DE VA DA HSG VINHPHUC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.76 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

--- ĐỀ THI MƠN: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————

Câu 1. (2.5 điểm)

Giai hê phương trinh: 









2 2

8 2

16 8 16 5 4

y x x

x y x xy y

   




    




Câu 2. (2.0 điểm)

Tim tất ca các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a2 n thi n chia hết cho a.
Câu 3. (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). AD BE CF, , là ba đường cao



D BC E CA F ,  , AB



. Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại
điểm M .

1. Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng GH AN

Câu 4. (1.5 điểm) 
Chứng minh rằng:





1 1 1 1

( )( )( )

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với mọi a b c, , 0
Câu 5. (1.0 điểm)

Mỗi ô vuông đơn vị của bang kích thước 10 10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương
không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh
của bang là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.

—Hết—

(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn: Tốn 9

Câu 1. (2.5 điểm).

Nội dung trình bày Điểm

Viết lại phương trinh thứ hai của hê về dạng









2 4 8 16 16 5 2 0

y  x y  x x 

Coi đây là phương trinh bậc hai, ẩn y x, là tham số. Có









2 2 2

' 2x 4 16 16x 5x 9x

       0.5

Từ đó, tim được y 4 x y, 5x4 0.25
- Nếu y 4 x, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x5 0.5

 Với x0 thi y 4 x4
 Với x2 thi y 4 x6
 Với x5 thi y 4 x9

0.25

- Nếu y5x4, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x19 0.5
 Với x0 thi y5x 4 4

 Với x2 thi y5x 4 6
 Với x19thi y5x 4 99

0.25

Vậy, các nghiêm của hê là



x y;

 

 0; 4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99

 



 

 

 



 



0.25
Câu 2. (2.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

Gọi a là số lẻ lớn nhất mà a2 n. Khi ấy





2
2

n a 0.25

Nếu a7 thi a 4,a 2,a là các ước lẻ của n. Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi

một, nên a a



 2

 

a 4 |



n. Suy ra



2

 

4





2



2 3 7 2 4 4 0 2



7



4



1



0

a a a  n a  a  a  a   a a  a 

. Vô lý (do a7).

0.5

Do đó a1 hoặc a3 hoặc a5 0.25

- Nếu a1 thi 12  n 32 n



1, 2,3, 4,5, 6, 7,8



0.25
- Nếu a3 thi 32  n 52 n



9,12,15,18, 21, 24



(do 1,3|n) 0.25
- Nếu a5 thi 52  n 72  n



30, 45



(do 1,3,5|n) 0.25
Vậy tất ca các số nguyên dương n cần tim là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25

Câu 3. (3.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

1. Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn. 1.5
Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD. Tứ giác ABCD nội tiếp

khi và chỉ khi: PA PB PC PD.  .

- Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM GA GB GC  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)

- Áp dụng cho tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE   0.5

- Suy ra GF GE GM GA   0.25

- Do đó, tứ giác AMFE nội tiếp. 0.25

2. Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng

GH AN 1.5

- Theo kết qua phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AH,

do đó HM MA. 0.25

- Tia MHcắt lại đường tròn ( )O tại K, khi đó do AMK 90 nên AK là đường kính của ( )O . 0.25
- Từ đó suy ra KCCA KB, BA . Suy ra KC BH KB CH|| , || , do đó BHCK là hinh binh hành.

Suy ra KH đi qua N 0.5

- Khi đó M H N, , thẳng hàng. 0.25

- Trong tam giác GAN có hai đường cao AD NM, cắt nhau tại H, nên H là trực tâm của tam

giác GAN . Suy ra GH AN 0.25

Câu 4. (1.5 điểm).

N
D
K
M
G
F
E
H
O
B C
A

Nội dung trình bày Điểm

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với





1 1 1 1

( )( )( )

a b b c c a a b c abc

a b b c c a abc

 
          
  
 
0.25
Chứng minh

2 2 2

(a b b c c a )(  )(  )c a b(  )a b c(  )b c a(  ) 2 abc 0.5

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz









2 2 2

2
3

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 2

1 1 1 1

. . . 2 .

c a b a b c b c a abc

a b b c c a abc

c a b a b c b c a abc

a b b c c a abc

c a b abc

 
          
  
 
 
       
  
 
   

Dấu “ = ” xay ra khi và chỉ khi c a b(  )a b c(  )b c a(  ) 2 abc abc.6  a b c 

0.5
0.25
Câu 5. (1.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

- Trên mỗi hinh vuông con, kích thước 2 2 chỉ có không quá 1 số chia hết cho 2, cũng vậy, có

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Lát kín bang bởi 25 hinh vuông, kích thước 2 2 , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều
nhất 25 số chia hết cho 3. Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia
hết cho 3. Vi vậy, chúng phai là một trong các số 1,5,7.

- Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiên ít nhất 17 lần.

0.5

</div>

DE VA DA HSG VINHPHUC





<sub></sub>

<sub></sub>



























 

 

 

 

 









 





 







































Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về