Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.3

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .3
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Viết biểu thức dới đây theo lũy thừa giảm dần của x
a. P =(2x+1)
6
- 4x
6
- 4x
5
b. Q= (x+2)
2
- x
5
- x
4
Bài 2: (2đ)
Phân tích thành nhân tử:
a. x
3
z + x
2
yz x
2
z
2
-xyz
2
b. p
m+2

q - p
m+1
q
3
- p
2
q
n+1
+ pq
n+3
Bài 3: (2đ)
Phân tích thành thừa:
A= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+2a
2
c
2
- a
4
- b
4
- c
4

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của tam giác thì A>0
Bài 4: (2đ)
Chứng tỏ rằng a thc
(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16
chia hết cho a thc a
2
+10a+20
Bài 5: (2đ)
Cho

ABC vẽ AE

AB và AE=AB, AF

AC và AF=AC. Đờng cao AH của

AEF kéo dài cắt cạnh BC của

ABC tại M. Chứng minh MB=MC
-----------------------------Hết đề thi-------------------------------
Đáp án đề Toán 8 .2
Bài 1 : (2đ)
a. 1đ
Công thức nhị thức Niu tơn tơng ứng nh sau:
(A+B)
6
=A
6
+6A
5

B+15A
4
B
2
+20A
3
B
3
+15A
2
B
4
+6 AB
5
+B
6
áp dụng: P =(2x+1)
6
- 4x
6
- 4x
5
P=(2x)
6
+6(2x)
5
+15(2x)
4
+20(2x)
3

+15(2x)
2
+6. 2x +1 4x
6
-4x
5
P=64x
6
+192x
5
+240x
4
+40x
3
+60x
2
+12x +1 4x
6
-4x
5
0,5đ
Kết quả sắp xếp là:
P=60x
6
+188x
5
+240x
4
+40x
3

+60x
2
+12x +1 0,5đ
b. 1đ
Công thức nhị thức Niu tơn tơng ứng nh sau:
(A+B)
5
=A
5
+5A
4
B+10A
3
B
2
+10A
2
B
3
+5AB
4
+B
5
áp dụng: Q= (x+2)
2
- x
5
- x
4
Q= x

5
+5x
4
2+10x
3
2
2
+10x
2
2
3
+5x2
4
+2
5
- x
5
- x
4
Q= x
5
+10x
4
+40x
3
+80x
2
+80x+32- x
5
- x

4
0,5đ
Kết quả sắp xếp là:
Q= 9x
4
+40x
3
+80x
2
+80x+32 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Phân tích thành nhân tử:
a. 1đ
x
3
z + x
2
yz x
2
z
2
-xyz
2
=(x
3
z x
2
z
2
)+(x

2
yz - xyz
2
) 0,5đ
= x
2
z (xz)+xyz(x- z)
=(xz) (x
2
z +xyz)
=(xz) xz(x+y 0,5đ
b. 1đ
p
m+2
q - p
m+1
q
3
- p
2
q
n+1
+ pq
n+3
= (p
m+2
q - p
m+1
q
3

) (p
2
q
n+1
- pq
n+3
) 0,5đ
= p
m+1
q(p q
2
) pq
n+1
(p p
2
)
=(p p
2
)(p
m+1
q- pq
n+1
)
=pq(p p
2
)(p
m
- q
n
) 0,5đ

Bài 3: (2đ)
A= 4a
2
b
2
(a
4
+2

a
2
b
2
+b
4
)+ (2b
2
c
2
+2a
2
c
2
) - c
4
=(2ab)
2
[(a
2
+b

2
)
2
- 2c
2
(a
2
+b
2
) +c
4
]
=(2ab)
2
[(a
2
+b
2
)
2
- 2c
2
(a
2
+b
2
) + c
4
]
=(2ab)

2
[(a
2
+b
2
)- c
2
]
2
0,5đ
=(2ab + a
2
+b
2
- c
2
)(2ab - a
2
- b
2
+c
2
)
=[(a+b)
2
- c
2
)][ c
2
-(a-b)

2
] 0,5đ
=(a+b+ c) (a+b+ c)(c +a-b) (ca+b) 0,5đ
Nếu a, b, c là các cạnh của tam giác thì a>0, b>0, c>0 và các nhân tử của
biểu thức trên đều dơng (theo các bất đẳng thức về các cạnh trong tam giác)
nên A>0. 0,5đ
Bài 4: (2đ)
P
(a)
=(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16
= [(a+2)(a+8)][(a+6)(a+4)]+16
= (a
2
+10a+16)( a
2
+10a+24)+16 0,5đ
Đặt t = a
2
+10a+20 0,5đ
Biểu thức trên đợc viết lại:
P
(a)
=(t-4)(t+4)+16 0,5đ
P
(a)
=t
2
-16+16=t
2
Vậy P

(a
=t
2
chia hết cho t
Hay P
(a)
=(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16 chia hết cho (a
2
+10a+20) 0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ

BD=AF
AC=AF(gt)

BD=AC
BD//AC

Tứ giác ABDC là hình bình hành nên có
các đờng chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đờng. Tức là có MB=MC (đpcm)
0,5đ
Trờng hợp vẽ hình nh hình dới cũng chứng minh tơng tự (chấm điểm theo một
cách vẽ)
B
C
A
F
2
1
H
M

D
E
1
Từ B ta kẻ đờng thẳng song
song với AC cắt AM kéo dài
tại D.
Ta có

1
A
=

E
(1) ;

2
A
=

F
(góc có cạnh tơng ứng vuông
góc). 0,5đ

2
A
=

1
D
(so le trong) suy ra

F
=

1
D
. Từ đó ta có

FAE
=

DBA
(2) (hai tam giác có 2
cặp góc bằng nhau từng đôi
một thì cặp thứ ba cũng bằng
nhau). Kết hợp (1), (2) và
AB=AE (gt)



ABD=

EAF (gcg) 0,5đ
B
C
A
F
2
1

H
M
D
E
1
-----------------------------Hết đáp án-------------------------------
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có
lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang

Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh