ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CẤP HUYỆN
PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 1
0
5  3  29  12 5 = cotg45

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức:
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q 

x  4  x  1  x  4  x  1 � 1 �
�
1
�
�
� x 1 �
x 2  4  x  1

a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
y x 1  x y  4
xy
2
2
x  yz
y  xz
Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu x 1  yz  y 1  xz





với x �y, yz �1, xz �1, x �0, y �0, z �0
1 1 1
thì x  y  z  x  y  z

Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ
đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.
1
4

Chứng minh rằng: SMEF  SABC
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường
thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O).
Chứng minh MK = MA
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
Bài
1

Nội dung – u cầu
5  3  29  12 5 

2

5  3

5 3



5  6 2 5



5





5 1



2

Q có nghĩa � x  1 và x �2
Q

0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ

=1
= cotg450

2a
2b

2

Điể
m
1đ

x  4  x  1  x  4  x  1 � 1 �
�
1
�
�
� x 1 �
x 2  4  x  1

1


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
Q

Q

Q

 x  1  2

x 1 1 

 x  1  2

x2  4x  4





2

x 1 1 



 x  2



x 1 1

x 1 1 x  2
�
x 1

2

2

x2

�
x 1

x 1 1  x 1 1 x  2
�
x2
x 1

0,5đ

1  x 1  x 1  1 x  2
�
2 x
x 1
2
Q
1 x

0,25đ

Q

0,25đ

* Nếu x > 2 ta có:

Q

0,75đ
0,25đ

* Nếu 1 < x < 2 ta có:

Q

0,75đ

0,5đ

x 1 1 x 1  1 x  2
�
x2
x 1
2

0,25

x 1

3

0,25đ
Với điều kiện x �1, y �4 ta có:
M=

x 1

x

y4

y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
1 x 1 x

Ta có: x  1  1 x  1 �
2
2
x 1 1

(vì x dương)
x
2
1
1 4 y4 y

Và: y  4  4  y  4  � �
2
2
2
4
y4 1

(vì y dương)
y
4

y4 1 1 3
�  
y

2 4 4
3
� x = 2, y = 8
Vậy giá trị lớn nhất của M là
4

Suy ra: M =

4

x 1

x

x 2  yz
y 2  xz

x  1  yz  y  1  xz 

2

0,75đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

�  x 2  yz   y  xyz    y 2  xz   x  xyz 

0,25đ

� x 2 y  x 3 yz  y 2 z  xy 2 z 2  xy 2  xy 3 z  x 2 z  x 2 yz 2  0

�  x 2 y  xy 2    x 3 yz  xy 3 z    x 2 z  y 2 z    x 2 yz 2  xy 2 z 2   0
� xy  x  y   xyz  x 2  y 2   z  x 2  y 2   xyz 2  x  y   0

�  x  y �
xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz �
�
� 0
2
� xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz  0 (vì x �y � x  y �0 )

0,5đ
0,5đ

2

� xy  xz  yz  xyz  x  y   xyz 2

2
xy  xz  yz xyz  x  y   xyz

xyz
xyz
1 1 1
�    x yz

x y z

�

5

(vì xyz �0 )

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

B

M

P
E
A

N

F

K

C

Q

Kẻ MP  AB tại P, MQ  AC tại Q
Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N
Do �EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ
1
S MPEK
2
1
 SQAEK ( S FEN  SQEK vì có cùng chiều cao nhưng đáy
2

� S MEN  S MEK 

và SFEN  SQEK

EN bé hơn đáy EK)
1
2

1
2

Suy ra: SMEN  SFEN  S APMQ � SMEF  S APMQ (*)
1
Chứng minh được: SMAP  SMAB
2
1
S MAQ  S MAC
2

1
� S APMQ  S ABC (**)
2

3

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

0,5đ
1
4

Từ (*) và (**) ta có: SMEF  SABC
6

0,25đ

B
P
O

I

A

Q
K

C

M

Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ
là I.
AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của
�BAC
�  PAQ cân ở A và AO  PQ
Áp dụng Pitago ta có:
MK2 = MO2 – R2 (  MKO vng tại K)
MK2 = (MI2 + OI2) – R2 (  MOI vuông tại I)
MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) (  BOP vuông tại B)
MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] (  IOP vuông tại I và PA =
PB)
MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2)
MK2 = MI2 + AI2 (  IAP vuông tại I)
MK2 = MA2 (  IAM vuông tại I)
� MK = MA

4

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CẤP HUYỆN
PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 2
�

3

3

�
�x

3

�

�
Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q  �

�x 2  x 3  3  x 3  27 �
�
� 3  x  1�
�
�
�
�
�
a/ Rút gọn Q
b/ Tính giá trị của Q khi x  3  2010
Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M  4  7  4  7
Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ac
Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy
Bài 5(2đ): Giải phương trình
x 2  9  x2  6 x  9  0
b/ x 2  4  x 2  4  0
Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a. Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB tại

M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vng góc với CD tại D cắt
�
CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt   MDC
� . Tính độ dài DM, CE theo a và 
a/ Chứng minh AM là phân giác của FCB

b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
1(1,5đ)

Nội dung

Biểu
chấm

a.(1đ)


3

A = 



2
3
 x  x 3 3 x 
ĐKXĐ: x 0; x  3

3

 x
3 


 1
x
27  3


 x 2  x 3  3 


2
2


3x
 x  x 3  3 ( x  3 )( x  x 3  3) 


 x 2  x 3  3 
( x  3) 3  3


= 
2


3x
 ( x  3 )( x  x 3  3) 

1

x 3
b. (0,5 đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có:


= 

3



3

5

0.25
0.25
0.25
0.25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

A
2(1đ)

1
x



3

1
3  2010 

3



1
2010

0,5

Rút gọn biểu thức M  4  7  4  7
M  4 7  4 7

1 7 

M
M

0.25
0.25

82 7
82 7

2
2

M

2

2



 1 7 

2

0.25
0.25

2

1 7
7 1

2
2

M 2

3(1đ)

a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ac

0.25

� 2a  2b  2c �2ab  2bc  2ac
2

2

2

0.25

� a 2  2ab  b 2  b 2  2bc  c 2  a 2  2ac  c 2 �0
�  a  b    b  c    a  c  �0
2

2

4(2đ)

2

0.5

a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
a b  2�b  2a
A  a2   2  a 

2

A  2a 2  4a  4


A
A



2

2a  2 2a. 2 
2a  2



2

 2

2

2

2

A �2
Amin  2

6


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
x  2y  8 � x  8 2y
B  y  8  2 y   8 y  2 y2


 8

� 2y
b/   �
�



2



 2 2 y.2 2  2 2

2y  2 2



2



2

 8�
�
�

�8

Bmax  8

5(2đ)

0.5

a / x2  9  x2  6 x  9  0

 x  3 

�



x3  x3  0

0.25

�  x  3  0
x3
�
��
��
�
�ptvn
�x 3  x 3  0

0.25

vậy nghiệm của pt là x=3
b / x2  4  x2  4  0

x2  4   x 2  4  0

0.25

t 1
�
� t  t  0 � t2  t  0 � �
t0
�
x  �2

0.25

x�5

0.5

6(2.5đ)
E
0.5
F
A
D

O
O

B
M
C

�  900
a/vì M thuộc đường trịn tâm O đuờng kính CD nên CMD
�  MCB
� ( góc có
Mà CA  OB (đuờng chéo hình vng ) nên MCA
cạnh vng góc)

7

0.5


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
�  MCB
�
� MCA

0.5

Do đó MC là tia phân giác của �
ACB
� �
�
Ta thấy   ECF
ACM �   MDC
�   và CD=2a nên
DMC v
ng tại M có MDC
cos  

DM
� DM  DC.cos 
DC

DEC vng tại D có DM là đường cao nên

CE.CM=CD2 (1)
Mà CM  CD sin  � CM  2a sin 
Từ (1) ta có CE 

CD 2
2a

CM sin 

b/ gọi I là tâm hình vng OABC ta có
� 2�
IM  OM  OI � IM  a �
1
�
�
�
� 2 �
� CM 2  IM 2  IC 2 � CM 2 







0.25
0.25
0.25
0.25
0.25



a2
2a 2
2 2 
4
4

2
MIC vuông tại I  a 2  2 � CM  a 2  2

sin  
PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

CM
2 2

CD
2

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

ĐỀ SỐ 3

Bài 1. (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =

1
1 5

+

1
5 9

+

1
9  13

b) B = x3 - 3x + 2000 víi x =

..... +
3

1
2001  2005

32 2 +

3

+

1
2005  2009

3 2 2

Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x 2  7
b)

4

4  x 2  4 x 4  16  4 x  1  x 2  y 2  2 y  3  5  y

c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0;
Bài 3: (2,0 điểm)
8

(vi x ; y nguyên)


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta luôn có:
2

a b

ab .
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a b c  1 .
Chøng minh: b  c �16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
c) Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức P sin 6 cos 6 có
giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22
ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể
phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có
bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng
mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời.
Bài 5 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính
các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
1
1
4
 2  2
2
R
r
a
8R 3r 3
b) Chøng minh : S ABCD  2 2 2 ; ( KÝ hiÖu S ABCD lµ diƯn tÝch tø
(R  r )

a) Chøng minh :

giác ABCD )
1080 .Chứng minh : BC là
2) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC
AC

số vô tỉ.
========================================
=======
Bài

Sơ lợc lời giải

Cho
điể
m

Bài 1.b áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a=

(1,5
®)
a

3

0,75

3  2 2 , b= 3 3  2 2

và biến đổi => x3 = 6 + 3x

Suy ra B = 2006
Cã A =

51
9 5
13  9
2005  2001
+
+
+...+
+
5 1
9 5
13  9
2005  2001

9

0,75


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
2009  2005
2009 2005

Rút gọn, đợc A =
Bài
2a
(2,0
đ)

b

c

Bài
3a
(2,0
đ)

2009 1
.
4

Gii, xỏc định đúng điều kiện: x 

 2
2
;x �
2
2

� x 2  4 x  4  2 x 2  1  2 2 x 2  1. 7  7 = 0
� ( x  2) 2  ( 2 x  1  7)  0
�x  2
�
�x  2  0
�
�� 2
� ��

x  2 � x  2 (Thỏa mãn)
2
x

1

7

0
��
�
x  2
��
�
4  x 2 �0
(1)
�2
(2)
�x  16 �0
Điều kiện : �
4 x  1 �0
(3)
�
2
2
�x  y  2 y  3 �0
(4)
�
2
2

2
Từ (2) � (x – 4)(x + 4) �0 � x  4 �0 kết hợp với (1) và (3) suy ra

x=2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1 �0 ; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
� x2 – 2y – 5 = 0 � x2 = 2y2 + 5 � x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k �Z ) � 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 � 2y2 = 4k2 + 4k –
4
� y2 = 2(k2 + k – 1) � y chẵn
Đặt y = 2n; (n �Z ) � 4n2 = 2(k2 + k – 1) � 2n2 + 1 = k(k + 1)
(*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá
trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) � (*) vô nghiệm
� pt đã cho vô nghiệm
Ta cã:

0,25
0,25

0,25

0.5
0,25

0,25

0,25

2

a 2  2ab  b 2
a 2  2ab  b 2
�a  b �

ab


ab

�
�
4
4
�2 �

 a  b

4

2

0,25

�0, a, b �R
2

ab�

2
VËy: �
�
��ab, a, b �R �  a  b  4ab, a, b R
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b

10

0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

b

Theo kÕt quả câu 3.a, ta có:

a b c

0,25

2

a   b  c  ��4a  b  c


a

b

c

1
mà
(giả thiết)
2

nên: 1 4a b c � b  c �4a  b  c 
(v× a, b, c không âm
nên b + c không âm)
2
Nhng: b c 4bc (không âm)
Suy ra: b c 16abc .
2

a bc

1
1
bc , a
4
2
b c

Dấu đẳng thức x¶y ra khi: �
c

0,25
0,25

Ta cã:

P  sin 6   cos 6    sin 2     co s 2  
3

3

P   sin 2   cos 2   �
sin 4   sin 2  cos 2   cos 4  �
�
�

P   sin 2   cos 2    3sin 2  cos 2   1 3sin 2 cos 2
2

0,25

áp dụng kết quả c©u 3.1, ta cã:

 sin

2

۳
�۳
cos 2 

2

4sin 2  cos 2 

1 4sin 2  cos 2 
3
4

Suy ra: P  1  3sin 2  cos 2  �1  

sin 2  cos 2 

1
4

1
4

1
khi vµ chØ khi: sin 2   cos2  � sin   cos 
4
sin 
 1 � tg  1 �  450
(vì là góc nhọn)
cos

Do đó: Pmin

0,25

0,25
Bài 4 + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2)

(1,5
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
đ)
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là x 1 thì số học sinh
phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học
sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30).
+
Do
đó
ta
có
phơng
trình:

x 1 y 22 x  1 � y 

22 x  1
23
 22
x 1
x 1

0,25
0,25

0,25

+ Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên x 1 phải là ớc
số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên: x 1 1 � x  2 hc x  1  23 � x  24

 NÕu x  2 th× y  22  23  45  30 (tr¸i gi¶ thiÕt)
11

0,25
0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

 NÕu x  24 th× y  22  1  23 < 30 (thỏa điều kiện
bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại
là:
22 24 1 23 23 529 học sinh.
0,25
Bài 5
Tứ giác ABCD là hình
0,25
B
E
(3,0
thoi nên AC là đờng
M
đ)
trung trực của đoạn
O
thẳng BD,BD là đờng
C
A
I

trung trực của AC.Do vậy
nếu gọi M,I,K là giao
K
điểm của đờng trung
D
trực của đoạn thẳng AB
với AB,AC,BD thì ta có I,K
là tâm đờng tròn ngoại
tiếp các tam giác
ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB
= R.LÊy mét ®iĨm E ®èi
xøng víi ®iĨm I qua M ,
Ta có BEAI là hình thoi
( vì có hai đờng chéo EI
và AB vuông góc với nhau
và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng )


EBA

1a
0,25
Ta có BAI
mµ BAI
ABO  900 � EBA
ABO  900
0
�  90 ,đờng cao BM.Theo hệ thức

0,25
Xét EBK có EBK
1
1
1


2
2
BE
BK
BM 2
a
1
1
4
Mà BK = r , BE = BI = R; BM =
Nên 2 2 2
2
R
r
a

trong tam giác vuông ta có

1b

(Đpcm)
Xét AOB và AMI có
AOB

AMI 900 vµ �
A chung
AOB : AMI �

0,25
0,25

2

AO AM
AM . AB
AB

� AO

AB
AI
AI
2R

Chứng minh tơng tự ta đợc BO
Ta có S ABCD  2. AO.OB  2.

BM . AB AB 2

BK
2r

4

AB
4 Rr

Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta
12

0,25
0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

cã
AB 2  OA2  OB 2 

1
1�
�1
4R 2 r 2
AB 4 � 2  2 �� AB 2  2 2
4
r �
�R
R r

Tõ ®ã ta cã : S ABCD 
2

0,25

8R 3r 3
( R 2  r 2 )2

0,25

B

A

x

C

D

� , tia Cx
KỴ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của BCx

cắt đờng thẳng AB tại D.Khi đó Ta có DCA
ACB 360
DCA cân tại C , BCD cân t¹i B � AB  AC  DC .Theo
tÝnh chÊt đờng phân giác trong tam giác BCD ta có

0,25

CB
AB
BC
CA

; BC  BD
CD AD
CA BD  CA
BC
CA
�

� BC ( BC  CA)  CA2 � BC 2  BC .CA  CA 2  0
CA BC  CA
2

2

�BC � �BC �
�BC 1 � 5
� � � � �
 1  0 � �  �
�CA � �CA �
�CA 2 � 4

BC
BC
BC 1 5
0) .Vậy
( Vì
là số vô tỉ

CA

AC
CA
2
PHềNG GD-T THANH CHƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS THANH MỸ
ĐỀ SỐ 4

Bài 1(4đ)
a) Tính tổng:

0,25
0,25

2 2
2
2
   ... 
15 35 63
399
a c
b) Cho a, b, c, d là các số dương và  . Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu
b d
1
thức sau:
a b c d
P

Bài 2: (4đ)
a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1

Chứng minh :

a2  b2
�2 2
a b

b) (2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :

13


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
�
abc  n 2  1
�
�
2
cba   n  2 
�

với n là số nguyên lớn hơn 2

Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:
M = 7 x  1  x 3  x 2  x  1 với x 1
b) (2đ) Giải phương trình
3

x 2  26  3 x  x  3 8

Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m  2)  ( m  3) y  m  8
a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) ln ln đi qua
một điểm cố định.
Bài 5: (2 đ)
Cho  ABC đều điểm M nằm trong  ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo
góc BMC ?
Bài 6: (4,0 đ)
Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện
nửa đường trịn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là
hình chiếu của H lên AC và AB.
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2
b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính
diện tích lớn nhất đó theo R.
----HẾT---ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)
a)
2 2 2
2
   ... 
15 35 63
399
2
2
2
2



 ... 

3.5 5.7 7.9
19.21

P

1 1 1 1 1 1
1 1
       ...  
3 5 5 7 7 9
19 21
1 1
 
3 21


2
7

b)

1
1

a  b  c  d ( a  d )  ( b  c)

14

(0,5
điểm)
(0,75

điểm)
(0,5
điểm)
(0,25
điểm)


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

.



( a  d )  ( b  c)
�( a  d )  ( b  c ) ��( a  d )  ( b  c ) �
�
��
�



a d  b c
a  d  2 ad  (b  c  2 bc )

(0,5 điểm).



a d  b c
a  d  2 ad  b  c  2 bc

(0,5 điểm)



điểm)
Bài 2:

a d  b c
a  d bc

(0,5 điểm).

� a c
�
do  � ad  bc � 2 ad  2 bc �(0.5
�
� b d
�

( 2 điểm )

2
2
a  b   2ab  a  b   2
2
* Vì a.b = 1 nên a  b  

  a  b 
2

a b

2

a b

a b

* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cơ Si cho 2 số dương
Ta có :  a  b  
Vậy

2
�2
a b

ab

(1đ)

2
ab

 a  b �

a2  b2
�2 2
a b

( 1đ )

1) ( 2 đđiểm )

�
abc  100a  10b  c  n 2  1
�
Viết được �
cba  100c  10b  a  n 2  4n  4
�

Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M99
đ)
Mặt khác : 100 ��
�n 2 1 999 ��
 101 n 2 �
1000 11 n 31

ۣۣ
�39 4n 5 119
(4)
Từ (3) và (4)
=> 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm abc  675
Bài 3(4đ)
a) (2 điểm) M = 7 x  1  x 3  x 2  x  1 với x 1
(0,25đ)

 x  1(7  x  x  1)


x  1( x  1 

x 1

1 25

)
4
4

15

(0,5đ)

(3)

( 0,75
( 0,75đđ )
( 0,5 đ )


