Tài liệu giảng dạy ứng dụng toán cho vật lý, dùng cho sinh viên ngành sư phạm toán

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

ỨNG DỤNG TOÁN CHO VẬT LÝ
DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TỐN

ThS NGUYỄN VĂN MỆN
BỘ MƠN VẬT LÝ – KHOA SƯ PHẠM –
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

AN GIANG, THÁNG 01 NĂM 2018


MỤC LỤC
 

MỤC LỤC ........................................................................................................ii
DANH SÁCH HÌNH ....................................................................................... iv
DANH SÁCH BẢNG .....................................................................................vii
CHƯƠNG 1. NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA VẬT LÝ CỔ ĐIỂN ..... 1
1.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC NEWTON ......................... 1
1.1.1. Ba định luật Newton ................................................................... 1 
1.1.2. Định luật bảo tồn động lượng ................................................... 6 
1.1.3. Cơng và năng lượng ................................................................... 9 
1.2. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA NHIỆT HỌC VÀ NHIỆT ĐỘNG LỰC
HỌC ......................................................................................................................... 15
1.2.2. Phương trình trạng thái khí lý tưởng ........................................ 16 
1.2.3. Các định luật thực nghiệm của khí lý tưởng............................. 18 
1.2.3. Các nguyên lý của nhiệt động lực học...................................... 21 
1.3. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐIỆN TỪ HỌC............................... 27
1.3.1. Tĩnh điện trường ....................................................................... 27 
1.3.2. Dịng điện khơng đổi ................................................................ 41 

1.3.3. Từ trường .................................................................................. 50 
1.4. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA QUANG HÌNH HỌC ..................... 58
1.4.1. Định luật truyền thẳng ánh sáng ............................................... 58 
1.4.2. Định luật phản xạ ánh sáng. Gương phẳng .............................. 59 
1.4.3. Định luật khúc xạ ánh sáng. Lưỡng chất phẳng ....................... 61 
1.4.4. Lăng kính .................................................................................. 63 
1.4.5. Thấu kính .................................................................................. 65 
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ
.................................................................................................................................. 74
2.1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ MỘT SỐ HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ..................................................................................................... 74
2.1.1. Phương pháp tọa độ .................................................................. 74 
2.1.2. Hệ tọa độ cực ............................................................................ 78 
2.1.3. Hệ tọa độ cầu ............................................................................ 79 
2.1.4. Hệ tọa độ trụ ............................................................................. 80 
2.2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM............................... 81
2.2.1. Chuyển động thẳng ................................................................... 81 
2.2.2. Chuyển động tròn ..................................................................... 82 
2.2.3. Chuyển động của vật bị ném .................................................... 83 
2.3. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN ................................... 85
2.3.1. Khối tâm của hệ chất điểm ....................................................... 85 
2.3.2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn ............................................ 87 
2.3.3. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ........................ 88 
2.3.4. Chuyển động bất kỳ của vật rắn ............................................... 89 
2.5. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ............................................................................. 89
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP VI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
VẬT LÝ ................................................................................................................... 93
3.1. PHƯƠNG PHÁP VI TÍCH PHÂN TRONG CƠ HỌC ........................... 93
3.1.1. Vị trí khối tâm của vật rắn ........................................................ 93 
3.1.2. Moment quán tính của vật rắn .................................................. 94 

3.2. PHƯƠNG PHÁP VI TÍCH PHÂN TRONG ĐIỆN TỪ HỌC................. 99
ii


3.2.1. Xác định cường độ điện trường do một phân bố điện tích liên tục
gây ra ............................................................................................................99 
3.2.2. Xác định cảm ứng từ do phân bố dòng điện gây ra .................101 
3.3. ĐỊNH LÝ O-G VÀ ỨNG DỤNG XÁC ĐỊNH CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN
TRƯỜNG ............................................................................................................... 102
3.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .......................................................................... 104
CHƯƠNG 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC .............................................. 107
4.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ ỨNG DỤNG ........................ 107
4.1.1. Bài toán mạch điện chỉ có tụ điện ...........................................107 
4.1.2. Bài tốn mạch điện với dịng điện khơng đổi ..........................108 
4.2. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ................................................................. 110
4.2.1. Tổng hợp dao động điều hòa ...................................................110 
4.2.2. Mạch điện xoay chiều không phân nhánh ...............................111 
4.2.3. Mạch điện xoay chiều phân nhánh ..........................................112 
4.3. BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ
114
4.3.1. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy ..........................114 
4.3.2. Phương pháp khảo sát hàm số .................................................115 
4.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .......................................................................... 116
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 121


DANH SÁCH HÌNH
Hình 1.1. Lực tương tác theo định luật 3 Newton ................................................... 3
Hình 1.2. Ví dụ 1.2 .................................................................................................. 8
Hình 1.3. Cơng của lực............................................................................................ 9

Hình 1.4. Đường đẳng nhiệt. ................................................................................. 19
Hình 1. 5. Đường đẳng tích. .................................................................................. 19
Hình 1. 6. Đường đẳng tích trên đồ thị p-t. ........................................................... 20
Hình 1. 7. Đường đẳng áp. .................................................................................... 20
Hình 1. 8. Đường đẳng áp trên đồ thị V-t. ............................................................ 21
Hình 1. 9. Khí bị giam trong xylanh. .................................................................... 23
Hình 1. 10. Quá trình cân bằng 1-2. ...................................................................... 23
Hình 1. 11. Nguyên tắc hoạt động của động cơ nhiệt. .......................................... 26
Hình 1.12. Nguyên tắc hoạt động của máy làm lạnh. ........................................... 27
Hình 1.13. Lực tương tác giữa hai điện tích điểm. ................................................ 29
Hình 1.14. Lực điện trường tác dụng lên điện tích q. ........................................... 32
Hình 1.15. Cường độ điện trường gây bởi điện tích điểm. ................................... 33
Hình 1.16. Đường sức điện và vector cường độ điện trường. ............................... 34
Hình 1.17. Số đường sức xuyên qua diện tích ..................................................... 34
Hình 1.18. Đường sức điện trường giữa hai tấm kim loại phẳng, rộng, song song,
mang điện tích trái dấu, có độ lớn bằng nhau. ...................................................... 35
Hình 1.19. Đường sức của một điện tích điểm cơ lập là những đường thẳng xuất phát
từ điện tích dương hoặc kết thúc ở điện tích âm ................................................... 36
Hình 1.20. Đường sức của hệ hai điện tích điểm cùng dấu (a) và trái dấu (b)...... 36
Hình 1.21. Điện thơng gởi qua diện tích S. ........................................................... 37
Hình 1.22. Tụ điện................................................................................................. 38
Hình 1.23. Ghép nối tiếp các tụ điện. .................................................................... 39
Hình 1.24. Ghép song song các tụ điện. ................................................................ 39
Hình 1.25. Dịng điện. ........................................................................................... 41
Hình 1.26. Cường độ dịng điện. ........................................................................... 42
Hình 1.27. Vector mật độ dịng điện. .................................................................... 42
Hình 1.28. Nguồn điện. ......................................................................................... 44
Hình 1. 29. Kí hiệu nguồn điện. ............................................................................ 45
Hình 1.30. Thiết lập định luật Ohm đối với toàn mạch......................................... 45
Hình 1. 31. Mạch phân nhánh. .............................................................................. 46

