hình tết mĩ thuật 2 dương minh tình thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (155.89 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Mở đầu

I - Cơ Sở th c tiÔn

Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vợt trội,
những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó
mà khơng ai vợt qua đó là cái "nhất". Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh
vực lại có những đại lợng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" ngời ta thờng gọi là các bài
toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay
thi vào các trờng Cao đẳng, Đại học cũng nh các đề thi học sinh giỏi ở nhiều
năm. Nội dung các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến
thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ.

ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán
này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì
thấy nó cũng khơng dễ dàng với học sinh.

Với những lí do nh vậy tơi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phơng pháp
giải toán cực trị”. Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy
của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để
đề tài đợc phát huy hiệu quả.

II - NhiƯm vơ cđa s¸ng kiÕn:

1/ Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:

- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
- Phơng pháp nghiên cứu:

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.

+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi tốn
lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.

+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng
dạy chun đề.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2/ NhiƯm vơ cđa s¸ng kiÕn:

- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra đợc sai lầm
th-ờng mắc phải.

- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tịi lời giải.

- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả
năng phân tích, xem xét bài tốn dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả
năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn, tạo đợc lịng say mê, sáng
tạo, ngày càng tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.

III - Nội dung sáng kiến:

Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị.

Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị

1/ Phng phỏp tam thc bc hai
2/ Phơng pháp miền giá trị
3/ Phơng pháp bất đẳng thc.

Chơng I:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

I - Định nghĩa:

1/ Định nghÜa 1:

Cho biểu thức f(x , y ,. . .) xác định trên miền D , ta nói M là giá trị
lớn nhất của f (x , y ,. . .) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) Víi x , y.. . thuéc D th× f(x , y ,. . .)≤ M víi M lµ h»ng sè.
ii) Tån t¹i x0, y0.. . thuéc D sao cho f(x , y ,. . .)=M

2/ Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x , y ,. . .) xác định trên miền D , ta nói m là giá trị
nhỏ nhất của f(x , y ,. . .) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) Víi mäi x , y.. . thuéc D th× f(x , y ,. . .)≥ m víi m là hằng số.
ii) Tồn tại x0, y0.. . thuéc D sao cho f(x , y ,. . .)=m .

Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần
nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:

+ Chøng tá f(x , y ,. . .)≤ M hc f (x , y ,. . .)≥ m ) víi mäi x , y ,. . .
thuéc D

+ Chỉ ra sự tồn tại x0, y0.. . thuộc D để f(x , y ,. . .) đạt cực trị.

Chú y đến miền giá tr ca bin.

Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A ,MinA là giá trÞ nhá nhÊt
cđa A

II - Mét sè tÝnh chÊt của giá trị lín nhÊt vµ giá trị nhỏ
nhất của hàm số:

1/ Tính chất 1: Giả sử A⊂B khi đó ta có:
a/ Maxx∈A f(x)≤maxx∈B f(x)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2/ TÝnh chÊt 2: NÕu f(x , y)≥0 víi mäi x thuéc D , ta cã:
a/ Maxx∈D f(x)=

√

maxx∈D f2(x) Minx∈Df(x)=

√

minx∈Df2(x)

3/ TÝnh chÊt 3:

a/Max

x∈D f(x)+g(x)¿≤Maxx∈D1

f(x)+Max
x∈D2

f(x)

(1)
b/Min

x∈Df

(x)+g(x)¿≤Min

x∈D1

f(x)+Min
x∈D2

f(x)

(2)

Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f(x)

và g(x) cùng đạt giá trị lớn nhất. Tơng tự nếu tồn tại x0 thuộc D mà tại đó

f , g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng.

4/ TÝnh chÊt 4:

Max

x∈D f(x)=−minx∈D1

(− f(x))

5/ TÝnh chÊt 5:

Nếu đặt M=Maxx∈D f(x) , m=minx∈Df(x) thì Maxx∈D|f(x)|=Maxx∈D {|M|,|m|} .

6/ TÝnh chÊt 6:

Giả sử D1={xD ;f(x)0} và D2={xD ;f(x)0} th×

Minx∈D|f(x)|=Min{−maxx∈D1

f(x);min
x∈D2

f (x)}

Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính
chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh
đợc sai lầm khi vận dụng gii bi tp.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

III - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị:

1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc:

A= 3

4x2−4x+5

Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số khơng đổi nên A có giá trị
lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.

Ta cã:

2x −1¿2+4≥4,∀x

4x2−4x+5=¿

⇒ 3

4x2−4x+5≤
3
4,∀x
⇒MaxA=3

4⇔x=
1
2

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định “ A có
tử số là số khơng đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa
ra nhận xét tử mẫu là các số dơng.

Ta ®a ra mét vÝ dơ:
XÐt biĨu thøc B=x21

−4

Với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn nhất khi
mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng −4 khi x=0 , ta sẽ đi n:

maxB=1

4 không

phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với x=3 thì 15≥−14 .

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên
sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 2x −1¿

2+4≥4

4x2−4x+5=¿ nên tử và mẫu

ca A l cỏc s dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A>0 , do đó A lớn nhất
khi và chỉ khi A1 nhỏ nhất ⇔4x2−4x+5 nhỏ nhất.

VÝ dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A=x2+y2 biÕt x+y=4

Lêi gi¶i sai:

Ta cã: A=x2+y2≥2 xy

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Khi đó MinA=22+22=8

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta
mới chứng minh đợc f (x , y)≥ g(x , y) , chứ cha chứng minh đợc f(x , y)≥ m
với m là hằng số.

Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng

x2≥4x −4 sÏ suy ra: x2 nhá nhÊt x −2¿

=0⇔x=2
⇔x2

=4x −4⇔¿ .

Dẫn đến: Minx2=4⇔x=2

Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2=0⇔x=0

Cách giải đúng:

Ta cã: x+y¿

=42⇔x2+2 xy+y2=16

¿ (1)

Ta l¹i cã: x − y¿

≥0⇒x2−2 xy+y2≥0

¿ (2)

Tõ (1) , (2) : x

+y¿2≥16⇒x2+y2≥8
2¿

VËy MinA=8⇔x=y=2

2/ Sai lÇm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa: A=x+√x

Lêi gi¶i sai:

A=x+√x=

(

x+√x+1
4

)

−

(

√x+
1
2

)

−1
4
VËy MinA=−14

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x)≥−14, cha chỉ ra trờng hợp
xẩy ra dấu đẳng thức f(x)≥−14. Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi

√x=−1
2,
v« lý.

Lời giải đúng:

Để tồn tại √x phải có x ≥0
Do đó A=x+√x ≥0

Min A=0⇔x=0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A=xyz(x+y)(y+x)(z+x)
Víi x , y , z ≥0 vµ x+y+z=1

Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: a+b¿

4 ab≤¿

x+y+z¿2=1
4(x+y)z ≤¿

y+z+x¿2=1
4(x+z)x ≤¿

z+x+y¿2=1
4(x+x)y ≤¿

Nhân từng vế (do hai vế đều khơng âm)
64 xyz(x+y)(y+x)z+x¿≤1

MaxA= 1
64

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu
đẳng thức. Điều kiện để A=641 là:

Cách giải đúng:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

1=x+y+z≥3 .√3xyz (1)

2=(x+y)+(y+z)+(z+x)≥3 .

√

3(x+y)(y+z)(z+x) (2)
Nhân từng vế (1) với (2) do 2 vế đều không âm)

2≥9 .√3 A⇒A ≤

(

2
9

)

MaxA=

(

2
9

)

⇔x=y=z=1
3

x+y=z
y+z=x
z+x=y
x+y+z=1

x , y , z ≥0

¿{ { { {

x=y=z=0
x+y+z=1

x , y , z ≥0

¿{ {

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ch¬ng II:

mét sè phơng pháp tìm cực trị

1/ Phơng pháp tam thức bậc hai

I - Néi dung:

Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc
hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một s hng t do.

II - Các ví dụ:

Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x28x+1
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B=2x24x+1
3/ Tìm giá trị nếu có của C=−3x2−4x+1
4/ Cho tam thøc bËc hai P=ax2+bx=c
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña P nÕu a>0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a<0

HD gi¶i:

Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/ x −4¿

−15≥ −15
A=x2−8x+1=¿
⇒minA=−15⇔x=4

2/ x −1¿

−1≥ −1
B=2x2−4x+1=2¿
⇒minB=−1⇔x=1

3/ C=−3x2−4x+1=−3

(

x −32

)

+7
3≤

7
3
⇒maxC=7

3⇔x=
2
3

4/ P=ax2+bx+c=a

(

x2+b
ax+

c

a

)

(

x −
b
2a

)

−b

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

+ NÕu a>0: minP=−b

−4 ac
4a ⇔x=

b
2a
+ NÕu a<0: maxP=b

4 ac
4a x=

b
2a

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x

+x+12

A=

HD: MinAMin(x2+x+1)

Bi toỏn trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B=[f(x)]2k(k∈N)

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C=x(x −3)(x −4)(x −7)
HD: Dùng phơng pháp đổi biến.

D¹ng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thøc mµ cã tư lµ h»ng
sè, cã mÉu lµ tam thức bậc hai.

VD: Tìm giá trị lớn nhất của M=4x2 3

−4x+5
Dạng này phải chú ý đến dấu của t thc.

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình
phơng nhị thức:

VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của

x+12

P=x

+x+1

HD:

x+12

P=1 1
x+1+

Đặt y=x+11, cã P=y2− y+1=

(

y −12

)

2
+3
4≥
3
4
MinP=3

4⇔y=
1

2⇔x=1

C¸ch 2: ViÕt N díi d¹ng tỉng cđa mét sè víi một biểu thức không âm:
x+12

x+1
x 1
2()2

3
4

P=4x

4x+4

MinP=3

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa
các biến:

VD: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc

A=3 xy− x2− y2

BiÕt x , y là nghiệm của phơng trình: 5x+2y=10
Giải:

Ta cã: 5x+2y=10⇔y=10−25x

⇒A=14(−59x2+160x −100)

¿59

(

− x

+160
59

)

−25

¿59

[

−

(

x −
80
59

)

+6400

3481

]

−25

¿−59

(

x −
80
59

)

+1600
59 −25
⇔A=125

59 −
59

(

x 
80
59

)

125
59

Vậy

maxA=125
59

x=80

59
y=95
59

{

III - Một số bài tập tự giải:

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/ A=4x220x+35 b/ B=2x2+3x+1

2/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau:

a/ x −A2(=(x −x −3)(1x −)¿ 5) b/ B=x2−2x+y2+4 y+5

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Q=a3+b3+ab víi a+b=1

IV - TiĨu kÕt:

Loại tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc hai
là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán,
đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán
dạng khác về dng tam thc bc hai.

2/ Phơng pháp miền giá trị của hàm số:

I - Nội dung phơng pháp:

Xột bi toỏn sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) với
x∈D. Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ
phơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm:

f(x)=y0 (1)

x∈D (2)

T d¹ng cđa hƯ (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp.
Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ ®a vỊ d¹ng a ≤ y0≤ b (3) .

Vì y0 là một giá trị bất kỳ của f (x) nền từ (3) ta thu đợc:

Minf(x)=a và Maxf(x)=b trong đó xD.

Nh vậy thực chât của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử
dụng điều kiện 0 .

II - Các ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
A=x

2 x+1

x2

+x+1

Giải:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a=x

2 x+1

x2+x+1 (1)

Do x2+x+1≠0 nªn (1) ⇔ax2+ax+a=x2− x+1

⇔¿(a −1)x2+(a+1)x+(a−1)=0(2)

+ TH1: NÕu a=1 th× (2) cã nghiƯm x=0

+ TH2: Nếu a ≠0 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là Δ≥0 , tức là:

a −1¿2≥0

a+1¿2−4¿
¿

⇔(a+1+2a −2)(4+1−2a+2)≥0
⇔(3a −1)(a −3)≤0

⇔1

3≤ a ≤3(a ≠1) .