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
2

1
25 
  x  1  x  1   

2

4

 x  1 x  1  3 x  1  2





(0,5đ)



(0,5đ)
 x  13  x  1  x  1  2 
(0,25đ)
2
3
b) (2đ) Giải phương trình x  26  3 x  x  3 8 (1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1)
(0,75đ)
Với 0  x  1
thì:
x 2  26  3 x  x  3  3 12  26  3 1  1  3 8
Nên PT vô nghiệm với 0  x  1
3

(0,5đ)

Với x >1 Thì:
3

x 2  26  3 x  x  3  3 12  26  3 1  1  3 8

Nên PT vô nghiệm với x >1
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1

(0,5đ)
(0,25đ)

Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên

(m  2).(1)  (m  3).1  m  8 � 5  m  8 � m  3. (0,5 điểm)
b) Gọi  x0 ; y0  là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua

Ta có: (m  2) x0  ( m  3) y0  m  8 m . (0,5đ)
� ( x0  y0  1)m   2 x0  3 y0  8   0 m.

�x0  y0  1  0
�x0  1
��
��
2 x0  3 y0  8  0
�
�y0  2

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)
Bài 5:
� BCN  ACM

Vẽ tam giác đều CMN

� BN  AM

(1 điểm)
mà AM 2  BM 2  CM 2 � BN 2  BM 2  MN 2
� BMN vuông tại M.
�  BMN
�  NMC
�  900  600  1500 . (1 điểm)
� BMC

Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật
AB . EB = HB2
16

(1,0 đ)


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

AC . EH = AC . AD = AH2
=> ĐPCM (1 điểm)
AD 2  AE 2 DE 2 AH 2


b) S(ADHE)= AD.AE �
(0,75 đ)

2
2
2
AH 2 AO 2 R 2
�

2
2
2
2
R
Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE
2
� S(ADHE)

�

E

(0,75 đ)
D
C

Hay A là điểm chính giữa của cung AB

PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

A

(0,5 đ)

H

O

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 5

Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:
2x  2 x 2  4
x2  4  x  2

với x 2 6  3

Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a. x 2  5 x  x 2  5 x  4  2
b. x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3

Bài 3: (2.0 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 ln có nghiệm
hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
17

B

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CẤP HUYỆN

Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại
M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung
điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh  ICB =  IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên
n.

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:
2x  2 x 2  4
x2  4  x  2


với x 2 6  3

x  2  x  2  2 ( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)  x  2
1

Thay x 2 6  3 vào được:



( x  2  x  2) 2



1

x  2( x  2  x  2)
x2
1
1


 3 2
3 2
2 6 23
( 3  2)2

Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
2
a. x  5 x  x 2  5 x  4  2
x 2  5 x  4  x 2  5 x  4 2 .

Đặt y  x 2  5 x  4 (y  0) được: y2 - y - 2 = 0
Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2.
Với y = 2 giải x 2  5 x  4 2 được x1 = 0; x2 = -5.
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm

Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương
hai vế.
b. x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3
( x  1)( x  2)  x  3  x  2  ( x  1)( x  3)

18

0,75
0,75

0,50
0,25
0,25
0,25

0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
x  1( x  2 

x  3) 

x  2  x  3 0

( x 2

x  3 )( x  1  1) 0

x 2

x  3 0 vô nghiệm;

0,50

x  1  1 0 được x = 2.

