4 y 1 0
BH AC 0

= − − + + =


⇔
 
− + + =
=



. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

.
0.25
0.25
0.25
0.25
*
25 2
( ; )
7 7
H −
.
8.2
(1.0
đ)
Ta có:
4
sin
5
α
=
. Tìm được
3 4
cos ; tan
5 3
α α
= =
Thay vào biểu thức:
4
1
1 tan

3
7
4
1 tan
1
3
P
α
α
+
+
= = = −
−
−
.
0.5
0.5
Câu 9. (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng:
c
C
b
B
a
A
abc
cba coscoscos
2
222
++=

++
.
Câu Đáp án Điểm
9
(1.0
đ)
Ta có

( )
CABCCAABBCABCABCAB
CABCAB
.2.2.2
222
2
+++++=
++
0.5
c
C
b
B
a
A
abc
cba
CabAcbBaccba
CABCCAABBCABcba
coscoscos
2
cos.2cos2cos.2

.2.2.2
222
222
222
++=
++
⇔
++=++⇔
++=++⇔
0.5
Câu 10. (Mức độ: C ; 1,5điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Có 100 học sinh tham dự học sinh giỏi môn Toán ,( thang điểm là 20) kết quả được cho trong
bảng sau :
Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100
a,Tính số trung bình và số trung vị.
b,Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp án Điểm
a,Số trung bình:
11
1
1
. . 15,23
100
i i
i
x x n
=
= =
∑

.
0.25
Số trung vị:
15 16
=15,5
2
e
M
+
=
0.25
b,Phương sai:
2
11 11
2 2
2
1 1
1 1
3,96
100 100
i i i i
i i
S n x n x
= =
 
= − ≈
 ÷
 
∑ ∑
0.25

+
0.5
Độ lệch chuẩn :
1,99S ≈
0.25
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2
x m y m
x m y m m
− + = − +


− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên.
Đáp án Điểm
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2
x m y m
x m y m m
− + = − +


− = − −


có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
0,5
* D =
2
2
2 -m-1
2 1 ( 1)(2 1)
1 -m
m m m m= − + + = − − +
D
x
=
3 2 3 2
2 2
1 -m-1
3 2 2 (2 1)
2 -m
m
m m m m m m m
m m
− +
= − − − − = − +
− −
D
y
=
2
2
2 -m+1

2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2
m m m m m
m
= − − + − = + +
−
*D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ -
1
2
thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x =
2 2
2
1 1
x
D
m
D m m
= = +
− −

y =
1 2
1
( 1) 1
y
D
m
D m m
+

= = − −
− − −
* Để x
∈ ¢
,y
∈ ¢
thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2.Suy ra : x∈ { 2;0;3;- 1}
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 12. (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Đáp án Điểm
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
⇔(x
2
- 4x +4)(x
2
- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x
2
- 4x +4.Pt (1)⇔ t(t+2) – 3 = 0 ⇔ t
2
+2t – 3 = 0
1
3
t
t

=

⇔

= −

*t = 1: x
2
- 4x +4 = 1 ⇔ x
2
– 4x + 3 = 0
5 13
2
x
±
⇔ =
*t = - 3: x
2
- 4x +4 = - 3 ⇔ x
2
– 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1):
5 13
2
x
±
=
0,25
0,25
0,25

0,25
Câu 13.(Mức độ: B ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho
2AD BC= −
uuur uuur
Câu Đáp án Điểm
18a
∆ABC có:A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
*
AB
uuur
= (-5;-2)
AC
uuur
= (3;-6)
* Vì
5 2
3 6
− −
≠
−
nên
AB
uuur
và
AC
uuur

không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba đỉnh
của một tam giác.
Tìm tọa độ điểm D sao cho
2AD BC= −
uuur uuur
Giả sử D(x;y)
0,25
0,25
0,25
0,25