TICH VO HUONG CUA HAI VECTO

HQT – THPT NAM KHOÁI CHÂU BÀI TẬP HÌNH HỌC 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
BÀI TẬP TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai vectơ
Bàì 1: Cho
ABC
∆
đều, cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau:
a)
; (2 )(3 )AB AC AB HC
uuuruuur uuur uuur
ĐS:
2 2
3
;
2 2
a a
−
b)
( )(2 )AB AC AB BC− +
uuur uuur uuur uuur
ĐS: 0
Bài 2: Cho
ABC∆
có BC = a, CA= b, AB = c.
a) Tính
AB AC
uuuruuur
theo a, b, c. Từ đó suy ra:
ABBC BCCA CAAB+ +
uuuruuur uuuruuur uuuruuur
. ĐS

2 2 2
2
b c a+ −
; ….
b) Gọi G là trọng tâm của
ABC
∆
, tính độ dài AG và cosin của góc nhon tạo bởi AG và BC.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a.
a) Tính
. ; . ; .AB CD BD BC AC BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính
.AI BD
uur uuur
. Từ đó suy ra góc của AI và BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các TVH sau:
a)
AB AC
uuuruuur
;
.AB BD
uuur uuur
b)
( )( ); ( )( 2 )AB AD BD BC AB AC AB AD+ + − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
c)
( )( )AB AC AD DA DB DC+ + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
d)

. .MA MB MC MD+
uuur uuur uuuur uuuur
, M là điểm bất kì trên đường tròn
nội tiếp hình vuông.
Bài 5: Cho
ABC
∆
có BC = 4, CA= 3, AB =2. Tính
a)
AB AC
uuuruuur
. Suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của
ABC
∆
, tính
.AG BC
uuur uuur
c) Tính
. . .GA GB GB GC GC GA+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
d) Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính
AD
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
; độ dài của AD
Bài 6: Cho
ABC∆

có BC = 6, AB =5 và
. 24BC BA =
uuur uuur
.
a) Tính
;
ABC
S AC
∆
b) Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.
Bài 7: Cho MM’ là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và
OA = d. AM cắt (O) tại N. CMR
. '; .AM AM AM AN
uuuur uuuuur
có giá trị không phụ thuộc vào M.
Bài 8: Cho 2 vectơ
,a b
r r
thoả mãn:
1, 2, 2 15a b a b= = − =
r r r r
.
a) Tính
.a b
r r
b) Xác định k để góc giữa
( ), (2 )a b ka b+ −
r r r r
bằng 60
0

.
Bài 9: Cho
ABC∆
vuông có cạnh huyền BC = a
3
. Gọi AM là trung tuyến, biết
2
1
.
2
AM BC a
uuuur uuur
.
Tính độ dài AB và AC.
1
HQT – THPT NAM KHOÁI CHÂU BÀI TẬP HÌNH HỌC 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Biết
2 2 2
. 4 , . 9 , . 6AC AB a CA CB a CB CD a= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
a) Tính các cạnh của hình thang
b) Gọi IJ là đường trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của IJ trên BD.
c) Gọi M là điểm trên AC và
AM k AC=
uuuur uuur
. Tính k để BM
⊥
CD.
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về TVH hay tích độ dài

Bài 1: Cho
ABC∆
, G là trọng tâm. CMR
a)
. . . 0MA BC MB CA MC AB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
b)
2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + +
, M bất kỳ. Suy ra
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt GTNN
Bài 2: Cho
ABC∆
, M là trung điểm BC và H là trực tâm. CMR
a)
2
1
.
4
MH MA BC=
uuuur uuur
B)
2 2 2 2
1
2
MA MH AH BC+ = +
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M tuỳ ý. CMR
a)

2 2 2 2
MA MC MB MD+ = +
b)
. .MA MC MB MD=
uuur uuuur uuur uuuur
c)
2
2 .MA MA MO=
uuur uuuur
, O là tâm hcn và M
thuộc đường tròn ngoại tiếp hcn.
Bài 4: CMR ABCD là hbh khi và chỉ khi
. . . . 0AB AD BA BC CB CD DC DA+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có P, Q là trung điểm của 2 đường chéo. CMR
a)
2 2 2 2
1
. ( )
2
AB CD AD BC AC DB= + − −
uuur uuur
b)
2 2 2 2 2 2 2
4AB BC CD DA AC BD PQ+ + + = + +
Bài 6: Cho hbh ABCD, M tuỳ ý. CMR
a)
2 2 2 2 2 2
2MA MC MB MD DA DB+ − = + −

b) M di động trên đường thẳng d, xác định vị trí của M để
2 2 2
MA MC MB+ −
đạt GTNN
Bài 7: Cho
ABC
∆
, M tuỳ ý.
a) CMR
2m MA MB MC= + −
ur uuur uuur uuuur
không phụ thuộc vào vị trí của M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
. CMR
2 2 2
2 2 .MA MB MC MO m+ − =
uuuur ur
c) Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn
2 2 2
2MA MB MC+ =
d) M di động trên đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
, tìm vị trí của M để
2 2 2
2MA MB MC+ −
đạt
GTNN, GTLN.

Bài 8: Cho
ABC
∆
, I là trung điểm của trung tuyến AM. CMR
2 2 2 2 2 2 2
2 4 2AM MB MC MI IA IB IC+ + = + + +
2
HQT – THPT NAM KHOÁI CHÂU BÀI TẬP HÌNH HỌC 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Bài 9: Cho
ABC
∆
đều cạnh a, M thuộc đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
Tìm GTLN, GTNN của
2 2 2
MA MB MC− −
Bài 10: Cho
ABC∆
, trung tuyễn AM, đường cao AH. CMR
a)
2
2 2 2 2
1
. ( )
4 2
BC
AB AC AM AB AC BC= − = + −
uuur uuur

; b)
2
2 2 2
2
2
AB
AB AC AM+ = +
c)
2 2
2 .AB AC AB MH− =
d)
2 2
. ( . )
ABC
s AB AC AB AC
∆
= −
uuur uuur
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc- Thiết lập điều kiện vuông góc
Bài 1: CMR trong tam giác ba đường cao đồng quy.
Bài 2: Cho
ABC∆
cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E
là trọng tâm
ACD∆
.CMR OE
⊥
CD.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy AB = a, CD = b. Tìm hệ thức
giữa a, b, h sao cho:

a)
AC BD⊥
b)
BD AM⊥
, với AM là trung tuyến của
ABC∆
Bài 4: Cho
ABC∆
vuông tại A có AB = c, AC = b. Tìm điểm D trên AC sao cho
BD AM⊥
, với
AM là trung tuyến của
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB= h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm hệ thức
giữa a, b, h sao cho:
a)
·
0
90CID =
, với I là trung điểm của AB. b)
BD CI
⊥
c)
DI AC
⊥
d) Trung tuyến BM của
ABC
∆
vuông góc với trung tuyến CN của
BCD
∆

Bài 6: Cho
ABC
∆
nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH và CK lần lượt là đường cao của
ABC
∆
.
CMR
OA HK
⊥
Bài 7: Cho 2 vectơ
,a b
r r
với
a b=
r r
. Tìm góc giữa chúng biết rằng
2 5 4p a b q a b= + ⊥ = −
ur r r r uur r
.
Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về TVH hay tích độ dài.
Bài 1: Cho
ABC∆
, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
. ,MA MB k=
uuur uuur
k là số cho trước.
b)
2

. 0MA MA MB+ =
uuur uuur
c)
2 2
.MB MA MB a+ =
uuur uuur
với BC = a.
Bài 2: Cho
ABC∆
, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
. ,AM BC k=
uuuur uuur
k là số cho trước. b)
2 2 2 2
0MA MB CA CB− + − =

c)
2 2 2
. .MC MB BC MA MB MA MC− + = −
uuur uuur uuur uuuur
d)
2 2 2
3 2MA MB MC= +
3
HQT – THPT NAM KHOÁI CHÂU BÀI TẬP HÌNH HỌC 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Bài 3: Cho đoạn AB. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
a)
2 2
2MA MB k− =

, k cho trước b)
2 2 2
3MA MB AB+ =
c)
2
2 .MA MA MB=
Bài 4: Cho
ABC∆
, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
( ) ( )
2 0MA MB MB MC− − =
uuur uuur uuur uuuur
b)
2
2 . . 0MA MA MB MA MC+ − =
uuur uuur uuur uuuur
c)
. .MA MB AB MC=
uuur uuur uuur uuuur
d)
2 2 2 2 2
MA MB MC AB AC+ + = +
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
2
. .MD MB MA MC a+ =
uuuur uuur uuur uuuur
b)
2

. . 3MA MB MD MC a+ =
uuur uuur uuuur uuuur

c)
( ) ( )
0MA MB MC MA MD+ − − =
uuur uuur uuuur uuur uuuur
d)
2 2 2 2
MA MB MC a− + =
4