Kích thích tập thể trong một số cấu trúc lớp đôi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MỆN

KÍCH THÍCH TẬP THỂ
TRONG MỘT SỐ CẤU TRÚC LỚP ĐƠI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MỆN

KÍCH THÍCH TẬP THỂ
TRONG MỘT SỐ CẤU TRÚC LỚP ĐÔI

Ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số ngành: 62440103

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Thành Tiên
Phản biện 2: TS. Đồn Trí Dũng
Phản biện 3: TS. Nguyễn Duy Vỹ
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Nguyễn Thành Tiên
Phản biện độc lập 2: TS. Đỗ Thị Nga

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN QUỐC KHÁNH

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2018


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy Nguyễn
Quốc Khánh đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và
thực hiện luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ quốc gia
(NAFOSTED) đã hỗ trợ cho tôi về mặt tài chính thơng qua Đề tài khoa học mà Quỹ
tài trợ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Đảng ủy, Ban Giám hiệu Trường Đại học An Giang,
Khoa Sư phạm đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi về mọi mặt để tơi hồn thành
chương trình học của mình đúng hạn. Cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ, động
viên tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý –
Vật lý kỹ thuật đã giúp đỡ, hướng dẫn tơi trong q trình học tập. Tơi cũng xin cảm
ơn Phịng Đào tạo sau đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên TP Hồ Chí Minh
đã hướng dẫn tơi về mặt thủ tục hành chính trong suốt thời gian tơi học tập tại Trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi, những người đã khơng ngừng
hỗ trợ, động viên và giúp đỡ tơi, cùng tơi vượt qua những khó khăn gặp phải để hồn
thành chương trình học tập trong suốt ba năm vừa qua.

i


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, được thực hiện
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quốc Khánh. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố.

Nguyễn Văn Mện

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.............................................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN....................................................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................................................. iii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT .................................................................................................... v
DANH SÁCH BẢNG ............................................................................................................... vi
DANH SÁCH HÌNH VẼ ......................................................................................................... vii
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ..................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................................. 5
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................................... 5
5. Đóng góp mới của luận án ..................................................................................................... 6
6. Kết cấu của luận án ................................................................................................................ 6
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CẤU TRÚC LỚP VÀ HÌNH THỨC LUẬN ĐIỆN MÔI .. 9
1.1. Tổng quan về cấu trúc lớp .................................................................................................. 9
1.1.1. Khí điện tử trong giếng thế lượng tử (quantum well – QW) sâu vô hạn ................. 9
1.1.2. Tổng quan về MLG ................................................................................................... 10
1.1.2.1. Phân tích cấu trúc tinh thể của MLG ..................................................................... 10
1.1.2.2. Cấu trúc vùng năng lượng của MLG ..................................................................... 12
1.1.2.3. Electron Dirac không khối lượng .......................................................................... 16
1.1.2.4. Một số đại lượng đặc trưng của MLG ................................................................... 18
1.1.3. Tổng quan về BLG [48, 81] ...................................................................................... 20
1.1.3.1. Phân tích cấu trúc tinh thể của BLG...................................................................... 20

1.1.3.2. Cấu trúc vùng năng lượng của BLG ...................................................................... 21
1.1.3.3. Các chuẩn hạt có khối lượng trong BLG .............................................................. 26
1.2. Hình thức luận điện mơi ................................................................................................... 29
1.2.1. Các phương trình định nghĩa..................................................................................... 29
1.2.2. Phản hồi mật độ, thừa số cấu trúc và hàm tương quan cặp ..................................... 32
1.2.3. Hàm phản hồi tuyến tính, cơng thức Kramers-Kronig và quy tắc tổng ................. 33
1.2.4. Hàm điện môi trong gần đúng Hartree-Fock ........................................................... 35
1.2.5. Hàm điện môi trong gần đúng RPA ......................................................................... 36
1.2.6. Phương pháp STLS (Singwi, Tosi, Land, Sjolander) .............................................. 38
1.3. Xác định phổ plasmon trong cấu trúc lớp........................................................................ 40
CHƯƠNG 2. PHỔ PLASMON TRONG LỚP ĐÔI 2DEG-MLG ....................................... 41
2.1. Hàm phân cực và hàm điện môi cho 2DEG .................................................................... 41
2.1.1. Biểu thức hàm phân cực và DDF.............................................................................. 41
2.1.2. Hiệu ứng tương quan – trao đổi trong 2DEG .......................................................... 42
2.2. Hàm phân cực và DDF cho MLG .................................................................................... 44
2.3. Thế tương tác Coulomb trong lớp đôi 2DEG-graphene ................................................. 47
2.3.1. Thế tương tác Coulomb xuyên lớp (Interlayer Coulomb potential) ....................... 49
2.3.2. Thế tương tác Coulomb nội lớp (Intralayer Coulomb potential) ............................ 50
2.4. Phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-MLG [60] .................................................................... 53
2.4.1. DDF của lớp đôi 2DEG-MLG .................................................................................. 53
2.4.2. Kết quả giải số và thảo luận ...................................................................................... 54
2.4.2.1. Khảo sát phần thực và phần ảo của DDF .............................................................. 54
2.4.2.2. Ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng lên phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-MLG
............................................................................................................................................... 57

iii


2.4.2.3. Phân rã plasmon trong lớp đôi 2DEG-MLG......................................................... 67
2.5. Kết luận chương 2 ............................................................................................................. 68

CHƯƠNG 3. PHỔ PLASMON TRONG LỚP ĐÔI 2DEG-BLG ........................................ 71
3.1. Hàm phân cực và DDF cho BLG ..................................................................................... 71
3.2. Hàm điện môi của lớp đôi 2DEG-BLG ........................................................................... 73
3.3. Phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-BLG. Gần đúng bước sóng dài [61] .......................... 75
3.4. Kết quả giải số và thảo luận [61] ..................................................................................... 78
3.4.1. Khảo sát phần thực và phần ảo của DDF ................................................................. 78
3.4.2. So sánh phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-BLG với lớp đôi 2DEG-2DEG ............. 80
3.4.3. Ảnh hưởng của yếu tố đặc trưng lên phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-BLG ......... 82
3.4.4. Phân rã plasmon trong lớp đôi 2DEG-BLG ............................................................. 87
3.5. Kết luận chương 3 ............................................................................................................. 88
CHƯƠNG 4. PHỔ PLASMON TRONG LỚP ĐÔI BLG-MLG .......................................... 90
4.1. Thế tương tác Coulomb trong lớp đôi graphene-graphene ............................................ 90
4.2. DDF của cấu trúc lớp đôi BLG-MLG ............................................................................. 92
4.3. Phổ plasmon của lớp đơi BLG-MLG. Gần đúng bước sóng dài [59]............................ 94
4.4. Kết quả giải số và thảo luận [59] ..................................................................................... 96
4.4.1. So sánh phổ plasmon của lớp đôi BLG-MLG với MLG, BLG và DLG................ 97
4.4.2. Ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng lên phổ plasmon của lớp đôi BLG-MLG .. 100
4.5. Kết luận chương 4 ........................................................................................................... 106
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ............................................................................ 108
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ............................................. 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 110
PHỤ LỤC. PHƯƠNG PHÁP LIÊN KẾT CHẶT CHO CHẤT RẮN KẾT TINH ............ 116

iv


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1.

2DEG

Khí điện tử hai chiều (Two dimensional electron gas)

2.

AC

Âm học (Acoustic)

3.

BLG

Graphene lớp kép (Bilayer graphene)

4.

DDF

Hàm điện môi động (Dynamical dielectric function)

5.

DLG

Graphene lớp đôi (Double layer graphene)

6.

DSF

Thừa số cấu trúc động (Dynamical Structure Factor)

7.

LFC

Bổ chính trường địa phương (Local field correction)

8.

MLG

Graphene lớp đơn (Monolayer graphene)

9.

MLGG

Graphene lớp đơn có vùng cấm (Monolayer gapped
graphene)

10. OP

Quang học (Optical)

11. QW

Giếng lượng tử (Quantum well)

12. RPA

Gần đúng pha

ngẫu nhiên (Random phase

approximation)
13. SPE

Kích thích đơn hạt (Single particle excitation)

14. SSF

Thừa số cấu trúc tĩnh (Stactic Structure Factor)

15. STLS

Singwi, Tosi, Land, Sjolander

v


DANH SÁCH BẢNG

Bảng 2. 1. Các tham số cho Ci 2 ( rs ) cho hệ 2DEG không phân cực ( g s = 2) . ................. 43

Bảng 2. 2. Các tham số cho Ci 2 ( rs ) cho hệ 2DEG hoàn toàn phân cực ( g s = 1) ............ 43

vi


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mơ hình QW (a) và hàm thế năng của QW sâu vô hạn (b) ................................. 9
Hình 1.2. Ơ đơn vị (a) và vùng Brillouin (b) của MLG .................................................. 12
Hình 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng của MLG [48] ....................................................... 14
Hình 1.4. Cấu trúc tinh thể của AB-stacking BLG [48]. ................................................. 20
Hình 1. 5. Mạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất của MLG và BLG [48]. ........................ 21
Hình 1.6. Cấu trúc vùng năng lượng thấp của BLG với tương tác lân cận gần nhất [48]. .. 25
Hình 1. 7. Cấu trúc tinh thể của AB-stacked BLG trong đó minh họa q trình ba giai đoạn
thể hiện tương tác hiệu dụng giữa A1 và B2 với sự hiện diện của các vị trí dimer B1 và A2
[48]. ............................................................................................................................ 27
Hình 1.8. Phần thực và phần ảo DDF trong gần đúng RPA trong vùng bước sóng dài...... 38
Hình 1.9. Hàm tương quan cặp trong các gần đúng khác nhau ........................................ 39
Hình 2.1. Cấu tạo lớp đơi 2DEG-MLG với ba hằng số điện mơi nền khác nhau............... 47
Hình 2.2. Cấu trúc lớp đôi 2DEG-MLG với ba lớp điện môi nền khác nhau .................... 53
Hình 2.3. Giá trị phần thực và phần ảo DDF ứng với một vài giá trị khác nhau của vectơ
sóng. .......................................................................................................................... 56
Hình 2.4. Phổ plasmon của hệ 2DEG-MLG: w = 20 nm (a) và w = 0 nm (b) ................. 58
Hình 2.5. Phổ plasmon của hệ 2DEG-MLG với các giá trị khác nhau của bề rộng QW. .. 59
Hình 2.6. Phổ plasmon của hệ 2DEG-MLG với các giá trị khác nhau của bề rộng QW. .. 60
Hình 2.7. Phổ plasmon của hệ 2DEG-MLG với một số mật độ hạt tải khác nhau. ........... 62
Hình 2.8. Ảnh hưởng của sự không đồng nhất của điện môi nền lên phổ plasmon của hệ
2DEG-MLG. .............................................................................................................. 63
Hình 2.9. Ảnh hưởng của hằng số điện môi lớp trung gian lên phổ plasmon nhánh AC (a)

và nhánh OP (b) của hệ 2DEG-MLG. . ......................................................................... 65
Hình 2.10. Ảnh hưởng của hiệu ứng tương quan – trao đổi lên phổ plasmon của hệ 2DEGMLG. ......................................................................................................................... 66
Hình 2.11. Tốc độ phân rã plasmon trong cấu trúc lớp đơi 2DEG-MLG .......................... 67
Hình 3.1. Cấu trúc lớp đơi 2DEG-BLG với ba lớp điện môi nền khác nhau ..................... 74
Hình 3.2. Giá trị phần thực và phần ảo DDF ứng với một vài giá trị khác nhau của vectơ
sóng. .......................................................................................................................... 79
Hình 3.3. Phổ plasmon của hệ 2DEG-BLG: nghiệm số và nghiệm giải tích (a) và so sánh
với lớp đơi 2DEG-2DEG (b). ...................................................................................... 81
Hình 3.4. Phổ plasmon của hệ 2DEG-BLG với các giá trị khác nhau của khoảng cách hai
lớp. ............................................................................................................................ 83
Hình 3.5. Phổ plasmon của hệ 2DEG-BLG với các giá trị khác nhau của mật độ hạt tải. . 84
Hình 3. 6. Phổ plasmon của hệ 2DEG-BLG với lớp trung gian khác nhau. ..................... 85
Hình 3.7. Ảnh hưởng của sự không đồng nhất của điện môi nền lên phổ plasmon của hệ
2DEG-BLG. ............................................................................................................... 87
Hình 3.8. Tốc độ phân rã plasmon trong lớp đơi 2DEG-BLG ......................................... 87
Hình 4.1. Cấu tạo của lớp đôi graphene – graphene với ba điện môi nền khác nhau ......... 90
Hình 4.2. Cấu trúc lớp đơi BLG-MLG với ba lớp điện môi nền khác nhau ...................... 93
Hình 4.3. (a) Phổ plasmon (b) tốc độ phân rã plasmon trong lớp đôi BLG-MLG với
=
κ 2 κ=
9,1 ; d = 20nm . . ..................................................................................... 97
Al2O3