0,25
0,25

Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm.
Bài 3: (2.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 ln có nghiệm hữu tỉ
với mọi số n ngun.
n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n  -1  n+10.
’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
= 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2.
’ 0 nên phương trình ln có nghiệm.
’ chính phương, các hệ số là số ngun nên các nghiệm của phương trình là
số hữu tỉ.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x1x2 = 1x3x4 = 1
x1+x2 = -2009
x3 + x4 = -2010
Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = 1
(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)

= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
= x32 - x22 - x12 + x42
= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2
= (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 4: ( 3.0 điểm)
B
K
M

A

O

H

D

I
C

19

E

0,50
0,25
0,25

0,25

0,50

0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

OB  BA; OC  CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI  IA (I là trung điểm của dây DE) .
 B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO)
(1)
DK // AB (Cùng vng góc với BO)
  IDK = IAB
(2)
Từ (1) và (2) được:  ICB =  IDK
 ICB =  IDK hay  ICH =  IDH  Tứ giác DCIH nội tiếp.
 HID =  HCD
 HCD =  BED (Cùng chắn cung DB của (O))
 HID =  BED  IH // EB
 IH là đường trung bình của DEK  H là trung điểm của DK
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1). Do n(n - 1)(n+1)
chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
- A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n). Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên

A(n) chia hết cho 5 với mọi n.
- Nếu n chẵn  n2 chia hết cho 4  A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ  (n-1)
(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4.  A(n) chia hết cho 4 với
mọi n.
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay
A(n) chia hết cho 60.
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 6

Bài 1: (2.0 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
 �
. Với a; b là các số dương.
a b ab

b) Cho x; y là hai số dương và x  y  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
20

0,75

1.0

1,25

0,25
0,25
0,25
0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
P

1
;
2 xy

M

2
3
 2
.
xy x  y 2

Bài 2: (2.0 điểm)

x 2  y 2 11
Giải hệ phương trình: 
 x  xy  y 3  4 2

Bài 3: (2.0 điểm)

Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên
tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O
song song vơi AB cắt QM tại H.
a. Chứng minh HM = HN.
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP.
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa
đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C.
CH cắt AB tại I
a. Tính góc CIF.
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC khơng đổi khi EF di động trên nửa đường
trịn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2.0 điểm)

a. Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
 �
. Với a; b là các số dương.
a b ab

b. Cho x; y là hai số dương và x  y  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

1
;

2 xy

M

2
3
 2
.
xy x  y 2

1 1
4
a b
4
2
2
 �


  a  b  4ab   a  b  0
a b ab
ab
a b
1
x y
4
4
P




2
2 xy
2 xy
2( x  y ) 2.1
1
P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y =
2

21

0,50
0,50
0,25


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
1

1

1

2
2
2
hoặc: 2 xy  x  y  4 xy ( x  y )  xy  4  xy 4  2 xy 2

4
3

1
4.3
1
4.3
2
3
 2

 2


2  12 14
 2
2
2
2 =
2 xy x  y
2 xy x  2 xy  y
2 xy ( x  y ) 2
xy x  y
1
1
- 2 xy đạt GTNN tại x = y = .
2
3
3
1
1
- 2 xy  x 2  y 2 đạt GTNN tại x = y = . Nên M đạt GTNN tại x = y = .
2

2
M

0,50

0,25

Bài 2: (2.0 điểm)

x 2  y 2 11
Giải hệ phương trình: 
 x  xy  y 3  4 2
 S 2  2 P 11
- Đặt S = x + y; P = xy được: 
 S  P 3  4 2

0,25

-  S 2  2S  (17  8 2 ) 0
- Giải phương trình được S1 3  2 ; S 2  5  2
- S1 3  2 được P1 3 2 ; S 2  5  2 được P2 8  5 2
- Với S1 3  2 ; P1 3 2 có x, y là hai nghiệm của phương trình:

0,25
0,25
0,25
0,25

X 2  (3  2 ) X  3 2 0

- Giải phương trình được X 1 3; X 2  2 .
- Với S 2  5  2 được P2 8  5 2 có x, y là hai nghiệm của phương trình:
X 2  (5  2 ) X  8  5 2 0 . Phương trình này vô nghiệm.
 x 3  x  2
;
 y  2  y 3

- Hệ có hai nghiệm: 

0,25
0,25
0,25

Bài 3: (2.0 điểm)
-Chứng tỏ MBND là hình bình hành  O là
trung điểm của MN.
- OH // AB  OH  MN.
- HMN cân tại H (Trung tuyến vừa là
đường cao)  HM = HN.