Víi a=13 hc a=3 thì nghiệm của (2) là:

x=(a+1)

2(a 1)=

(a+1)

2(1 a)

Với a=13 th× x=1, víi a=3 thì x=1
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta cã:

MinA=1

3⇔x=1
MaxA=3⇔x=−1

C¸ch kh¸c: x+1¿2
¿

2¿

A=3x2+3x+3−2x2−4x −2
x2+x+1 =3−¿
⇒maxA=3⇔x=−1

x −1¿2
¿

2¿

A=3x2−3x+3

3x2+3x+3=

x2

+x+1
3(x2+x+1)+

2(x2−2x+1)
3(x2+x+1) =

1
3+¿
⇒MinA=1

3⇔x=1

Mở rộng: Bài tốn cịn có thể cho dới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh: 13≤x

2− x+1

x2+x+1≤3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

x2 x+1

x2+x+1 m=0

3/ Cho phơng trình: ( 3m2+2m+1x2(2m2+10m+3)x 1=0 có 2 nghiệm
x1, x2. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x1+x2.

III - Bài tập tự giải:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/y=x

+x+1
x2

+1 b/y=

x2

+x+1
x2

+1
IV - tiĨu kÕt:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có
thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và
tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị
thơng qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thơng qua việc này giúp
cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình.

3/ Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

1/ N«i dung phơng pháp:

Da trc tip vo nh ngha giỏ tr lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số M=Maxf(x)⇔

f(x)≤ M ,∀x∈D

x0=M

∃x0∈D:f¿

m=Minf(x)⇔

f(x)≥ M ,∀x∈D

x0=m

∃x0∈D:f¿

Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên
miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bớc:

+ Chứng minh một bất đẳng thức

+ Tìm x0∈D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành

đẳng thức.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2/ Các bất đẳng thức thờng dùng:

1/ a2≥0. Tổng quát a2k≥0, k nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=0

2/ −a2≤0 . Tỉng qu¸t −a¿

2k
≤0, k

nguyên dơng

Xy ra du ng thc ⇔a=0

3/ |a|≥0 . Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=0
4/ −|a|≤ a≤|a| Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=0

5/ |a+b|≤|a|+|b| Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔aba , b≥0¿ cùng dấu)
|a − b|≥|a|+|b| Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔aba , b≥0¿ cùng dấu)

|a+b+c|≤|a|+|b|+|c| Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ab≥0;bc≥0;ac≥0 ;
6/ a ≥ b ;ab≥0⇒1a≤1b. Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=b

7/ ab+ba≥2 với a , b cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=b
8/ Bt ng thc Cụsi:

+ Đối với 2 số dơng a , b bÊt kú.

a+b

2 ≥√ab (hoặc a2+b2≥2 ab¿ . Xẩy ra dấu đẳng thức ⇔a=b
+ Đối với ∀a1≥0;i=1, .. ., n:

a1+a2+. ..+an

n ≥

n

√

a1.a2.. .a2

9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:

NÕu (a1, a2,. . .an) và (b1, b2,. . .bn) là những số tuú ý, ta cã:
(a12+a

22+,. ..+a
n2) .

a1b1+a2b2+. ..+anbn¿

(b12+b

22+,. ..+b
n2)≥¿
DÊu b»ng xÈy ra ⇔abi

i
=aj

bj (víi quy íc r»ng nÕu

ai=0 th× bi=0 ).