vii


Hình 4.4. So sánh phổ plasmon trong BLG-MLG, MLG và BLG ((a) & (b)) và trong BLGMLG với DLG ((c) & (d)) . .......................................................................................... 99
Hình 4.5. (a) Tần số plasmon và (b) tốc độ phân rã plasmon trong lớp đôi BLG-MLG trong
ba trường hợp d = 20nm , d = 30nm và d = 50nm . Đường chấm gạch là biên vùng SPE
của BLG và MLG. ..................................................................................................... 101

Hình 4.6. (a) Tần số plasmon và (b) tốc độ phân rã plasmon trong lớp đôi BLG-MLG với
mật độ hạt tải khác nhau. . .......................................................................................... 103
Hình 4.7. Tần số plasmon nhánh OP và AC tính cho điện mơi nền khơng đồng nhất và cho
điện mơi nền đồng nhất ............................................................................................. 104
Hình 4.8. Nhánh OP và nhánh AC trong phổ plasmon của lớp đôi BLG-MLG tính cho hai
loại lớp trung gian khác nhau Al 2O3 và hBN ............................................................ 105

viii


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Graphene - loại vật liệu được tạo thành từ một lớp nguyên tử carbon sắp xếp
theo cấu trúc tổ ong - đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của giới khoa học kể từ khi
mới được phát hiện vào năm 2004 [62]. Do những tính chất đặc biệt như độ dẫn nhiệt
và dẫn điện cao hơn hẳn so với các vật liệu hai chiều trước đây (gấp 20 lần so với
GaAs và hơn các vật liệu Silicon đến hai bậc) hay bề rộng vùng cấm năng lượng bằng
khơng [32] nên graphene được cho là có khả năng ứng dụng cao trong công nghệ [26,
27, 63, 64, 65, 97] chẳng hạn trong các lĩnh vực quang điện tử (optoelectronics),
quang tử (photonics) và nano-plasmonics [8, 33, 41, 44, 46, 75, 76, 77, 78]. Hơn nữa,
vùng tần số plasmon của graphene trải dài từ terahertz đến hồng ngoại (so với vùng
khả kiến và tử ngoại của kim loại) mở ra khả năng ứng dụng trong các thiết bị quang
điện tử hoạt động trong miền tần số này [21, 23, 36, 37, 45, 51, 52, 75, 77, 78, 85].
Đặc biệt hơn, các đặc trưng plasmon của graphene có thể được điều khiển bởi sự thay
đổi nồng độ điện tử bằng phương pháp phân cực tĩnh điện, điều này là không thể thực
hiện được đối với các kim loại [5, 9, 16, 21, 33, 89].
Vì tiềm năng ứng dụng cao nên các đặc tính của lớp đơn graphene (mono-layer
graphene – MLG) đã nhanh chóng được xác định mà chủ yếu dựa trên mơ hình Dirac.
Trong mơ hình này, các chuẩn hạt trong MLG có phổ năng lượng phụ thuộc vectơ
sóng theo quy luật tuyến tính và được mơ tả bằng phương trình Dirac khơng khối

lượng trong vùng năng lượng thấp [48, 49, 81]. Chính sự phụ thuộc bậc nhất của năng
lượng vào vectơ sóng trong vùng bước sóng dài lân cận các điểm Dirac làm cho MLG
mang nhiều đặc tính đặc biệt so với các cấu trúc khí điện tử hai chiều (twodimensional electron gas – 2DEG) trong chất bán dẫn [34]. Hoàn toàn ngược lại so
với MLG, mặc dù graphene lớp kép (bi-layer graphene – BLG) được cấu tạo từ hai
lớp MLG xếp chồng lên nhau mà trong mỗi lớp đều là các chiral fermion nhưng sự
tương tác giữa hai lớp MLG dẫn đến những tính chất đặc biệt hơn cho BLG [42, 43,
81, 86]. Mơ hình Hamiltonian hai thành phần cho BLG cho kết quả là các chuẩn hạt
trong cấu trúc này mang khối lượng khác không và hệ thức năng lượng trong vùng
bước sóng dài có quy luật parabol theo vectơ sóng [7, 48, 81]. Sự khác biệt trong hệ
1


thức tán sắc này làm cho những cấu trúc có chứa BLG mang nhiều tính chất khơng
giống với MLG.
Các cấu trúc lớp đôi ngày càng xuất hiện nhiều trong mô hình lý thuyết cũng
như thực nghiệm. Đó là các mơ hình giếng lượng tử [55, 57, 83], lớp đơi MLG-2DEG
[21, 30, 31, 32, 71, 84], lớp đôi graphene (double layer graphene – DLG) [20, 34, 93],
BLG-MLG [74] và cả BLG-BLG [18] với các đại lượng đặc trưng được quan tâm
tính toán là năng lượng trạng thái cơ bản, điện trở Coulomb drag, các tính chất vận
chuyển và kích thích tập thể. Điều này cho thấy vai trò quan trọng của các cấu trúc
loại này về mặt lý thuyết cũng như khả năng ứng dụng trong cơng nghệ.
Phổ kích thích tập thể (phổ plasmon) trong các hệ nhiều hạt tương tác đã được
quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong những năm qua trong các thiết bị plasmonic
[47, 54]. Các kết quả nghiên cứu về phổ plasmon đã công bố bao gồm cả lý thuyết và
thực nghiệm đều cho thấy phổ plasmon của graphene có nhiều đặc điểm khác biệt so
với những vật liệu có dạng cấu trúc lớp truyền thống [14, 32, 34, 67, 70, 72, 99, 100].
Trong giới hạn bước sóng dài, phổ plasmon của MLG, cũng giống như 2DEG truyền
thống, có tần số plasmon tỷ lệ với căn bậc hai của vectơ sóng khi vectơ sóng nhỏ
nhưng lại có biểu hiện hồn tồn khác khi vectơ sóng tăng lên [10, 11, 34, 39, 87, 92,
94, 98]. Thêm vào đó, các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng, phổ plasmon trong các cấu

trúc lớp đôi cũng không giống so với phổ plasmon trong các cấu trúc đơn lớp cấu
thành nên hệ [20, 25, 35, 80, 83, 89, 90]. Phổ plasmon của các cấu trúc lớp đơi được
hình thành từ các lớp 2DEG truyền thống, MLG hay BLG được ngăn cách nhau bởi
các lớp điện mơi được dự đốn là mang nhiều tính chất hấp dẫn, đặc biệt là đối với
các lớp đơi có điện mơi nền khơng đồng nhất vì các thế tương tác Coulomb trong
trường hợp này – có thể thu được bằng cách giải phương trình Poisson – có dạng
phức tạp hơn nhiều so với các hệ đồng nhất [12, 84]. Hơn nữa, hạt tải trong các cấu
trúc lớp đôi 2DEG – MLG, BLG – MLG hay BLG – 2DEG có tính chất khác nhau
trong hai lớp, đó là các fermion có và khơng có khối lượng hoặc hệ chiral – nonchiral
fermion [72, 73, 84] , nên phổ plasmon của các lớp đôi loại này cũng hứa hẹn mang
nhiều tính chất đáng quan tâm nghiên cứu.
Kích thích tập thể của cấu trúc lớp được quan tâm nghiên cứu trong nhiều năm
qua với nhiều cơng trình được cơng bố, có thể kể tới như:
2


+ Phổ plasmon của 2DEG trong giếng thế đơn và giếng thế đôi lượng tử và
ảnh hưởng của tương quan lên plasmon của 2DEG [83, 101].
+ DDF và phổ plasmon của khí điện tử giả hai chiều đã được nghiên cứu
và công bố từ cuối thế kỷ trước [56].
+ Ảnh hưởng của bề dày lớp và hiệu ứng ảnh điện có xét đến tương quan
trong hệ hai chiều cũng được Nguyễn Quốc Khánh và các cộng sự nghiên cứu và
công bố [57].
+ Hàm phân cực và DDF trong gần đúng RPA cùng với phổ plasmon của
MLG ở cả nhiệt độ hữu hạn và nhiệt độ không tuyệt đối cũng đã được nghiên cứu và
cơng bố trong vịng 10 năm trở lại đây, làm cơ sở lý thuyết cho các nghiên cứu tiếp
theo [34].
+ Phổ plasmon của cấu trúc DLG với điện môi nền đồng nhất ở cả nhiệt độ
hữu hạn và nhiệt độ không tuyệt đối cũng đã được nghiên cứu và công bố bởi Hwang,
Sarma [35] và một số nhà khoa học khác [20, 93].

+ Các thành phần của hàm phân cực, DDF và phổ plasmon của BLG đã
được Rajdeep Sensarma và các cộng sự nghiên cứu và công bố năm 2011 trong bài
Phys. Rev. B 82 195428 [86].
+ Thế tương tác Coulomb của cấu trúc lớp đôi 2DEG – MLG với điện môi
nền không đồng nhất đã được Benedikt Scharf và Alex Matos-Abiague [84] tính tốn
bằng cách giải phương trình Poisson, làm cơ sở để xác định điện trở Coulomb drag
và tính chất vận chuyển của hệ.
+ Sau các cơng bố về hệ có điện mơi nền đồng nhất, phổ plasmon của hệ
DLG với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ hữu hạn đã được công bố năm
2012 bởi Badalyan [12].
+ Phổ plasmon của cấu trúc lớp đôi gồm một lớp MLG và một lớp 2DEG
rất mỏng với cơng thức giải tích trong vùng bước sóng dài đã được Principi và các
cộng sự nghiên cứu và công bố [72, 73].

3


+ Năm 2015, tại Maharaja Sayajirao University Of Baroda (Ấn Độ), trong
luận án Tiến sĩ của mình, Digish [19] bằng cách sử dụng gần đúng RPA, đã tính hàm
phân cực, DDF và phổ plasmon của hệ MLGG (monolayer gapped graphene) ở nhiệt
độ không tuyệt đối và nhiệt độ hữu hạn với độ rộng năng lượng vùng cấm khác nhau.
+ Các tính tốn, đo đạc về phổ plasmon bằng phương pháp phổ học năng
lượng suy giảm hay phương pháp phổ học tán xạ cũng đã được thực hiện bằng thực
nghiệm và cho ra các kết quả phù hợp tốt với các tính tốn lý thuyết [67-70].
+ Mới đây nhất, các tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene
ảnh hưởng đến các đặc trưng plasmon là nội dung luận án tiến sĩ ở Trường Đại học
Bách khoa Hà Nội [5].
+ Cũng trong năm 2017, Gonzalez de la Cruz đã cơng bố một cơng trình
về phổ plasmon của lớp đơi 2DEG-MLG có tính đến bề dày lớp 2DEG [31]. Tuy
nhiên, cơng trình chưa xem xét đầy đủ sự khơng đồng nhất của hằng số điện môi nền

cấu tạo nên hệ. Bên cạnh đó, nhóm tác giả Faridi và Asgari cũng có cơng bố về
plasmon của lớp đơi được tạo thành từ graphene và vật liệu LaAlO3/SrTiO3 [21].
Những phân tích trên đây cùng với những công bố khoa học được liệt kê đã cho
thấy rằng phổ plasmon và phân rã plasmon của các cấu trúc lớp đôi 2DEG-MLG,
2DEG-BLG và BLG-MLG được dự đốn là mang nhiều đặc tính hấp dẫn nhưng vẫn
chưa được quan tâm nghiên cứu một cách đầy đủ. Đây sẽ là nội dung nghiên cứu
được trình bày chi tiết trong luận án này. Trong mỗi cấu trúc lớp đôi được đề cập,
luận án xác định điểm không hàm điện môi động (dynamical dielectric function –
DDF) trong gần đúng pha ngẫu nhiên (random phase approximation – RPA) bằng
phương pháp giải số để tìm phổ plasmon, khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng
của cấu trúc lên phổ plasmon của chúng. Kết quả nghiên cứu của luận án sẽ góp phần
hồn thiện lý thuyết về các tính chất của hệ hai chiều có dạng lớp đơi và là cơ sở để
các nhà vật lý thực nghiệm tìm kiếm, ứng dụng vật liệu mới cùng với các tính chất
mong đợi.

4


2. Mục đích nghiên cứu
Tính tốn phổ plasmon và phân rã plasmon trong cấu lớp đơi có chứa graphene
với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối và khảo sát ảnh hưởng
của các yếu tố đặc trưng lên phổ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các cấu trúc lớp đơi, bao gồm: 2DEG-MLG
có tính đến bề dày lớp và hiệu ứng tương quan – trao đổi, 2DEG-BLG và BLG-MLG.
Chúng tơi tính tốn DDF của hệ trong gần đúng RPA ở nhiệt độ khơng tuyệt đối, có
chú ý đến sự không đồng nhất của điện môi nền. Trên cơ sở giải phương trình điểm
khơng của phần thực DDF, chúng tôi xác định phổ plasmon và phân rã plasmon, khảo
sát ảnh hưởng của bề dày lớp trung gian, mật độ hạt tải, hằng số điện môi nền lên phổ
plasmon của hệ. Bên cạnh đó chúng tơi cũng sử dụng các biểu thức khai triển gần

đúng bước sóng dài của hàm phân cực, hàm thế tương tác Coulomb để tìm biểu thức
giải tích của tần số plasmon theo vectơ sóng.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Kế thừa kết quả của một số bài báo để tính tốn chi tiết thế tương tác Coulomb
của một số hệ hai chiều bằng phương pháp giải tích. Trong đó, chú ý hai cấu trúc lớp
graphene – 2DEG và graphene – graphene.
+ Sử dụng gần đúng RPA để tính DDF của các cấu trúc lớp đơi 2DEG-MLG,
2DEG-BLG và BLG-MLG ở nhiệt độ khơng tuyệt đối, có chú ý đến sự không đồng
nhất của điện môi nền.
+ Sử dụng dạng khai triển trong gần đúng bước sóng dài của các hàm phân cực
của cấu trúc lớp và thế tương tác Coulomb để giải phương trình điểm khơng DDF của
lớp đơi và tìm nghiệm giải tích gần đúng. So sánh kết quả thu được với kết quả tương
tự của các tác giả khác và với kết quả giải số.
+ Sử dụng ngơn ngữ lập trình C++ và một số phần mềm khác để hỗ trợ tính tốn
phổ plasmon và phân rã dao động plasma của hệ bằng phương pháp số từ điều kiện
triệt tiêu của DDF, vẽ đồ thị biểu diễn phổ plasmon và tốc độ phân rã plasmon của
hệ; khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng lên phổ plasmon.
5


+ So sánh các kết quả giải số và đồ thị thu được với kết quả tính tốn tương tự
của các tác giả khác để khẳng định tính đúng đắn của kết quả.
5. Đóng góp mới của luận án
Đóng góp chính của luận án được cơng bố trong ba cơng trình khoa học trên tạp
chí ISI: một trên Canadian Journal of Physics (năm 2018), một trên Physics Letter A
(năm 2017) và một trên Physica Status Solidi (năm 2018).
Trong bài báo thứ nhất (Canadian Journal of Physics 96 (2018), 615–621,
chúng tơi khảo sát cấu trúc lớp đơi 2DEGMLG có kể đến bề dày của lớp 2DEG, sự không đồng nhất của điện môi nền và hiệu
ứng tương quan – trao đổi. Bài báo so sánh phổ plasmon của 2DEG-MLG với 2DEG2DEG và DLG và khảo sát ảnh hưởng của bề dày lớp, nồng độ hạt tải, sự không đồng
nhất của điện môi nền và hiệu ứng tương quan – trao đổi lên phổ plasmon của hệ.

Trong bài Physics Letters A 381 (2017) 3779–3784, chúng tơi trình bày kết quả
tính tốn về phổ plasmon và phân rã plasmon của lớp đôi 2DEG-BLG gồm một lớp
2DEG rất mỏng và một lớp BLG, ngăn cách nhau bởi ba lớp điện môi khác nhau.
Chúng tơi sử dụng khai triển gần đúng bước sóng dài để tìm ra biểu thức giải tích của
tần số plasmon ứng với hai nhánh phổ. Cũng trong bài báo này, chúng tơi tính phổ
plasmon và phân rã dao động plasma bằng phương pháp số, so sánh với lớp đơn cấu
thành nên hệ và lớp đơi có cấu trúc tương tự. Bên cạnh đó, một trong những kết quả
quan trọng khác được trình bày trong bài báo này là khảo sát ảnh hưởng của các yếu
tố đặc trưng của hệ như: bề dày và hằng số điện môi của lớp trung gian, mật độ hạt
tải trong hai lớp, sự không đồng nhất của điện môi nền lên phổ plasmon.
Bài báo thứ ba (Physica Status Solidi (b), 2018) trình bày phổ plasmon của lớp
đôi BLG-MLG. Chúng tôi rút ra biểu thức giải tích của tần số plasmon trong gần
đúng bước sóng dài; tính tốn phổ plasmon và phân rã bằng phương pháp số rồi so
sánh với lớp đôi DLG và các lớp đơn cấu thành hệ. Bên cạnh đó, bài báo cũng trình
bày kết quả khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng đặc trưng lên phổ plasmon của hệ.
6. Kết cấu của luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong bốn chương:
Chương 1. Giới thiệu về cấu trúc lớp và hình thức luận điện mơi.
6


Chương này trình bày những đặc trưng cơ bản nhất về các cấu trúc lớp. Trong
đó, tập trung vào ba cấu trúc lớp có liên quan trực tiếp đến luận án: 2DEG trong giếng
thế lượng tử (quantum well – QW) sâu vơ hạn, MLG và BLG.
Hình thức luận điện mơi là phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt tương tác được
xây dựng dựa trên cơ sở DDF của hệ. Từ kết quả về DDF trong hình thức luận điện
mơi có thể dẫn ra nhiều tính chất quan trọng của hệ. Đây là cơ sở tốn học của bài
tốn tìm phổ plasmon của hệ nhiều hạt tương tác được trình bày trong luận án này.
Chương 2. Phổ plasmon trong lớp đôi 2DEG-MLG.
Chương này giới những kiến thức cơ bản về hàm phân cực, DDF của 2DEG và

MLG. Bên cạnh đó, biểu thức thế tương tác Coulomb trong cấu trúc lớp đôi 2DEGgraphene cũng được tính tốn chi tiết dựa vào phương trình Poisson. Các kết quả
được sử dụng làm cơ sở lý thuyết cho việc tính tốn phổ plasmon trong lớp đôi MLG2DEG.
Phổ plasmon trong lớp đôi 2DEG-MLG được xác định trong chương này dựa
trên DDF của hệ có kể đến hiệu ứng trương quan – trao đổi bằng cách sử dụng bổ
chính trường định xứ do Gold đề xuất và có tính đến bề dày lớp 2DEG. Ảnh hưởng
của các yếu tố đặc trưng của hệ lên phổ plasmon cũng được khảo sát và trình bày một
cách chi tiết.
Chương 3. Phổ plasmon trong lớp đơi 2DEG-BLG.
Để tính tốn phổ plasmon của lớp đôi 2DEG-BLG, chương này giới thiệu hàm
phân cực và DDF của BLG làm cơ sở cho các tính toán xác định phổ. Bằng cách sử
dụng các khai triển trong gần đúng bước sóng dài của hàm phân cực và thế tương tác
Coulomb, các phép tính chi tiết trình bày trong chương này dẫn ra biểu thức tần số
plasmon dạng giải tích cho cấu trúc lớp đơi này. Bên cạnh đó, chương này cũng trình
bày kết quả khảo sát sự phụ thuộc của phổ vào các yếu tố đặc trưng của hệ.
Chương 4. Phổ plasmon trong lớp đôi BLG-MLG.
Lớp đôi được khảo sát trong chương này là lớp đôi BLG-MLG được tạo thành
từ một lớp BLG và một lớp MLG với điện môi nền không đồng nhất. Trước hết, cũng
bằng cách giải phương trình Poisson, chương này trình bày các tính tốn chi tiết dẫn
ra biểu thức thế tương tác Coulomb trong lớp đôi graphene – graphene làm cơ sở cho
việc xác định DDF. Trên cơ sở đó, biểu thức giải tích của tần số plasmon của hệ trong
7


gần đúng bước sóng dài cũng được xác định. Các kết quả giải số về phổ plasmon của
hệ cũng được tính tốn chi tiết, so sánh với phổ plasmon của một số cấu trúc lớp đôi
tương tự đồng thời khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng của hệ lên phổ.

8

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CẤU TRÚC LỚP VÀ HÌNH THỨC
LUẬN ĐIỆN MƠI
1.1. Tổng quan về cấu trúc lớp
1.1.1. Khí điện tử trong giếng thế lượng tử (quantum well – QW) sâu vơ hạn
a)

b)

V(z)

z

B

a

A
C

O
O

z

Hình 1.1. Mơ hình QW (a) và hàm thế năng của QW sâu vô hạn (b).

Giếng lượng tử (quantum well – QW) là cấu trúc được tạo bởi lớp vật liệu A
kẹp giữa hai lớp vật liệu khác B và C (hình 1.1a). Tính chất của hạt tải trong QW phụ
thuộc từng trường hợp cụ thể. Trong nội dung nghiên cứu của luận án này, chúng tôi
xem xét hạt tải trong giếng thế là các điện tử. Khi đó, trong mơ hình QW được trình

bày trong hình 1.1a, các điện tử có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng Oxy. Theo
phương của trục Oz, các điện tử chịu thêm tác dụng của thế năng V ( z ) hình thành
do sự khác biệt năng lượng của các đáy vùng dẫn của các vật liệu tiếp xúc. Luận án
này sử dụng mơ hình QW có chiều sâu vơ hạn giống như mơ hình đã được đề cập
trong nhiều cơng trình trước đây [31, 73, 84]. Khi đó, thế năng có dạng (hình 1.1b)
0,
V (z) = 
 ∞,

0< z.
z ≤ 0∨ x ≥ a

(1.1)

Phương trình Schrưdinger của điện tử trong QW V ( z ) có dạng

   2  ∂ 2

∂ 2  2 ∂ 2 
−
+
+
+
V
z
E Ψ ( x, y , z ) , (1.2)
(
)
  * 2

 Ψ ( x, y , z ) =

∂y 2  2mz ∂z 2 
  2m  ∂x

9


trong đó m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong mặt phẳng ( Oxy ) , và mz là
khối lượng hiệu dụng của điện tử theo phương Oz. Vì thế năng V ( z ) chỉ phụ thuộc
vào z , nên điện tử được xem như chuyển động tự do trong mặt phẳng ( Oxy ) và hàm
sóng của điện tử theo trục x và y sẽ là sóng phẳng. Khi đó, hàm sóng của điện tử
được viết dưới dạng tách biến như sau
Ψ ( x, y , z ) =
exp ( ik x x ) exp ( ik y y )ψ ( z ) .

(1.3)

Thay (1.3) vào (1.2) ta xác định được thành phần phụ thuộc tọa độ z của hàm
sóng ψ ( z ) và năng lượng tương ứng của điện tử trong QW ( 0 ≤ z ≤ a )
 2
n πz
sin  z  , 0 < z < a

=
ψ nz ( z ) =
( nz 1,2,3...) ,
a
 a 
0,

z ≤ 0∨ z ≥ a

nz2π 2  2
, ( nz 1,2,3... ) .
=
ε nz =
2mz a 2

(1.4)

Một đại lượng quan trọng của hệ 2DEG là mật độ trạng thái, là số trạng thái
lượng tử trên một đơn vị năng lượng chứa trong một đơn vị thể tích của khơng gian
thực

g (E) =

∂N
,
∂E

(1.5)

trong đó N là số trạng thái chứa trong một đơn vị thể tích khơng gian thực.
Kết quả tính tốn cho thấy, mật độ trạng thái của 2DEG có biểu thức:

g s gν m*
.
g2 D ( E ) =
2π  2

(1.6)

Trong đó, g s , gν lần lượt là thừa số suy biến spin và thừa số suy biến vùng; m*
là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hệ. Biểu thức (1.6) cho thấy, đối với 2DEG,
mật độ trạng thái không phụ thuộc vào năng lượng của điện tử.
1.1.2. Tổng quan về MLG
1.1.2.1. Phân tích cấu trúc tinh thể của MLG
Mạng tinh thể graphene là một mạng gồm các nguyên tử carbon được liên kết
và sắp xếp với nhau theo cấu trúc lục giác đều hình tổ ong (hình 1.2a). Mỗi cạnh có
10


chiều dài 1,42 A0 . Cấu trúc của mạng này được tạo thành nhờ các liên kết hoá học
cộng hoá trị giữa các nguyên tử carbon với nhau. Theo đó, mỗi nguyên tử carbon
riêng biệt ở trạng thái cơ bản chứa sáu điện tử theo cấu hình điện tử là 1s 2 2 s 2 2 p 2 ,
nghĩa là có hai điện tử lấp đầy lớp trong 1s, liên kết chặt chẽ với hạt nhân, không
tham gia vào quá trình dẫn điện hay nhiệt. Bốn điện tử chiếm các lớp ngoài theo mức
năng lượng từ thấp đến cao thuộc các orbital 2s và 2p. Vì các orbital 2p có năng lượng
tương đối gần mức 2s, chỉ cao hơn cỡ 4 eV [79] nên khi các nguyên tử carbon được
kích thích tham gia vào liên kết trong mạng graphene, một điện tử ở mức 2s nhảy lên
mức 2p để hình thành các liên kết hóa học cộng hóa trị với các nguyên tử khác tạo
thành trạng thái lai hóa sp trong mạng.
Như vậy, ở trạng thái kích thích, các điện tử ngoài cùng của nguyên tử carbon
tồn tại ở bốn trạng thái lượng tử trong các orbital 2s và 2 p . Sự xen phủ hàm sóng
(xen phủ trạng thái) của orbital 2s với hai trong ba trạng thái của orbital 2 p
( 2 p x và 2 p y chẳng hạn) tạo nên sự lai hóa sp 2 được mơ tả bởi hàm sóng có dạng

=
sp12

1
2
2s −
2 py ,
3
3


1
2 3
1
sp22 =
2s −
2 px + 2 p y  ,

3 2
2
3


(1.7)


1
2
3
1
−
−
+

sp22 =
p
p
2s −
2
2

x
y .
3 2
2
3

Các trạng thái lai hóa này tạo nên các liên kết σ trong mặt phẳng mạng tinh
thể, hợp với nhau 1200 , liên kết ba nguyên tử carbon lân cận tạo thành mạng tổ ong.
Trạng thái cịn lại 2 pz khơng tham gia vào sự lai hóa nên hình thành liên kết π
vng góc với mặt phẳng tinh thể. Các điện tử trong liên kết π liên kết rất yếu với
nguyên tử nên sẽ tham gia chủ yếu vào sự dẫn điện trong tinh thể graphene [40, 48].
Các điện tử này có đặc tính giống như 2DEG, tính chất điện của graphene do các điện
tử này gây ra. Do đó, khi nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của graphene ta chỉ
nghiên cứu các điện tử này.

11


1.1.2.2. Cấu trúc vùng năng lượng của MLG
Như đã trình bày ở mục 1.1.2.1, ta chỉ quan tâm đến năng lượng của các liên kết

π trong tinh thể graphene. Về mặt cấu trúc tinh thể, có thể xem tinh thể MLG được
hình thành từ hai mạng con dạng tam giác đều của hai loại nguyên tử C khác nhau A

và B (hình 1.2a). Ơ đơn vị của mạng Bravias [1, 3, 6, 48] tương ứng được chọn với
thể tích bé nhất là hình thoi chấm gạch trên hình 1.2a. Trong ô đơn vị này có hai


nguyên tử C khác loại. Các vectơ đơn vị của mạng thuận a1 và a2 được biểu diễn
trên hình 1.2a. Nếu chọn các trục tọa độ như trong hình 1.2a thì tọa độ các vectơ này
là

  3 a   3
a
=
a1 
a, =
a, −  .
 , a2 
2
2
 2
 2

A

(1.8)

B

K

M
K’

a)

b)
Hình 1.2. Ơ đơn vị (a) và vùng Brillouin (b) của MLG.



với a = a1 = a2 = 1,42 × 3 = 2, 46Å là hằng số mạng của graphene. Các vectơ đơn


vị của mạng đảo b1 và b2 tương ứng là:

  2π 2π    2π
2π
b1 
, =
, b2 
,−
=

a
 3a a 
 3a


.


(1.9)



4π
trong không gian mạng đảo. Các vectơ đơn vị b1 và b2
3a


của mạng đảo lục giác đều được quay một góc 900 từ vectơ đơn vị a1 và a2 của mạng

tinh thể lục giác đều trong không gian thực ( ai b j = δ ij ), như thể hiện trong hình 1.2b.