0,75 A

M

H

O

Q
D

B

C
N
P

22


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
HQ OQ

HM OB
OQ NQ

- ON // BP được:
OB NP
HQ NQ


 NH//PM
HM
NP

- OH // BM được:

1,25

  HNM =  NMP

  HMN =  NMP  MN là phân giác
của góc QMP
Mỗi bước cho 0,25 điểm
Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số ngun
tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c)  bc = 5+b+c.
 bc -b - c + 1 = 6  (b-1)(c-1) = 6.
b,c là các số nguyên dương có vai trị như nhau nên ta có các hệ:
 b  1 1


 c  1 6

 b 2

 c 7

 b  1 2

 c  1 3

và 

 b 3

 c 4

0,25
0,50

0,25

Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7

C

Bài 4: (3.0 điểm)
E

F
H
A

O

I

B
1,0

23


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN

- BE, AF là hai đường cao của ABC  CI là đường cao thứ ba hay CIAB
- Tứ giác IHFB nội tiếp  HIF = HBF hay CIF = EBF .

- EOF đều nên EOF = 600.
-  EF = 600  CIF = EBF = 300.
- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE
- được:

AC AI

 AC. AE  AB. AI
AB AE

- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được:

BC BI

 BC.BF  BA.BI
BA BF

1.0

- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB 2 =
const.
- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC.
2

2

3
S
1
 EF 

 R 
- FEC       S ABFE  S ABC
4
S ABC  AB 
4
 2R 
- Để S ABFE lớn nhất  S ABC lớn nhất  CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa

góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I  O  CAB cân  EF // AB.
- Lúc đó S ABC 

1,0

2.R.R 3
3R 2 . 3
 R 2 . 3  S ABFE 
2
4

PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 7

Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
b) Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
2 2
2
2

c) Tính tổng: P     ... 
15 35 63
399
Giải
a) (0,5 điểm). Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1)
(0,5 điểm). Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia
hết cho 8
(0,5 điểm). Tương tự: (b +1)(b – 1) M8
(0,5 điểm). Vậy: (a2 – b2 ) M8 (đpcm)
b)
2 2 2
2
   ... 
15 35 63
399
2
2
2
2



 ... 
3.5 5.7 7.9
19.21

P

1 1 1 1 1 1
1 1

       ...  
3 5 5 7 7 9
19 21
24


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
1 1
 
3 21
2

7

Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:

bc
ca
a b
2
2
2





(a  b)( a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x  2009  2010  x

Giải
a) Ta có:
VT 

bc
ca
a b


(a  b)(a  c) (b  c )(b  a ) (c  a )(c  b)

1
1
1
1
1
1





a b a c b c b  a c  a c b
1
1
1
1

1
1
(0,75 điểm) 





a b c a b c a b c a b c

(0,75 điểm) 

(0,5 điểm) 

2
2
2


a b bc c a

= VP

b) A  x  2009  2010  x
 (0,25 điểm) Tập xác định: D = 2009; 2010
2
 (0,25 điểm) Với x  D thì A ≥ 0. Do đó: A = A
1. Xét:
2
(0,25 điểm) A  x  2009  2010  x  2 x  2009. 2010  x  1  2 x  2009. 2010  x

2
Ta có: A �1 (vì 2 x  2009. 2010  x �0 với x  D)
<=> A ≥ 1 với x  D
(0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi
x  2009  0
x  2009
�
�
��
�
2010  x  0
x  2010
�
�

(0,25 điểm)
2. Xét:
2
(0,25 điểm) A  1  2 x  2009. 2010  x �1  x  2009  2010  x
(vì 2 x  2009. 2010  x �x  2009  2010  x , với x  D; BĐT Côsi)
<=> A2 ≤ 2 với x  D
<=> A � 2 với x  D
25