skkn cực trị gd công dân 6 lương hiền an thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A. PHẦN MỞ ĐẦU</b>

<b>I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:</b>

Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi
bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài
tốn u cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài tốn này
gọi chung là các bài toán cực trị.

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng
sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn. Bài tốn đi tìm cái tốt
nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất... trong một bài tốn. Để dần dần hình thành
cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một cơng việc nào đó trong
cuộc sống sau này.

Các bài tốn cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng
cách giải thơng minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ
kiến thức tốn học ở bậc học để giải quyết loại toán này.

Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần khơng nhỏ vào
việc rèn luyện tư duy cho học sinh.

Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương
pháp giải các bài toán cực trị là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy bản
thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán cực trị nhằm giúp
thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi toán.

<b>II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:</b>

<b>Áp dụng với học sinh khối 8, 9. Là học sinh khá giỏi tham gia trong các</b>

đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh.

<b>III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đề tài trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc
THCS. Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết
và ví dụ minh hoạ hoặc từ bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát.

<b>IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI:</b>

Đề tài chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị
đại số thường gặp trong chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài
nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS.

<b>V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:</b>

Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tham khảo
mơt số tài liệu có liên quan.

<b>B. PHẦN NỘI DUNG</b>
<b>I. Kiến thức:</b>

1. Cho biểu thức f(x, y…)

Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu
max f = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì

F(x, y…) <b> M </b> ( M là hằng số )

- Tồn tại x0 , y0 , … sao cho

f(x0, y0 ,...) = M

2. Cho biểu thức f(x, y…)

Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu
max f = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì
F(x, y…) <b> m </b> ( m là hằng số )
- Tồn tại x0 , y0 , … sao cho

f(x0, y0 ,...) = m

<b>II. Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một</b>
<b>biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) </b><b>0 { hoặc A(x) </b><b> 0 }</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ Chứng minh rằng A(x) <b> k với k là hằng số.</b>

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

<b>Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)</b>2 _{+ (x-3)}2_.

<i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải: </b>

A(x) = (x-1)2 _{+ (x-3)}2_{= x}2_-2x+1+x2_-6x+9=2(x2_{-4x+5)=2(x-2)}2₊₂_₂

Vì (x-2)2__{0 với}__{x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2}

<b>Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x</b>2_{- 4x+1}

<i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải : Từ B(x) = -5x</b>2_{- 4x+1 ta có B(x)= -5(x}2₊

4
5_x)+1

=

2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 9

5 x 2 x 1 5 x 1 5 x

5 5 5 5 25 5 5

 _ _ _ _  _ _  _ _

                     

       

   

   

Vì

2

2

x 0

5

 

 

 

  _với _{x R} nên

2

2

5 x 0

5

 

 _  _ 

 

2

2 9 9

B(x) 5 x

5 5 5

 

  _  _  

 

Max B(x) =

9 2

khi x

5  5

<b>Bài tập vận dụng:</b>

1. Tìm GTLN của A= 1 – x2_{+ 3x}

2. Tìm GTNN của B= x2_{– 5x + 1}

3. Cho tam thức bậc hai C= ax2_{+ bx + c}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>III. Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một</b>
<b>biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng </b> 2

A(x)
0

k  <b>_hoặc</b> 2

A(x)
0

k 

<b>Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số </b>

2
2

3x 6x 10
A(x)

x 2x 3

 


 

<i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải: Từ </b>

2
2

3x 6x 10
A(x)

x 2x 3

 


 

Ta có A(x) =

2 2

2 2 2

3x 6x 9 1 3(x 2x 3) 1 1

3

x 2x 3 x 2x 3 (x 1) 2

     

  

     

Vì (x+1)2 __{0 với}__{x nên (x+1)}2₊₂__{2 với}__x.

Do đó: 2

1 1

2
(x 1) 2 

Vậy A(x)= 2

1 1 1

3 3 3

2 2

(x 1) 2

   

 

Max A(x) =
1
3

2_{khi (x+1)}2_{= 0}_ _{x = -1}

<b>Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) = </b>

2
2

2x 16x 41
x 8x 22

 

  với x R

<i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải: Từ B(x) = </b>

2 2

2 2 2

2x 16x 41 2(x 8x 22) 3 3

2

x 8x 22 x 8x 22 (x 4) 6

    

  

     

Vì (x- 4)2 __{0 với}__x_{nên (x- 4)}2₊₆__6.

Nên

2

3 3 1

6 2
(x 4) 6  

2

3 1 3

B(x) 2 2

2 2
(x 4) 6

     

 

Min B(x) =
3

2_{khi (x- 4)}2_{= 0}_ _{x = 4}

<b>Bài tập vận dụng:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a/. 9
12
27

2



<i>x</i>

<i>x</i>

b/. 1

3
2

3

2
2




<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

c/. 2 5
17
6
3

2
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

d/. 3 6 9 9

27

2
3
4

6








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<b>IV. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng</b>
<b>cách áp dụng bất đẳng thức Cosi.</b>

- Bất đẳng thức Cosi cho 2 số.

Cho a, b khơng âm, ta có bất đẳng thức
a b

2 ab
2




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Bất đẳng thức Cosi cho n số:

Cho n số a1, a2, ....an khơng âm, ta có bất đẳng thức:

1 2 n _n

1 2 n

a a ... a

a ,a ...a
n

  



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an

<b>+ Bài tốn:</b>

a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của
chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

<b> </b><i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải:</b>

a. Ta cần chứng minh rằng với x >0; y > 0 và xy = k (khơng đổi) thì
x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
x + y √xy mà xy = k (khơng đổi)

Nên ta có: x+y 2 xy 2 k (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x + y = k (hằng số).
Từ (x+y)2 __4xy_ _xy

2

k
4



Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng

2

k

4 _{khi x = y}

Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài
toán cực trị đại số.

<b>Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A</b>(x) = ( x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x - x2 )

<i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải: Các biểu thức x</b>2_{-3x+1 và 21+3x-x}2_{có tổng khơng đổi (bằng 22)}

nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

x2_{- 3x + 1 = 21+ 3x - x}2 _ _x2_{- 3x – 10 = 0}__x

1 = 5 ; x2 = -2.

Khi đó A=11.11 = 121

Vậy Max A = 121  _{x = 5 hoặc x = -2}

<b>Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của</b>
B(x) =

2

16x 4x 1
2x

 

với x > 0. <i>(Nâng cao và phát triển Toán 8)</i>

<b>Giải: Từ B</b>(x) =

2

16x 4x 1
2x

 

Ta có B(x) = 8x + 2 +

1

2x_{. Hai số 8x và}
1
2x
là hai số dương, có tích khơng đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi

và chỉ khi 8x =
1

2x  _16x2₌₁_ _{x =}

1

4_(x>0)

Vậy Min B =

1 1 1 1

6 x

1 4

2

 

  

<b>Bài tập vận dụng: </b>
Tìm GTNN của

a/. A= ( a + b ) 







<i>b</i>
<i>a</i>

1
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b/. B= ( a + b + c ) 









<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

1
1
1

với a, b, c > 0
c/. C= ( a + b + c + d ) 












<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

1
1
1
1

với a, b, c, d > 0

<b>V. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến</b>
<b>số:</b>

<b>Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:</b>

A= m2_{- 4mp + 5p}2_{+ 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị}

nhỏ nhất đó.

<i>( Báo tốn học tuổi trẻ )</i>

<b>Giải: </b>

A = (m2_{-4mp + 4p}2_{) + (p}2_{-2p + 1) + 27 + 10m - 20p}

= (m-2p)2_{+ (p-1)}2_{27 + 10(m-2p)}

Đặt X = m-2p. Ta có A=x2_{+ 10X + 27 + (p-1)}2

= (X2_{+ 10X + 25) + (p-1)}2_{+ 2 = (X+5)}2_{+ (p-1)}2_{+ 2}

Ta thấy: (X + 5)2 __{0 với}__{m, p; (p-1)}2 _₀__p

Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:

X 5 0 X 5 m 2p 5 m 3

hay

p 1 0 p 1 p 1 p 1

     

   

 

   

    

   

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1.

<b>Ví dụ 8:Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị</b>
nhỏ nhất P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

<b>Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu</b>
thức đã cho về tổng các biểu thức khơng âm.

Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2)

+ 2x2_{+ 5 = 9(x+2y)}2_{+ 2(3y - 2z)}2_{+ 8(x-z)}2_{+ 2x}2_{+ 5.}

Ta thấy: (x+2y)2 __{0 với}__{x, y.}

(3y-2z)2 __{0 với}__y,z

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

x2 __{0 với}__{x, y.}

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2;

(x-z)2_{, x}2_{đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có}

giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.
x 2y 0

x 0

3y 2z 0

y 0
x z 0

z 0
x 0

 







 

 

 

 

 

 _{ }


 



Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y=0, z = 0.

- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ ...+

Với A k₁2, B k₂2, C k₃2, ... thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ

nhất khi A, B, C ... đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó
P(min) = k12+k22+k32+...

Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:

2
1
2
2
2
3

A k
B k
C k
...

 












<b>Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:</b>

A=7x 5y  2z 3x  xy yz xz 2000   t2  t 2005 .
Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ

<b>Giải: </b>

Ta có : A=

2

1 3

7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004

2 4

 

       _  _ 

 

Vì  0  Q và

2

1

t 0

2

 

 

 

  _{nên A}

3
2004

4



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2

7x 5y 0 (1)

2z 3x 0 (2)

xy yz zx 2000 0 (3)
1

t 0 (4)

2

 




 




   




 

 _ _

 

 


Từ (1) ta có: y=
7

x

5 _{. Từ (2) ta có:}
3

z x

2



Thay vào (3) ta được:

2 2 2 2

7 21 3

x x x 2000 5x 2000

5 10 2   

<=> x2_{=400 <=> x=}_₂₀

- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30

- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30
Ngồi ra, từ (4) ta có: t=

1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004
3

4_{, đạt được khi}
(x;y;z;t) = (20;28;30;

1
2₎
Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30;

1
2₎
<b>Bài tập vận dụng:</b>

Tìm GTNN của các biểu thức:
a. x2_{- 2xy + 2y}2_{+ 2x – 10y + 17}

b. 2x2_{+ 2xy + 5y}2_{- 8x – 22y}

<b>VI. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất</b>
<b>đẳng thức Bunhiacopxki.</b>

<b>1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.</b>

Cho 2n số a1, a2...., an; b1, b2, ....bn ta ln có: (a1b1 + a2b2+....+ anbn) 

(a12 + a22 + .... + an2)(b12 + b22 + ....+ bn2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

1 2 n

1 2 n

a a a

...
b b  b
<b>2. Các ví dụ:</b>

<b>Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị</b>
nhỏ nhất P = x2_{+ y}2_{+ z}2_{. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995}

<b>Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z</b>
Ta có: (x.1+y.1+z.1)2 _₍₁2_{+ 1}2_{+ 1}2_{) (x}2_{+ y}2_{+ z}2₎

Hay: (x+y+z)2 __3(x2_{+ y}2_{+ z}2₎

Từ đó ta có P = x2_{+ y}2_{+ z}2 _

2

(x y z)
3

 

mà x+y+z = 1995 => Ta có:
P= x2_{+ y}2_{+ z}2

2

1995
3



với  x, y, z

Pmin =

2

1995
3 _khi

x y z

1 1 1_{hay x = y = z}
Mà x+y+z = 1995 <=> x=y=z =

1995
3 ₌₆₆₅

<b>Ví dụ 11: Cho x</b>2_{+ y}2_{=52. Tìm giá trị lớn nhất của A =} 2x 3y

<b>Giải: </b>

áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số 2, 3; x,y, ta có:
(2.x+3.y)2 _₍₂2_{+ 3}2_)(x2_{+ y}2₎

(2x+3y)2 __13.52262
2x 3y _₂₆

Max A = 26 <=>

x y 3x

y
2 3   2
Thay

3x
y

2



vào x2_{+ y}2_{= 52 ta có x}2₊

2

9x

52 x 4

4   

Vậy Max A = 26 <=> x=4; y=6 hoặc x= - 4; y= - 6
<b>Bài tập vận dụng:</b>

<b>1.</b> Cho x2_{+ y}2_{= 52. Tìm GTLN của A= 2x + 3y}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>VII. Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ</b>
<b>các điều kiện nào đó:</b>

<b>Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:</b>
P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện

xy 216
x 0
y 0







 


<b>Giải: Từ P</b>(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0

=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2  4.6x.4y=96.xy

Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]296.216=20736

<=>

(x,y)
(x,y)

P 144

P 144









Min P(x,y) = 144 khi x= 12; y = 18

<b>Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A</b>(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x)

biết x, y, z  0 và x+y+z=1.

<b>Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm x, y, z ta có:</b>
1 = x+y+z  33 xyz (1)

2 = (x+y)+(y+z)+(z+x)  33 (x y)(y z)(z x)   (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm)
Ta có: 2

3

3 2

9 A A

9

 

  _{ }

 

Max A =

3

2
9

 
 

  _{khi và chỉ khi x=y=z=}

1
3
<b>Bài tập vận dụng:</b>

<b>3.</b> Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của P= _xyz<i>x</i>+<i>y</i>
<b>4.</b> Cho x, y, z > 0 ; z 60 và x + y + z = 100. Tìm GTLN của

Q = xyz

<b>VIII. Phương pháp dùng tam thức bậc hai:</b>

<b>1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.</b>
<b>Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x + </b> 2 x

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Giải: Điều kiện x</b> 2

Đặt 2 x _{= y}0. Ta có y2 = 2-x

A = 2-y2_{+ y =}

2

1 9 9

y

2 4 4

 

 _  _  

 

Max A =

9 1 1 7

y 2 x x

4  2   4  4

<b>2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.</b>
<b>Ví dụ 15:</b>

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A= x2_{+ y}2_.

