Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (703.93 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐẶT VẤN ĐỀ (1)

1.

PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:

Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm
phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức
để các phép tốn cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc
dễ dàng hơn. Chúng bao gồm

Kí hiệu L một trong các phép tốn này trên các hàm, xấp xỉ
L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x)

 L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là
một đa thức và L là một trong hai phép tốn đạo hàm và tích
phân





f(x)dx

và D(f)

f

(a)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do tính tuyến tính của phép toán L

L(f + g) = L(f) + L(g)
L(af) = aL(f)

trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số.

Tính tuyến tính dẫn đến

L(f) – L(p) = L(e)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

ĐẶT VẤN ĐỀ (3)

2. SAI SỐ L(f) – L(p)

:

Sử dụng đa thức nội suy Newton

Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán

tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức

(2.16) và (2.18)

d]

[c,

ξ























,

)

x

(

)!

1 n

(

)

(

f

)

x

(x

]

x

,

x

...,

,

x

[

f

)

x

(

p

)

x

(

f

)

x

(

e

n
0
j
j
)
1
n
(
j
n
0
j
n
0
n
n

Π

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

)

x

(x

(x)

Ψ

j

0
j









,x,x]

,x

,

f[x

,x]

,x

,

f[x

d

Do

0



k



0



k

Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, …, xk є [c; d],

thì theo cơng thức nội suy Newton (2.37)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ĐẠO HÀM (2)

1.

ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

 Nếu chúng ta xấp xỉ

f

'

(a)



p'

k

(a)

thì sai số trong xấp xỉ là

E(f) = D(f) – D(pk) = f[x , ,xk,a,a] k(a) f[x , ,xk,a] ' (a)
k


 
 0
0
,
)!
k
(
)
a
(
)
(
f
)!
k
(
)
a

(
)
(
f ,
k
)
k
(
k
)
k
(
1
η
2

ψ

2







).

d

,

c

(

,







TH1: Khi a là một mốc nội suy, a = xi với i nào đó.

Do Ψk (x) chứa thừa số (x – xi), suy ra Ψk(a) = 0.
Hơn nữa, Ψ’k (a) = q(a) trong đó

)

x

(

)

x

)(

x

(

)

x

(

x

)

x

(

)

x

(

q

i i k









ψ

0



1 1



)
1
(
)
x
x
(
)!
1
k
(
)
(
f
)
f
(

E i j

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

TH2: : Khi a không là một mốc nội suy, có thể chọn a

sao cho Ψ’k (a) = 0, chẳng hạn khi k lẻ, và các xi đối xứng

xung quanh a, tức là

2

1

0 









a

x

j

,

k

x

k j j



( x – xj) (x – xk–j) = (x – a + a – xj) (x – a + a – xk–j)
= (x – a)2 – (a – x

j)2

2

1

0 



,

k

j







j
2

2
/
)
1
k
(

(

x

)





(

x



a

)



(

a



x

)




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ĐẠO HÀM (4)

1.

ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• k = 1: pk(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0)

Nếu a = x0 và với h = x1 – x0, thì

,

h

f(a)

h)

f(a

h]

f[a,a

(a)

f

'











)

"

(η

hf

2

1 E(f)





Nếu a = (x0 + x1)/2

thì x0 = a – h, x1 = a + h, h = (x1 - x0)/2. và

,

h

2 h)

f(a

h)

f(a

h]

h,a

f[a

(a)

f

'













f ' ''(η)

6
h
E(f)




</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

• k = 2: Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x – x0) + f[x0, x1, x2](x – x0)(x – x1)

Nếu x0 = a , x1 = a + h, x2 = a + 2h thì

Nếu x0 = a – h, x1 = a, x2 = a + h

f(x)

h

2 h)

2 f(a

h)

f(a

4 f(a)

3 (a)

f

'











h

a

ξ

a

(ξ

f

h

E(f)

2

3 



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

ĐẠO HÀM (6)

1.

ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• Trường hợp a є [xi-1, xi]: bất kì và các điểm xi khơng

cách đều:, tính gần đúng f’(a) bằng cách:

a) Sử dụng các đạo hàm g’3(x) của các đa thức
ghép trơn bậc ba SPLINE trên [xi-1, xi]

</div>

Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

<b>ĐẶT VẤN ĐỀ (1)</b>

<b>1.</b>

<b>PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:</b>







f(x)dx

và D(f)

f

(a)

<b>ĐẶT VẤN ĐỀ (3)</b>

<b>2. SAI SỐ L(f) – L(p)</b>

<i>:</i>

d]

[c,

ξ

ξ



















,

)

x

x

(

)!

1

n

(

)

(

f

)

x

(x

]

x

,

x

...,

,

x

[

f

)

x

(

p

)

x

(

f

)

x

(

e

Π

)

x

(x

(x)

Ψ







,x,x]

,x

,

f[x

,x]

,x

,

f[x