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

+ NÕu a1≥ a2≥. ..≥ an
b1≥ b2≥. ..≥ bn th×

n(a1b1+a2b2. . .anbn)≥(a1+a2. . .+an).(b1+b2.. .+bn).
DÊu b»ng xÈy ra ⇔ai=aj hc bi=bj;ai, bj tuú ý
+ NÕu a1≥ a2≥. ..≥ an

b1≥ b2≥. ..≥ bn th×

VD1: Cho biểu thức xy+yz+zx=1

Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc P=x4+y4+z4

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với (x , y , z) và (y , z , x)
x2

+y2+z2¿2

xy+yz+zx¿2≤(x2+y2+z2)(y2+z2+x2)⇒1≤¿

1=¿

(1)
Mặt khác, đối với (1,1,1) và x2, y2, z2¿, ta có:

12+12+12¿2.(y4+z4+x4)
1 .x2+1 .y2+1 .z2¿2≤¿

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1≤3(y4+z4+x4)=3P⇒P≥13

VËy ⇒x=y=z

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
a/ A=√x −1+√y −2 biÕt x+y=4

MinP=1
3⇔
x

y=
y
x=

z
x
1

y2=
1
x2=

1
z2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b/ B=x 1
x +

y 2
y

Giải:

a/ Điều kiện: x ≥1; y ≥2

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng: a+b2 ≥√ab
ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:

a2

+b2

2(¿)

a+b ≤√¿

A=√x −1+√y −MaxA=2≤

√

2(√x −2⇔1+y −2)=√2
x −1=y −2

x+y=4

❑
❑
❑
❑⇔
¿x=1,5
y=2,5
¿{

Cách khác: Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện: x ≥1; y ≥2

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích: √ab≤a+2b
Ta xem các biểu thức: √x −1,√y −2 là các tích:

√x −1=

√

1 .(x −1)

√y −2=

√

2 .(y −2)

√2

Theo bất đẳng thức Côsi:

√x −1

x =

√

1 .(x −1)

x ≤

1+x −1
2x =

1
2

√y −2

y =

√

2(y −2)
y√2 ≤

2+y 2
2y2 .=

2
22=

2
4
MaxB=1

2+
2
4 =

2+2
4

x 1=1
x 2=2

x=2
y=4
{

VD3: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A=|x −2|+|x −3|

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta cã: A=|x −2|+|x −3∨≥|x −2+3− x|=1|
⇒MinA=1⇔(x −2)(3− x)≥0⇔≤ x ≤3

Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi |x −3|=|3− x| để áp dụng bt
ng thc giỏ tr tuyt i.

Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.

VD4: Tỡm giỏ tr nh nht của hàm số: y=|x −1|+|x −2|+. . .+|x −2000|
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: |a+b|≤|a|+|b| đối
với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.

Ta cã: y=(|x −1|+|x −2000|)+(|x −2|+|x −1999|)+. ..+(|x −999|+|x −1000|)
y1=(|x −1|+|x −2000|)≥1999⇒miny1=1999⇔x∈[1;2000]

y2=(|x −2|+|x −1999|)≥1997⇒miny2=1997⇔x∈[2;2000]

Y1000=(|x −999|+|x −1000|)≥1⇒minY1000=1⇔x∈[999,❑❑

1000]

VËy Miny=1+3+5+.. .+1999=10002=1000000

Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:

1/ Tìm miền giá trị của hàm sè:

x −2+. . .+¿
¿

y=|x −1|+¿

2/ Chứng minh bất đẳng thức:

y=|x 1|+|x 2|+. . .+|x 2004|106

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1/ Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:

1− x¿3

1− x¿2¿

A=¿

víi |x|≤1

HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:
1− x

2 ;
1− x

2 ;
1+x

3 ;
1+x

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=3x+

√

2−9x2
HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1);(3x ;

√

2−9x2)
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=5|1−4x|−1
4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N=|x|+|x −1|
5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a/ A=

√

x2−2x+1+

√

x2−6x+9 b/ B=

√

x+9−6√x+

√

x+1−2√x
IV - TiÓu kÕt:

</div>

hình tết mĩ thuật 2 dương minh tình thư viện tư liệu giáo dục

Mở đầu

√

√

(

)

(

)

<sub>√</sub>

(

)

(

)

<b>mét sè phơng pháp tìm cực trị</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

)

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về