nhận dạng và phương pháp giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (784.01 KB, 19 trang )
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chƣơng trình Hình học 12, bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian là bài tốn hay và khơng q khó. Để làm tốt bài tốn này địi
hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa
đƣờng thẳng, mặt phẳng. Là dạng tốn ln có mặt trong các đề thi tốt nghiệp
THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc
dạng toán này là hết sức cần thiết.
Do đó trong q trình dạy học địi hỏi đội ngũ các thầy cơ giáo phải tích
cực học tập, khơng ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phƣơng pháp
dạy học theo hƣớng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học
sinh, bồi dƣỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem
lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong
việc giải quyết một bài tốn hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều
ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhƣng theo tơi, ngun nhân chủ yếu là
khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số” mà khơng để ý
đến các tính chất hình học.
Các phƣơng pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài tốn
nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài tốn đó mà khơng có một cách
nhìn tổng qt. Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trƣớc các
câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phƣơng trình
đƣờng thẳng trong khơng gian.
Với vai trị là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao
đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hƣớng giải quyết đơn
giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ đƣợc kiến thức cơ bản trên cơ
sở đó để sáng tạo.
Tơi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài tốn
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian đó là:
"GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI
TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN".
Với ý tƣởng trên, tơi đã phân ra các dạng bài tập viết phƣơng trình đƣờng
thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng
bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra,
giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng nhƣ thi vào các trƣờng Cao
đẳng và Đại học.
1
1. 2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài với mong muốn giúp học sinh:
+ Khắc phục đƣợc những yếu điểm đã nêu ở trên, từ đó đạt đƣợc kết quả
cao khi giải bài tốn nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói
chung.
+ Tìm đƣợc một phƣơng pháp tối ƣu nhất để giải toán, cũng nhƣ nâng cao
thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc nhận dạng và phƣơng pháp
giải các bài tốn thích hợp. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến
thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng toán viết phƣơng trình của đƣờng thẳng và phƣơng pháp giảng
dạy tốn
- Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trƣờng THPT Tô Hiến Thành - TP Thanh Hóa
năm học: 2015 - 2016.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài
tập, sách tài liệu tham khảo và các đề thi
- Phƣơng pháp điều tra thực tiễn : Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần
bài tập này
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
- Phƣơng pháp thống kê
2
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Kiến thức cơ bản: Trong chƣơng trình Sách giáo khoa Hình Học Lớp 12
Chun thỡ phơng trình ca ng thng trong khụng gian có hai dạng đó là:
Phương trình tham số và phương trỡnh chớnh tc.
ể viết phơng trình ca ng thng trong khụng gian cần phải xác
định hai yếu tố:
+ Một điểm mà ng thng đi qua.
+ Một véc tơ ch phng của đường thẳng.
Khi đó, nếu đƣờng thẳng
đi qua ®iĨm M x 0 ; y 0 ; z 0 và nhËn véc tơ
u
a;b;c
làm véc tơ ch phng thỡ:
Phng trỡnh tham s của đƣờng thẳng
có dạng:
Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng
x
x0
y
x0
at
y
y0
bt
z
z0
ct
(t là tham số)
có dạng :
y0
a
x
z
b
z0
a .b . c
0
c
Kiến thức có liên quan:
1. Phƣơng trình tổng qt của ( ) có dạng:
Ax
By
Cz
D
0 a
2
b
2
c
2
0
2. Nếu ( ) có phƣơng trình: Ax By Cz D 0 thì véc tơ pháp tuyến của (
là n A ; B ; C
3. Nếu ( ) đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 và nhận n A ; B ; C là véc tơ pháp tuyến
thì phƣơng trình của ( ) là : A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
4. Nếu ( ) chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phƣơng
b 1 ; b 2 ; b 3 thì véc tơ pháp tuyến của ( ) là :
a
a1 ; a 2 ; a 3 , b
n
a;b
a 2b3
5. Cho A x A ; y A ; z A và điểm B
- Vectơ A B = x B x A ; y B
x
y
a 3 b 2 ; a 3 b1
B
A
a1b3 ; a1b 2
a 2 b1
xB
yB
)
; yB ;zB
;zB
- Toạ độ trung điểm I của AB là:
zA
I
(
xA
2
y
;
A
2
;
zA
zB
)
2
Chú ý: Trên cơ sở kiến thức hình học không gian lớp 11, có các cách xác định
ng thng nh sau:
- Có một và chỉ một ng thng đi qua hai điểm phân biệt cho trƣớc.
- Cã mét vµ chØ mét đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
... Ngoµi ra còn rất nhiều cách xác định ng thng khác nữa.
3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhƣ vậy để viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong khơng gian (cụ thể
là phƣơng trình tham số hoặc phƣơng trình chính tắc) ta cần phải xác định hai
đại lƣợng:
+) Điểm mà đƣờng thẳng đi qua.
+) Véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng.
Nhƣng không phải trong mọi trƣờng hợp, ta đều có thể tìm đƣợc một cách
dễ dàng hai đại lƣợng nói trên, và cũng nhƣ nhiều vấn đề khác của tốn học.
Bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường
minh và khơng tường minh
Dạng tường minh:
- Các đại lƣợng để giải quyết bài tốn thì đề bài cho sẵn, dạng tốn này chủ
yếu để học sinh củng cố công thức.
- Dạng tường minh theo tơi đó là: Viết phƣơng trình tham số (hoặc chính
tắc) của đƣờng thẳng biết:
1) Đƣờng thẳng đi qua hai điểm.
2) Đƣờng thẳng đi qua một điểm và có véctơ chỉ phƣơng.
Dạng không tường minh:
- Các đại lƣợng để giải quyết bài tốn thì đề bài khơng cho sẵn mà đƣợc ẩn
dƣới một số điều kiện nhất định nào đó.
- Dạng tốn này địi hỏi ngƣời học phải biết kết hợp kiến thức, có tƣ duy
logíc tốn học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng tốn khơng tường minh,
đây cũng là dạng tốn chủ yếu xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại
học. Tùy thuộc vào yêu cầu của các bài toán viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian, thì tơi chia thành hai bài toán để học sinh dễ nhận dạng:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một điểm
mà đường thẳng đi qua.
+ Ở bài toán này: đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua, không cho trực tiếp
phƣơng của đƣờng thẳng.
+ Yêu cầu phải xác định phƣơng của đƣờng thẳng dựa vào các điều kiện của
bài tốn.
Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho
trước
+ Ở bài toán này: đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phƣơng của
đƣờng thẳng,
+ Yêu cầu phải xác định các đại lƣợng đó dựa vào các điều kiện của bài
tốn.
4
Chú ý: Trong bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong không gian tôi
đặc biệt chú ý đến các điều kiện xác định của đƣờng thẳng trong khơng gian đó
là:
- Có một và chỉ một ng thng đi qua hai ®iĨm phân biệt cho trƣớc.
- Cã mét vµ chØ mét đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Từ đó, tơi hướng cho học sinh giải quyết bài tốn viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian theo hai cách sau:
Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: Phƣơng trình dạng tổng qt của đƣờng thẳng
khơng đƣợc trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dƣới dạng
tổng qt thì có đƣợc chấp nhận hay khơng? nếu khơng đƣợc chấp nhận thì làm
thế nào?
Cách khắc phục khơng có gì khó khăn, ta có thể hƣớng dẫn học sinh chuyển
về dạng tham số thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): x
y
2z 5
0 và ( )
2x
y
z 1
0 .
Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
Đặt:
x
z
1
y
3
2t
0
3x
3
3t
2x
y
t
0
x
2x
y
t
0
0
y
x
Vậy ta có phƣơng trình dạng tham số của :
1
y
z
(
1
t
t
2
t
t
t
t
2
1
R
t
Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
): x
y
2z 5
0 và ( )
2x
y
z 1
0 .
+) Với
z
1
ta có:
x
y
3
x
1
đi qua
I
2x
y
0
y
M
1;
2;1
.
2
+) Đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ
phƣơng là tích có hƣớng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó:
u
n ,n
3; 3; 3
x
Vậy
có phƣơng trình dạng tham số:
1
y
z
3t
2
1
3t
t
R
3t
Ngồi ra trong từng trƣờng hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài
tốn cũng cần hƣớng cho học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới.
5
2. 3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã đƣợc trình bày
trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đƣờng thẳng trong
khơng gian lớp 11. Tơi xin đƣợc trình bày nội dung đề tài dƣới hai dạng bài toán
cơ bản mà phƣơng pháp giải đƣợc rút ra từ hai phƣơng pháp cơ bản nêu trên.
a. Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một
điểm mà đường thẳng đi qua
+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phƣơng của đƣờng thẳng xác định thông qua các đại lƣợng, các mối
quan hệ trong bài tốn.
Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua
điểm A
2 ; 1; 3
cắt cả hai đƣờng thẳng
x
1
y
2
z
1
:
1
1
1
và
2
:
x
2
1
1
y
3
z
2
1
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm :
A
+) Đƣờng thẳng
và có véctơ chỉ phƣơng
+) Đƣờng thẳng
1
đi qua điểm
M
2
đi qua điểm
N
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
1; 2 ;
1
2 ; 3;
2 ; 1; 3
.
u 1 1;
và có véctơ chỉ phƣơng
1
cắt cả hai đƣờng thẳng
1
và
2
u2
1; 1
.
1; 2 ; 1
.
.
2) Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
1
tại P.
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
2
tại Q.
Vậy đƣờng thẳng
chính là đƣờng thẳng PQ.
Giải: Gọi P là giao điểm của
Gọi Q là giao điểm của
Ta có:
Q A t ';
2
2 t '; 4
và
t'
,
và
2
1
, ta có
, ta có
PA
3
t;
Q
P
2
1
t; 4
P 1
1
Q
t
2
t '; 3
t; 2
2 t ';
t;
1
1
t
t'
.
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đƣờng thẳng
1
nên thẳng hàng do đó
6
2
t'
QA
t'
k PA
3k
2
tk
2t '
t'
k
tk
3k
tk
k
tk
4k
tk
2t '
15
0
2
8
k
15
4
t'
4k
tk
t'
4
26
tk
1
15
Với
t'
2
ta có:
QA
2
34
;
15
phƣơng trình
.
;
15
Đƣờng thẳng
58
15
A
15
có véc tơ chỉ phƣơng:
:
x
2
y
1
P
1
z
17
u 1;
17; 29
Q
2
3
29
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
1
nên xác định một mặt phẳng
.
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
2
nên xác định một mặt phẳng
.
Vậy đƣờng thẳng
Giải: Gọi
Khi đó
là giao của hai mặt phẳng
.
là mặt phẳng xác định bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau
có hai véc tơ chỉ phƣơng là:
suy ra véc tơ pháp tuyến của
Gọi
và
:
n
A M 3 ; 1;
A M ; u1
u 1 1;
và
4
3;
7;
và
1
.
1; 1
.
4
là mặt phẳng xác định bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau
có hai véc tơ chỉ phƣơng là A N 0 ; 2 ; 4 và u 1; 2 ; 1
và
2
. Khi đó
2
véc tơ pháp tuyến của
(
véc tơ chỉ phƣơng của
x
phƣơng trình
:
)
:
là:
2
n
u
AN ;u2
n ;n
10; 4; 2
2;
34; 58
t
y
1
17t
z
3
29t
Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
A 1; 2 ; 3
đồng thời vng góc với d1 và cắt d2 biết
d1:
x
6
2t
y
1
4t
z
4
,
x
d2:
1
2
y
đi qua
2
z
1
3
1
t
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm : A 1; 2 ; 3 .
7
.
+) Đƣờng thẳng d đi qua điểm M 6 ; 1; 4 và có véctơ chỉ phƣơng u 2 ; 4 ; 1 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua điểm N 1; 2 ; 3 và có véctơ chỉ phƣơng u 2 ; 1; 1 .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt d , đƣờng thẳng vng góc với d (có thể cắt
hoặc không cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hƣớng giải quyết sau (khơng thể dựa vào
điều kiện cắt d vì mối quan hệ này khơng chắc chắn xảy ra).
1
1
2
2
1
2
1
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
vuông góc với
Suy ra đƣờng thẳng
4;
Mặt khác
Ta có:
t
AP
nên
d1
với
là
d2
P
.
P
u1
A P .u 1
PA
.
ta có
P
d2
t
0
0
P 1
.
2t;
2
t; 3
t
.
AP
d1
A P 3 2 ;1 2 ;
tại
chính là đƣờng thẳng
Giải: Gọi giao của đƣờng thẳng
A P 2t; t
d2
u1
A P .u 1
0
4t
phƣơng trình
16
:
x
4t
1
16
y
8
2
z
t
3
3
16
.
4
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
vng góc với
vng góc với
Giải: Gọi
(
)
d1
nên xác định một mặt phẳng
d2
d1
nên xác định một mặt phẳng
. Vậy đƣờng thẳng
là giao của hai mặt phẳng
là mặt phẳng xác định bởi
có véc tơ pháp tuyến là:
phƣơng trình
:x
2z
7
n
0
và
N A,u2
4; 0;
và
và
.
8
.
1
là giao của
qua A và
d2
Gọi
là mặt phẳng qua A và vng góc với d nên nhận
pháp tuyến phƣơng trình
:2x 4y
z 3 0.
Vì
.
nên có véc tơ chỉ phƣơng:
Phƣơng trình của đƣờng thẳng
:
x
1
y
2
3t
z
3
4t
u
u1
2; 4;
n ,n
1
là véctơ
8; 3;
4
.
8t
t
R
.
8
Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
qua
A 3;
2;
1
vng góc và cắt đƣờng thẳng
d :
x
3
t
y
4
5t
z
1
đi
2t
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm : A 3; 2 ; 1 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua điểm M 3; 4 ; 1 và có véctơ chỉ phƣơng u 1; 5 ; 2 .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt d . Đƣờng thẳng vng góc với d .
2) Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
vng góc với
Suy ra đƣờng thẳng
tại
d
nên
d
P
P
AP
u1
chính là đƣờng thẳng
PA
d
P (3
A P .u 1
0
t ;4
5t; 1
2t)
.
.
.
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đƣờng thẳng
cắt đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
vng góc với
và vng góc với
Giải: Ta có:
d
d
A M 0; 6; 0
, gọi
.
nên xác định một mặt phẳng
. Vậy đƣờng thẳng
là giao của hai mặt phẳng
qua A
và
.
là mặt phẳng qua A và chứa d
n
có véc tơ pháp tuyến là :
Gọi
nên xác định một mặt phẳng
d
AM ,u
12; 0;
6
là mặt phẳng qua A và vng góc với d
có véc tơ pháp tuyến là : n u 1; 5 ; 2
Vậy đƣờng thẳng cần tìm có chỉ phƣơng:
Phƣơng trình của đƣờng thẳng
:
x
3
1
u1
y
n ;n
2
1
z
1
30;
30;
60
.
2
Nhận xét: Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài tốn khơng phải chỉ có một
cách giải mà trong từng trường hợp cụ thể, học sinh có thể định hướng cho
mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của bài tốn đó.
9
b. Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện
cho trước.
+ Điểm mà đƣờng thẳng đi qua
+ Phƣơng của đƣờng thẳng
Đều đƣợc xác định thông qua các đại lƣợng cho trƣớc và các mối quan hệ hình
học.
Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình của đƣờng thẳng
biết nó vng góc với mặt phẳng (P) : x y z 4 0 và cắt cả hai đƣờng thẳng
chéo nhau
1
x
2
t
y
3
t
z
1
2t
:
và
2
:
x
2
3t '
y
1
t'
z
t'
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 1; 1 .
+) Đƣờng thẳng đi qua M 1; 1; 2 có chỉ phƣơng u 2 ; 3 ; 1 .
+) Đƣờng thẳng
đi qua M 2 ; 1; 0 có chỉ phƣơng u 3 ; 1; 1 .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
cắt cả và .
P . Đƣờng thẳng
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
P
1
1
1
1
2
2
2
1
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi M, N lần lƣợt là giao điểm của đƣờng thẳng
và . Ta có:
với hai đƣờng thẳng
1
2
+) M
+) N
1
M
2
N
2
3 t '; 1
t '; t '
t;
2
t'
1
+) M N 3 t '
Theo giả thiết
MN
k nP
Do đó:
M
t; 3
t
k
2
t'
t
1
t'
2t
5
Đƣờng thẳng
t ;1
t;
2t
1
t'
M
2t
nên:
P
3t '
1; 6 ;
2
và
N
3t '
k
k
t
t'
t
t'
2t
N ( 4 ;3 ; 2
k
0
t'
k
2
t
k
MN
1
k
x
1
có phƣơng trình :
3;
1
2
2
3
3
P
z
5
3; 3
y
6
1
1
10
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Gọi
là mặt phẳng chứa
1
và vng góc với (P)
Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của
có phƣơng trình
Gọi
4x
3y
là mặt phẳng chứa
z
9
là:
4;
3;1
1
và vng góc với (P)
2
là:
2
nP ,u2
0;
4;
4
có phƣơng trình
Đƣờng thẳng
. Đặt
và
n P , u1
0
Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của
n
n
y
z
1
0
P
là giao tuyến của hai mặt phẳng
z
t
3
x
t;
y
1
t.
2
x
3
t
2
Đƣờng thẳng
có phƣơng trình:
y
1
t
z
t
R
t
Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :
đƣờng thẳng
d :
x
2
y
1
1
z
2
7
x
3y
5z
6
0
và
. Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
1
nằm trong (P), cắt và vng góc với d.
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 3 ; 5 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua M 2 ; 1; 7 và có chỉ phƣơng u 1; 2 ; 1 .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
cắt cả d và d
.
P . Đƣờng thẳng
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
P
d
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi M ( x ; y ; z ) là điểm thuộc đƣờng thẳng . Vì đƣờng thẳng cắt d và
nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qua giao điểm của d và (P). Tọa độ giao điểm là
nghiệm của hệ:
x
3y
5z
x
2
y
1
6
1
2
0
z
7
1
x
3y
5z
y
2x
3
z
x
5
6
0
x
14
y
25
z
19
đi qua điểm
M
1 4; 2 5;1 9
.
11
Gọi
N
MN
Do
M N .n p
M N .u d
P
MN
MN
là điểm thuộc đƣờng thẳng . Ta có:
x; y; z
d
0
x
14
3
y
25
5 z
0
x
14
2
y
25
z
x
3y
5z
6
0
x
x
2y
z
83
0
y
181
x
14; y
19
0
19
z
13 z
89
6z
phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng:
t
.
19
0
x
Đặt
2 5; z
181
y
z
89
1 3t
6t
t
R
t
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Gợi ý: Trong cách 2 đƣờng thẳng chính là giao tuyến của mặt phẳng ( ) với
mặt phẳng (P) trong đó ( ) chứa d và vng góc với (P).
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng
d :
x
2
4t
y
3
2t
z
3
nằm trong
t
mặt phẳng P : x y 2 z 5 0 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng nằm trong (P) và
cách d một khoảng là 1 4 .
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 1; 2 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua M ( 2 ; 3 ; 3 ) và có véc tơ chỉ phƣơng u 4 ; 2 ; 1 .
/ /d .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
P . Đƣờng thẳng
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
P
Cách giải:
Cách 1: Xác định điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Đƣờng thẳng có cùng chỉ phƣơng u 4 ; 2 ; 1 với d . Gọi
hình chiếu của M trên đƣờng thẳng suy ra:
2
AM
AM
A
AM
A M .u
14
d
P
A
2
x0
4 x0
x0
0
4 x0
2
2
x0
y0
2 z0
2
2
y0
3
2 y0
z0
11
y0
x0
P
2 z0
5
2
2
14
y0
z0
3
5
là
2
3
y0
A x0 ; y0 ; z0
z0
3
14
3
0
0
2
z0
0
3
14
. Đặt
z0
11
2t
ta có hệ :
0
12
2
x0
2
2
y0
3
2 y0
2t
0
4 x0
x0
y0
22
y0
4t
9
14t
2
5
9
t
0
8
t
6
7
18
x0
x0
1
y0
6
6
t
3t
27
9
t
A 1; 6 ;
5
14
2t
14
0
2
t
3t
18
9
2
21
14
2t
14
3t
t
3t
x
có phƣơng trình:
1
y
4
6
z
2
5
1
5
x0
3
y0
0
A 3; 0 ;
x
có phƣơng trình:
1
3
y
4
z0
Vậy
t
y0
t
8
t
14
x0
3t
2 x0
2
3
2
2t
y0
672
y0
3 x0
14
2
2
2
3
z0
+ Với
0
t
18
x0
x0
3t
196t
y0
+ Với
y0
18
x0
14
2
2
2
2t
y0
2
x0
2
14
2
z
1
1
1
có hai phƣơng trình:
x
1
y
4
6
z
2
5
và
x
1
3
y
4
z
2
1
.
1
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Đƣờng thẳng
là giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng ( ) vng góc
với (P) và cách d một khoảng bằng
14
Mặt phẳng ( ) có véctơ pháp tuyến:
dạng:
Mà
x
3y
2z
d
.
n
ud ; nP
d,
14
d
M ,
9
d
1
:x
Đƣờng thẳng
x
x
+ Với
3y
2z
y
2z
d
1
5
27
Đƣờng thẳng
3y
6
nên phƣơng trình có
d
14
14
1
+ Với
9; 6
0
2
d
3;
2z
1
9
d
13
d
1
d
27
14
4
0
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng ( )
0
0
:x
y
0
x
2z
1
0
x
2z
5
3y
2z
27
0
x
3
y
0
z
x
có phƣơng trình:
1
3
4t
y
z
2t
1
t
0
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng ( )
13
x
x
3y
2z
27
y
2z
5
0
0
y
6
x
2z
x
9
2z
0
11
0
1
y
6
z
x
Vậy có hai đƣờng thẳng cần tìm:
x
3
5
2t
1
1
y
6
z
4t
y
z
có phƣơng trình:
x
và
t
x
1
y
6
z
4t
2t
5
t
4t
2t
5
.
t
Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình hình chiếu vng
góc
của đƣờng thẳng
d :
x
1
y
1
z
1
t
trên mặt phẳng
:2x
3y
z
0
t
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng ( ) có véctơ pháp tuyến n 2 ; 3 ; 1 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua A 1; 1; 1 có véc tơ chỉ phƣơng u 1; 0 ; 1 .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
1
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Nếu d cắt ( ) tại N thì N là một điểm đi qua của , lấy một điểm M bất kì
trên d khơng thuộc ( ), xác định hình chiếu M’ của M trên( ). Ta có hai điểm đi
qua của .
+) Nếu d khơng cắt ( ) thì lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, xác định hình
chiếu M’, N’ của M và N trên ( ). Ta có hai điểm đi qua của .
Giải: Để xét sự tƣơng giao của d và ( ), ta xét hệ:
x
I :
y
z
2x
x
1
1
y
1
1
z
1
1
t
t
3y
z
0
Vậy d giao với ( ) tại
N
t
t
2 1
t
3 ; 1;
3
3
1
t
0
x
1
y
1
z
1
2
2t
đƣờng thẳng
t
x
y
t
3
1
t
0
3
1
z
3
t
4
đi qua điểm N.
Gọi d’ là đƣờng thẳng qua A và vng góc với ( ), nhận véctơ pháp tuyến của
( ) là chỉ phƣơng
d'
phƣơng trình:
x
1
2 t1
y
1
3 t1
z
1
t1
t1
R
Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng ( ) là giao điểm của đƣờng thẳng
d’ với mặt phẳng ( ). Có tọa độ là nghiệm của hệ:
14
x
1
2 t1
x
1
2 t1
y
1
3 t1
y
1
3 t1
z
1
t1
z
1
t1
2x
3y
z
3
M '
1
;
7
2 1
0
9
7
1
, y
7
2 t1
3 1
3 t1
1
t1
9
,z
7
7
2
t1
. Đƣờng thẳng
;
3
x
7
0
cũng là đƣờng thẳng NM’ đi qua
N
3 ; 1;
3
7
và có chỉ phƣơng
NM '
x
24
6
;
30
nên có phƣơng trình:
;
7
7
7
y
z
3
1
4t2
t2
3
t2
R
5t2
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Gọi
là mặt phẳng chứa đƣờng thẳng d và vng góc với mặt phẳng( )
Theo bài ra mp
phƣơng trình
2x
y
t
3y
1; 1; 1
): x
z
y
x
thỏa mãn hệ:
( ) và
x
(
đi qua A
0
1
t
0
và có véctơ pháp tuyến:
1
0
y
2x
2x
2y
2t
2x
3y
1
z
3y
t
1
0
0
y
0
n ; u1
3;
3;
3
. Hình chiếu vng góc cần tìm là giao của
z
0
n
x
. Đặt
1
1
5
5
1
4
5
5
z
1
, ta có:
t
t
t
x
1
4t
5
Vậy đƣờng thẳng cần tìm có phƣơng trình:
y
1
t
5
z
1
5t
15
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết phƣơng trình hình chiếu vng góc của đƣờng thẳng
x
4
t
y
1
8t
z
3t
d:
trên mặt phẳng
(P ) : 3x
2y
z
5
0
.
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đƣờng thẳng
x
x
d1:
y
1
2
z
2
1
và d2:
1
1
y
1
z
3
2t
(t R). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
t
d vng góc với mặt phẳng ( P ) : 7 x y 4 z 0 và cắt cả hai đƣờng thẳng d1 và d2
( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007).
Bài 3: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A 2 ; 3 ; 3 , vng góc với
x
đƣờng thẳng d1:
x
1
y
3
4
z
1
2
1
và cắt đƣờng thẳng d2:
y
8
t
z
9
t
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A
x
thẳng d1:
2
y
2
2
z
1
3
1
, d2:
x
1
y
1
1
z
2
1
3
1; 2 ; 3
(t R).
và hai đƣờng
. Viết phƣơng trình đƣờng
1
thẳng d đi qua A vng góc với d1 và cắt d2
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006).
Đáp số
x
Bài 1:
y
z
Bài 3:
34
9
13
13
t
167
40
13
13
Bài 2:
t
x
2
7
y
z
1
1
4
t
x
2
5
y
3
7
z
3
8
Bài 4:
x
1
1
y
2
3
z
3
5
16
2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
a. Đánh giá định tính
Tơi đã áp dụng đề tài của mình vào tiết dạy của một lớp, qua quá trình thực
nghiệm quan sát thì tơi thấy: ở lớp đối chứng học sinh rất ngại và rất ít em giải
đƣợc bài tốn kiểu này. Còn khi dạy cho lớp thực nghiệm, học sinh khơng cịn
ngại mà rất hứng thú. Các em đã giải khá tốt những bài toán giáo viên yêu cầu,
một số em đã bƣớc đầu sáng tạo đƣợc những cách giải khác cho những bài đó
thơng qua gợi ý giáo viên nhƣ ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 6,...
Điều đó cũng rút ra cho mỗi giáo viên khi đứng lớp giảng dạy, nếu chúng ta
chịu khó đọc các tài tiệu tham khảo kết hợp với sự sáng tạo trong phƣơng pháp
giảng dạy. Sẽ mang lại cho học sinh nhiều tiết dạy hiệu quả hơn, làm cho học
sinh hiểu rõ đƣợc mọi vấn đề và giúp các em hứng thú hơn khi học mơn tốn,
nhất là hình tọa độ trong không gian. Chúng ta càng cụ thể bao nhiêu càng tốt,
nên quy các bài toán về từng dạng. Từ đó giúp học sinh có cách nhìn khái qt
tổng hợp hơn và tìm ra được phương pháp chung để giải toán
b. Đánh giá định lượng
Kết quả làm bài của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm qua bài kiểm tra nhƣ sau:
Điểm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng bài kiểm tra
Lớp
Đối chứng (12A2)
Thựcnghiệm ( 12A1)
Loại
Lớp
Đối chứng (12A2)
Thực nghiệm ( 12A1)
5
0
6
0
5
1
5
5
3
5
6
6
3
8
2
8
1
5
0
1
0
0
36
39
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Tổng học sinh
50
15
42
49
8
33
0
3
36
39
Căn cứ vào kết quả này việc giúp các em khai thác và tìm ra cách giải cho
các bài tốn nói trên đã có kết quả khá tốt.
17
PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thấy kết quả thu đƣợc ngồi dự kiến
của tơi. Khi chƣa có phƣơng pháp chỉ có 20% học sinh nháp bài trong đó có 610% học sinh trong lớp có làm đƣợc theo một cách nào đó nhƣng khá lúng túng
và khơng tự tin mình đúng.
Sau khi áp dụng thì hầu hết đã bắt tay vào làm theo một trong hai cách đã
học và nhất là cách 2. Các em làm xong nhanh hơn và có nhiều học sinh làm
đúng và rất tự tin với kết quả mình làm.
Đề tài đã giúp cho học sinh một số công cụ hiệu quả để giải quyết các bài
tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian .
Đề tài đã cung cấp không nhỏ các dạng bài tập viết phƣơng trình đƣờng
thẳng trong khơng gian và cịn gợi ý cho học sinh khả năng sáng tạo ra các cách
giải khác hoặc mở rộng bài toán ở dạng tổng quát.
Không chỉ với các quả trên đây mà tôi nhận thấy khi áp dụng đề tài này đã
giúp cho các em có sự tự tin trong việc tiếp cận với những bài tốn khó và từ đó
rèn luyện thêm cho các em tƣ duy về mơn tốn.
3.2 . Kiến nghị
Tôi viết đề tài này để cùng trao đổi với q thầy cơ dạy bộ mơn tốn về
phần viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian bởi phần này ít có trong
SGK hay sách bài tập nhƣng lại có khơng ít trong các đề thi đại học, mong đƣợc
sự góp ý và bổ sung thêm các cách làm hay và các bài tốn cho dạng này.Vì kiến
thức và thời gian cịn nhiều hạn chế nên chắc rằng tài liệu có thể thiếu sót, tơi
xin chân thành đón nhận sự góp ý của q thầy cơ để đề tài có chất lƣợng tốt
hơn.
Hàng năm những sáng kiến có chất lƣợng đề nghị sở nên phổ biến rộng rãi
để giáo viên có thể học hỏi và áp dụng vào thực tế.
Cuối cùng tơi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp bổ ích của các
thầy cơ trong tổ chun mơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày13 tháng 5 năm 2016
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của ngƣời khác.
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Thu Huyền
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tên tác giả
TT
1
2
3
4
Tên tài liệu tham khảo
Nhà xuất bản
c 12
2011
–
12
12
Năm xuất
bản
GDVN
2011
GDVN
2008
Các đề thi tốt nghiệp THPT và
các trƣờng đại học những năm
gần đây.
19