Hình 1. 32. Mạch gồm n nguồn mắc nối tiếp. ....................................................... 47
Hình 1. 33. Mạch gồm n nguồn giống nhau mắc song song. ................................ 48
Hình 1.34. Ghép hỗn hợp đối xứng. ...................................................................... 48
Hình 1. 35. Đoạn mạch chỉ chứa máy thu. ............................................................ 49
Hình 1. 36. Tương tác giữa hai phần tử dòng điện................................................ 53
Hình 1. 37. Hình dạng đường cảm ứng từ trong dịng điện thẳng (a) và dịng điện trịn
(b) .......................................................................................................................... 54
Hình 1. 38. Từ thơng qua mặt kín ......................................................................... 56
Hình 1. 39. Sự truyền thẳng của ánh sáng. ............................................................ 58
Hình 1. 40. Hiện tượng nhật thực – nguyệt thực. .................................................. 59
Hình 1. 41. Hiện tượng phản xạ ánh sáng. ............................................................ 59
Hình 1. 42. Sự tạo ảnh qua gương phẳng. ............................................................. 60
Hình 1.43. Vật có kích thước cho ảnh qua gương phẳng. ..................................... 60
Hình 1. 44. Sự đổi phương khác nhau của ánh sáng khi đi từ môi trường chiết suất
nhỏ sang môi trường chiết suất lớn hơn và ngược lại. .......................................... 61
Hình 1.45. Lăng kính............................................................................................. 63
iv


Hình 1.46. Đường đi của tia sáng đơn sắc qua lăng kính.......................................64
Hình 1.47. Góc lệch cực tiểu. .................................................................................65
Hình 1.48. Thấu kính có mép mỏng và kí hiệu. .....................................................65
Hình 1.49. Thấu kính có mép dày và kí hiệu. ........................................................66
Hình 1.50. Các yếu tố của thấu kính. .....................................................................66
Hình 1.51. Trục chính và trục phụ. ........................................................................67
Hình 1.52. Tiêu điểm ảnh chính của thấu kính hội tụ (a) và thấu kính phân kỳ (b).67
Hình 1.53. Nguồn sáng ở tiêu điểm vật chính của thấu kính hội tụ (a) và thấu kính
phân kỳ (b). ............................................................................................................67
Hình 1.54. Tiêu diện vật và trục phụ của thấu kính. ..............................................68
Hình 1.55. Chùm tia ló qua tiêu điểm ảnh phụ .....................................................68

Hình 1.56. Đường đi của các tia đặc biệt qua thấu kính hội tụ (a) và thấu kính phân
kỳ (b). .....................................................................................................................69
Hình 1. 57. Tia tới qua quang tâm. ........................................................................69
Hình 1. 58. Vẽ tia ló qua thấu kính theo cách 1. ....................................................70
Hình 1. 59. Vẽ tia ló qua thấu kính theo cách 2. ....................................................70
Hình 1. 60. Sự tạo ảnh bởi thấu kính. ....................................................................70
Hình 1.61. Hệ hai thấu kính hội tụ ghép đồng trục, cách nhau một đoạn . ............72
Hình 2. 1. Hệ trục tọa độ Descartes vng góc ......................................................75
Hình 2. 2. Xây dựng khái niệm vận tốc .................................................................76
Hình 2. 3. Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng .............................................................78
Hình 2. 4. Hệ tọa độ cầu.........................................................................................79
Hình 2. 5. Hệ tọa độ trụ ..........................................................................................80
Hình 2. 6. Chuyển động trịn ..................................................................................82
Hình 2. 7. Chuyển động của vật bị ném .................................................................84
Hình 2. 8. Khối tâm của hệ hai chất điểm ..............................................................85
Hình 2. 9. Bài tập 2.5.5 ..........................................................................................90
Hình 2. 10. Bài tập 2.5.6 ........................................................................................90
Hình 2. 11. Bài tập 2.5.7 ........................................................................................90
Hình 2. 12. Bài tập 2.5.8 ........................................................................................90
Hình 2. 13. Bài tập 2.5.11 ......................................................................................91
Hình 2. 14. Bài tập 2.5.14 ......................................................................................92
Hình 2. 15. Bài tập 2.5.15 ......................................................................................92
Hình 3.1. Xác định vị trí khối tâm của hình quạt ...................................................94
Hình 3. 2. Định lý Huygens – Steiner ....................................................................96
Hình 3.3. Trục quay vng góc với thanh .............................................................96
Hình 3.4. Trục quay khơng vng góc với thanh ..................................................96
Hình 3. 5. Tính moment qn tính của thanh mảnh ...............................................97
Hình 3. 6. Tính moment qn tính của đĩa trịn .....................................................98
Hình 3. 7. Tính moment qn tính của đĩa trịn đối với trục trùng với đường kính99
Hình 3. 8. Cường độ điện trường do một vòng tròn gây ra..................................100

Hình 3. 9. Cảm ứng từ do vịng dây trịn mang dịng điện gây ra ........................101
Hình 3. 10. Xác định cường độ điện trường do quả cầu tích điện gây ra ............103
Hình 3. 11. Bài tập 3.4.6 ......................................................................................105 
Hình 3. 12. Bài tập 3.4.14 ....................................................................................106 
Hình 4. 1. Mạch điện ví dụ 4.1.............................................................................107
Hình 4. 2. Bài giải ví dụ 4.2 .................................................................................107
Hình 4. 3. Ví dụ 4.2 (đề) ......................................................................................109
Hình 4. 4. Ví dụ 4.2 (bải giải) ..............................................................................109
Hình 4. 5. Mạch điện ví dụ 4.6.............................................................................113


Hình 4. 6. Ví dụ 4.6 (bài giải) ............................................................................. 113
Hình 4. 7. Bài tập 4.4.1 ....................................................................................... 116
Hình 4. 8. Bài tập 4.4.2 ....................................................................................... 116
Hình 4. 9. Bài tập 4.4.4 ....................................................................................... 116
Hình 4. 10. Bài tập 4.4.5. .................................................................................... 116
Hình 4. 11. Bài tập 4.4.6 ..................................................................................... 117
Hình 4. 12. Bài tập 4.4.7 ..................................................................................... 117
Hình 4. 13. Bài tập 4.4.8 ..................................................................................... 117
Hình 4. 14. Bài tập 4.4.9 ..................................................................................... 118
Hình 4. 15. Bài tập 4.4.10 ................................................................................... 118
Hình 4. 16. Bài tập 4.4.14 ................................................................................... 119
Hình 4. 17. Bài tập 4.4.15 ................................................................................... 119
Hình 4.18. Bài tập 4.4.17 .................................................................................... 119

vi


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 1. 1. Công suất của một số động cơ, thiết bị. ................................................10 

Bảng 1. 2. Hằng số điện môi của một số chất ........................................................29 
Bảng 1. 3. Chiết suất tuyệt đối của một số chất .....................................................62 



CHƯƠNG 1. NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA VẬT LÝ CỔ
ĐIỂN
1.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC NEWTON
1.1.1. Ba định luật Newton
1.1.1.1. Định luật 1 Newton
Khi nghiên cứu chuyển động của các vật, chúng ta nhận thấy rằng các vật chỉ
bắt đầu chuyển động hay thay đổi trạng thái chuyển động của chúng khi chịu tác
động của vật khác. Tác dụng của một vật lên một vật khác được đặc trưng bởi một
đại lượng vật lý gọi là lực. Ví dụ đồn tàu chỉ chuyển động khi chịu tác dụng của
lực kéo của đầu tàu, chiếc xe đang chuyển động chỉ dừng lại khi chịu lực hãm …
Như vậy, lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của vật này lên vật khác làm
thay đổi trạng thái chuyển động của vật hoặc làm vật bị biến dạng. Lực là đại lượng
vector.
Vector lực có các đặc điểm:
 Điểm đặt của lực: nằm tại vị trí mà lực tác dụng.
 Phương của lực: chỉ đường tác dụng của lực (đường thẳng chứa vector
lực).
 Chiều của lực: chỉ chiều tác dụng của lực.
 Độ lớn của lực: chỉ cường độ của lực.
Nếu một vật đồng thời chịu tác dụng của nhiều lực thì người ta chứng minh
được rằng, tác dụng của các lực tương đương với tác lực của một lực duy nhất, bằng
tổng hình học của các vector lực thành phần. Vector tổng hình học đó được gọi là
vector hợp lực tác dụng lên vật



(1.1)
F   Fi
Nếu tổng tất cả các lực tác dụng vào vật bằng không ta nói các lực tác dụng
vào vật là các lực cân bằng. Khi một vật không chịu tác dụng của một lực nào hay
chịu tác dụng của những lực cân bằng thì vật đó có xu hướng bảo tồn trạng thái
chuyển động của nó. Điều này được Newton khái quát thành định luật, gọi là định
luật 1 Newton.
Định luật: Khi khơng có lực tác dụng hoặc chịu tác dụng của những lực cân
bằng nhau thì vật đứng yên sẽ tiếp tục đứng yên, vật chuyển động sẽ tiếp tục chuyển
động thẳng đều mãi mãi.
Tính chất của vật bảo tồn trạng thái chuyển động của nó khi khơng có lực
tác dụng hoặc chịu tác dụng của những lực cân bằng nhau được gọi là qn tính của
vật. Do đó, định luật 1 Newton cịn được gọi là định luật qn tính. Trạng thái đứng
yên hay chuyển động thẳng đều của vật được gọi là trạng thái cân bằng.
Không giống như các định luật vật lý khác, ta không thể kiểm nghiệm được
định luật này một cách trực tiếp bằng thực nghiệm vì trên Trái Đất khơng thể có bất
kỳ vật nào hồn tồn cơ lập (khơng chịu bất kỳ một lực nào). Do đó, ta coi định luật
này như một nguyên lý (tương tự như một tiên đề trong toán học) mà không chứng

1


minh. Ta chỉ có thể xác nhận sự đúng đắn của định luật này khi kiểm nghiệm các
hệ quả của định luật mà thơi. Định luật qn tính được vận dụng để giải thích nhiều
hiện tượng vật lý trong thực tế chẳng hạn hành khách trên xe bị ngã về sau khi xe
tăng tốc nhưng lại bị chúi về phía trước khi xe hãm phanh; ngã sang phải khi xe rẽ
trái nhưng lại ngã sang trái khi xe rẽ phải.
1.1.1.2. Định luật 2 Newton
Như đã nói ở trên, lực làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật, nghĩa là
làm thay đổi vận tốc của vật hay cung cấp cho vật một gia tốc. Tuy nhiên, dưới tác

dụng của cùng một lực, những vật khác nhau, nói chung, sẽ thu được gia tốc khác
nhau do có mức qn tính khác nhau. Đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của
vật được gọi là khối lượng (quán tính) của vật. Vật có khối lượng lớn thì có qn
tính lớn.
Mối quan hệ giữa gia tốc mà vật thu được với khối lượng của vật và lực tác
dụng lên nó được Newton khái quát thành định luật có nội dung như sau:
Định luật: gia tốc mà một vật thu được tỷ lệ thuận với lực tác dụng vào vật và
tỷ lệ nghịch với khối lượng của vật.

 F
(1.2)
a
m

Nếu vật chịu tác dụng của nhiều lực thì ta thay lực F trong biểu thức (1.2)
bởi hợp lực của các lực tác dụng và thu được:


  Fi Fhl
a

(1.3)
m
m
Biểu thức (1.2) còn cho ta đơn vị đo lực. Nếu chọn m  1kg , a  1
có giá trị 1

m
thì lực
s2

kg.m
, gọi là Newton (ký hiệu là N).
s2

Từ biểu thức (1.3), nếu hợp lực tác dụng vào vật bằng không, nghĩa là các lực
tác dụng vào vật cân bằng nhau, thì gia tốc mà vật thu được bằng không nghĩa là
vật đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Khi đó ta lại thu được kết quả của định
luật 1 Newton. Tuy nhiên, định luật 1 Newton phải được thừa nhận như một định
luật độc lập do ý nghĩa và tầm quan trọng của nó trong nghiên cứu cơ học cổ điển.
1.1.1.3. Định luật 3 Newton
Ta đã biết rằng, khi vật (1) tác dụng lên vật (2) một lực, làm vật tốc của vật
(2) thay đổi thì thực tế cho thấy vận tốc của vật (1) cũng thay đổi. Nghĩa là vật (2)
cũng đồng thời tác dụng trở lại vật (1) một lực. Quá trình này được gọi là tác dụng
tương hỗ hay tương tác. Định luật 3 Newton cho ta mối quan hệ giữa các lực xuất
hiện trong quá trình tương tác giữa hai vật.
Định luật: lực tương tác giữa hai vật là những lực trực đối.
Hai vector lực được gọi là trực
 đối nếu chúng có cùng phương, ngược chiều

nhưng cùng độ lớn với nhau. Gọi F12 là lực do vật (1) tác dụng lên vật (2) và F21 là
lực do vật (2) tác dụng lên vật (1) trong quá trình tương tác thì biểu thức của định
luật 3 Newton là

2




F21   F12

(1.4)

Về mặt toán học, biểu thức (1.4) có thể viết lại thành


F21  F12  0
(1.5)


Tuy nhiên, hai lực F12 và F21 không phải là hai lực cân bằng nhau do chúng
đặt vào hai vật khác nhau. Một trong hai lực được gọi là lực, lực còn lại gọi là phản
lực (hình 1.1).
(1)

(2)

Hình 1.1. Lực tương tác theo định luật 3 Newton
Định luật 3 Newton cho ta cách mơ tả định lượng về q trình tương tác giữa
các vật và được vận dụng để giải thích nhiều hiện tượng vật lý trong thực tế. Chẳng
hạn khi một người từ thuyền bước lên bờ thì thuyền bị dạt ra xa bờ.
1.1.1.4. Các lực cơ học
Trong cơ học, có ba loại lực chủ yếu, đó là: lực hấp dẫn, lực đàn hồi và lực
ma sát. Các lực này xuất hiện trong quá trình tương tác cơ học giữa các vật với nhau
và tuân theo định luật 3 Newton.
Lực hấp dẫn
Lực hấp dẫn là lực tương tác giữa hai vật có khối lượng (hấp dẫn). Lực hấp
dẫn được Newton phát hiện khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh quanh
Mặt Trời và được phát biểu thành định luật vạn vật hấp dẫn có nội dung như sau:
Hai vật (có khối lượng) bất kỳ luôn hút nhau bằng một lực có độ lớn tỷ lệ

thuận với khối lượng của hai vật và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa
chúng.
Giả sử hai vật có khối lượng lần lượt là m1 và m2 nằm cách nhau một khoảng

r12 (hướng từ m1 đến m2 ) thì biểu thức lực hấp dẫn giữa hai vật là



mm
F12  F21  G 1 2 2
r12
Trong đó, G  6,67.1011

(1.5)
Nm 2
là hằng số hấp dẫn.
kg 2

Nếu chú ý đến chiều của các vector lực và vector khoảng cách thì ta có thể
viết biểu thức định luật vạn vật hấp dẫn dạng vector như sau


mm 
mm 
F12   F21  G 1 3 2 r12  G 1 3 2 r21
(1.6)
r12
r21
Lực hấp dẫn có giá trị rất nhỏ đối với các hệ vĩ mô mà chỉ đáng kể đối với thế
giới siêu vĩ mô, như trong khảo sát chuyển động của các hành tinh. Chẳng hạn lực

hấp dẫn giữa hai con tàu có khối lượng 100 tấn (mỗi con) nằm cách nhau 1 km là
khoảng một phần triệu N còn lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng là khoảng
3


1020 N . Lực hấp dẫn là lực tác dụng tầm xa, khơng cần thơng qua q trình tiếp xúc
trực tiếp giữa các vật.
Trọng lực
Một trường hợp đặc biệt của lực hấp dẫn là trọng lực. Trọng lực là lực hấp
dẫn của Trái Đất tác dụng lên các vật trên mặt đất. Sử dụng biểu thức (1.5) ta có thể
tính được trọng lực của một vật có khối lượng m trên mặt đất là



Mm 
P  G 3 R  mg
R

(1.7)


Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính Trái Đất, g được gọi
là gia tốc trọng trường trên mặt đất (do trọng lực gây ra cho mọi vật). Nếu coi Trái
Đất là một khối cầu đồng nhất có bán kính R  6400 km và khối lượng
M  6.1024 kg thì gia tốc trọng trường trên mặt đất có giá trị khơng đổi và bằng
g G

M
m
 9,77 2

2
R
s

(1.8)

Tuy nhiên, trong thực tế do chuyển động tự quay và hình dạng phỏng cầu Trái
Đất mà gia tốc trọng trường có giá trị sai khác so với (1.8) và thay đổi theo vĩ độ.
m
Thông thường, người ta thường sử dụng g  9,81 2 . Trong những trường hợp
s
m
khơng cần độ chính xác cao, ta có thể lấy g  10 2 .
s
Nếu vật đặt cách mặt đất một đoạn h thì gia tốc trọng trường tại đó là

g G

M

 R  h

2

(1.9)

Biểu thức (1.9) cho thấy, gia tốc trọng trường giảm theo độ cao tính từ mặt
đất.

Lực đàn hồi

Như đã đề cập ở trên, khi một lực tác dụng vào vật thì hoặc là làm thay đổi
gia tốc của vật hoặc là làm vật bị biến dạng. Lực đàn hồi là lực xuất hiện khi một
vật bị biến dạng đàn hồi và có xu hướng đưa vật trở lại hình dạng và kích thước ban
đầu, chống lại nguyên nhân gây ra biến dạng.
Đối với một vật rắn bị biến dạng đàn hồi, lực đàn hồi tuân theo định luật
Hooke: trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỷ lệ với độ biến dạng của vật.


(1.10)
F   k l
Dấu “  ” trong biểu thức (1.10) để chỉ lực đàn hồi luôn ngược chiều biến
dạng. Hệ số tỷ lệ k được gọi là hệ số đàn hồi (độ cứng) của vật. Đối với một vật có
dạng thanh mảnh hình trụ, hệ số đàn hồi được xác định bằng biểu thức

kE

S
l0

(1.11)

E là suất Young (phụ thuộc vào bản chất của vật liệu cấu tạo nên thanh), S
và l0 lần lượt là diện tích tiết diện ngang và chiều dài tự nhiên của thanh.
4


Lực căng dây là một trường hợp đặc biệt cua lực đàn hồi khi vật liên kết là
sợi dây. Lực căng dây ln có phương tiếp tuyến với dây và luôn là lực kéo.

Lực ma sát

Khi một vật chuyển động trên bề mặt một
 vật khác thì theo định luật III
Newton mặt này sẽ tác dụng lên vật một lực R gọi là phản
 lực của bề mặt. Thực
nghiệm chứng tỏ rằng trong trường hợp tổng quát phản lực R có thể phân tích thành
hai thành phần:
  
R  N  Fms
(1.12)

Thành phần N vng góc với bề mặt gọi là phản lực pháp tuyến. Thành phần

Fms cùng phương nhưng ngược chiều với chuyển động gọi là lực ma sát. Lực ma
sát luôn cản trở chuyển động. Người ta phân chia lực ma sát thành các loại: lực ma
sát nghỉ, lực ma sát trượt và lực ma sát lăn.

Hình 1. 2. Phản lực pháp tuyến và lực ma sát
Lực ma sát xuất hiện khi một vật có xu hướng chuyển động (vẫn chưa chuyển
động) trên bề mặt của một vật khác gọi là ma sát nghỉ. Lực ma sát nghỉ khơng có
giá trị xác định, nó phụ thuộc vào giá trị của lực kéo tác dụng vào vật, làm vật có
xu hướng chuyển động. Lực ma sát nghỉ trực đối với thành phần tiếp tuyến của lực
kéo tác dụng vào vật.

Khi lực kéo F lớn hơn giá trị giới hạn Fms thì vật bắt đầu trượt. Lực ma sát
khi đó gọi là ma sát trượt. Trong thực tế khi vận tốc trượt không lớn lắm lực ma sát
trượt xác định bằng biểu thức

Fmst  t N

(1.13)

Trong đó t là hệ số ma sát trượt, phụ thuộc vào bản chất của hai bề mặt tiếp
xúc và có giá trị khơng âm, nhỏ hơn 1.
Lực ma sát xuất hiện khi một vật lăn trên bề mặt một vật khác gọi là lực ma
sát lăn. Lực ma sát lăn cũng có biểu thức giống với (1.13)

Fmsl  l N

(1.14)

l gọi là hệ số ma sát lăn, nó thường nhỏ hơn hệ số ma sát trượt nhiều đối
với cùng hai bề mặt tiếp xúc nên khi cần giảm ma sát, người ta thay chuyển động
trượt thành chuyển động lăn.

5


1.1.2. Định luật bảo toàn động lượng
1.1.2.1. Khái niệm động lượng
Trong nghiên cứu quá trình truyền tương tác giữa các vật, người ta nhận thấy
rằng, khơng chỉ có vận tốc mà cả khối lượng cũng ảnh hưởng đến khả năng truyền
tương tác giữa các vật. Do đó, một đại lượng có thể đặc trưng khả năng truyền tương
tác giữa các vật phải chứa cả vận tốc và khối lượng của vật.
Động lượng của một chất điểm được định nghĩa bằng tích khối lượng của chất
điểm với vector vận tốc của chất điểm đó.


p  mv
(1.15)
Động lượng và một đại lượng vector. Vector động lượng của một chất điểm

luôn cùng hướng với vector vận tốc của chất điểm đó.
Đơn vị của động lượng là:

kg.m
.
s

Đối với một hệ có n chất điểm. Chất điểm thứ i có khối lượng mi , chuyển

động với vận tốc vi nên có động lượng


(1.16)
pi  mi vi
Động lượng tổng của hệ được xác định từ động lượng của mỗi chất điểm và
có biểu thức
n
 n 

p   pi   mi vi
1

(1.17)

1

1.1.2.2. Định luật bảo toàn động lượng
Trước hết ta hãy xét sự thay đổi động lượng của một chất điểm.
Theo định luật II Newton, phương trình động lực học mơ tả chuyển động của
chất điểm có dạng:


 F
a
(1.18)
m

F là hợp tất cả các lực tác dụng vào chất điểm.
Chú ý rằng:

 dv
a
dt
Ta sẽ được:

dp 
F
dt

(1.19)

(1.20)

Biểu thức (1.20) mang nội dung của định lý biến thiên động lượng của chất
điểm rằng: tốc độ biến thiên động lượng của một chất điểm bằng hợp lực tác dụng
vào chất điểm đó.
Đối với hệ gồm n chất điểm. Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (1.17) theo thời
gian ta được:
6




dp
dvi

  mi
  mi ai   Fi
dt
dt
i
i
i

(1.21)

Vế phải của (1.21) chính là tổng của tất cả các lực tác dụng lên hệ. Ta phân
tích tổng này thành hai số hạng: tổng các nội lực (lực tương tác giữa các chất điểm
trong hệ với nhau) và tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ từ bên ngồi. Vì các nội
lực luôn xuất hiện thành từng cặp trực đối theo định luật 3 Newton nên tổng các lực
này bằng không. Biểu thức (1.21) có thể viết lại thành:



dp
  Fi e  F e
(1.22)
dt
i
Biểu thức (1.22) là biểu thức của định lý biến thiên động lượng hệ chất điểm.

Định lý: Tốc độ biến thiến động lượng của một hệ chất điểm bằng tổng ngoại
lực tác dụng lên hệ chất điểm đó.
Tiếp tục biến đổi (1.22) thành:
 
dp  F edt
(1.23)


Đại lượng F edt ở vế phải được gọi là xung lượng của lực F e trong thời gian
dt . Vậy độ biến thiên động lượng của hệ chất điểm trong một khoảng thời gian
bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên hệ trong thời gian đó. Cũng chính vì lí
do này mà động lượng cịn có tên gọi khác là xung lượng.
Nếu khơng có ngoại lực tác dụng lên hệ hoặc hợp của ngoại lực bằng không
(các ngoại lực cân bằng nhau) thì vế phải của (1.22) bằng khơng nên:

dp
 
 0  p  const
(1.24)
dt
Biểu thức (1.24) là biểu thức của định luật bảo toàn động lượng. Hệ mà khơng
có ngoại lực tác dụng hoặc các ngoại lực cân bằng nhau được gọi là hệ kín. Vậy
trong hệ kín, vector tổng động lượng của hệ được bảo tồn.
Trong thực tế ta khơng bắt gặp những hệ kín lý tưởng. Tuy nhiên, trong một
số điều kiện nhất định ta có thể xem hệ là kín. Hệ như vậy được gọi là hệ tựa kín.
Những hệ tựa kín thường gặp là hệ có ngoại lực rất nhỏ so với nội lực nên có thể
bỏ qua hoặc ngoại lực tác dụng lên hệ bằng khơng trên một phương nào đó thì ta
nói hệ kín trên phương đó.
Định luật bảo tồn động lượng có nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như
trong khoa học kỹ thuật. Chẳng hạn nó có thể giúp giải thích hiện tượng súng giật

lùi khi bắn, giải bài tốn đạn nổ hay giải thích ngun lý hoạt động của tên lửa,
chuyển động bằng phản lực.

Ví dụ 1.1: Một viên đạn có khối lượng 10 g đang bay theo phương ngang với
tốc độ 100 m/s thì xuyên qua một bức tường trong thời gian 0,01 s. Sau khi xuyên
qua tường, tốc độ của đạn giảm cịn 20 m/s. Tìm độ lớn lực cản trung bình của
tường tác dụng vào đạn.
Giải:
Sử dụng định lý biến thiên động lượng:
 
p  F t

7


m  v  v0   F  t

F 

m  v0  v 
t

F 

10.103 100  20 
 80 (N)
0, 01

Ví dụ 1.2. Bài tốn đạn nổ
Một quả đạn có khối lượng 200 g đang bay theo phương ngang với tốc độ 30

m/s thì nổ thành hai mảnh. Mảnh thứ nhất có khối lượng 80 g bay thẳng đứng hướng
lên với tốc độ 100 m/s. Xác định tốc độ và hướng bay của mảnh thứ hai.

Giải:
Khi đạn nổ, lực tương tác giữa các phần của đạn (nội
lực) rất lớn so với trọng lực của các mảnh (ngoại lực). Do đó
ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực, xem hệ là kín và
áp dụng định luật bảo tồn động lượng cho q trình nổ của
đạn.
Trước va chạm, động lượng của đạn là:


p  mv
Sau va chạm, động lượng của hai mảnh là:



p  m1v1  m2 v2


m1v1




mv


m2v2
Hình 1.3. Ví dụ 1.2

Suy ra:




mv  m1v1  m2v2
Từ hình vẽ suy ra:

 m2v2 
v2 

v2 

2

  m1v1    mv 
2

 m1v1 

2

  mv 

2

2

m2

80.100

2

  200.30 

120

2



250
(m/s).
3

Hướng bay của mảnh thứ hai được xác định nhờ góc  :

tan  

m1v1 80.100 4


mv 200.30 3

  500
Ví dụ 1.3. Chuyển động bằng phản lực
Một tên lửa có khối lượng tổng cộng 10 T đang bay với vận tốc 200 m/s đối
với Trái Đất thì phụt ra phía sau (tức thời) khối lượng khí 2 T với vận tốc 500 m/s

8


đối với tên lửa, coi vận tốc v của khí khơng đổi. Tìm vận tốc tức thời của tên lửa
sau khi phụt khí.

Giải:
Khi tên lửa phụt khí thì lực tương tác giữa phần cịn lại của tên lửa và khối
khí phụt ra là rất lớn so với lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên tên lửa. Do đo,
hệ khí và tên lửa được xem là hệ kín.
Gọi v là vận tốc của tên lửa sau khi phụt khí. Định luật bảo toàn động lượng
cho ta:



mv  mv  mk vk

Trong đó vk là vận tốc của khối khí đối với Trái Đất.
  
vk  u  v
Do các vector đều cùng phương nên ta có thể viết:
mv  mv  mk vk  mv  m k  u  v 

v 

mv  m k  u  v 
m

v 

10.200  2  500  200 
 325 (m/s).
8

1.1.3. Công và năng lượng
1.1.3.1. Công và công suất


Lực F tác dụng lên vật làm
cho điểm đặt của lực di chuyển một

đoạn ds (hình 1.3), ta nói cơng
ngun tố của lực F trên đoạn

đường ds bằng:


F

 
ds
Hình 1.4. Công của lực

 

 A  Fds

(1.25)

Hay

 A  Fds cos 
 

, ds .
Trong đó   F

(1.26)

 


Nếu 0    900 thì cos   0 , ta nói lực F thực hiện cơng phát động.

Nếu 900    1800 thì cos   0 , ta nói lực F thực hiện cơng cản.

0


90
(lực
F
vng góc với đoạn dịch chuyển) thì cos   0 , ta nói
Nếu

lực F khơng thực hiện cơng.

9

Như vậy cơng cơ học là đại lượng có giá trị đại số, có thể âm, dương hoặc
bằng khơng. Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của công là Joule, ký hiệu J.
1J  1N .m

Nếu cần tính cơng trên đoạn đường từ vị trí (1) đến vị trí (2) ta lấy tích phân
hai vế biểu thức (1.26):
A12 

A

s

2

 

 Fds

(1.27)

1

Ở đây cần chú ý rằng, công A là hàm của q trình nên cơng ngun tố  A ,
chỉ có giá trị xác định khi điểm đặt của lực dịch chuyển một đoạn đường nhất định,
không phải là vi phân cơng (vi phân tồn phần). Tích phân trong (1.27) lấy theo
quãng đường dịch chuyển của vật (tích phân đường). Vì vậy, trong trường hợp tổng
qt, cơng trên một đoạn đường dịch chuyển của vật phụ thuộc vào vị trí điểm đầu,
điểm cuối và cả hình dạng đường đi của vật.
Thực tế chứng minh rằng, đại lượng công không đặc trưng đầy đủ cho khả

năng làm việc của người hay máy móc. Để so sánh khả năng làm việc của hai thiết
bị người ta so sánh công mà chúng thực hiện được trong cùng một khoảng thời gian.
Khoảng thời gian được chọn thường là một đơn vị thời gian (một giây) và cơng sinh
ra trong thời gian đó gọi là công suất.
Công suất là đại lượng đặc trưng cho tốc độ thực hiện công của lực, được đo
bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian.

Giả sử trong thời gian t , lực F thực hiện một công A thì cơng suất trung
bình của lực trong thời gian đó là:

Ptb 

A
t

(1.28)

Nếu thời gian t là vơ cùng nhỏ thì cơng suất trung bình dần về giá trị cơng
suất tức thời của lực F ở thời điểm t:

A  A

t 0 t
dt

P  lim

(1.29)

Đơn vị của công suất là Watt (W)

1W  1

J
s

Trong kỹ thuật, người ta thường dùng đơn vị mã lực (sức ngựa) để đo công
suất.

1Hp  736W
Bảng 1. 1. Công suất của một số động cơ, thiết bị.

Tên động cơ

Công suất P

Tên động cơ

Công suất P

Người

40 – 80W

Tên lửa

20MW

Ngựa

Cỡ 700W

Mặt Trời

3,7.10 MW

10

20


Ôtô
Đầu máy xe lửa

20 – 300kW

Nhà
máy
nhiệt điện Ô Môn 1

1 – 3MW

Nhà máy thủy điện 5GW
Hịa Bình

660 MW

Từ biểu thức công suất tức thời (1.29) ta thay biểu thức công nguyên tố
  
 A  Fd s  Fvdt

(1.30)
Và thu được:

P  Fv

(1.31)

Cơng suất bằng tích vơ hướng của lực với vận tốc của vật.
Biểu thức (1.31) được sử dụng làm nguyên tắc hoạt động của hộp số của mơtơ.
Đối với động cơ thì cơng suất do động cơ sinh ra là hoàn toàn xác định. Nếu cần
lực kéo lớn thì vận tốc chuyển động của xe phải nhỏ, là trường hợp xe chuyển động
trên đường dốc, đường gồ ghề hay lúc mới bắt đầu chuyển động. Ngược lại khi chạy
trên đường bằng phẳng nằm ngang, vận tốc của xe lớn thì lực kéo có giá trị nhỏ.
Thiết bị dùng để thay đổi lực kéo theo yêu cầu này chính là hộp số.
Trong biểu thức (1.31), nếu lực sinh cơng và vận tốc là cùng hướng thì ta có
thể viết:

P  Fv

(1.32)

1.1.3.2. Động năng và định lý biến thiên động năng

Định nghĩa động năng
Một vật chuyển động thì có khả năng thực hiện cơng, ta nói vật chuyển động
có mang năng lượng. Năng lượng của vật có được do chuyển động gọi là động năng.
Động năng của chất điểm tỷ lệ với khối lượng của nó và bình phương vận tốc:

T

1 2
mv
2

(1.33)

Nếu có hệ n chất điểm chuyển động tịnh tiến thì động năng của hệ bằng tổng
động năng của từng chất điểm:
n
n
1
T   Ti   mi vi2
i 1
i 1 2

(1.34)

Nếu hệ chất điểm là vật rắn chuyển động tịnh tiến thì tất cả các chất điểm trên

vật đều có vận tốc như nhau và bằng v nên:

T


1 2
mv
2

(1.35)

Nếu vật rắn chỉ tham gia chuyển động quay quanh trục    với vận tốc góc

 thì động năng của vật trong trường hợp này được gọi là động năng quay và có
biểu thức:
T

1
J  2
2

(1.36)

11


Với J  là moment quán tính của vật đối với trục    (sẽ xem xét chi tiết hơn
trong chương 2).
Nếu vật rắn chuyển động bất kỳ thì, chuyển động của vật được phân tích thành
chuyển động tịnh tiến cùng với điểm cực C và chuyển động quay quanh điểm cực
C đó. Thường điểm cực C được chọn chính là khối tâm của vật (sẽ trình bày ở
chương 2). Do đó, động năng của vật cũng gồm hai phần: động năng tịnh tiến cùng
với điểm cực C và động năng quay quanh điểm cực C:

T

1 2 1
mvC  J C 2
2
2

(1.37)

Từ biểu thức định nghĩa ta thấy động năng luôn là một số không âm.

Định lý biến thiên động năng.



Xét chất điểm có động lượng p chịu tác dụng của lực F . Từ biểu thức của
định lý biến thiên động lượng
 dp d  mv 
F

dt
dt


Công nguyên tố của lực F trên di chuyển ds là:
  d  mv  
 A  Fds 
ds
dt
 
(1.38)
 A  mvdv
Lấy tích phân đường hai vế từ vị trí (1) đến vị trí (2) dọc theo quỹ đạo của
chất điểm sẽ được:
 2

 2

1

1

 

  A   mvdv

A12 

1 2 1 2
mv2  mv1
2
2

A12  T2  T1

(1.39)

Biểu thức (1.39) mang nội dung của định lý biến thiên động năng: độ biến
thiên động năng của chất điểm trên một đoạn đường nào đó bằng cơng của lực tác
dụng lên chất điểm trên đoạn đường đó.
Đối với hệ chất điểm là vật rắn, người ta cũng chứng minh được định lý có
nội dung tương tự: độ biến thiên động năng của vật rắn trên một đoạn đường bằng
tổng công của ngoại lực tác dụng lên vật rắn trên đoạn đường đó.

A12e  T2  T1

(1.40)

Trong đó A12e là tổng công của ngoại lực thực hiện trên đoạn đường mà vật
dịch chuyển.

Ví dụ 1.4. Một ơ tơ (xem như chất điểm) có khối lượng 500 kg bắt đầu chuyển
động từ trạng thái nghỉ. Sau khi đi được 100 m trên đường nằm ngang thì đạt tốc

12


độ 36 km/h. Biết hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường là 0,05. Lấy g  10 m/s2
. Tìm độ lớn của lực kéo của động cơ ô tô.

Giải
Dùng định lý biến thiên động năng:

T2  T1  Ak  Ams
Với

1
T2  T1  mv 2 ; Ak  Fk s ; Ams   Fms s    mgs
2
Suy ra:

1 2
mv  Fk s   mgs
2
Fk 

mv 2

  mg
2s

Fk 

500.102
 0, 05.500.10  500 (N).
2.100

1.1.3.3. Thế năng


Trở lại biểu thức tính cơng của lực F khi vật di chuyển từ vị trí (1) đến vị trí
(2) trong khơng gian
2

A12 

 

 Fdr

(1.41)

1

Nếu cơng của lực này khơng phụ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo mà chỉ
phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo thì lực F được gọi là lực
thế. Khi đó, hàm dưới dấu tích phân có thể viết thành vi phân tồn phần của một


hàm theo tọa độ U  r  chỉ phụ thuộc vào vị trí trong trường lực.
Biểu thức (1.41) có thể được viết lại thành
 2



A12    dU  U  r1   U  r2 

(1.42)

1


Hàm U  r  được định nghĩa từ (1.42) đặc trưng cho trường lực thế về phương

diện năng lượng trong tương tác với các vật đặt trong trường được gọi là hàm thế
hay thế năng của trường lực thế.
Cũng cần chú ý rằng, hàm thế năng được định nghĩa từ (1.42) là không đơn


giá. Thật vậy, nếu thay U  r  bằng hàm U  r   C thì ta cũng có:





A12  U  r1   C   U  r2   C   U  r1   U  r2 

(1.43)

Biểu thức này chứng tỏ rằng, hàm thế năng được xác định sai khác nhau một
hằng số cộng nhưng hiệu thế năng giữa hai điểm trong trường lực thế luôn được
xác định đơn giá. Hằng số cộng này được xác định dựa vào gốc thế năng.
13


Khi đó biểu thức cơng của lực thế có thể được viết thành:
 2

 

 Fds  U

1

1

 U2

(1.44)

Biểu thức (1.44) cho thấy hiệu thế năng giữa hai điểm trong trường lực thế
bằng lưu thông của lực thế dọc theo một quỹ đạo bất kỳ nối hai điểm đó.
Nếu điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo trùng nhau thì hiệu ở vế phải bằng
không, nghĩa là lưu thông của lực thế dọc theo một đường khép kín trong trường
thực thế bằng không.
 
(1.45)
 Fds  0
 L

Trong cơ học, ta có hai loại lực là lực thế đó là: lực hấp dẫn và lực đàn hồi.
Hai loại lực này có dạng biểu thức khác nhau nên thế năng của chúng cũng có dạng
khác nhau. Người ta chứng minh được biểu thức thế năng của hai loại lực này có
dạng như sau:

 Thế năng của lực hấp dẫn:

U  r   G

m1m2
C
r

(1.46)

Nếu chọn mốc thế năng ở vô cùng thì C  0 và biểu thức thế năng hấp dẫn
trở thành:

U  r   G

m1m2
r

(1.47)

Trong trường hợp đặc biệt, lực hấp dẫn là trọng lực tại những điểm gần mặt
đất, ta có biểu thức thế năng trọng trường là:
U  z   mgz  C

(1.48)

Nếu chọn mốc thế năng ở mặt đất thì C  0 và biểu thức thế năng trọng trường
là:
U  z   mgz

(1.49)

 Thế năng lực đàn hồi của lò xo:

U  x 

1 2
kx  C
2

(1.50)

Trong đó, k là hệ số đàn hồi, x là độ biến dạng của lò xo. Nếu chọn mốc thế
năng tại vị trí lị xo khơng biến dạng thì C  0 và biểu thức thế năng đàn hồi là

U  x 

1 2
kx
2

(1.51)

1.1.3.4. Cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng

Xét một cơ hệ chuyển động chỉ chịu tác dụng của trường lực thế. Ta đã có
quan hệ giữa cơng của lực thế và độ biến thiên động năng của hệ:

14


A12  T2  T1  U1  U 2

(1.52)

Chuyển vế ta được:

T1  U1  T2  U 2

(1.53)

Đại lượng E  T  U được gọi là cơ năng của hệ trong trường lực thế.
Biểu thức (1.53) được viết lại thành:

E1  E2 hay E  const

(1.54)

Biểu thức (1.54) mang nội dung của định luật bảo toàn cơ năng: khi cơ hệ
chuyển động chỉ dưới tác dụng của lực thế thì tổng cơ năng của hệ được bảo toàn.
Nếu hệ chuyển động dưới tác dụng của cả những lực khơng phải lực thế thì
cơng của ngoại lực bằng tổng công của lực thế với công của các lực không phải lực
thế, biểu thức định lý biến thiên động năng cho ta:

A12  T2  T1  A12kthe  A12the

(1.55)

T2  T1  A12kthe  U1  U 2

T2  U 2   T1  U1   A12kthe
E2  E1  A12kthe
E  A12kthe

(1.56)

Biểu thức (1.56) cho thấy độ biến thiên cơ năng của hệ trên một đoạn đường
bằng công của những lực không phải lực thế thực hiện trên đoạn đường đó.

1.2. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA NHIỆT HỌC VÀ NHIỆT ĐỘNG LỰC
HỌC
1.2.1. Mơ hình khí lý tưởng
Khi khảo sát chất khí, người ta nhận thấy có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng đến
tính chất của nó. Việc xem xét một cách đầy đủ ảnh hưởng của tất cả các yếu tố này
là rất phức tạp. Do đó, một hướng tiếp cận hiệu quả là xây dựng một mẫu chất khí
trong đó ta đã loại bỏ những yếu tố thứ yếu, không ảnh hưởng nhiều đến đặc trựng
của khối khí. Mẫu khí như vậy được gọi là mẫu khí lý tưởng với những đặc điểm
sau:

 Một khối khí bất kì bao gồm một số rất lớn các phân tử khí (  1010 phân
tử) và các phân tử khí này có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng.
 Các phân tử khí luôn chuyển động hỗn loạn không ngừng và chỉ tương tác
với nhau khi va chạm.
 Va chạm giữa các phân tử khí với nhau hay giữa phân tử khí với thành
bình là hồn tồn đàn hồi.

Dựa vào mẫu khí lý tưởng, sau đây ta sẽ xét một số vấn đề cơ bản của chất
khí như áp suất, nhiệt độ, phương trình trạng thái,…

15


Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn khơng ngừng va chạm vào thành bình
và gây ra một lực nén của khí tác dụng vng góc vào bề mặt S bất kì của thành
bình, tạo nên áp suất của chất khí. Ta có:

F
(1.57)
S
trong đó p là áp suất của chất khí, F là lực nén của khí vng góc với diện tích S
của thành bình.
p

Áp suất của chất khí là một trong các đại lượng cơ bản đặc trưng cho tính chất
của chất khí. Nếu chuyển động của các phân tử khí càng nhanh, tức là động năng
của các phân tử khí càng lớn, thì các phân tử khí tác dụng vào thành bình những lực
nén càng lớn, gấy ra áp suất càng lớn. Ngoài ra, mật độ các phân tử khí càng lớn thì
khả năng va chạm với thành bình càng cao, suy ra áp suất càng lớn.

1.2.2. Phương trình trạng thái khí lý tưởng
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho
trạng thái khí. Đó là áp suất p, nhiệt độ T và thể tích V của một khối lượng khí xác
định. Các đại lượng này được gọi là các thơng số trạng thái. Chúng khơng phải hồn
tồn độc lập đối với nhau. Mỗi một thông số trạng thái là hàm số của hai thơng số
kia. Phương trình nêu lên mối liên hệ giữa ba thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích
của một khối lượng khí xác định được gọi là phương trình trạng thái và có thể viết

dưới dạng tổng quát như sau:
p  f V , T 

(1.58)

Điều này có nghĩa là chỉ cần hai thơng số để xác định trạng thái của một khối
khí (chẳng hạn áp suất và thể tích, áp suất và nhiệt độ hay thể tích và nhiệt độ),
thơng số thứ ba được xác định một cách đơn giá bởi hai thông số kia. Nếu phương
trình trạng thái được viết dưới dạng tường minh (nghĩa là có mặt cả ba thơng số) thì
một thơng số bất kì nào cũng có thể tính được nếu biết hai thơng số kia.
Đối với khí lý tưởng, dựa vào thuyết động học phân tử, người ta có thể thiết
lập biểu thức quan hệ giữa áp suất và nhiệt độ dưới dạng

p  nkT

(1.59)

J
là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ tuyệt đối; n
mol.K
là mật độ phân tử khí. Nếu gọi N là số phân tử khí chứa trong thể tích V thì số phân
tử khí chứa trong một đơn vị thể tích là:
Với k  1,38.1023

n

N
V

(1.60)

Thay (1.60) vào (1.59), ta được:

pV  NkT

(1.61)

Mặt khác, số phân tử N có trong khối lượng m của một chất là

N

m



NA

Thay (1.62) vào (1.61), ta được phương trình:

16

(1.62)


pV 

m

N AkT



(1.63)

Trong phương trình này có hai hằng số đó là hằng số Avogadro N A và hằng
số Boltzmann k. Tích số của chúng dĩ nhiên cũng là một hằng số gọi là hằng số khí
lý tưởng và thường được kí hiệu là R, với:

R  8,31

J
atm.l
at.l
 0,082
 0,082
mol.K
mol.K
mol.K

Khi đó phương trình (1.63) được viết lại như sau:

pV 

m



RT

(1.64)

Phương trình (1.64) được gọi là phương trình Mendeleev – Clapeyron. Đó
chính là phương trình trạng thái áp dụng cho một khối khí lý tưởng bất kì.
Đối với một khối khí lý tưởng xác định ( m  const ), ta có:

pV
 const
T

(1.65)

Vậy, với một khối khí xác định, khi biến đổi từ trạng thái (1) sang trạng thái
(2) thì:

p1V1 p2V2

T1
T2

(1.66)

Các phương trình (1.65) và (1.66) là các phương trình trạng thái của một khối
khí lý tưởng xác định.

Ví dụ 1.5. Một bình kín chứa 10 g khí hidro (được xem là khí lý tưởng) ở nhiệt
độ 117 o C và áp suất 8,2 at.
a) Tính thể tích của khối khí hidro chứa trong bình?
b) Hơ nóng khối khí trên đến nhiệt độ 152o C (bỏ qua sự dãn nở vì nhiệt của
bình), tính áp suất của khối khí khi đó?
Giải:

a) Áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng, ta có:

pV 

m



RT  V 

10.8,31.(117  273)
 0,02 m3  20 l .
2.8, 2.9,81.104

Vậy thể tích của khối khí hidro chứa trong bình là 20 l.
b) Do thể tích của bình khơng đổi nên V  const
Áp dụng định luật Charles cho khối khí hidro biến đổi từ trạng thái (1) đến
trạng thái (2):

p1 p2
(152  273)
.8, 2  8,94 at .

 p2 
T1 T2
(117  273)
Vậy áp suất của khối khí sau khi hơ nóng là 8,94 at.

17