Dạy các dạng toán về tính nhanh

MI CC BN N VI CU LC B TON TIU HC
(violet.vn/toantieuhoc)
NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN MễN TON TIU HC
NI CUNG CP CC TI LU V TON TIU HC T A N Z
Giúp học sinh ôn tập
tính nhanh giá trị biểu thức
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng
Sơn, Hà Tĩnh)
Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thờng mà
còn thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán. Tuy nhiên, khi gặp các dạng toán loại
này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh mà mình lại đi "tính
chậm".
Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau :
Dạng 1. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + + 0,19. ( 19 số hạng)
(Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000)
Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9
= (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5.
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19
= (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15)
= 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29
= 0,29 x 5 = 1,45.
Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95.
Dạng 2. Vận dụng tính chất của dãy số cách đều
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101
Giải: Cách 1.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101

S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 ++ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:
2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + + (100 + 2) + (101 + 1)
2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + + 102 + 102 (có 101 số 102)
2 x S = 102 x 101 = 10 302.
S = 10 302 : 2 = 5151.
Cách 2. Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.
S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ++ 100 + 101
= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51)
= 101 + 101 + 101 + + 101
Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép đợc là: 102 : 2 = 51 (cặp)
Vậy S = 101 x 51 = 5151.
Cách 3. Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101
S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 + 102
S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + + (51 + 52)
S + 102 = 103 + 103 + 103 + + 103
S + 102 = 103 x 51 = 5253
S = 5253 - 102 = 5151.
Cách 4. Tách số hạng đầu tiên đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101
S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + + (51 + 52)
S = 1 + 103 + 103 + 103 + + 103
S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151.
Cách 5. Tách số hạng cuối cùng đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) + 101
S = 101 + 101 + 101 + + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151.
Cách 6. Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101

S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + + (50 + 52) + 51
S = 102 + 102 + 102 + + 102 + 51
= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151.
Dạng 3. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh:
B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)
= 10 x 1000 x 100
= 1 000 000.
Dạng 4. Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:
241,324 x 1999 + 241,324
(Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002)
Giải: 241,324 x 1999 + 241,324
= 241,324 x 1999 + 241,324 x 1
= 241,324 x (1999 + 1)
= 241,324 x 2000 = 482 648.
Dạng 5. Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu
Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993
Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B.
(Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993)
Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427
=1993 x (477 - 427)
= 1993 x 50 = 99 650.
Dạng 6. Vận dụng tính chất "a x 0 = 0"
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
2
1

: 1
2
1
- 1
3
1
).
(Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
Giải:
Ta có: 1 +
2
1
: 1
2
1
- 1
3
1
= 1 +
2
1
:
2
3
- 1
3
1
= 1 +
2
1

x
3
2
- 1
3
1
= 1+
3
1
- 1
3
1
= 1
3
1
- 1
3
1
= 0.
Vậy:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
2
1
: 1
2
1
- 1
3
1
) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0.

Dạng 7. Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0)
Ví dụ : Tính nhanh:
(
2
1
: 0,5 -
4
1
: 0,25 +
8
1
: 0,125 -
10
1
: 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008)
Giải: Ta có:
2
1
: 0,5 -
4
1
: 0,25 +
8
1
: 0,125 -
10
1
: 0,1 =
2
1

:
2
1
-
4
1
:
4
1
+
8
1
:
8
1
-
10
1
:
10
1
= 1 - 1 + 1 - 1 = 0. Vậy: (
2
1
: 0,5 -
4
1
: 0,25 +
8
1

: 0,125 -
10
1
: 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... +
2006 + 2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008) = 0.
Dạng 8. Sử dụng phơng pháp khử liên tiếp
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
A =
21
1
x
+
32
1
x
+
43
1
x
+ ... +
20082007
1
x
Ta có:
21
1
x
= 1 -
2
1

;
32
1
x
=
2
1
-
3
1
;
43
1
x
=
3
1
-
4
1
; ... ;
20082007
1
x
=
2007
1
-
2008
1

.
Vậy ta có:
A = (1 -
2
1
) + (
2
1
-
3
1
) + (
3
1
-
4
1
) + ... + (
2007
1
-
2008
1
) = 1 -
2
1
+
2
1
-

3
1
+
3
1
-
4
1
+ ...
+
2007
1
-
2008
1
= 1 -
2008
1
=
2008
2007
.
Dạng 9. Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19.
Ta nhóm lại nh sau:
A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181
+ 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200.
Dạng 10. Đa về dạng toán "Tìm thành phần cha biết của phép tính
Ví dụ : Tính nhanh:

4
1
+
8
1
+
16
1
+
32
1
+
64
1
+
128
1
(Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001)
Giải: Đặt:
S =
4
1
+
8
1
+
16
1
+

32
1
+
64
1
+
128
1
Cùng nhân 2 vế với 2 ta đợc:
S x 2 = (
4
1
+
8
1
+
16
1
+
32
1
+
64
1
+
128
1
) x 2 =
2
1

+
4
1
+
8
1
+
16
1
+
32
1
+
64
1
.
Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối.
Vậy: S x 2 - S =
2
1
-
128
1
.
Từ đó ta tính đợc: S =
128
63
.
Chóc c¸c em häc giái !