Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 2: Nhiễu loạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.59 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PhD. D.H.Đẩu 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PhD. D.H.Đẩu 2

NHI U LO N D NG KHƠNG SUY

Ễ

Ạ

Ừ

Bi N

Ế

2. NHI U LO N D NG CĨ SUY Bi N

Ễ

Ạ

Ừ

Ế

3.NHI U LO N SUY Bi N B C CAO

Ễ

Ạ

Ế

Ậ

4. NG D NG C U TRÚC TINH T

Ứ

Ụ

Ấ

Ế

QUANG PH

Ổ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PhD. D.H.Đẩu 3

Lecturer:

Dr: D

ươ

ng Hi u Đ u

ế

ẩ

Head of Physics Dept

Tel: 84.71. 832061

01277 270 899

Đ a ch g i bài t p nhóm

ị

ỉ ử

ậ

Khơng có nhóm bài t p gi ng h t

ậ

ố

ệ

nhau

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PhD. D.H.Đẩu 4

1. Nhiễu loạn không suy biến

Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

PhD. D.H.Đẩu 5

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

• Là phương trình xác định hàm riêng

và trị riêng của toán tử năng lượng:

)

t

,

z

,

y

,

x

(

.

E

)

t

,

z

,

y

,

x

(

)

Vˆ

m

2 (



Nghiệm chính xác của phương trình chỉ tìm ra
khi tốn tử thế năng có dạng đơn giản.

Với bài tốn thực tế, thế năng có dạng phức 
tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

PhD. D.H.Đẩu 6

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN

Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là 
cách làm đơn giản toán tử thế năng 
(gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải

gần đúng PT Schrodinger tìm mức 
năng lượng và hàm sóng.

Xem tốn tử thế năng là một gia số 
nhỏ của toán tử năng lượng:

)

1 .

2 (

'

Hˆ

Chân dung 
Schrodinger

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

PhD. D.H.Đẩu 7

1.1- Phương pháp nhiễu loạn

không suy biến

Điều kiện áp dụng: nghiệm của phương trình

Schrodinger khơng nhiễu loạn đã được xác định:

0
n
)

0
(
n
0

n
)

0
(
n

nm
)

0
(
m
)

0
(
n

)
0

(
n
)

0
(
n
)

0
(
n
0

E

;

:

Denote

)

3 .

2 (

:

here

)

2 .

2 (

)

t

,r

(

E

)

t

,r

(

Hˆ



Ký hi u (0) khơng ph i là lũy th a, nh ng có m t s ệ ả ừ ư ộ ố

sách v n ghi gi ng lũy th a 0. Đây là ch b c nhi u ẫ ố ừ ỉ ậ ễ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PhD. D.H.Đẩu 8

1.1- Phương pháp nhiễu loạn

không suy biến

En0 là các tr riêng ng v i các hàm riêng c a tốn t ị ứ ớ ủ ử

Hamilton khơng nhi u lo n, khơng suy bi nễ ạ ế  v n đ ấ ề

là tìm nghi m (2.1) ệ  Các tr ng thái và m c năng ạ ứ

lượng g n đúng cho: ầ

)

4 .

2 (

)

t

,

z

,

y

,

x

(

.

E

)

t

,

z

,

y

,

x

(

)'

Hˆ

(

)

t

,

z

,

y

,

x

(

.

E

)

t

,

z

,

y

,

x

(

Hˆ

n
n

n
0

n
n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

PhD. D.H.Đẩu 9

Nhiễu loạn dừng

Dừng: là không phụ thuộc thời gian  tức là

trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là

khơng đổi,  tốn tử thế là khơng phụ thuộc

thời gian

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

PhD. D.H.Đẩu 10

Nhiễu loạn dừng và không suy biến

Khi nói các tr riêng c a tốn t H là khơng suy bi n ị ủ ử ế

t c là m t m c năng lứ ộ ứ ượng ng v i 1 tr ng thái.ứ ớ ạ

B t đ u, ta xem toán t Hamilton g n đúng g m 2 ắ ầ ử ầ ồ

thành ph n:ầ

)

5 .

2 (

'

Hˆ

Ở đây, chọn có giá trị nhỏ sau đó ta sẽ tăng 
dần giá trị của nó đến 1,0 Khi đó tốn tử

Hamilton sẽ đạt giá trị chính xác (2.4).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

PhD. D.H.Đẩu 11

Khai triển lũy thừa

)

7 .

2 (

E

...

E

)

6 .

2 (

...

)
n
(
n
n

)
2
(
n
2

)
1
(
n
)

0
(
n
n

)
n
(
n
n

)
2
(
n
2

)

1
(
n
)

0
(
n
n

Khi đó En(1) được gọi là số hiệu chỉnh bậc nhất

đối với trị riêng năng lượng thứ n

n(1) được gọi là hàm hiệu chỉnh bậc nhất đối với

hàm sóng riêng thứ n
Tương tự En(2) được và

n(2) được gọi là số hiệu

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

PhD. D.H.Đẩu 12

Bậc của nhiễu loạn

)

8 .

32 (

...

x

)

E

...

E

(

...

)'

Hˆ

(

)
n
(
n
n
)
2
(
n
2
)
1
(
n
)
0

(
n
)
n
(
n
n
)
2
(
n
2
)
1
(
n
0
n
)
n
(
n
n
)
2
(
n
2
)
1

(
n
)
0
(
n
0
)
9
.
2
(
...
)
(
)
(
...
'
ˆ
ˆ
)
'
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
0
(

)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
0
(
2
)
0
(
1
1
0
0
0
)
1
(
)
2
(

0
2
)
0
(
1
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
E
E
E
E
E

E
H
H
H
H
H

Nhân ra và gom nhóm theo lũy thừa của ta có:

Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn)
Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT:

)

2 .

2 (

E

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

PhD. D.H.Đẩu 13

Xét nhiễu loạn bậc nhất và bậc 2

• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1

• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất:

)

10 .

2 (

)

E

(

)

'

Hˆ

(

0 n(1) n(0) (n0) n(1) (n1) (n0)

)

11 .

2 (

)

E

(

'

Hˆ

0 n(2) n(1) n(0) (n2) (n1) n(1) n(2) (n0)

• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2

• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

PhD. D.H.Đẩu 14

Bài tập 1 w

• Xét nhiễu loạn bậc nhất (PT 2.10)

• Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PhD. D.H.Đẩu 15

Hướng dẫn

(thay ký hiệu giống lũy thừa)

Lấy tích trong n0 với PT 2.10 (thực ra là nhân

( n0)* sau đó lấy tích phân) ta có:

)
12
.

2
(
:
'
ˆ
ˆ
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
E
E
right
E
E
H
H

Bên vế trái của 2.12 ta sử dụng Ho là Hermitian

)
13
.
2
(
'
ˆ
'
ˆ
ˆ
'

ˆ
ˆ
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

H
E
H
H
H
H

So sánh 2.12 và 2.13 ta có:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

PhD. D.H.Đẩu 16

Kết luận về nhiễu loạn bậc nhất

• Số hiệu chỉnh về năng lượng mức n

trong nhiễu loạn bậc nhất (1) chính là

giá trị trung bình của tốn tử nhiễu loạn

ở trạng thái mơ tả bởi hàm sóng khơng

bị nhiễu loạn thứ n

(số phía trên là chỉ bậc 
của nhiễu loạn)

)

15 .

2 (

E

)

14 .

2 (

'

Hˆ

E

)
1
(
n
0

n
n

0
n
0

n
)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

PhD. D.H.Đẩu 17

Bài tập 2w

• Bài tốn hạt tự do trong hố thế vng có 
cạnh là a ( 0 x a) với nghiệm là:

2
2
2
2
)

0
(
n
)

0
(
n

ma
2
n
E

:
here

)
a

x
n
sin(
a

2
)

x
(



Xét trường hợp có nhiễu 
loạn là một thế V (có giá 
trị bé) như hình

a
a/2

V

Tính số hiệu chỉnh năng lượng

Bậc nhất và cho biết các giá trị năng 
lượng có nhiễu loạn bậc nhất ở các

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

PhD. D.H.Đẩu 18

Hướng dẫn

Mức năng lượng chính xác

thứ 1 (nhiễu loạn bậc nhất):

2
V
2
a
2
1
V
a
2
dx
)
a
x
n
(
sin
V
a
2
dx
)
a

x
n
sin(
a
2
)
V
)(
a
x
n
sin(
a
2
'
Hˆ
E
2
/
a
0
2
2
/
a
0
0
n
0
n

1
n

S d ng công th c 2.14 đ xác đ nh E

ử ụ

ứ

ể

ị

n1

:

4
V
ma
2
1
E
E

E 1 2 2 22

1
0

1
1



Mức năng lượng chính xác

thứ 2: 4 .

V
ma

2
2
E
E

E 1 2 2 22

2
0

2
2



Mức năng lượng chính xác

thứ 3: .

4
V
ma
2
3
E
E

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

PhD. D.H.Đẩu 19

Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất

Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm:

)

16 .

2 (

)

E

'

Hˆ

(

)

E

Hˆ

(

E

'

Hˆ

E

Hˆ

)

10 .

2 (

)

E

(

)

'

Hˆ

(

0
n
1
n
1
n
0
n
0
0
n
1
n
0
n
1
n
0
n
1
n
0
0
n
1

n
1
n
0
n
0
n
1
n
0

)

17 .

2 (

c

0m

n
m
)
1
(
mn
1
n

Khai triển hàm n1 ở vế trái thành tổ hợp tuyến tính các

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

PhD. D.H.Đẩu 20

Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng

của nhiễu loạn bậc nhất

)
19
.
2
(
'
ˆ
)
'
ˆ
(
)
(
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
)
1
(

0
0
n
K
n
n
K
n
n
K
m
K
n

m m n mn

E
H
E
H
c
E
E

Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16  lấy tích trong k0

Từ đó tính hàm riêng:

)
18

.
2
(
)
'
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
:
)
16
.
2
(
)
'
ˆ
(
)
ˆ
(
0
1
0
)
1

(
0
0
0
)
1
(
0
0
0
1
1
0
0
n
n
m
n

m m n mn

m
n
m mn
n
n
n
n
n
E

H
c
E
E
c
E
H
Left
E
H
E
H

Lấy tích trong 2.18 với k0 với c(1) là hệ số KT bậc 1

</div>

Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 2: Nhiễu loạn

NHI U LO N D NG KHƠNG SUY

<b>Ễ</b>

<b>Ạ</b>

<b>Ừ</b>

Bi N

<b>Ế</b>

2. NHI U LO N D NG CĨ SUY Bi N

<b>Ễ</b>

<b>Ạ</b>

<b>Ừ</b>

<b>Ế</b>

3.NHI U LO N SUY Bi N B C CAO

<b>Ễ</b>

<b>Ạ</b>

<b>Ế</b>

<b>Ậ</b>

4. NG D NG C U TRÚC TINH T

<b>Ứ</b>

<b>Ụ</b>

<b>Ấ</b>

<b>Ế</b>

­QUANG PH

<b>Ổ</b>

Lecturer:

Dr: D

<b>ươ</b>

ng Hi u Đ u

<b>ế</b>

<b>ẩ</b>

Head of Physics Dept

Tel: 84.71. 832061

01277 270 899

Đ a ch g i bài t p nhóm

<b>ị</b>

<b>ỉ ử</b>

<b>ậ</b>

Khơng có nhóm bài t p gi ng h t

<b>ậ</b>

<b>ố</b>

<b>ệ</b>

nhau

<b>1. Nhiễu loạn không suy biến</b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER</b>

•

<b>Là phương trình xác định hàm riêng </b>

<b>và trị riêng của toán tử năng lượng:</b>

)

t

,

z

,

y

,

x

(

.

E

)

t

,

z

,

y

,

x

(

)

Vˆ

m

2

(



<b>PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN</b>

)

1

.

2

(

'

QUANG PH