ứng với hằng số mạng

12


Bằng cách chọn vùng Brillouin thứ nhất là lục giác đều tơ đen trong hình 1.2b, chúng
ta có ba điểm đối xứng cao Г, K và M tương ứng tại tâm, góc và trung điểm của cạnh.
Với cách chọn ơ đơn vị như trên, ta sử dụng phương pháp liên kết chặt (được
trình bày chi tiết trong phần phụ lục) để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của
MLG [6, 48]. Trong phương pháp liên kết chặt [1, 3, 6, 48], hàm sóng cơ sở là hàm
Bloch, tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng ngun tử của hai ngun tử khác loại
nằm trong ô đơn vị A và B


=
Φ j (r )

1

N

∑e


ikRα

 
φ j ( r − Rα=
), (α A, B ) .

(1.10)

Rα

Vì ta chỉ xét một quỹ đạo của nguyên tử nằm trong ô đơn vị nên

j ≡ jα ≡ α ≡ A, B . Các yếu tố ma trận Hamiltionian ( 2 × 2 ), H αβ , (α , β = A, B ) được
xác định bằng biểu thức:

H αβ k =
Φα H Φ β ,

( )

A, B ) .
(α , β =

(1.11)

Khi chỉ xét các lân cận gần nhất thì các yếu tố ma trận trên là:

 
 
1
1
r
R
H
r
R
φ
−
φ
−
=
ε2 p ε2 p .
∑
∑=
A
A
N R R=
N R R '
'
=

H AA=
(r )

(

)

(

)

(1.12)


H=
ε2 p .
Tương tự cho H BB ( r ) ta có H=
AA
BB
Các yếu tố ma trận H AB là


=
H AB ( r )

1
N

N

N

e
∑∑




  
ik RB − RA

(

)

 
 
φA ( r − RA ) H φB ( r − RB ) .

(1.13)

RA RB

Ta chỉ xét tới ba lân cận gần nhất của nguyên tử A so với nguyên tử B, các vị
 

trí này được kí hiệu bằng các vectơ R1 , R2 và R3 . Chúng ta tính tốn các đóng góp

 
của H AB từ R1 , R2 và R3 ,






H AB ( r ) =
−γ 0 eikR1 + eikR2 + eikR3 =
−γ 0 f k ,
(1.14)

(

)

( )

 
  
− φA r − R H φB r − R − Ri , ( i =
1,2,3) (do tính chất đối xứng của
trong đó γ 0 =

(

)

(

)

hệ nên γ 0 khơng phụ thuộc i ) là năng lượng tương tác giữa các điện tử thuộc lân cận

13



ikR
gần nhất, f k là tổng của các thừa số pha e j , ( j = 1,2,3) . Sử dụng hệ tọa độ Oxy

( )


như hình 1.2a ta tìm được f k có giá trị như sau

( )


f k
eik x a /
=

( )

3

k a
+ 2e − ik x a /2 3 cos  y  .
 2 

(1.15)


Bởi vì f k là hàm phức và Hamiltonian là ma trận Hermit nên H BA = H *AB .

( )

Các yếu tố ma trận xen phủ

Sαβ k = Φα Φ β , (α , β = A, B ) .

( )

(1.16)

có dạng được biểu diễn qua (1.15) là
1,
S=
S=
AA
BB

*
,
=
S AB sf=
k
S BA

(1.17)

( )

s
với=

 
  
φA ( r − R ) φB ( r − R − Ri ) , =
( i 1,2,3) .

Vì vậy dạng tường minh của ma trận H và ma trận S như sau


 ε2 p
 1
−γ 0 f k 
sf k 
; S 
.
=
H =
 *
 −γ f k *


 sf k
ε2 p 
1 
 0




( )

( )

( )

( )

(1.18)

Hình 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng của MLG [48].

Sử dụng dạng của các ma trận H và S trong (1.18) để giải phương trình thế kỉ

det ( H − ES ) =
0 ta thu được các trị riêng E k như sau:

( )

14



ε 2 p  γ 0ω k

E k =
 .
1 ± sω k

( )
( )

( )

(1.19)

Trong đó dấu ‘-’ ở tử số và ‘+’ ở mẫu số tương ứng phổ năng lượng π liên kết
còn dấu ‘+’ ở tử số và ‘-’ ở mẫu số tương ứng phổ năng lượng π* phản liên kết. Ở

đây ω k được cho bởi:

( )



( )



( )

2

 3k a 
 2 

 kya 
k a
+ 4cos2  y  .(1.20)

 2 

 2 

x
f k =
ω k =
1 + 4cos 
 cos 

Do giá trị của tích phân xen phủ s rất nhỏ nên thường được bỏ đi. Khi tích phân
xen phủ s bằng khơng, từ phương trình (1.19) chúng ta thấy hai dải π và π* đối xứng
nhau qua giá trị 0. Nếu đặt ε 2 p = 0 , phổ tán sắc năng lượng trong trường hợp s = 0
được sử dụng phổ biến như một gần đúng đơn giản cho cấu trúc điện tử của MLG:
1/2


 3k x a 
 kya 
 k a 
E (kx , k y ) =
±γ 0 1 + 4cos 
+ 4cos2  y   . (1.21)
 cos 

 2 
 2  

 2 

Trong trường hợp này, năng lượng tương ứng có giá trị ±3γ 0 , ± γ 0 và 0 tại các
điểm có đối xứng cao Г, M và K trong vùng Brillouin và độ rộng của dải là 6 γ 0 .

Trong mạng đảo lục giác tương ứng với mạng Bravais lục giác của MLG có hai
điểm khơng tương đương K và K’ nằm tại các góc của vùng Brillouin gọi là điểm

 2π 2π 
,  và
Dirac. Vị trí của các điểm này trong không gian mạng đảo là K = 
 3a 3a 
2π 
 2π
=
K' 
,−
 . Các điểm Dirac này có vai trị rất quan trọng trong các hiện
 3a 3a 
tượng dẫn điện của MLG. Các hiện tượng vật lý chúng ta quan tâm ở đây đều liên
quan trực tiếp tới các điểm Dirac này. Vì vậy chúng ta cần khai triển E ( k x , k y ) trong

lân cận nhỏ của k quanh điểm K và K’ trong vùng Brillouin:


 2
(1.22)
E ( k x , k y ) = E± k = ± vF k + Ο k .

( )

( )

15