Biết rằng x2_(x2_{+ 2y}2_{-3) + (y}2_-2)2₌₁

<b>Giải: Từ x</b>2_(x2_{+ 2y}2_{-3) + (y}2_-2)2_{=1 Suy ra: (x}2_{+ y}2₎2_{- 4(x}2_{+ y}2₎

+3=-x2 _₀

Do đó: A2_{- 4A + 3}__{0 <=> (A-1)(A-3)}__{0 <=> 1}__A_₃

Min A=1 <=> x=0 khi đó y=1

Min A=3 <=> x=0 khi đó y= 3

<b>3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện </b> <b>0</b>

<b>Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A=</b>

2
2

x x 1
x x 1

 
 

<b>Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau</b>

đây có nghiệm a =

2
2

x x 1
x x 1

 

  ₍₁₎

Do x2_{+x+1 =}

2

1 3

x 0 x

2 4

 

   

 

 

Nên (1) <=> ax2_{+ ax+a=x}2_-x+1

<=> (a-1)x2_{+ (a-1)x+a-1=0} ₍₂₎

Trường hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0

Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là  0

=>  = (a+1)2 - 4(a-1)2 0

<=> (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) 0

<=> (3a-1)(a-3)0

<=>
1

a 3 (a 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Với a =
1

3_{hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x=}

(a 1) a 1
2(a 1) 2(1 a)

  



 

Với a =
1

3_{thì x = 1; với a = 3 thì x = -1}
Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có
Min A=

1

3_{khi và chỉ khi x = 1}
Max A= 3 khi và chỉ khi x= -1
<b>Bài tập áp dụng:</b>

1. Tìm GTNN của M=

2<i>x −</i>1¿2
¿
4<i>x</i>2<i>₋</i>₆<i>_x</i>

+1
¿

, với x # 1₂

N = 1

3
2
3

2
2




<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

P = 2 5
17

6
3

2
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<b>IX</b>

<b> . Giải bài toán cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối.</b>

Kiến thức: * |<i>a</i>+<i>b</i>|<i>≤</i>|<i>a</i>|+|<i>b</i>| .Dấu = xảy ra khi ab 0

* |<i>a − b</i>|<i>≥</i>|<i>a</i>|<i>−</i>|<i>b</i>| . Dấu = xảy ra khi ab> 0 và |<i>a</i>|<i>≥</i>|<i>b</i>|
<b>Ví dụ 17: Tìm GTNN của biểu thức A= </b> |<i>x −</i>3|+|<i>x −</i>7|

<b>Giải: Ta có A = </b> |<i>x −</i>3|+|<i>x −</i>7|

<=> A = |<i>x −</i>3|+|7<i>− x</i>| . Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được

A = |<i>x −</i>3|+|7<i>− x</i>| |<i>x −</i>3+7<i>− x</i>|=|4|=4

=> A 4.

Vậy Min A= 4, khi (x – 3)(7 – x) 0 <=> 3 x 7
<b>Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức: B= </b> |<i>x −</i>1004|<i>−</i>|<i>x</i>+1003|
<b>Giải: Áp dụng BĐT </b> |<i>a − b</i>|<i>≥</i>|<i>a</i>|<i>−</i>|<i>b</i>| , ta có:

B= |<i>x −</i>1004|<i>−</i>|<i>x</i>+1003| |(<i>x −</i>1004)<i>−</i>(<i>x</i>+1003)|=2007

Vậy Max B = 2007. Dấu = xảy ra khi: x - 1003.
<b>Bài tập vận dụng:</b>

1. Tìm GTNN của
a. C= |x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

b. D= |<i>x −</i>1|+|<i>x −</i>2|+|<i>x −</i>3|+|<i>x −</i>4|

2. Tìm GTLN của E= |<i>x − y</i>|+|<i>y − z</i>|+|<i>x − z</i>| , với 0 x, y, z 3.
<b>PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN</b>

Toán cực trị Đại số là một dạng tốn khó đối với học sinh. Để giải loại
toán này cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách linh
hoạt. Trên đây là một số phương pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy
thực tế hay được sử dụng để giải các bài toán cực trị đại số. Với phương pháp
hướng dẫn học sinh từ các bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ đó
học sinh vận dụng để giải các bài tập.

Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận
dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải các bài tập cụ

thể từ đơn giản đến phức tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết
hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ở dạng khó hơn.
Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài tốn này nói riêng và học mơn
tốn nói chung.

Trên đây là một kinh nghiệm được tơi rút ra từ q trình dạy học. Đề tài
này tơi cịn tiếp tục nghiên cứu. Trong bài có gì thiếu sót mong được sự đóng
góp chân thành của các đồng nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn !

<i>Định Tân, Ngày 10 tháng 04 năm 2011</i>

<b>NGƯỜI THỰC HIỆN</b>

</div>

<!--links-->