ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN)

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TỐN)
Mã số mơn học: TN2216
Số tín chỉ: 02
Lý thuyết: 24 tiết
Bài tập, thảo luận: 12 tiết

1


CHƯƠNG 1
Đại số K [ x ] và số học trong K [ x ]
Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)
A) MỤC TIÊU:
- Biết về một số khái niệm về đại số K [ x ] (Phép cộng, phép nhân, luật ngoài, phép hợp đa thức;
phép đạo hàm, hàm đa thức và hàm đa thức nhiều ẩn) và số học trong K [ x ] (Phép chia hết; ước
chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, đa thức nguyên tố cùng nhau, đa thức bất khả quy và phép
chia theo lũy thừa tăng).
- Hiểu được mối quan hệ giữa các khái niệm về đại số K [ x ] và số học trong K [ x ] .
- Vận dụng các phép toán cơ bản trên đa thức trong thực hành tính tốn.
B) NỘI DUNG:
Ta đã biết đến các hàm đa thức f : ℝ → ℝ

ở Trung học phổ thông. Các

x ֏ a 0 + a 1 x + ... + a n x n

tính chất của

f

được suy ra từ các hệ tử

a0 ,..., an ; do đó ta sẽ xét và nghiên cứu các đa thức

“hình thức”.
Dẫu rằng

a0 ,..., an

là thực, các tính chất của

f

có thể liên quan đến các thể phức, đó là lí do

tại sao ta xét và nghiên cứu các đa thức với hệ tử phức và tổng quát hơn, với hệ tử trong một thể
giao hốn.
Trong thực tế thì thông thường là
1.1. Đại số

K = ℝ hoặc K = ℂ.

K[X ]

1.1.1. Phép cộng, phép nhân
a) Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1.
1) Với mọi dãy

của

( an )n∈ℕ thuộc K ℕ , ta gọi tập hợp các n thuộc ℕ sao cho an ≠ 0 là giá

( an )n∈ℕ .

2) Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong

K ) là dãy ( an )n∈ℕ
2

bất kì thuộc

K ℕ có giá hữu hạn.


Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong
Như thế,

K

được kí hiệu là

K [ X ] (hoặc K (

ℕ)

).

K [ X ] ⊂ K ℕ và với mọi dãy ( an )n∈ℕ thuộc K ℕ :

( an )n∈ℕ ∈ K [ X ] ⇔ ( ∃N ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, ( n > N ⇒ an = 0 ) ) .
Các phần tử của

K [ X ] cũng được gọi là đa thức hình thức.

Ta kí hiệu 0 là dãy hằng không thuộc

K ℕ (xác định bởi: ∀n ∈ ℕ , an = 0 ), được gọi là đa

thức không.
Đa thức hằng là các đa thức
Đơn thức là các đa thức

( an )n∈ℕ thuộc K [ X ] sao cho: ∀n ≥ 1, an = 0 .

( an )n∈ℕ thuộc K [ X ] bất kì sao cho tồn tại n0 ∈ ℕ thỏa mãn:
∀n ∈ ℕ, ( n ≠ n0 ⇒ an = 0 ) .

Nhận xét:
1) Theo định nghĩa, hai đa thức

( an )n∈ℕ , ( bn )n∈ℕ bằng nhau khi và chỉ khi:
∀n ∈ ℕ , an = bn .

K [ X ] ≠ K ℕ vì dãy hằng (1) (xác định bởi: ∀n ∈ ℕ , an = 1 ) thuộc K ℕ , không

2)

thuộc

K [ X ].

Định nghĩa 1.1.2. Cho
1) Nếu

P ≠ 0,

số tự nhiên

deg ( P ) . Phần tử
nhất) của

P = ( an )n∈ℕ ∈ K [ X ] .
n

lớn nhất sao cho

an ≠ 0

gọi là bậc của

P

và kí hiệu là

adeg( P ) được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao nhất (hoặc: hệ tử cao

P . Ta nói rằng P

là chuẩn tắc khi và chỉ khi

P≠0

và

adeg( P ) = 1. Ta kí hiệu

deg ( 0 ) = −∞ .
2) Nếu

P ≠ 0 , định giá của P , kí hiệu là val ( P ) , là số tự nhiên n

an ≠ 0 . Ta kí hiệu val ( 0 ) = −∞ .
Nhận xét:

∀P ∈ K [ X ] − {0} , val ( P ) ≤ deg ( P ) .
3

bé nhất sao cho


Định nghĩa 1.1.3. Cho

P = ( an )n∈ℕ ∈ K [ X ] .

1) Ta nói rằng

P

là chẵn khi và chỉ khi:

2) Ta nói rằng

P

lẻ khi và chỉ khi:

∀p ∈ ℕ , a2 p+1 = 0 .

∀p ∈ ℕ , a2 p = 0 .

b) Phép cộng
Mệnh đề 1.1.1. Cho

P = ( an ) n∈ℕ , Q = ( bn ) n∈ℕ ∈ K [ x ] .Thế thì
P + Q = ( an + bn )n∈ℕ ∈ K [ X ] .

Mệnh đề 1.1.2. Với
1)

P, Q

bất kì thuộc K [ x ] , ta có:

deg ( P + Q ) ≤ Max ( deg ( P ) ,deg ( Q ) ) ;
deg ( P ) ≠ deg ( Q ) ⇒ deg ( P + Q ) = Max ( deg ( P ) ,deg ( Q ) ) .

2)

val ( P + Q ) ≥ Min ( val ( P ) , val ( Q ) ) ;
val ( P ) ≠ val ( Q ) ⇒ val ( P + Q ) = Min ( val ( P ) , val ( Q ) ) .

deg ( P ) < deg ( Q ) ,
P + Q cũng là hạng tử có bậc cao nhất của Q.

Nhận xét: Theo Mệnh đề 1.1.2, nếu

Mệnh đề 1.1.3.

( K [ X ], + )

thì hạng tử có bậc cao nhất của

là một nhóm Abel.

b) Phép nhân
Mệnh đề 1.1.4. Cho

P = ( an )n∈ℕ , Q = ( bn )n∈ℕ ∈ K [ X ] . Tích của P

PQ , là dãy ( cn )n∈ℕ thuộc K
Vậy ta có

ℕ

xác định bởi: ∀n ∈ ℕ,

n

cn = ∑ ak bn−k =
k =0

PQ ∈ K [ X ] .

Mệnh đề 1.1.5.
2 deg ( PQ ) = deg ( P ) + deg ( Q )
∀ ( P, Q ) ∈ ( K [ X ] ) , 
.
val ( PQ ) = val ( P ) + val ( Q )


Ta quy ước ở đây:

4

với

Q

kí hiệu là

∑ ab
i

i+ j =n

j

.

+

∀n ∈ ℕ , ( ( −∞ ) + N = −∞ , ( +∞ ) + N = +∞ ).

+ ( −∞ ) + ( −∞ ) = −∞, ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞.
Mệnh đề 1.1.6.

( K [ X ], +, •) là một vành nguyên.

Mệnh đề 1.1.7. Các phần tử khả nghịch của vành

K [ X ] là các dãy (α ,0,....,0,...)

với

α ∈ K − {0} .
1.1.2. Luật ngoài, phép hợp đa thức
a) Luật ngồi
Các mệnh đề sau đây có thể chứng minh dễ dàng.
Mệnh đề 1.1.8. Cho λ ∈ K ,
có:

P = ( an )n∈ℕ ∈ K [ X ] .Ta kí hiệu, λ P = ( λ an )n∈ℕ và ta

λ P ∈ K [ X ].
deg ( λ P ) = deg ( P )
− {0} , ∀ P ∈ K [ X ] , 
.

val ( λ P ) = val ( P )

K [ X ] , được trang bị các luật +,i (ngoài), i ( trong) là một K - đại số

Mệnh đề 1.1.9. ∀λ ∈ K
Mệnh đề 1.1.10.

kết hợp, giao hốn, có đơn vị.
Mệnh đề 1.1.11. Ánh xạ θ : K → K [ X
λ ֏ λ1
Ta kí hiệu

] là một đồng cấu đơn ánh các K - đại số.

X = ( 0,1,0,...,0,...) gọi là ẩn.

Ta sẽ kí hiệu

X 0 = 1 và với mọi n

thuộc

ℕ , X n+1 = X n X ; đặc biệt: X 1 = X .

Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ rằng:

∀ n ∈ ℕ∗ , X n = ( 0,....,0,1,0,...,0,...) trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị
trí thứ 0).
Cho

P = ( an )n∈ℕ ∈ K [ X ] , N ∈ ℕ

sao cho

N ≥ deg ( P ) ; ta có:

P = ( a0 , a1 ,...., an ,0,....,0,...)
= a0 (1,0,....,0,....) + a1 ( 0,1,0,....,0,....) + .... + aN ( 0,....,0,1,0,....,0,...)

5


N

= a0 + a1 X + .... + aN X = ∑ an X n .
N

n =0

( an )n∈ℕ đối với một đa thức, và ta thay nó bằng kí hiệu

Bây giờ ta từ bỏ kí hiệu
N

∑a X

n

n

(trong đó

+∞

N ≥ deg ( P ) ), hoặc ∑ an X , hoặc ∑ an X n .
n

n =0

n =0

n∈ℕ

Đối với

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] và n ∈ ℕ , phần tử an của K được gọi là hệ tử của
n∈ℕ

X

n

trong

P , và đơn thức an X n

Mệnh đề 1.1.12. Họ vô hạn

là hạng tử bậc

(X )
n

n∈ℕ

, tức là

n

của

P.

(1, X , X

2

,..., X n ,....) là một cơ sở của

K - kgv K [ X ] , gọi là cơ sở chính tắc của K [ X ] .
Với

n ∈ ℕ , cố định, tập hợp { P ∈ K [ X ] ;deg ( P ) ≤ n} rõ ràng là một K - không gian

véc tơ con của

K [ X ] , thường được kí hiệu K n [ X ] . Họ hữu hạn (1, X , X 2 ,..., X n ) là

một cơ sở của

K n [ X ] , gọi là cơ sở chính tắc của K n [ X ] . Vậy ta có:

dim ( K n [ X ]) = n + 1 .
Mệnh đề 1.1.13. Cho

I là một bộ phận của ℕ , ( Pi )i∈I là một họ những đa thức thuộc

(

K [ X ] - {0} sao cho: ∀ ( i, j ) ∈ I 2 , i ≠ j ⇒ deg ( Pi ) ≠ deg ( Pj )
Thế thì

( Pi )i∈I độc lập trong

).

K - kgv K [ X ] .

Nhận xét: Một trường hợp đặc biệt thường gặp là trường hợp

( ∀i ∈ ℕ,deg ( P ) = i ) . Khi đó ta nói rằng ( P )

i i∈ℕ là

i

I = ℕ và

một họ các đa thức có bậc kế tiếp.

( Pi )i∈ℕ là một cơ sở của K [ X ] và , với mọi n thuộc ℕ , ( Pi )0≤i≤n là
một cơ sở của K n [ X ] .
Trong trường hợp này,

6


Với mọi
cơ sở

n

thuộc

( Pi )0≤i≤n

(

ℕ , ma trận chuyển cơ sở chính tắc 1, X , X 2 ,..., X n

) của K [ X ] sang
n

là ma trận tam giác trên có tất cả các hạng tử chéo khác khơng. Như vậy có thể

tính nghịch đảo của nó theo “bậc thang”.
b) Phép hợp đa thức.
N

Định nghĩa 1.1.4. Cho

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] và Q ∈ K [ X ] . Ta định nghĩa đa thức
n =0
N

hợp

P Q

(hoặc:

P ( Q ) ) là : P Q = P ( Q ) = ∑ anQ n .
n =0

Như vậy, ta được

P ( Q ) bằng cách thế Q

vào chỗ

X trong P .

Mệnh đề 1.1.14.

∀ ( P, Q ) ∈ ( K [ X ] − {0}) 2 , deg ( P Q ) = deg ( P ) .deg ( Q ) .
Mệnh đề 1.1.15. Với mọi α thuộc

K

3)

( P + αQ) R = P R + αQ
( PQ ) R = ( P R).(Q R) .
( P Q ) R = P (Q R) .

4)

và

P, Q, R

thuộc

K [ X ]:

X P = P X = P.

1)
2)

Theo 4) ta sẽ kí hiệu một đa thức là

P

hoặc

R.

P( X ).

Nhận xét:
1) Luật

Ví dụ:

khơng giao hốn trong

X 2

K = ℝ, 



2) Luật

K [ X ].
2

( X + 1) = ( X + 1) = X 2 + 2 X + 1.
( X + 1) X 2 = X 2 + 1

không phân phối trái đối với + trong

7

K [ X ].


Ví dụ:

K = ℝ , P = X 2 , Q = 1 , R = 1; ta có: P

(Q + R ) = X 2

2=4

và

Q ) + ( P R) = ( X 2 1) + ( X 2 1) = 1+ 1= 2.

(P

1.1.3. Phép đạo hàm
N

Định nghĩa 1.1.5. Với mọi

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] đa thức đạo hàm của P

và kí hiệu là

n =0

P ' , là đa thức định nghĩa bởi:
N

P ' = ∑ nan X

n −1

N −1

= ∑ ( n + 1) an+1 X n .

n =1

Ta kí hiệu

(

n =0

P( 0) = P , P(1) = P ' , P( ) = P '' = ( P ') ' , và với k
2

bất kì thuộc

)

P( k ) = P( k −1) ' .
Với những kí hiệu trên, nếu

N = 0 thì P ' = 0 .

Mệnh đề 1.1.16.

 deg ( P ) − 1 khi deg ( P ) ≥ 1
∀P ∈ K [ X ] , deg ( P ' ) = 
khi deg ( P ) ≤ 0
 −∞

Mệnh đề 1.1.17.

(

∀P ∈ K [ X ] , ∀n ∈ ℕ , deg ( P ) ≤ n ⇔ P( n+1) = 0
Mệnh đề 1.1.18. Với mọi α thuộc
1)
2)

).

K và mọi P, Q ∈ K [ X ] :

( P + α Q ) ' = P '+ α Q ' .
( PQ ) ' = P ' Q + PQ ' .

Như vậy, phép đạo hàm các đa thức K

[X ]→

K

[ X ] là một K - tuyến tính.

P ֏ P '

Mệnh đề 1.1.19 ( Cơng thức Leibniz).
2

∀ ( P, Q ) ∈ ( K [ X ]) , ∀k ∈ ℕ , ( PQ )

(k )

k

= ∑ Cki P ( )Q (
i =0

8

i

k −i )

.

ℕ∗ ,


1.1.4. Hàm đa thức
N

Định nghĩa 1.1.6. Với mọi

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] , ta kí hiệu P :
n =0

K → K
N

x ֏

∑

an x

hàm
n

n=0

này gọi là hàm đa thức liên kết với

P.

Lược đồ Horner
Ta chú ý, chẳng hạn:

a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = a0 + ( a1 + ( a2 + a3 x ) x ) x .

Trong thực hành tính tốn

P ( x ) khi biết P

và

x , ta có thể sử dụng thuật tốn sau đây, được

gọi là lược đồ Horner.
Đặt

bn = an , và với n đi từ N − 1 đến 0 : bn = an + bn+1 x .

Khi đó ta được:
Ví dụ:

P ( x ) = b0 .

K = ℝ , P = X 3 − 2 X 2 + 4 X + 5, x = 4 :

b3 = a3 = 1, b2 = a2 + b3 x , b1 = a1 + b2 x , b0 = a0 + b1 x = 53 , suy ra P ( 4 ) = 53 .
Nhận xét: Ta có thể tổng quát hóa định nghĩa trên. Cho

A là một K - đại số kết hợp và giao

N

hoán,

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] ; ta kí hiệu P : A → A xác định bởi
n =0
N

x ֏ ∑ an x n (trong đó x0 = 1A , x n = x ( x n−1 ) , với n ∈ ℕ∗ ).
n =0

N

•

Chẳng hạn, nếu

E là một K - kgv, với mọi P = ∑ an X n ∈ K [ X ] và f

bất kì

n =0
N

thuộc

Lk ( E ) , đa thức P ( f ) = ∑ an f n
n =0

thức tự đồng cấu.

9

(cũng kí hiệu là

P ( f ) ), được gọi là đa


N

•

Tương tự, với mọi

P = ∑ an X n ∈ K [ X ] và mọi A thuộc M p ( K ) p ∈ ℕ∗

(

n =0
N

đa thức

P ( A ) = ∑ an An

(cũng kí hiệu

),

P ( A ) ), được gọi là đa thức ma trận.

n =0

•

Phép hợp đa thức cũng là một dạng tổng quát hóa:

∀ P , Q ∈ K [ X ] , P Q = P (Q ) .
Mệnh đề 1.1.20. Với mọi α thuộc
1)

P + αQ = P + α Q .

2)

PQ = PQ .

3)

K và mọi P , Q ∈ K [ X ] :

P Q = P Q.

Nhận xét : Với mọi
•
•

P thuộc ℝ [ X ] ta có: P ' = P ' , trong đó:

P ' là hàm đa thức liên kết với P ' .
P ' là đạo hàm của hàm đa thức liên kết với P
[X ]→

Xét ánh xạ φ : K

K

K

.

P ֏ P

Theo 1) và 2) của Mệnh đề trên (và φ

(1) = 1), φ

là một đồng cấu những

K - đại số có đơn vị.

Ta sẽ nghiên cứu tính đơn ánh của φ .
N

1) Giả sử

K

hữu hạn; kí hiệu

( x1 ,..., xN ) = K và xét P = ∏ ( X − xk ) . Ta có:
k =1

•

P ≠ 0 , vì deg ( P ) = N ≥ 1.

•

P = 0 , vì ∀k ∈ {1,...., N } , P ( xk ) = 0

Điều này chứng tỏ
2)

Giả sử

K

φ

không phải là đơn ánh.

vô hạn và giả sử

N = deg ( P ) . Vì K

P ∈ K [ X ] sao cho P = 0 . Giả sử P ≠ 0 , và kí hiệu

vô hạn, nên tồn tại

x1 ,..., xN +1 ∈ K từng đơi khác nhau. Vậy ta có:
10


∀k ∈ {1,...., N + 1} , P ( xk ) = 0 .Theo Hệ quả 2.1.1 mà ta sẽ thấy sau đây, ta suy ra
P = 0 , mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ rằng nếu K vô hạn thì φ là đơn ánh.
K
là đơn ánh khi và chỉ khi K vô hạn.
Mệnh đề 1.1.21. Ánh xạ φ : K [ X ] → K
P ֏ P

Nhận xét: Vậy khi

K

P

vơ hạn, ta có thể đồng nhất

và

P , tức là kí hiệu P

K = ℝ hoặc ℂ , điều đó cho phép ta đồng nhất
trong trường hợp này, ta sẽ kí hiệu P hoặc P cho thuận tiện.
Trong thực hành, thường thường

P.
P và P ;

thay cho

Định lí 1.1.1. ( Định lí Taylor đối với đa thức).
Cho

P ∈ ℂ[ X ] , N ∈ ℕ

thỏa mãn

deg ( P ) ≤ N , a ∈ ℂ . Ta có:
N

P(a + X ) = ∑

P( n) ( a )

n =0

n!

Xn.

Nhận xét :

ℂ , vì ta cần chia (trong K ) cho các số nguyên
(các n ! ). Một cách tổng quát hơn, có thể áp dụng định lí Taylor cho các đa thức khi K
∗
là một thể có đặc số 0 , tức là một thể thỏa mãn: ∀n ∈ ℕ , n1k ≠ 0 k .

1) Trong định lí trên, thể được sử dụng là

2) Định lí Taylor đối với đa thức cho ta dạng phân tích của
tắc

(1, X , X

3) Trong đại số

2

,..., X n ,....) của K [ X ] .

ℂ [ X , Y ] các đa thức của hai ẩn trên ℂ , ta sẽ chứng minh một cách tổng

quát hơn, rằng với mọi

P

thuộc

ℂ [ X ] và N ∈ ℕ
N

P( X + Y ) = ∑
n =0

Thay

P ( a + X ) theo cơ sở chính

P( n) ( X )
n!

sao cho

deg ( P ) ≤ N , thì :

Yn .

Y bởi a , ta suy ra:
a n ( n)
P( X + a) = ∑ P ( X ) .
n =0 n !
N

Đó chính là dạng phân tích

P ( X + a ) theo cơ sở ( P(
11

n)

( X ))0≤n≤ N của ℂ n [ X ]


(nếu

deg ( P ) = N ).

4) Thay

X bởi X − a , ta được (với giả thiết deg ( P ) ≤ N ):
P( )
n
P( X ) = ∑
( X − a) .
n =0 n !
n

N

5) Trong thực hành, để tính các hệ tử của dạng phân tích của
tắc của
Giả sử
Đặt

P ( X + a ) theo cơ sở chính

K [ X ] , ta có thể sử dụng một thuật toán xuất phát từ sơ đồ Horner.

n ∈ ℕ∗ , P = α 0 + α1 X + .... + α n X n ∈ K [ X ] , a ∈ K .

β n −1 = α n , rồi với k

từ

n − 1 đến 0 : β k +1 = β k a + α k , và cuối cùng γ 0 = β −1 .

Ta chứng minh dễ dàng với kí hiệu

P = β 0 + β1 X + .... + β n−1 X n−1 , ta có:
1

P = ( X − a ) P + γ 0
1

.

γ 0 = P(a)


Bằng cách lặp lại cách xây dựng tương tự với

(

2

1, X − a, ( X − a ) ,..., ( X − a )

n

P ,..... ta sẽ suy ra dạng phân tích của P theo họ
1

).

Ví dụ:

K = ℝ, P = 2 − 6X + 4X 2 + X 3, a = 3.

Ta có:

P = 47 + 45 ( X − 3) + 13 ( X − 3) + ( X − 3)

2

3

.

1.1.5. Khái niệm về đa thức nhiều ẩn
Lý thuyết trên ( từ 1.1.1 đến 1.1.4) có thể lặp lại một cách tổng quát hơn, với một vài sửa

K bởi một vành giao hoán A . Như vậy ta sẽ xây dựng vành A[ X ] các
đa thức của một ẩn và lấy hệ tử trong A .

đổi, bằng cách thay thế

12


Đặc biệt, lấy

A = K [Y ] , ta sẽ xây dựng đại số K [ X , Y ] = ( K [Y ]) [ X ] các đa thức của

K . Bằng cách lặp lại, với n ∈ ℕ∗ ,ta sẽ xây dựng đại số
( K [ X 2 ,...., X n ])[ X1 ] các đa thức n ẩn và lấy hệ tử trong K .

hai ẩn và lấy hệ tử trong

Ta có thể chứng minh rằng

(X

i1
1

i
,...., X nn

)(

i1 ,....,in )∈ℕ∗

K - không gian véc tơ K [ X 2 ,...., X n ] nhận

làm cơ sở.

1.2 Số học trong K [ X ]
1.2.1. Tính chia hết
2

Định nghĩa 1.2.1. Cho ( A, P ) ∈ ( K [ X ]) . Ta nói rằng A khơng chia hết cho P (trong
K [ X ] ) và kí hiệu A \ P, khi và chỉ khi tồn tại Q ∈ K [

] sao cho

P = AQ .

Thay cho A chia hết P , ta cũng nói: A là một ước của P , hoặc: P là một bội của A .
Nhận xét:
1) ∀A ∈ K [ X ] , A \ 0 .
2) ∀P ∈ K [ X ] , ( 0 \ P ⇔ P = 0 ) .
3) Nếu kí hiệu: AK [ X ] = { P ∈ K [ X ] ; ∃Q ∈ K [ X ] , P = AQ} với mọi A thuộc K [ X ] , thì ta có
2

với mọi ( A, P ) thuộc ( K [ X ] ) : A \ P ⇔ AK [ X ] ⊃ PK [ X ] .
Mệnh đề 1.2.1.
1) ∀A ∈ K [ X ] , A \ A .

A \ P

2
⇔ ( ∃α ∈ K − {0} , P = α A )  .
2) ∀AP ∈ ( K [ X ]) ,  
 P \ A



3 A \ B
3) ∀( A, B, C ) ∈ ( K [ X ] ) ,  
⇒ A\C.
 B \ C

Nhận xét:
Các điểm 1) và 3) trên đây chứng tổ rằng tính chia hết là một tiền thứ tự trong K [ X ] , tức là có
các tính chất phản xạ và bắc cầu.

13


Mệnh đề 1.2.2.
3

1) ∀ ( A, B, C ) ∈ ( K [ X ]) , ( A \ B ⇒ A \ BC ) .


3 A \ B
2) ∀ ( A, B, C ) ∈ ( K [ X ]) ,  
⇒ A\ B+C .
A \ C


4 A \ B
3) ∀ ( A, B, P, Q ) ∈ ( K [ X ]) ,  
⇒ AP \ BQ  .
 P \ Q


2

4) ∀ ( A, B, n ) ∈ ( K [ X ]) × ℕ*, ( A \ B ⇒ An \ B n ) .
5.2.2. Phép chia Euclide
2

Định lý 1.2.1. Cho ( A, B ∈ K [ X ] × K [ X ] − {0} ) tồn tại duy nhất một cặp ( R, Q ) K [ X ] sao
cho:
 A = BQ + R


deg ( R ) < deg ( B )


Đa thức Q (tương ứng: R ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia Euclitde A cho B .
Chứng minh.

1) Tồn tại
p

Ta kí hiệu p = deg ( B ) ≥ 0, B = ∑ b j X j (vậy bp ≠ 0 ). Ta sẽ tiến hành phép quy nạp theo bậc
j =1

của A . Xét tính chất Pn sau:
2

Với mọi A thuộc K [ X ] sao cho deg ( A ) ≤ n , tồn tại ( Q, R ) ∈ ( K [ X ]) sao cho:

A = BQ + R và deg ( R ) ≤ deg ( B ) .

● Ρ 0 đúng . Thật vậy, nếu A là một hằng thì chỉ cần lấy:
Q = 0, R = A, deg ( B ) ≥ 1


−1
Q = Abp , R = 0, deg ( B ) = 0

● Giả sử Pn đúng với một n thuộc ℕ , và giả sử A ∈ K [ X ] sao cho deg ( A ) = n + 1 .
n +1

Ta kí hiệu: A = ∑ ai X i , và xét:
i =0

14


−
Qn +1 = an +1b p 1 và Rn +1 = A − BQn+1 .

Do cách chọn Qn+1 , các hạng tử bậc n + 1 của A và BQn+1 , là như nhau, và deg ( Rn +1 ) ≤ n.
2

Theo Pn tồn tại ( Qn , Rn ) ∈ ( K [ X ]) sao cho Rn+1 = BQn + Rn và deg ( Rn ) ≤ deg ( B.)

Đặt Q = Qn +1 + Qn và R = Rn , ta có
A = BQn +1 + ( BQn + Rn ) và deg ( R ) ≤ deg ( B ) .

2) Duy nhất
Giả sử tồn tại ( Q1 , R1 ) , ( Q2 , R2 ) thích hợp. Thế thì ta có R1 − R2 = B ( Q2 − Q1 ) , nếu Q1 ≠ Q2 thì

Q2 − Q1 ≠ 0 và deg ( R1 − R2 ) = deg ( B ) + deg ( Q2 − Q1 ) ≥ deg ( B ) điều này mâu thuẫn với
deg ( R1 − R2 ) ≤ Max ( deg ( R1 ) , deg ( R2 ) ) ≤ deg ( B.)

Do đó Q1 = Q2 và R1 = R2 .

Nhận xét: Rõ ràng rằng với mọi ( A, B ) thuộc K [ X ] × ( K [ X ] − {0}), B chia hết cho A khi và
chỉ khi dư của phép chia Euclide A cho B là đa thức không.
2

Cho P ∈ K [ X ] , a ∈ K . Do phép chia Eclide P cho X − a , tồn tại ( Q, R ) ∈ ( K [ X ]) sao cho
P = ( X − a ) Q + R và deg ( R ) ≤ 1.

Vậy R là hằng.

Mệnh đề 1.2.3.
∀P ∈ K [ X ] , ∀a ∈ K , ( X − a \ P ( a ) = 0 )

Chú ý. Cho L là một thể, K một thể con của L (trong thực hành K = ℝ, L = ℂ ),
2

( A, B ) ∈ ( K [ X ]) , Q, R là thương và dư của phép chia Euclide A cho B trong K [ X ] . Vì Q, R
cũng thuộc L [ X ] , nên rõ ràng rằng Q, R cũng là thương và dư của phép chia Euclide A cho B
trong L [ X ] . Đặc biệt B chia hết A trong K [ X ] khi và chỉ khi B chia hết A trong L [ X ] .
1.2.3. UCLN, BCNN, đa thức nguyên tố cùng nhau
a) Iđêan của

K [X ]
15

Định nghĩa 1.2.2. Mọi bộ phận bất kì

ℑ

của

•

ℑ ≠ ∅
∀ ( P , Q ) ∈ ℑ2 , P + Q ∈ ℑ

•

K [ X ] thỏa mãn:

∀A ∈ K [ X ] , ∀P ∈ ℑ , AP ∈ ℑ

•

Được gọi là iđêan của

K [ X ].

Tổng quát hơn người ta đã định nghĩa khái niệm iđêan của một vành giao hốn hoặc thậm chí cả
iđêan trái, iđêan phải của một vành.

Nhận xét: Nếu

ℑ

là một iđêan của

K [ X ] , thì ta có:

ℑ≠∅


2
∀ ( P, Q ) ∈ ℑ , P + Q ∈ ℑ

∀P ∈ ℑ, − P ∈ ℑ

Và do đó

ℑ

các bội của

là một nhóm con của

P0

trong

( K [ X ] , + ) .Cho P ∈ K [ X ] và P K [ X ] là tập hợp
0

0

K [ X ] , tức là:

P0 K [ X ] = { P0 A; A ∈ K [ X ]} .Rõ ràng rằng P0 K [ X ] là một iđêan của K [ X ] .
Định lí 1.2.2. Với bất kì iđêan

ℑ

của

K [ X ] , tồn tại P0 ∈ K [ X ] sao cho:

ℑ = P0 K [ X ] = {P ∈ K [ X ]; ∃A ∈ K [ X ] , P = P0 A} .
Ta phát biểu kết quả này là : Mọi iđêan của

K [ X ] là iđêan chính, hoặc là K [ X ] là một

vành chính.

Nhận xét:Chứng minh ở trên đã chứng tỏ một cách khá tổng quát rằng mọi vành được gọi là
vành Euclid đều là vành chính.
b) UCLN, BCNN
Cho
thuộc

n

n ∈ ℕ∗ , ( P ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) . Tập hợp các bậc của các đa thức P
1

K [ X ] − {0} sao cho ( ∀i ∈ {1,..., n} , P \ Pi )
16

là một bộ phận khác rỗng của

ℕ


∆ , khác không, là ước chung của P ,..., Pn , và có bậc
1
P ,..., Pn . Tương tự, tồn tại một đa thức chuẩn tắc M khác
1

Vậy tồn tại một đa thức chuẩn tắc
cao nhất trong các ước chung của

P ,..., Pn
1

khơng, là bội chung của

và có bậc thấp nhất trong các bội chung của
n

n

Ta sẽ chứng minh rằng:

∑ PK [ X ] = ∆K [ X ] , ∩ PK [ X ] = MK [ X ] và chứng
i

i

i =1

minh tính duy nhất của

∆

P ,..., Pn .
1

và

i =1

M

.

Mệnh đề 1.2.3. Cho n ∈ ℕ * ,

( P1 ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0})

n

.

1) Tồn tại một và chỉ một đa thức ∆ , chuẩn tắc, khác khơng, là ước chung của
có bậc cao nhất trong các ước chung của
: UCLN ) của

P ,..., Pn
1

M

P ,..., Pn
1

Mệnh đề 1.2.4. Cho

( P1 ,..., Pn ) (hoặc : UCLN ( ( Pi )1≤i≤n ) ).

, chuẩn tắc, khác khơng, là bội chung của

và có bậc thấp nhất trong các bội chung của
(viết tắt: BCNN) của

và

P ,..., Pn ; ∆ được gọi là ước chung lớn nhất (viết tắt
1

và được kí hiệu UCLN

2) Tồn tại một và chỉ một đa thức

P ,..., Pn
1

P ,..., Pn ; M

1

và kí hiệu BCNN

P ,..., Pn
1

được gọi là bội chung nhỏ nhất

( P1 ,..., Pn ) (hoặc: BCNN ( ( Pi )1≤i≤n ) ).
n

n ∈ ℕ∗ , ( P ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) ,
1

∆ = UCLN ( P , P2 ,..., Pn ) , M = BCLN ( P , P2 ,..., Pn ) . Ta có:
1
1
n

n

∑ PK [ X ] = ∆K [ X ] và ∩ PK [ X ] = MK [ X ] .
i

i

i =1

Mệnh đề 1.2.5. Cho

i =1

n

n ∈ ℕ∗ , ( P ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) .
1

(α1 ,..., α n ) ∈ ( K − {0})
Mệnh đề 1.2.6. Cho

n

 UCLN ( (α i Pi ) ) = UCLN ( ( Pi ) )
1≤i ≤ n
1≤i ≤ n

. Ta có : 
 BCNN ( (α i Pi )1≤i≤n ) = BCNN ( ( Pi )1≤i≤n )

n

n ∈ ℕ∗ , ( P ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , A ∈ K [ X ] − {0} là
1

chuẩn tắc. ta có :

UCLN ( ( APi ) ) = AUCLN ( ( Pi ) )
1≤i ≤n
1≤i ≤n



 BCNN ( ( APi )1≤i≤n ) = ABCNN ( ( Pi )1≤i≤n )

17


Mệnh đề 1.2.7. Cho

n

n ∈ ℕ∗ , ( P ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , ∆ =
1

( P1 ,..., Pn ) , M = BCNN ( P1 ,..., Pn ) , ( A, B ) ∈ ( K [ X ] − {0})
1) ( ∀i ∈ {1,..., n} , A \ P ) ⇔ A \ ∆ .
i
2) ( ∀i ∈ {1,..., n} , P \ B ) ⇔ M \ B .
i

ƯCLN
2

. Ta có :

Mệnh đề 1.2.8. (Tính chất kết hợp của ƯCLN và của BCNN)

n ∈ ℕ∗ , ∏

Cho

là một phân hoạch của

{1,..., n} , ( P1 ,..., Pn ) ∈ ( K [ X ] − {0})

((
((

n

.

)
)

 UCLN ( P )
( i 1≤i≤n ) = UCLN UCLN ( ( Pi )i∈I ) I∈∏

Ta có: 
 BCNN ( ( Pi )1≤i≤n ) = BCNN BCNN ( ( Pi )i∈I )
I ∈∏


)
)

Mệnh đề trên chứng tỏ rằng ta có thể biểu thị UCLN (tương ứng: BCNN) của nhiều đa thức
mà chỉ dùng đến các UCLN (tương ứng: BCNN) của hai đa thức.

Kí hiệu:

Vớ i

( P, Q ) ∈ ( K [ X ] − {0})

2

, ta kí hiệu:

 P ∧ Q = UCLN ( P, Q )

 P ∨ Q = BCNN ( P, Q )

∧ và ∨ là những luật hợp thành trong trong K [ X ] − {0} , kết hợp và giao hoán.
Hơn nữa, với mọi đa thức chuẩn tắc và khác khơng P thì :
Nhận xét:

P ∧ P = P , P ∨ P = P , P ∧ 1= 1, P ∨ 1= P .
Dưới đây ta sẽ thấy rằng :
•

∧ và ∨ phân phối luật này đối với luật kia (5.2.5 Hệ quả).

•

∀ ( P, Q ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , ∀k ∈ ℕ∗ , P k ∧ Q k = ( P ∧ Q )

2

k

(5.2.4 Hệ quả).

3) Thuật toán Euclid
Lập luận như trong khi khảo sát thuật toán Euclid trong

( K [ X ] − {0} )

2

, UCLN của P và Q

ℤ , ta thấy rằng, với mọi ( P, Q )

thuộc

là dư cuối cùng khác không chuẩn tắc hóa trong dãy

các phép chia Euclid liên tiếp.

18


Ví dụ: Tính UCLN của

P = X 5 + X + 1 và Q = X 4 − 2 X 3 − X + 2 trong ℝ [ X ] .

2

Ta được: P ∧ Q = X + X + 1.

5 2 5
5
2
X + X+
bởi X + X + 1
16
16
16

Trong ví dụ này, trong tính tốn ta đã thay

c) Đa thức nguyên tố cùng nhau
1) Đại cương

( [ ]

)

n

Định nghĩa 1.2.3. Cho n ∈ ℕ , ( P ,..., Pn ) ∈ K X − {0} .
1
∗

1) Ta nói rằng P ,...., Pn nguyên tố cùng nhau trong toàn thể ( hoặc: xa lạ) khi và chỉ khi
1
: UCLN ( P ,..., Pn ) = 1.
1
2) Ta nói rằng P ,...., Pn nguyên tố cùng nhau từng đôi một khi và chỉ khi :

1
2

∀ ( i, j ) ∈ {1,..., n} , ( i ≠ j ⇒ Pi ∧ Pj = 1) .
Nhận xét:
1) Nếu P ,...., Pn nguyên tố cùng nhau từng đơi thì P ,...., Pn ngun tố cùng nhau trong
1
1
toàn thể.
2) Khẳng định đảo là sai : Nếu n ≥ 3 , P ,...., Pn có thể ngun tố cùng nhau trong tồn thể
1
nhưng khơng ngun tố cùng nhau từng đơi.

Ví dụ: n = 3, K = ℝ, P = ( X − 1) X , P2 = ( X − 1)( X + 1) , P = X ( X + 1) .
1
3

(

)

n

3) Với mọi n thuộc ℕ và mọi ( P ,...., Pn ) thuộc K [ X ] − {0} , với kí hiệu:
1
∗

n

∆ = UCLN ( P ,..., Pn ) , thì tồn tại ( Q1 ,..., Qn ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) sao cho

1

( ∀i ∈{1,..., n} , P = ∆Q ) và Q ,..., Q
i

i

1

n

nguyên tố cùng nhau trong toàn thể.

Mệnh đề 1.2.9.


3  A ∧ B =1
∀ ( A, B, C ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) ,  
⇒ A ∧ C = 1 .
 C \ B

Định lí 1 ( Định lí Bezout)

19


( [ ]

)

n

Cho n ∈ ℕ , ( P ,..., Pn ) ∈ K X − {0} . Để ( P ,...., Pn ) nguyên tố cùng nhau trong
1
1
∗

(

toàn thể , cần và đủ là tồn tại (U1 ,...,U n ) ∈ K [ X ]

)

a

n

sao cho

∑ PU
i

i

= 1.

i =1

Định lí 1.2.2 ( Định lí Gauss)
3 A ∧ B =1


∀ ( A, B, C ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , 
⇒ A \ C.
 A \ BC


Mệnh đề 1.2.9. Cho A, B ∈ K [ X ] − {0} nguyên tố cùng nhau và không đều là hằng. Tồn

(

tại (U ,V ) ∈ K [ X ]

)

2

duy nhất sao cho : AU + BV = 1 , deg (U ) < deg ( B ) ,

deg (V ) < deg ( A ) .
4

3

Ví dụ: Chứng minh rằng (trong ℝ [ X ] ) các đa thức A = X + 1 và đa thức B = X − 1

(

)

2

nguyên tố cùng nhau và tính một cặp (U ,V ) thuộc K [ X ] thỏa mãn AU + BV = 1 .
Ta thực hiện các phép chia Euclid liên tiếp ta được :

−2 = ( X 3 − 1) − ( X + 1) ( X 2 − X + 1)

(

3

(

3

) (( X

= X −1 −

4

)

+ 1) − X ( X 3 − 1) ( X 2 − X + 1)

)( X

2

= X − X + X +1

3

− 1) − ( X 2 − X + 1)( X 4 + 1)

Một cặp (U ,V ) thích hợp là :

U=

1 2
( X − X + 1) , V = − 1 ( X 3 − X 2 + X + 1) .
2
2

1) Tính chất
Mệnh đề 1.2.10. Cho n ∈ ℕ , A, P ,..., Pn ∈ K [ X ] − {0} . Ta có:
1
∗

 n 
( ∀i ∈ {1,..., n} , A ∧ P = 1) ⇒ A ∧  ∏ Pi  = 1
i
 i =1 
Mệnh đề 1.2.11.
2

2

∀ ( A, B ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , ∀ ( k , l ) ∈ ( ℕ ∗ ) , ( A ∧ B = 1 ⇔ Ak ∧ B k = 1) .
Hệ quả 1.2.1

20


2

k

∀ ( A, B ) ∈ ( K [ X ] − {0} ) , ∀k ∈ ℕ ∗ , Ak ∧ B k = ( A ∧ B ) .
Mệnh đề 1.2.12. Cho n ∈ ℕ , A, P ,..., Pn ∈ K [ X ] − {0} . Nếu ( ∀i ∈ {1,..., n} , P \ A ) và
1
i
∗

n

nếu P ,...., Pn nguyên tố cùng nhau từng đơi, thì:
1

∏ P \ A.
i

i =1

Hệ quả 1.2.2.

(

Cho n ∈ ℕ , ( P ,..., Pn ) ∈ K [ X ] − {0}
1
∗

)

n

. Nếu P ,..., Pn nguyên tố cùng nhau từng đơi thì
1
n

BCNN của P ,..., Pn là đa thức chuẩn tắc của
1

∏ Pi ( tức là
i =1

1

α

n

∏P
i

trong đó

α

là hệ tử cao

i =1

n

nhất của

∏ P ).
i

i =1

Mệnh đề 1.2.13.

(

)

2

Với mọi ( A, B ) thuộc K [ X ] − {0} , ( A ∧ B )( A ∨ B ) là đa thức chuẩn tắc của AB .

1.2.4. Đa thức bất khả quy
Định nghĩa 1.2.4.
Một đa thức P thuộc K [ X ] được gọi là đa thức bất khả quy ( hoặc: đa thức nguyên tố ) khi
và chỉ khi deg ( P ) ≥ 1 và P chỉ có ước ( trong K [ X ] ) là các

α ( α ∈ K − {0} ) và các β P

( β ∈ K − {0} ).

Nhận xét: Cho L là một thể, K là một thể con của L (trong thực hành : K = ℝ và L = ℂ ),

P∈K[X ].
•

Nếu P bất khả quy trong L [ X ] , thì P bất khả quy trong K [ X ] .

•

Khẳng định đảo là sai : P có thể bất khả quy trong K [ X ] , nhưng không bất khả quy
trong L [ X ] .
2

Ví dụ: X + 1 bất khả quy trong ℝ [ X ] , nhưng không bất khả quy trong ℂ [ X ] :

X 2 + 1 = ( X + i )( X − i ) .
Mệnh đề 1.2.14. Cho P ∈ K [ X ] bất khả quy. Ta có: A ∈ K [ X ] − {0} . P \ A hoặc P ∧ A = 1 .

21


n

Mệnh đề 1.2.15. Cho bất khả quy, khi đó: P = ∏ Ai ⇔ (∃i ∈ {1,..., n} P \ Ai ) .
i =1

Định lí 1.2.3.. Mọi đa thức thuộc K [ X ] có bậc ≥ 1 đều có một dạng phân tích

thành

tích những đa thức bất khả quy, duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và sai khác về các
nhân tử bậc không thuộc K − {0} .
*
Cho A ∈ K [ X ] sao cho deg ( A) ≥ 1. Theo định lý trên, tồn tại N ∈ ℕ , P ,..., PN bất khả quy
1

n

*
và nguyên tố cùng nhau từng đôi r1 ,..., rN ∈ ℕ sao cho: A = ∏ Pi ri

i =1

Đẳng thức này được gọi là dạng phân tích nguyên tố (viết tắt: PTNT) của A trong K [ X ] .
Ví dụ:
•

PTNT của X4 + X3 + X + 1 trong ℝ[ X ] là:
X4 + X3 + X + 1 = (X + 1)2(X2-X+1)

•

PTNT của X4 + X3 + X + 1 trong ℂ[ X ] là:
X4 + X3 + X + 1 = (X + 1)2(X + j)(X + j2)
n

Nhận xét: Để thuận lợi trong PTNT của A, A = ∏ Pi ri , một số các ri có thể bằng khơng.
i =1

Hệ quả 1.2.3. Mọi đa thức thuộc K [ X ] có bậc ≥ 1 có ít nhất một ước bất khả quy.

N

Mệnh đề 1.2.16.. Cho A, B ∈ K [ X ] đều có bậc ≥ 1 , chuẩn tắc, A = ∏ Airi ,
i =1

N

B = ∏ Pi si

là

i =1

*
các PTNT của A và B (trong đó N ∈ ℕ , P ,..., PN đều bất khả quy, chuẩn tắc và nguyên tố
1

cùng nhau từng đôi, r1 ,..., rN , ( s1 ,..., sN ∈ ℕ . Ta có:
)

 A∧ B =∏ PiMin ( ri ,si )

i =1
n

A∨ B =∏ Pi Max ( ri , si )

i =1

n

22


Hệ quả 1.2.4.Trong A ∈ K [ X ] − {0} , các luật ∧ và ∨ có tính phân phối luật này đối với luật
kia.

1.2.5. Phép chia theo lũy thừa tăng
∼

Mệnh đề 1.2.17. Cho n ∈ ℕ, A ∈ K [ X ] , B ∈ K [ X ] sao cho val ( B ) = 0 (tức là: B (0) ≠ 0) .
Tồn tại một cặp duy nhất (Q, R ) thuộc ( K [ X ]) 2 sao cho:
A = BQ + X n +1 R và deg (Q ) ≤ n .

Đa thức Q (tương ứng: R ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia A cho B theo
lũy thừa tăng đến cấp n .
Chứng minh: 1) Tồn tại. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Trường hợp n = 0 .Ta ký hiệu a0 , b0 là các hạng tử hằng tương ứng của ( A, B ) (tức là:
∼

∼

a0 = A(0), b0 = B (0) ≠ 0), Q = a0b0 −1 . Hạng tử hằng của A − BQ là không, vậy tồn tại R ∈ K [ X ]
sao cho A − BQ = XR . Vậy: A = BQ + XR và deg (Q ) ≤ 0 .
Giả sử n ∈ ℕ và giả sử tồn tại (Q, R) ∈ ( K [ X ]) 2 sao cho: A = BQ + X n +i R và deg (Q ) ≤ n .
Theo sự khảo sát trường hợp n = 0 , áp dụng cho R thay vì A , tồn tại (q, R1 ) ∈ ( K [ X ]) 2 sao
cho: R = Bq + XR1 và deg (q ) ≤ 0 .Đặt Q = Q + X n +i q ta suy ra:

{

A= BQ + X n +1 ( Bq + XR1 ) = BQ1 + X n+2 R1
deg( Q ) ≤ n +1

2) Duy nhất. Giả sử (Q1 , R1 ), (Q2 , R2 ) thích hợp. Suy ra B (Q1 − Q2 ) = X n +1 ( R2 − R1 ) do đó
bằng cách chuyển sang các định giá:
val (Q1 − Q2 ) = n + 1 + val ( R2 − R1 ) ≥ n + 1
Nếu (Q1 − Q2 ) ≠ 0 , thì: n+ ≥ deg (Q1 − Q2 ) ≥ n + 1 , mâu thuẫn.Vậy Q1 = Q2 , nên R1 = R2 .

Ví dụ: Thực hiện phép chia A = 2 + X - 3X2 + X3 cho B = 1 + 4X - X2 + X3 (trong ℝ[ X ] ) theo
lũy thừa tăng đến cấp 2. Suy ra thương Q = 2 - 7X + 27X2 và dư R = - 116 + 34X - 27X2

23


C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
1. Jean – Marie Monier (2009), Đại số 1 (Giáo trình Tốn – Tập 5), NXB Giáo dục.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA

CHƯƠNG
1. Tìm điều kiện cần và đủ đối với ( λ , µ ) ∈ ℝ 2 để cho X 4 + λ X 3 + µ X 2 + 12 X + 4 là bình phương
của một đa thức thuộc ℝ [ X ] .
2. Cho n ∈ ℕ. Áp dụng (1 + X )

2n

(1 − X )
2n

2n

2n

= (1 − X 2 ) , chứng minh:
k 2
2n

∑ ( −1) ( C ) = ( −1)
k

n

C2nn

k =0

n

3. Cho n ∈ ℕ, ( a0 , a1 ,..., an ) ∈ ℝ n +1 sao cho ( ∀k ∈ {1, 2,..., n} , 0 ≤ ak ≤ a0 ) , P = ∑ ak X k . Cho
k =0

( b0 , b1 ,..., bn ) ∈ ℝ n+1 sao cho

2n

P 2 = ∑ bl X l . Chứng minh: bn +1 ≤
l =0

2

1
( P (1) ) .
2

k

4. . Cho n ∈ ℕ, với k ∈ {0,1,..., n} , ta ký hiệu Pk = ( X + k ) . Chứng minh ( P )1≤ k ≤ n là một cơ sở
của ℝ n [ X ] .
5. Cho n ∈ ℕ* . Chứng minh rằng
~

~

a) Chứng minh rằng ∀P ∈ ℝ n [ X ] , ∃! P ∈ ℝ n [ X ] , P ( X 2 ) = P ( X ) P ( − X ) .
b) Chứng minh rằng ánh xạ

ϕ :ℝn [ X ] → ℝ n [ X ]
~

xác định ở phần a) thỏa mãn:

P֏P

∀P, Q ∈ ℝ n [ X ] , ϕ ( PQ ) = ϕ ( P ) ϕ ( Q ) .
c) ϕ có tuyến tính khơng?
6. . Cho n ∈ ℕ* , P ∈ C ( X ) sao cho deg ( P ) < n. Chứng minh:

n

∑ P ( k )( −1)

k =0

7. Cho (α , β ) ∈ ℤ 2 sao cho α ≠ β , A ∈ ℂ [ X ] . Chứng minh:

∃! P ∈ ℂ [ X ] , P ( X − α ) + P ( X − β ) = A.

24

k

k
Cn = 0.


8. Tìm tất cả các tự đẳng cấu của K − đại số K [ X ] .
9. Giải các phương trình sau:
a) X ( X − 1) P ''+ ( X − 2 ) P '− P = 0, với ẩn P ∈ ℝ [ X ] .
b) P ( 2 X ) = P ' ( X ) P '' ( X ) , với ẩn P ∈ ℂ [ X ] .
10. Chứng minh rằng, với mọi n ∈ ℕ, tồn tại Pn ∈ ℚ [ x ] duy nhất sao cho Pn − P 'n = X n , và tính
Pn .
11. Cho ( Pn ) n≥ 0 là một dãy trong ℝ [ X ] xác định bởi P0 = 1 và
∀n ∈ ℕ* , Pn =

1
n −1
X ( X + n)
n!

a) Chứng minh: ∀n ∈ ℕ* , P 'n = Pn −1 ( X + 1) , trong đó Pn −1 ( X + 1) chỉ đa thức hợp
thành của Pn −1 và của X + 1.

b) Suy ra: ∀n ∈ ℕ, ∀ ( x, y ) ∈ ℝ 2 , Pn ( x + y ) =

∑ P ( x ) .P ( y )
i

j

i + j =n

∑ C ( i + 1) ( j + 1)
i −1

i
n

c) Suy ra: ∀n ∈ ℕ,

j −1

= 2 ( n + 2)

n −1

.

i + j =n

12. Nhân tử hóa nếu
a) X 4 − Y 4 − Z 4 + 2 X 2Y 2 + 2Y 2 Z 2 + 2 X 2 Z 2 trong ℂ [ X , Y , Z ] .
5

b) ( X + Y + Z ) − ( X 5 + Y 5 + Z 5 ) trong ℝ [ X , Y , Z ] .
13. Cho A = K [ X 1 , X 2 , , X 3 , X 4 ] , I = { P X 1 + P2 X 2 : ( P , P2 ) ∈ A2 } ,
1
1
J = { P3 X 3 + P4 X 4 : ( P3 , P4 ) ∈ A2 } , E = { PQ : ( P, Q ) ∈ I × J } . Kiểm chứng rằng I , J là những iđêan
của A , nhưng E không phải là một iđêan của A .
n

14. Chứng minh: ∀n ∈ ℕ, X 2 ( X + 1) − nX − 1 trong K [ X ] .
15. Chứng minh: ∀ ( n, p ) ∈ ( ℕ

* 2

)

p

 n

, ∑ X  ∑ X i  − X n trong K [ X ] .
i=0
 i =0

n −1

i

25