Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Giải PT-BPT-HPT bằng phương pháp hàm số
A. LÝ THUYẾT
Định lí 1: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của
pt trên D : không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi
.
Chứng minh:
Giả sử phương trình có nghiệm , tức là . Do f đồng biến nên
* suy ra nên pt vô nghiệm
* suy ra nên pt vô nghiệm
Vậy pt có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: . Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa
phương trình về dạng hoặc ( trong đó ) và ta
chứng minh được là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số luôn ngb (hoặc
luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử là một nghiệm của pt: , tức là .Ta giả sử f đồng biến
còn g nghịch biến.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
. Vậy pt có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt và ta có thể biến đổi về dạng , trong đó f và g khác
tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi

đó pt có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí 4: Nếu hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì
( )
B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
.
.
.
.
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp
nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng
biến và là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được là nghiệm
duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK:
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu suy ra nên pt vô nghiệm
*Nếu suy ra nên pt vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:
* vì các hàm số với là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì
hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận
ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn
nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó
khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có
nghiệm . Do đó pt này có nghiệm duy nhất ( Các giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên
nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là
và , do vậy nếu đặt thì
phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên
tục và có :
nên f(t) luôn đồng biến. Do đó:
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu đặt
, khi đó phương trình trở
thành:
, trong đó với
t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm và . Ta chứng minh phương trình đã cho có không
quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số
có có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến
g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì
(vì khi đó theo đ/l 3 suy ra
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
2) Đk: .
, trong đó là
hàm liên tục và đồng biến.
Do đó:
Xét hàm số , ta có:

, suy ra pt có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn
đến pt có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy và là hai nghiệm của pt
nên phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo
cách sau
* Chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần
chứng chứng minh liên tục trên D và tồn tại hai số sao cho
* Tiếp theo ta chứng minh là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có là hàm liên tục trên R và
, dẫn đến pt luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình
, khi đó . Từ đây ta suy ra được
. Do vậy ta chỉ cần khảo sát với Ta có
nên là hàm đồng biến. Vậy
phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm thì chúng ta không thể có được là hàm
đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản
thân của phương trình. *Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta
còn có cách khác đó là khảo sát hàm trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta
suy ra được đồ thị của hàm chỉ cắt Ox tại một điểm.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về
phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em
có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào
có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.

Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh được là hàm
nghịch biến và .
Do đó Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là:
.
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra là hàm đồng biến
Mặt khác:
Do vậy Bpt
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu th“ ta có thể đặt hoặc
Ví dụ 1 :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành :
)( ) = 0
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu .
Đặt , với ta có :
) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương tr“nh là
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :

Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 (TC THTT):
HD :
Nếu : phương tr“nh không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :
2. Nếu th“ ta có thể đặt :
Ví dụ 5 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước3. Đặt để đưa về phương tr“nh
lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1) (2)

Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :