MỘT số bài TOÁN cực TRỊ LIÊN QUAN đến tập hợp

CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP

Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Tốn học nói chung và
tốn rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời
sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có
vị trí đặc biệt trong tốn học khơng chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị như
một cơng cụ đắc lực của các mơ hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...
Với vai trịn quan trong tốn học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi
Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan
đến tổ hợp thường là các bài tốn rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt.
Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng. Nhìn chung để giải một
bài tốn tổ hợp thơng thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài tốn. Do
đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài tốn giáo viên nên phân tích, định
hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài tốn. Để cho
việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số
phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các
bài toán tổ hợp.
Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi học sinh giỏi
quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới những năm gần đây.
Chuyên đề được chia làm hai phần chính:
I. Phần bài tập minh họa
II. Phần bài tập tương tự
Những bài toán tổ hợp xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây thường là
các bài tập hay và khó, có độ phân hóa cao giữa các đối tượng học sinh. Với thời gian ngắn thì học


sinh thường rất khó để giải quyết được các bài toán dạng này và đây cũng là vấn đề rất nan giải trong
công tác ôn luyện học sinh giỏi của đa số giáo viên. Số lượng cũng như số dạng bài tốn tổ hợp là rất
nhiều (có thể nói là vô hạn) nên giáo viên không thể dạy hết tất cả được, mà cần phải có phương pháp
hiệu quả nhất để trang bị cho học sinh cách tiếp cận cũng như các kiến thức cơ sở trong việc giải quyết

các bài tốn tổ hợp. Chun đề được hồn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình cả về nội dụng và hình thức
của các thầy, cơ giáo trong tổ tốn - tin, BGH trường THPT chuyên XYZ. Do thời gian và trình độ có
hạn nên trong bài viết chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ của dạng tốn tổ hợp, rất mong nhận được
góp ý và các phương pháp hiệu quả để việc giảng dạy phân mơn này có hiệu quả hơn.
I. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1. Cho tập hợp và M là tập hợp con của tập X có tính chất T nếu: tích của 3 phần tử phân
biệt bất kì trong M đều khơng là số chính phương. Tìm số phần tử lớn nhất của M .
Lời giải. Xét 4 tập hợp rời nhau có 3 phần tử và tích của 3 phần tử đều là số chính phương:
 1, 4, 9 ,  2, 7,14 ,  5,12,15 ,  3, 6,8
Nếu tập hợp M có tính chất T thì có ít nhất một phần tử trong mỗi tập trên không thuộc M suy ra
M �11 . Giả sử M  11 : Do M có tính chất T nên mỗi tập trong 4 tập hợp

 1, 4, 9 ,  2, 7,14 ,  5,12,15 ,  3, 6,8

phải có đúng hai phần tử thuộc M và các phần tử

10,11,13 �M . Khi đó với tập hợp  5,12,15 ta xét các trường hợp sau:
+) 5,12 �M � 2 �M � 7,14 �M � 8 �M � 3, 6 �M . Do 3.12  62 nên M không được chứa
một phần tử nào của  1, 4, 9 vơ lí.
+) 5,15 �M � 3 �M � 6,8 �M � 2 �M � 7,14 �M . Do 7.14.8  282 vơ lí.
+) 12,15 �M � 6 �M � 3,8 �M . Do 3.12  62 nên M không được chứa một phần tử nào của

 1, 4,9

vơ lí. Vậy M �10 . Mặt khác nếu ta lấy M   1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14
Vậy số phần tử lớn nhất của tập hợp M là 10.
Bài 2. Cho tập hợp X   1, 2,3,...,16 và M là tập hợp con của tập X có tính chất T nếu: M
khơng chứa ba phần tử nào đơi một ngun tố cùng nhau. Tìm số phần tử lớn nhất của M .
Lời giải. Xét tập hợp số A   1, 2,3,5, 7,11,13 , ta thấy nếu tập hợp M thỏa mãn tính chất T thì
M chỉ chứa nhiều nhất 2 phần tử của A  M

11 . Mặt khác tập hợp gồm 11 phần tử sau thỏa

mãn tính chất T :  2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16 . Vậy số phần tử lớn nhất của M là 11.


Bài 3(VMO 2004). Cho tập hợp A   1, 2, 3,...,16 . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho
trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b thỏa mãn a 2  b 2 là một
số nguyên tố.
Lời giải. Xét tập hợp B   2, 4, 6,8,10,12,14,16 , ta thấy a, b �B � a 2  b 2 là một số chẵn lớn hơn
2 nên k thỏa mãn u cầu bài tốn thì k �9 . Ta sẽ chứng minh k  9 sẽ là số nhỏ nhất thỏa mãn
yêu cầu bài toán. Thật vậy, ta chia tập hợp A thành 8 cặp hai phần tử  a, b  sao cho a 2  b 2 là một
số nguyên tố:
 1, 4  ,  2,3 ,  5,8  ,  6,11 ,  7,10  ,  9,16  ,  12,13  ,  14,15 
Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 9 phần tử phân biệt của tập hợp A phải tồn tại hai số
thuộc cùng một cặp. Vậy k nhỏ nhất bằng 9.
Bài 4. Cho tập hợp M   1, 2,..., n , n �2 . Hãy tìm số m nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con chứa m
phần tử của M đều tồn tại ít nhất hai số a, b mà số này là bội của số kia.
��
n  1 ��
n  1�
�
n  1�
�
,
 1,..., n �của M. Do 2 � � n nên trong M 1 không
Lời giải. Xét tập con M 1  �� ��
�
�2 �
�� 2 �� 2 �

n  1�
n  1�
�
�
có hai số mà số này chia hết cho số kia. Do đó m �� � 1 , ta sẽ chứng minh m  � � 1 là
�2 �
�2 �

�
�
�
�
a1 , a2 ,..., a�n 1� �của M. Ta xét hai
số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, xét tập con �
1
�
�
�2 �
� �
trường hợp n chẵn và n lẻ.
b
TH1. Nếu n  2k , ta viết ai  2 i ci , trong đó ci là số lẻ, i  1, 2,..., k  1 . Do chỉ có đúng k số lẻ nên
tồn tại i �j sao cho ci  c j � một trong hai số ai , a j có một số chia hết cho số kia.
b
TH2. Nếu n  2k  1 , ta viết ai  2 i ci , trong đó ci là số lẻ, i  1, 2,..., k  2 . Do chỉ có nhiều nhất
k+1 số lẻ nên tồn tại i �j sao cho ci  c j � một trong hai số ai , a j có một số chia hết cho số kia.
n  1�
�
Vậy số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là m  � � 1 .

�2 �
Bài 5. Cho X là một tập con của tập  1, 2,3,...,10000 , sao cho nếu a, b nằm trong X thì ab khơng
nằm trong X. Tìm số phần tử lớn nhất của tập X.


Lời giải. Xét tập hợp con M   101,102,...,10000 của  1, 2,3,...,10000 , do 1012  10000 nên tập
hợp M thỏa mãn yêu cầu bài toán, tập hợp M có 9900 phần tử. Ta sẽ chứng minh 9900 là số lớn
nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, xét tập con A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A
không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét 100 bộ số sau :  100  i,100  i,  100  i   100  i   , 0 �i �99 .
Dễ thấy nếu cả 3 số của mỗi bộ trên thuộc A thì vơ lý suy ra phải có ít nhất một số trong mỗi bộ đó



khơng
thuộc A  A

10000 100 9900 , vơ lí. Vậy số phần tử lớn nhất của X bằng 9900.

Bài 6. Cho A là một tập con của tập hợp  1; 2;3;...;100 , A có phần tử nhỏ nhất là 1 và phần tử
lớn nhất là 100. Giả sử A có tính chất: Với mỗi phần tử x của A , x �1 thì x hoặc bằng tổng của
hai phần tử thuộc A hoặc bằng hai lần một phần tử thuộc A . Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của
tập hợp A .
Lời giải. Giả sử tập hợp A gồm n phần tử là 1  x1  x2  ...  xn 1  xn  100 . Với mỗi số 2 �i �n
ta có:
xi  x j  xs �2 xi 1 . Do đó

x2 �2 x1  2, x3 �2 x2  4, x4 �2 x3  8 , x5 �2 x4  16, x6 �2 x5  32, x7 �2 x6  64 .Vì vậy n �8 .
Nếu n  8 � x8  100 , kết hợp với x6  x7 �64  32  96 � x8  2 x7 � x7  50 .
Do x5  x6 �48 � x7  2 x6 � x6  25 . Mặt khác x4  x5 �24 � x6  2 x5 � x5 

25
vơ lý.
2

Do đó n �9 , với n  9 ta lấy tập hợp A   1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy số phần tử nhỏ nhất của tập hơp A là 9.
Bài 7. Cho tập hợp X có n �2 phần tử . Xét k �2 tập con của X thỏa mãn
X i �X j , i �j , X i I X j ��, i , j  1, 2,..., k . Tìm giá trị lớn nhất có thể có của k .

Lời giải. Xét k tập Y1  X \ X 1 , Y2  X \ X 2 ,..., Yk  X \ X k . Do
X i �X j , i �j , X i I X j ��, i, j  1, 2,..., k nên Yi �Y j , i �j , Yi I X j , i, j  1, 2,..., k . Do đó ta


có 2k tập con đơi một phân biệt của tập X . Mặt khác số tập con của tập hợp X là 2n . Do đó

2k �2n
k 2n 1.
Với k  2n 1 , ta xét phần tử a �X và gọi 2n1 tập con của X \  a là A1 , A2 ,..., A2 . Khi đó
n 1

X 1  A1 U a , X 2  A2 U a ,..., X 2n1  A2n1 U a là 2n1 tập con của X thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị lớn nhất của k  2n 1 .
Bài 8. Cho

là các số nguyên dương,

một họ gồm

. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất

tập hợp con của tập

sao cho bất kì

đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một

trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Lời giải. Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây:
Bổ đề 1. Cho

là một số nguyên

. Khi đó ln tồn tại một họ

tập con của tập hợp

sao cho bất kì ba tập hợp phân biệt khác rỗng của họ này đều khơng thỏa mãn tính chất
một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp như sau:
+) Khi

đễ thấy thỏa mãn.

+) Ta giả sử bổ đề này đúng đến

, tức là từ tập hợp

luôn tồn tại

tập hợp

sao cho khơng có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó. Ta xét tập

hợp

. Khi đó

tập sau:


Thỏa mãn khơng có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó.
Vậy bổ đề 1 được chứng minh.
Bổ đề 2. Cho

là một số nguyên

con của tập hợp

. Chứng minh rằng mọi họ gồm ít nhất

tập hợp

đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp

của hai tập hợp còn lại.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.
+) Khi

đễ thấy bổ đề 2 là đúng.

+) Giả sử bổ đề 2 đúng đến

, tức là mọi họ

tập con của tập hợp

luôn tồn

tại ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Ta chứng minh trong bất kì

tập con của tập hợp

ln tồn tại ba tập hợp

phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Thật vậy, số tập con chứa

bằng

. Gọi

là số tập con trong

tập con của tập hợp

đã xét ở trên. Khi đó ta xét các trường hơp:

TH1. Nếu

TH2. Nếu

thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm.

thì có ít nhất

đã xét ở trên. Giả sử ta xét

Đặt

.

tập con chứa

tập dạng này là

.

trong

tập


i)

Nếu

thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

ii) Nếu tồn tại sao cho

thì

con khác rỗng của

. Trong

tập đã chọn ở trên phải có một tập

giả sử nó là .

Nếu

thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm.

Nếu

thì ba tập

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy bổ đề 2 được chứng minh.
Trở lại BÀI 3 thì dễ thấy

nhỏ nhất bằng

.

Bài 9(Bài tốn về khoảng cách Hamming). Cho

và tập hợp

có

phần tử. Gọi

tập hợp chứa các xâu (mỗi kí tự là một phần tử của X hoặc phần tử 0) có độ dài bằng

cách Hamming có độ dài khơng nhỏ hơn . Kí hiệu

. Khi đó
i)

Nếu

ii) Nếu

chẵn và

lẻ và

iii)

Nếu

chẵn thì

iv)

Nếu

lẻ thì

thì

thì

là

và khoảng

là số phần tử lớn nhất của tập hợp


Chứng minh. Giả sử

phân dạng

xâu

. Ta đồng nhất mỗi phần tử

, trong đó

nếu ở vị trí thứ của xâu

là

và

của C với một xâu nhị

nếu vị trí thứ của

là .

i) Ta sẽ đánh giá

theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu
+) Số cách chọn bộ có thứ tự

+) Xét ma trận

là khoảng cách Hamming giữa hai xâu

là

suy ra:

, trong đó mỗi dòng là một phần tử của . Gọi

tương ứng ở cột thứ đó có

số 1. Do xét quan hệ hai xâu ,

là số số 0 ở cột thứ và

có tính đối xứng nên suy

Do đó từ hai cách đánh giá ở trên ta được:

Hay

.

. Kết hợp với giả thiết suy ra đpcm.

ii) Lặp lại cách chứng minh tương tự như trên nhưng đối với tập

Một số bài toán áp dụng bài toán khoảng cách Hamming.


Bài 10 (Vĩnh Phúc 2012, vịng 2) Có 7 em học sinh được lập thành

nhóm hoạt động ngoại khóa,

mỗi học sinh có thể tham gia nhiều nhóm hoạt động. Biết rằng với hai nhóm tùy ý thì có ít nhất 4 học

sinh chỉ tham gia vào một trong hai nhóm đó.Tìm giá trị lớn nhất có thể của

(Gợi ý: Giả sử 7 học sinh là

, trong đó

và đặt

nếu nhóm đó chứa

.

. Ta coi mỗi nhóm là một xâu dạng

,

nếu nhóm đó khơng chứa

. Khi đó theo giả

thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn . Áp dụng kết quả phần 2.i ở trên với

được

ta

và trong đánh giá dễ dàng chỉ ra được dấu bằng)

Bài 11 (PTNK TPHCM 2012). Cho tập hợp

không giống nhau nếu

. Hai tập con

và

, trong đó

mà mỗi phần tử là một tập con của

gồm

của

được gọi là

. Cho tập hợp

phần tử đôi một không giống nhau.

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng

(Gợi ý: ta coi mỗi tập

nếu

.

là một xâu dạng

, trong đó trong đó

nếu

khơng chứa . Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn

quả phần 2.ii ở trên với
trong đánh giá dễ dàng chỉ ra được dấu bằng)

ta được

chứa ,

. Áp dụng kết

và


Nhận xét. Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào đó ta được một
dạng bài tập tương đối khó. Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì ví
dụ 2 thật tinh tế và sâu sắc.
II. BÀI TẬP
Bài 12. Cho A1 , A2 ,..., An là các tập hợp có hữu hạn phần tử sao cho A1  A2  ... An và

n

UA  S .
i

i 1

Giả sử có số nguyên dương 1 �k �n thỏa mãn hợp của bất kì k tập hợp của họ trên bằng S, hợp của
nhiều nhất k  1 tập của họ đã cho là một tập con thực sự của S. Tìm số phần tử nhỏ nhất của S.
min
Bài 13. Cho  X i  1��
i k là một họ các tập con có h phần tử của tập hợp X. Chứng minh rằng

k

UX

i

i 1

h
bằng số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho k �Cm .

, B   Bi  1��
, C   Ci  1��
Bài 14. Cho n là một số nguyên dương cho trước và A   Ai  1��
i 3n
i 3n
i 3 n là ba

phân hoạch của tập hợp hữu hạn X . Giả sử ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi i, j , k  1, 2,...,3n :
Ai I B j  Ai I Ck  B j I Ck �3n . Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể có của tập hợp X .

Bài 15(Định lí Sperner). Cho X là một tập hợp có n phần tử, và G   A1 , A2 ,..., Ap  là một họ các tập

n�
�

2�
con của X thỏa mãn tính chất Ai �A j , i, j  1, 2,..., p, i �j . Chứng minh rằng max p  C �
�
�.
n

Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado). Cho X là một tập hợp có n phần tử, và G   A1 , A2 ,..., Ap  là một
họ các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau:
n
Ai  r � , i  1, 2,..., p
2
A
I
A
�
�, i, j  1, 2,..., p .
b)
i
j
r 1
Chứng minh rằng max p  Cn 1 .
Bài 17. Cho X là một tập hợp có n phần tử, và Y là một tập con có k phần tử của X. Chứng minh rằng
a)

số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau của tập X, mỗi tập có đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì

nk �
�

thì khơng chứa nhau bằng C r C �
�2 �
�.
k nk

Bài 18(Balkan MO 2005). Cho n �2 là một số nguyên và S là một tập con của tập hợp  1, 2,..., n
sao cho S hoặc chứa hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia, hoặc chứa hai phần tử nguyên
tố cùng nhau. Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp S .
Bài 19(Balkan MO 1997). Cho tập hợp A có n phần tử và S   A1 , A2 ,..., Ak  là một họ các tập hợp
con của tập hợp A. Nếu với hai phần tử bất kì x, y �A có một tập con Ai �S chứa đúng một phần tử
trong hai phần tử x, y . Chứng minh rằng n �2k .
1996
Bài 20(Balkan MO 1996). Cho tập X   1, 2,..., 2  1 , chứng minh rằng tồn tại tập con A của X
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) 1 �A, 21996  1 �A;
b) Với mọi phần tử khác 1 của A đều viết thành tổng của hai (có thể bằng nhau) phần tử thuộc A;
c) Số phần tử lớn nhất của tập A là 2012.
Bài 21(Balkan MO 1989). Cho F là một họ các tập con của tập hợp  1, 2,..., n và thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
a) Nếu A thuộc F, khi đó A có 3 phần tử;
b) Nếu A và B là hai phần tử khác nhau của S, khi đó A và B có nhiều nhất một phần tử chung.
n 2  4n
n2  n
f
n


Kí hiệu
là số phần tử lớn nhất có thể có của F. Chứng minh rằng
.
�f  n  �
6
6
Bài 22. Cho S là một tập con của tập hợp  1, 2,...,1989 và S thỏa mãn tính chất trong S khơng có hai
phần tử mà hiệu của chúng bằng 4 hoặc 7. Tìm số phần tử lớn nhất của S?

Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F   A1 , A2 ,..., Ap  là một họ các tập con của tập  1, 2,3,..., n thỏa mãn
tính chất: nếu Ai �A j thì Ai  Aj �3 . Tìm số lớn nhất có thể có của p .
Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn nhất các cặp phân biệt  xi , yi  sao cho xi , yi � 1, 2,..., 2013 ,
xi  yi �2013, i �j, xi  yi �x j  y j

Bài 25 (China 1996). Cho 11 tập hợp M 1 , M 2 ,..., M 11 , mỗi tập có 5 phần tử và thỏa mãn
M i I M j ��, i �j; i, j  1, 2,...,11 .
Gọi m là số lớn nhất sao cho tồn tại các tập
M i1 , M i2 ,..., M im
Trong số các tập đã cho sao cho
m

I

k 1

M ik �� Hỏi giá trị lớn nhất của m bằng bao nhiêu?
Bài 26 (AIME 1989). Cho tập hợp X   1, 2,3,...,1989 . Xét tập con S của X thỏa mãn

tính chất: khơng có hai phần tử nào của S hơn kém nhau 4 hoặc 7 đơn vị. Hỏi số phần tử lớn nhất của

S là bao nhiêu?


Bài 27. Cho số nguyên dương n �5 và tập hợp X   1, 2,..., n . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho với mọi cách chia tập hợp X thành hai tập rời nhau A, B thì ln tồn tại một tập chứa ba số lập
thành một cấp số cộng.
Bài 28 (IMO 1991). Cho tập hợp S   1, 2,..., 280 . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho mọi tập
con n phần tử của S đều chứa 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 29. Cho m, n là các số tự nhiên sao cho m  1 và n  2m . Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao

cho tồn tại k tập con rời nhau A1 , A2 ,..., Ak của tập  1, 2,..., n thỏa mãn Ai � m, m  1 với mọi

i  1, 2,..., k .

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008.
[2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc và một số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo
viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội.


[3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.
[4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962
- 2009), World Scientific.
[5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA
[6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser.
[7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer.
[8]

Titu Andreescu and Zuming Feng. 102 combinatorial problems from the training of the USA

IMO team.
[9] Phạm Minh Phương. Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ
thông. NXB Giáo dục Việt Nam.
[10] Các nguồn tài liệu từ internet
www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu