Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.18 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÂN PH I XÁC SU TỐ Ấ

Mục tiêu

Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng:ứ ủ ề ọ ả

Phân bi t đệ ược 3 phân ph i xác su t ph bi n: phân ph i nh th c, phân ph i Poissonố ấ ổ ế ố ị ứ ố
và phân ph i bình thố ường.

Tính xác su t c a phân ph i nh th c và phân ph i poisson khi đấ ủ ố ị ứ ố ược cung c p cácấ
tham số

Xác đ nh đị ược phân ph i xác su t c a phân ph i chu n m t giá tr b t kì, đố ấ ủ ố ẩ ở ộ ị ấ ược
phép s d ng b ng s c a phân ph i chu n.ử ụ ả ố ủ ố ẩ

Tính t l c a dân s có m t đ c tr ng nh t đ nh v m t đ i lỉ ệ ủ ố ộ ặ ư ấ ị ề ộ ạ ượng có phân ph i bìnhố
thường khi được cung c p các tham s và b ng s c a phân ph i chu n.ấ ố ả ố ủ ố ẩ

1. Phân phối xác suất

Nh đã trình bày,n u chúng ta ch quan tâm đ n giá tr đ i lư ế ỉ ế ị ạ ượng được xác đ nh b iị ở
k t c c c a phép th ,chúng ta mô t bi n c là bi n s ng u nhiên. Thí d n u chúngế ụ ủ ử ả ế ố ế ố ẫ ụ ế
ta tung 3 đ ng ti n mà ch quan tâm đ n s đ ng tiên ra m t ng a thì chúng ta t o raồ ề ỉ ế ố ồ ặ ử ạ
bi n s ng u nhiên X là s đ ng ti n ng a. Khi đó chúng ta có th kí hi u (X=1) đế ố ẫ ố ồ ề ử ể ệ ể
ch bi n c g m các k t cu c có s đ ng ti n ng a là 1 (g m 3 bi n c S p S p ỉ ế ố ồ ế ộ ố ồ ề ử ồ ế ố ấ ấ
Ng a; S p Ng a S p; Ng a S p S p). Xác su t c a bi n c này đử ấ ử ấ ử ấ ấ ấ ủ ế ố ược được g iọ
là phân ph i xác su t c a X. Áp d ng vào thí d trên chúng ta có phân ph i xác su tố ấ ủ ụ ụ ố ấ
c a X nh sau:ủ ư

xi S bi n c thu nố ế ố ậ

l iợ f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X ≤ x)

0 1 1/8 1/8

1 3 3/8 4/8

2 3 3/8 7/8

3 1 1/8 1

Ð nh nghĩa: Phân ph i xác su t c a bi n s r i r c là m t b ng mô t nh ng giá trị ố ấ ủ ế ố ờ ạ ộ ả ả ữ ị
c a bi n s r i r c cùng v i xác su t và xác su t tích lu tủ ế ố ờ ạ ớ ấ ấ ỹ ương ng c a nó. ứ ủ

Xác su t c a các bi n s ng u nhiên X đấ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm kh i (mass function) c a X ọ ố ủ
kí hi u là f(x). Xác su t tích lu c a bi n s ng u nhiên X đệ ấ ỹ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm phân ph iọ ố
(distribution function) c a X và đủ ược kí hi u là F(x)ệ

Hai đ c tính c b n c a phân ph i xác su t c a bi n s r i r c:ặ ơ ả ủ ố ấ ủ ế ố ờ ạ
(1) 0 ≤ P(X=x) ≤ 1

(2) Σ P(X=x) = 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2. Phân phối nhị thức

Bài toán: Gi s chúng ta th c hi n n phép th đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m iả ử ự ệ ử ồ ấ ộ ậ ớ ỗ
phép th có 2 k t cu c là thành cơng hay th t b i v i xác su t thành cơng trong m iử ế ộ ấ ạ ớ ấ ỗ
l n th là p. Hãy tính xác su t có x l n thành cơng.ầ ử ấ ầ

Khi th c hi n n l n th chúng ta s có 2ự ệ ầ ử ẽ n k t c c. Trong đó s k t c c có x l n thànhế ụ ố ế ụ ầ

cơng là = px(1p)nx và s k t c c có x l n thành cơng là ố ế ụ ầ
nCr

Vì v y, xác su t có x l n thành cơng sau n l n th làậ ấ ầ ầ ử

)
(

)
1
(
)

( x n x

x

n C p p

x
X
P

Do xác su t này ph thu c vào x nên nó là hàm s c a x và đấ ụ ộ ố ủ ược g i là hàm kh i xácọ ố
su t nh th c (binomial probability mass function) ấ ị ứ

)
(

)

1
(
)

(
)

( x n x

x

n C p p

x
X
P
x
f

Thí d : gi s trong m t dân s nh t đ nh, t l sinh con trai là 52%. N u chúng ta xemụ ả ử ộ ố ấ ị ỉ ệ ế
xét k t qu c a 5 l n sinh. Đ tính xác su t trong 5 l n sinh này có đúng 3 l n sinh làế ả ủ ầ ể ấ ầ ầ
con trai có th l p lu n nh sau:ể ậ ậ ư

Ð trong 5 l n sinh có 3 l n sinh con trai, có ể ầ ầ 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó

là TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT,
GTTGT). Xác su t x y ra c a m t cách nh v y = 0,52ấ ả ủ ộ ư ậ 3(10,52)2= 0,2304 x 0,1406 =

0,032. Nh v y xác su t trong 5 l n sinh có 3 l n sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.ư ậ ấ ầ ầ
Chúng ta cũng có th xem 5 l n sinh là th nghi m nh th c g m 5 l n th đ ng nh tể ầ ử ệ ị ứ ồ ầ ử ồ ấ

và m i l n th có hai k t cu c (sinh con trai và sinh con gái ) và xác su t sinh con traiỗ ầ ử ế ộ ấ
là 0,52 không thay đ i trong các l n th . Áp d ng hàm m t đ xác su t nh th c taổ ầ ử ụ ậ ộ ấ ị ứ
được

32
,
0
48

,
0
52
,
0
)

3
(
)
3

( 3 (5 3)

3
5 C

X
P
f

Thí d : Cho r ng 10% thanh niên trong dân s là hút thu c lá. Đ tính xác su t cóụ ằ ố ố ể ấ
đúng 2 thanh niên hút thu c lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có th s d ng hàmố ể ử ụ
m t đ xác su t nh th c v i n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong trậ ộ ấ ị ứ ớ ường h p này xác su tợ ấ
là 0,1937.

Thí d : Gi s có 30% tr dụ ả ử ẻ ưới 5 tu i b suy dinh du ng. Trong m t m u 10 tr dổ ị ỡ ộ ẫ ẻ ưới
5, tính xác su t có đúng 4 b suy dinh dấ ị ưỡng.

3. Phân phối Poisson

Bài tốn: Gi s trong m t đ n v th i gian trung bình có ả ử ộ ơ ị ờ λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ
tâm. Hãy tính xác su t trong ấ m t đ n v th i gian ộ ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

!
1
!
1
!
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
x
e
N
N
x
N
N
N
x
x
N
N
N
p
p
C
x
X
P
x
f
x

N
x
x
x
x
N
x
x
N
x
x
N
!
)
(
x
e
x
X
f
x

đ n m v ng các phép bi n đ i đ i s k trên c n nh l i đ nh nghĩa c a s e (c sể ắ ữ ế ổ ạ ố ể ầ ớ ạ ị ủ ố ơ ố
c a logarithm Neper)ủ

U

U U

e lim 1 1

=2,7183

Bài toán: Gi s trong m t đ n v th i gian trung bình có ả ử ộ ơ ị ờ λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ
tâm. Hãy tính xác su t trong ấ t đ n v th i gian ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ

Gi đ nh m t đ n v th i gian đả ị ộ ơ ị ờ ược chia thành N phân t th i gian v i N là m t s vôử ờ ớ ộ ố
cùng l n. Nh v y trong t đ n v th i gian có Nt phân t th i gian. Xác su t x y ra k tớ ư ậ ơ ị ờ ử ờ ấ ả ế
c c quan tâm trong m t phân t th i gian là ụ ộ ử ờ λ/N. Khi đó bài tốn có th để ược phát
bi u dể ướ ại d ng: Th c hi n th nghi m nh th c v i Nt l n th đ ng nh t và xác su tự ệ ử ệ ị ứ ớ ầ ử ồ ấ ấ
x y k t cu c quan tâm trong m i l n th là ả ế ộ ỗ ầ ử λ/N. Áp d ng công th c hàm m t đ xácụ ứ ậ ộ
su t nh th c ta đấ ị ứ ược

!
)
(
1
!
1
!
1
!
)
1
(
...
)
1
(
)

1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
e
t
N
x
t
N
N
x
t
N
N
N
x
x
Nt

Nt
Nt
p
p
C
x
X
P
x
f
t
x
Nt
x
x
Nt
x
x
x
x
x
Nt
x
x
Nt
x
x
Nt

M t cách t ng qt, phân ph i Poisson độ ổ ố ược dùng làm mơ hình cho s l n xu t hi nố ầ ấ ệ

các bi n s thu n l i trong m t kho ng th i gian (t đ n v th i gian) khi đã bi t ế ố ậ ợ ộ ả ờ ơ ị ờ ế λ,
trung bình s l n xu t hi n bi n c trong m t đ n v th i gian. Hàm kh i xác su tố ầ ấ ệ ế ố ộ ơ ị ờ ố ấ
Poisson được trình bày cơng th c sauứ

!
)
(
)
(
x
e
t
x
X
f
t
x

v i ớ λ là tham s c a phân ph i và là s l n xu t hi n trung bình c a bi n c trong m tố ủ ố ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ
kho ng th i gian nh t đ nh (hay trong m t không gian nh t đ nh) và e=2,7183.ả ờ ấ ị ộ ấ ị

Thí d : Gi s s l n nh p vi n trong ngày c p c u m t b nh vi n có phân ph iụ ả ử ố ầ ậ ệ ấ ứ ở ộ ệ ệ ố
Poisson v i s l n nh p vi n trung bình là 3 l n/ngày.ớ ố ầ ậ ệ ầ

Tính xác su tấ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

T su tỉ ấ

S l n xu t hi n trung bình c a bi n c trong m t đ n v th i gian, ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ ơ ị ờ λ, còn được g iọ
là t su t (rate) hay m t đ m c m i (incidence rate). Khác v i xác su t, ỉ ấ ậ ộ ắ ớ ớ ấ λ là đ i lạ ượng

có đ n v . Qua hàm kh i c a phân ph i Poisson có th nh n xét n u trung bình s l nơ ị ố ủ ố ể ậ ế ố ầ
xu t hi n c a bi n c trong m t đ n v th i gian là ấ ệ ủ ế ố ộ ơ ị ờ λ thì trung bình s l n xu t hi nố ầ ấ ệ
c a t đ n v th i gian là ủ ơ ị ờ λt.

4. Phân phối xác suất của biến liên tục

Gi s ta mu n tìm phân ph i xác su t c a bi n liên t c (thí d nh tr ng lả ử ố ố ấ ủ ế ụ ụ ư ọ ượng c aủ
tr s sinh), ta có th phân lo i tr ng lẻ ơ ể ạ ọ ượng s sinh thành nhi u nhóm nh (thí d nhơ ề ỏ ụ ư
t 2,0kg đ n < 2,1 kg, t 2,1kg đ n < 2,2 kg, v.v). Khi đó bi n liên t c s tr thànhừ ế ừ ế ế ụ ẽ ở
bi n s r i r c và ta có th dùng phế ố ờ ạ ể ương pháp phân ph i xác su t c a bi n r i r c choố ấ ủ ế ờ ạ
lo i bi n s này.ạ ế ố

N u chúng ta l i chia thành nh ng nhóm nh h n, phân ph i s tinh vi h n và:ế ạ ữ ỏ ơ ố ẽ ơ

Ða giác t n su t s tr thành đầ ấ ẽ ở ường cong tr n và đơ ược g i là hàm m t đ (densityọ ậ ộ
function) c a phân ph i v i kí hi u là f(x)ủ ố ớ ệ

Ph n di n tích dầ ệ ở ướ ười đ ng cong, được bao quanh b i tr c x và hai đở ụ ường th ngẳ
vng góc đi qua a và b s là P (a < X ≤ b).ẽ

Ph n di n tích dầ ệ ở ướ ười đ ng cong n m bên trái c a đằ ở ủ ường th ng vng góc đi quaẳ
x là xác su t bi n s ng u nhiên nh h n hay b ng x, kí hi u là P(Xấ ế ố ẫ ỏ ơ ằ ệ ≤x) hay F(x) được
g i hàm phân ph i (distribution function) c a bi n ng u nhiên Xọ ố ủ ế ẫ

5. Phân phối bình thường

Phân ph i bình thố ường là phân ph i xác su t liên t c ph bi n nh t. Hình 2 là đ thố ấ ụ ổ ế ấ ồ ị
c a phân ph i xác su t bình thủ ố ấ ường v i trung bình là 0 và đ l ch chu n là 1.ớ ộ ệ ẩ

Hình 1. Phân ph i xác su t bình thố ấ ường

Phân ph i bình thố ường là phân ph i có hàm m t đ :ố ậ ộ

f x( ) 1 e (x ) /

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

V i ớ µ là trung bình c a phân ph i v i ủ ố ớ σ và σ2 là phương sai là đ l ch chu n vàộ ệ ẩ

phương sai c a phân ph i. Đ th hi n bi n s X có phân ph i bình thủ ố ể ể ệ ế ố ố ường v i trungớ
bình là µ và phương sai σ2 cịn có th s d ng kí hi uể ử ụ ệ

X ∼ N(µ,σ2)

Phân ph i bình thố ường có 4 đ c tính quan tr ng sau:ặ ọ

M t đ cao nh t t p trung quanh giá tr ậ ộ ấ ậ ở ịµ, càng xa giá tr ịµ hàm m t đ càng gi mậ ộ ả
Hàm m t đ ti n t i zero các giá tr cách xa ậ ộ ế ớ ở ị µ

Hàm m t đ đ i x ng qua đậ ộ ố ứ ường th ng đ ng đi qua ẳ ứ µ

Ngồi ra t hàm m t đ c a phân ph i bình thừ ậ ộ ủ ố ường người ta ch ng minh đứ ược n uế
bi n s có phân ph i bình thế ố ố ường v i trung bình là ớ µ và đ l ch chu n ộ ệ ẩ σ, xác su t giáấ
tr bi n s n m t trung bình – 1,96 đ l ch chu n đ n trung bình + 1,96 đ l chị ế ố ằ ừ ộ ệ ẩ ế ộ ệ
chu n là 95%.ẩ

X~N(µ,σ2) => P(µ 1,96σ <X < µ + 1,96σ) = 0,95

Hay nói khác đi, ch có 5% giá tr c a bi n s X n m ngoài kho ng ỉ ị ủ ế ố ằ ả µ ± 1,96σ

Phân ph i bình thố ường chu n hay cịn g i là phân ph i chu n là phân ph i bình thẩ ọ ố ẩ ố ường
có trung bình là zero và đ l ch chu n =1.ộ ệ ẩ

2
/

2
1
)

(z e z

f

L u ý: trong phân ph i chu n, tr c x đư ố ẩ ụ ược g i là tr c z. Phân ph i bình thọ ụ ố ường có thể
bi n thành phân ph i chu n n u ta t o bi n ng u nhiêu m i z = (xế ố ẩ ế ạ ế ẫ ớ µ)/σ.

Thí d : Cho m t phân ph i bình thụ ộ ố ường, tính P(Z ≤ 2,71).

Thí d : Cho m t phân ph i chu n, tìm di n tích n m dụ ộ ố ẩ ệ ằ ướ ười đ ng cong, trên tr c Z,ụ
n m gi a z=1 và z=2.ằ ữ

Thí d : tính xác su t Z đụ ấ ược ch n b t kì trong dân s có phân ph i bình thọ ấ ố ố ường có giá
tr t 2,55 đ n +2,55.ị ừ ế

6. Ứng dụng phân phối bình thường

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Hình 3. Phân ph i c a ph n trăm so v i tr ng lố ủ ầ ớ ọ ượng chu n c a 1750 tr em h c sinh nhà trẩ ủ ẻ ọ ẻ

Hoa Hướng Dương 15, Q11, Thành ph H Chí Minh (trung bình=92, đ l ch chu n =10)ố ồ ộ ệ ẩ
a. Ướ ược l ng t l dân s có m t thu c tính nh t đ nhỉ ệ ố ộ ộ ấ ị

Thí d :Thụ ương s thơng minh trong m t dân s có trung bình =100 và đ l ch chu nố ộ ố ộ ệ ẩ
15. Ch n ng u nhiên m t ngọ ẫ ộ ười trong dân s này, tính xác su t ngố ấ ười này có thương
s thơng minh nh h n 120.ố ỏ ơ

P(IQ<120) = P(Z<(120100)/15) = P(Z<1,33) =0,9082

Thí d : Gi s tr ng lụ ả ử ọ ượng c a đàn ơng thành ph H chí Minh có phân ph i chu nủ ở ố ồ ố ẩ
và có trung bình là 56 kg và đ l ch chu n 10 kg. Tính xác su t m t ngộ ệ ẩ ấ ộ ười đàn ơng
được ch n ng u nhiên có tr ng lọ ẫ ọ ượng gi a 40 kg và 68 kg.ở ữ

P(40 < TL < 68) = P(1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <1,6)

Áp d ng quy t c: mu n tìm P(Z <z) v i z âm, ta tính P c a tr tuy t đ i c a Z r i l y 1ụ ắ ố ớ ủ ị ệ ố ủ ồ ấ
tr cho s đóừ ố

P(Z <z)=1 P (Z <|z|)
ta có P(Z< 1,6) = 1 P(Z<|1,6|)
Ta được:

P(40 < TL < 68) = P(1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <1,6)
= 0,8849 – (1 – 0,9452) = 0,8301

Thí d : Trong thành ph H chí minh có c th y 1.000.000 đàn ơng trên 20 tu i. Ch pụ ố ồ ả ẩ ổ ấ
nh n gi đ nh thí d trên, hãy ậ ả ị ở ụ ước tính thành ph H Chí Minh có bao ngở ố ồ ười có
tr ng lọ ượng l n h n 80 kg.ớ ơ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b. Ch n đốn cho cá nhânẩ

Thí d : Theo t ch c y t th gi i, đ a tr 32 tháng bình thụ ổ ứ ế ế ớ ứ ẻ ường có tr ng lọ ượng trung
bình là 14 kg v i đ l ch chu n là 1,5 kg. M t đ a tr 32 tháng n ng 13 kg có ph i làớ ộ ệ ẩ ộ ứ ẻ ặ ả
b t bình thấ ường v dinh dề ưỡng hay không?

Ð tr l i câu h i này chúng ta ph i xét hi n tể ả ờ ỏ ả ệ ượng đ a tr 32 tháng n ng 13 kg cóứ ẻ ặ
ph bi n hay khơng.ổ ế

P(TL <13) = P(Z < 0,66) = 1 – P(Z>0,66) = 1 – 0,7454 = 0,2546

Vì có đ n 25,46% tr 32 tháng có tr ng lế ẻ ọ ượng 13 kg hay nh h n nên cân n ng nàyẹ ơ ặ
không ph i là b t thả ấ ường.

Ð a tr 32 tháng n ng 9 kg có ph i là b t thứ ẻ ặ ả ấ ường v dinh dề ưỡng hay khơng?

Tương t nh câu h i trự ư ỏ ước đó, chúng ta ph i xét hi n tả ệ ượng đ a tr 32 tháng n ng 9ứ ẻ ặ
kg có ph bi n hay khơng.ổ ế

P(TL <9) = P(Z < 2,66) = 1 – P(Z>2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039

Nghĩa là trong 1000 tr ch có kho ng 4 tr có tr ng lẻ ỉ ả ẻ ọ ượng 9 kg hay nh h n. Vì v yẹ ơ ậ
đ a tr này đứ ẻ ược xem là suy dinh dưỡng.

Người ta quy ước n u xác su t x y ra m t tr s nào đó hay c c đoan h n tr s đóế ấ ả ộ ị ố ự ơ ị ố
nh h n 5% thì tr s đó là b t thỏ ơ ị ố ấ ường. Áp d ng tính ch t th t c a phân ph i bìnhụ ấ ứ ư ủ ố
thường, đi u này có th phát bi u là n u giá tr nào n m ngồi kho ng ề ể ể ế ị ằ ả µ ± 1,96σ là
giá tr b t thị ấ ường và giá tr n m trong kho ng ị ằ ả µ ± 1,96σ là giá tr bình thị ường. Phát
bi u theo cách khác n u kho ng cách gi a m t tr s đ n giá tr trung bình l n h nể ế ả ữ ộ ị ố ế ị ớ ơ
1,96 l n đ l ch chu n (tầ ộ ệ ẩ ương ng v i |Z|>1,96) thì giá tr đó là b t bình thứ ớ ị ấ ường. Và

giá tr tị ương ng v i |Z|<1,96 là giá tr bình thứ ớ ị ường.

Thí d : n u đụ ế ường huy t có phân ph i bình thế ố ường v i trung bình là 100 mg% và đớ ộ
l ch chu n là 10 mg%. H i kho ng giá tr bình thệ ẩ ỏ ả ị ường c a đủ ường huy t là bao nhiêu?ế
Kho ng giá tr bình thả ị ường c a đủ ường huy t tế ương ng v i 1,96 < Z < 1,96 hay ứ ớ
100 1,96 × 10 < đường huy t < 100 + 1,96 ế × 10 hay t 80120 mg%ừ

Bài tập

Bài t p phân ph i nh th cậ ố ị ứ

1. Gi s b nh nhân b viêm màng não có t l t vong là 10%. Trong khoa lây c aả ử ệ ị ỉ ệ ử ủ
b nh vi n, hi n có 10 b nh nhân b viêm màng não. Tính xác su t:ệ ệ ệ ệ ị ấ

a. Khơng có ai s ng sótố

b. Có ít nh t hai ngấ ườ ịi b ch tế
c. Có đúng 3 ngườ ịi b ch tế
Bài gi i:ả

Có th xem di n ti n c a m t b nh nhân viêm màng não là m t phép th . Nhể ễ ế ủ ộ ệ ộ ử ư
v y quan sát 10 phép th đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m i phép th có 2 k tậ ử ồ ấ ộ ậ ớ ỗ ử ế
cu c là thành công hay th t b i v i xác su t thành công trong m i l n th làộ ấ ạ ớ ấ ỗ ầ ử
0,9. G i X là s l n thành cơng ta có ọ ố ầ

)
(

)
1

(
)

( x n x

x

n C p p

</div>

Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về