Ôn tập Chương I. Khối đa diện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.89 MB, 36 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

H

HU

U

Ỳ

N

H

H

V

V

Ă

N

N

L

L

Ư

Ợ

NG

N

G

0

09

91

18

8.

.8

85

59

9.

.3

30

05

5

–

–

0

01

12

23

34

4.

.4

44

4.

.3

30

05

5

–

–

0

09

99

96

6.

.1

11

13

3.

.3

30

05

5

0

09

96

67

7.

.8

85

59

9.

.3

30

05

5

–

–

0

09

92

29

9.

.1

10

05

5.

.3

30

05

5

–

–

0

06

66

6.

.5

51

13

3.

.3

30

05

5

www.huynhvanluong.com

------

Các n

ộ

i dung trong Quy

ể

n 4:

Hình c

ổ

đ

i

ể

n (th

ể

tích-kho

ả

ng cách)

Trang 2

Hình ph

ẳ

ng Oxy

Trang 10

Tìm

đọ

c tr

ọ

n b

ộ

g

ồ

m 6 Quy

ể

n v

ớ

i các n

ộ

i dung:

Quy

ể

n 1: Hàm s

ố

- S

ố

ph

ứ

c-M

ũ

và logarit

Quy

ể

n 2: Tích phân – Hình oxyz

Quy

ể

n 3: L

ượ

ng giác – T

ổ

h

ợ

p - Xác su

ấ

t

Quy

ể

n 4: Hình c

ổ

đ

i

ệ

n – Hình Oxy

Quy

ể

n 5: Ph

ươ

ng trình, bpt và h

ệ

pt

đạ

i s

ố

Quy

ể

n 6: 100

đề

thi THPT Qu

ố

c gia

Chúc các em

đạ

t k

ế

t qu

ả

cao trong k

ỳ

thi s

ắ

p t

ớ

i

Hu

ỳ

nh V

ă

n L

ượ

ng

(đồ

ng hành cùng hs trong su

ố

t ch

ặ

n

đườ

ng THPT

)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a'
a

b
P

M

Ộ

T S

Ố

TÍNH CH

Ấ

T

V

Ề

QUAN H

Ệ

VNG GĨC

I. Ch

ứ

ng minh hai

đườ

ng th

ẳ

ng vng góc

Cách 1

:

( )

d

P

d

a

P

⊥



⇒

⊥



⊂



Cách 2

:

Áp d

ụ

ng

đị

nh lí ba

đườ

ng vng góc

:

đườ

ng th

ẳ

ng a

khơng vng góc v

ớ

i mp(P),

đườ

ng th

ẳ

ng b n

ằ

m trong (P) và a’

là hình chi

ế

u c

ủ

a a lên (P). Khi

đ

ó:

b

⊥

a

⇔ ⊥

b

a

'

Cách 3

:

/ /( )

( )

a

P

b

a

b

P



⇒

⊥



⊥



Cách 4

:

a b

/ /

d

a

d

b



⇒

⊥



⊥



II. Ch

ứ

ng minh

đườ

ng th

ẳ

ng d vng góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng (P)

Cách 1

: Ta ch

ứ

ng minh d vng góc v

ớ

i hai

đườ

ng th

ẳ

ng a và b c

ắ

t nhau n

ằ

m trong m

ặ

t

ph

ẳ

ng (P)

d a ,d b

a ,b mp(P) d mp(P)

a,b caét nhau



⊥



⊂

⇒

⊥







Cách 2

:

/ /

( )

d

a

d

P

a



⇒

⊥



⊥



Cách 3

:

( ) / /( )

( )

P

Q

d

P

d

Q



⇒

⊥



⊥



Cách 4

: Ta ch

ứ

ng minh d là giao tuy

ế

n c

ủ

a hai m

ặ

t ph

ẳ

ng cùng vng góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng

(P): “

N

ế

u hai m

ặ

t ph

ẳ

ng c

ắ

t nhau và cùng vng góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng th

ứ

ba thì giao tuy

ế

n

c

ủ

a chúng vng góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng th

ứ

ba”.



∩

=



⊥

⇒

⊥





⊥



(Q) (R) d

(Q) (P)

d (P)

(R) (P)

Cách 5

:

Áp d

ụ

ng tính ch

ấ

t: “

N

ế

u hai m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) và (Q) vng góc v

ớ

i nhau thì b

ấ

t c

ứ

đườ

ng th

ẳ

ng d nào n

ằ

m trong (P) và vng góc v

ớ

i giao tuy

ế

n c

ủ

a (P) và (Q)

đề

u vng góc

v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng (Q)”

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

(P) (Q)

(P) (Q) d a (Q)

a (P),a d



⊥



∩

=

⇒

⊥





⊂

⊥



III. Ch

ứ

ng minh hai m

ặ

t ph

ẳ

ng vng góc

Để

ch

ứ

ng mình mp (Q) vng góc v

ớ

i mp(P), ta ch

ứ

ng minh trong (Q) có m

ộ

t

đườ

ng th

ẳ

ng a vng góc mp(P).

a mp(P)

mp(Q) mp(P)

a mp(Q)



⊥

⇒

⊥



⊂



IV. Xác

đị

nh góc gi

ữ

a

đườ

ng th

ẳ

ng a và mp(P)

Góc gi

ữ

a

đườ

ng th

ẳ

ng và m

ặ

t ph

ẳ

ng là góc nh

ọ

n ho

ặ

c vng (khơng bao gi

ờ

tù)

Cách 1

: Là góc gi

ữ

a a và hình chi

ế

u a’ c

ủ

a a lên (P)

=

(a,(P)) (a,a')

Cách 2

: Là góc gi

ữ

a a và

đườ

ng th

ẳ

ng b, v

ớ

i b//(P)

V. Xác

đị

nh góc gi

ữ

a hai m

ặ

t ph

ẳ

ng (P), (Q)

Cách 1:

là góc gi

ữ

a 2

đườ

ng th

ẳ

ng n

ằ

m trong 2 m

ặ

t ph

ẳ

ng cùng vng góc v

ớ

i giao

tuy

ế

n c

ủ

a hai m

ặ

t ph

ẳ

ng t

ạ

i 1

đ

i

ể

m.

- Xác

đị

nh giao tuy

ế

n d c

ủ

a (P) và (Q)

- Xác

đị

nh

đườ

ng th

ằ

ng a th

ỏ

a mãn: a

⊂

(P), a

⊥

d

- Xác

đị

nh

đườ

ng th

ẳ

ng b th

ỏ

a mãn: b

⊂

(Q), b

⊥

d

Khi

đ

ó góc gi

ữ

a (P) và (Q) là góc gi

ữ

a a và b



∩

=



⊂

⊥

⇒

=





⊂

⊥



(P) (Q) d

a (P),a d

((P),(Q)) (a,b)

b (Q),b d

Cách 2

: Là góc gi

ữ

a hai

đườ

ng th

ẳ

ng a và b, v

ớ

i a

⊥

(P) và b

⊥

(Q)



⊥

⇒

=



⊥



a (P)

((P),(Q)) (a,b)

b (Q)

---

P
a

P a'

b
a

Q
P

P Q

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

CÁC D

Ạ

NG TOÁN G

Ặ

P TRONG THI THPT QU

Ố

C GIA

Bài tốn 1: Tính thể tích khối đa diện

1. Th

ể

tích kh

ố

i l

ă

ng tr

ụ

: V = S

đáy

.cao

2. Th

ể

tích kh

ố

i chóp, t

ứ

di

ệ

n: V=

1

3 S

đáy

.cao

3. T

ỉ

s

ố

th

ể

tích t

ứ

di

ệ

n (kh

ố

i chóp tam giác):

SABC
SA' B'C'

V

SA SB SC

V

=

SA' SB' SC'

* Cách xác

đị

nh chi

ề

u cao h c

ủ

a kh

ố

i

đ

a di

ệ

n:

1. Kh

ố

i

đ

a di

ệ

n có SA

⊥

(ABCD)

⇒

h = SA

2. Kh

ố

i

đ

a di

ệ

n

đề

u

⇒

h = SO v

ớ

i O là tâm c

ủ

a

đ

áy

3. Kh

ố

i

đ

a di

ệ

n có SA=SB=SC=SD

⇒

h = SO v

ớ

i O là

đ

i

ể

m cách

đề

u các

đỉ

nh c

ủ

a m

ặ

t

đ

áy

+

Đ

áy là hình vng

⇒

O là tâm

+

Đ

áy là tam giác

đề

u

⇒

O là tr

ọ

ng tâm (tr

ự

c tâm)

+

Đ

áy là tam giác vuông

⇒

O là trung

đ

i

ể

m c

ạ

nh huy

ề

n

4. Kh

ố

i

đ

a di

ệ

n có hai m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) và (Q) cùng vng góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng (R)

⇒

h là giao tuy

ế

n c

ủ

a (P) và (Q)

5. Kh

ố

i

đ

a di

ệ

n có hai m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) và (Q) vng góc

⇒

h là

đườ

ng th

ẳ

ng n

ằ

m trong (P) và vuông góc v

ớ

i giao tuy

ế

n c

ủ

a (P) và (Q)

* Cách tính di

ệ

n tích

đ

áy:

Tam giác vng: S = ½ hai cạnh góc vng nhân nhau

Tam giác đều c

ạ

nh a:

4
3
a
S

;

2
3
a
AH=

Hình vuoâng

c

ạ

nh a

:

đườ

ng chéo

=a 2

;

S a2

Hình ch

ữ

nh

ậ

t: S = dài x r

ộ

ng

Hình thoi: S = t

ổ

ng di

ệ

n tích hai tam giác (ho

ặ

c

AC.BD

2
1

)

Hình thang:

S=(đáy lớn + đáy bé)x cao

Bài toán 2:

Xác

đị

nh kho

ả

ng cách t

ừ

đ

i

ể

m O

đế

n m

ặ

t ph

ẳ

ng (P): d(O, (P))=?

Cách 1

:

Ph

ươ

ng pháp tr

ự

c ti

ế

p (d

ự

ng hình

để

xác

đị

nh kho

ả

ng cách)

Tr

ườ

ng h

ợ

p 1

:

O là hình chi

ế

u c

ủ

a S

∈

(P) lên (Q) ch

ứ

a O

- Xác

đị

nh giao tuy

ế

n d c

ủ

a (P) và (Q)

- T

ừ

O, d

ự

ng OK

⊥

d (K

∈

d)

- T

ừ

O, d

ự

ng OH

⊥

SK (H

∈

SK)

C'

B'
A'

C
B

A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

M

N
b
a

P

⇒

d(O, (P)) = OH

(

l

ư

u ý ph

ả

i ch

ứ

ng minh OH

⊥

(P))

Tr

ườ

ng h

ợ

p 2

: O là

đ

i

ể

m b

ấ

t k

ỳ

(không ph

ả

i hình chi

ế

u c

ủ

a S lên (Q))

-

B

ướ

c 1:

Ch

ọ

n

đ

i

ể

m

để

tính kho

ả

ng cách

+ Tìm

đ

i

ể

m M là hình chi

ế

u c

ủ

a S

∈

(P) lên (Q) ch

ứ

a O

+ Xác

đị

nh giao tuy

ế

n d c

ủ

a (P) và (Q)

+

T

ừ

M, d

ự

ng MK

⊥

d (K

∈

d)

+ T

ừ

M, d

ự

ng MH

⊥

SK (H

∈

SK)

⇒

d(M, (P)) = MH (

ph

ả

i ch

ứ

ng minh MH

⊥

(P))

-

B

ướ

c 2:

Suy ra kho

ả

ng cách c

ầ

n tính

+ OM // (P)

⇒

d(O, (P)) = d(M, (P))

+ OM c

ắ

t (P) t

ạ

i I

⇒

d(O, (P)) =

IO

IM

d(M, (P))

Cách 2

:

Ph

ươ

ng pháp th

ể

tích (s

ử

d

ụ

ng cơng th

ứ

c th

ể

tích

để

tính kho

ả

ng cách)

- Ch

ọ

n kh

ố

i

đ

a di

ệ

n h

ợ

p lý (t

ạ

o b

ở

i O và (P))

để

tính th

ể

tích:

V=

1

3

Sđáy.cao

- Tính kho

ả

ng cách theo cơng th

ứ

c: d(O, (P)) =

3V

S

Cách 3

:

Ph

ươ

ng pháp gi

ả

i tích (chuy

ể

n bài tốn sang t

ọ

a

độ

để

tích kho

ả

ng cách)

- Ch

ọ

n h

ệ

tr

ụ

c Oxyz g

ắ

n lên hình sao cho Ox, Oy, Oz vng góc t

ừ

ng

đ

ơi m

ộ

t, trong

đ

ó m

ặ

p ph

ẳ

ng Oxy là m

ặ

t

đ

áy c

ủ

a

đ

a di

ệ

n

- Tìm t

ọ

a

độ

các

đ

i

ể

m c

ầ

n thi

ế

t

- Vi

ế

t ph

ươ

ng trình mp (P) qua

(

x y x0; ;0 0

)

và có vect

ơ

pháp tuy

ế

n

(

)

; ;

n A B C :

(

)

(

)

(

)

A x x− +B y y− +C z z− =

- Tính kho

ả

ng cách theo cơng th

ứ

c:

(

( )

)

= + + +

+ +

2 2 2

, AxM ByM CzM D

d M

A B C

Bài toán 3:

Xác

đị

nh kho

ả

ng cách gi

ữ

a hai

đườ

ng th

ẳ

ng chéo nhau a và b

Cách 1

:

Ph

ươ

ng pháp tr

ự

c ti

ế

p (d

ự

ng hình

để

xác

đị

nh kho

ả

ng cách)

Tr

ườ

ng h

ợ

p 1

: a và b vng góc v

ớ

i nhau

- Tìm ho

ặ

c d

ự

ng (P) ch

ứ

a b và vng góc a

- T

ừ

giao

đ

i

ể

m M c

ủ

a a và (P), d

ự

ng MN

⊥

b (N

∈

b)

⇒

d(a, b) = MN

(MN

đượ

c g

ọ

i là

đườ

ng vng góc chung c

ủ

a a và b

)

Tr

ườ

ng h

ợ

p 2

: a song song v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) ch

ứ

a b

( )

( , )

( ,( ))

( ) / /

P

b

d a b

d a P

P

a

⊃



⇒

=





P b

a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tr

ườ

ng h

ợ

p 3

: a, b ch

ứ

a trong hai m

ặ

t ph

ẳ

ng (P)//(Q)

( )

( , )

(( ),( ))

( ) //( )

P

b

Q

a

d a b

d P Q

P

Q

⊃





⊃

⇒

=







Tr

ườ

ng h

ợ

p 4

: a và b b

ấ

t k

ỳ

- Ch

ọ

n (P) ch

ứ

a b và c

ắ

t a t

ạ

i A

(

th

ườ

ng (P) là m

ặ

t

đ

áy hình chóp ho

ặ

c m

ặ

t bên l

ă

ng tr

ụ

)

- T

ừ

A, d

ự

ng

đườ

ng th

ẳ

ng b’// b

⇒

d(a, b) = d(b, (Q))

(

v

ớ

i (Q) là m

ặ

t ph

ẳ

ng ch

ứ

a a và b’

)

Cách 2

:

Ph

ươ

ng pháp gi

ả

i tích (chuy

ể

n bài tốn sang t

ọ

a

độ

để

tích kho

ả

ng cách)

- Ch

ọ

n h

ệ

tr

ụ

c Oxyz g

ắ

n lên hình sao cho Ox, Oy, Oz vng góc t

ừ

ng

đ

ơi m

ộ

t, trong

đ

ó m

ặ

p ph

ẳ

ng Oxy là m

ặ

t

đ

áy c

ủ

a

đ

a di

ệ

n

- Tìm t

ọ

a

độ

các

đ

i

ể

m c

ầ

n thi

ế

t

- Tính kho

ả

ng cách theo cơng th

ứ

c:

, .

 

 

 

 

AB CD' AC
d(AB, MN)

AB CD'
.

---

GI

Ả

I TOÁN B

Ằ

NG PH

ƯƠ

NG PHÁP T

Ọ

A

ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

---

Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích

hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độđã chọn và độ dài cạnh của hình.

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành cơng của bài toán)

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độđể giải quyết bài tốn.

Ví dụ 1 (ĐH khối D – 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD=90, BA = BC

= a, AD = 2a. Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a 2. Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên SB.
Chứng minh tam giác SCD vng và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ,

A≡O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0;a 2).
Khi đó SC=( ; ;a a a− 2),CD= −( a a; ;0)

. 0

SC CD SC CD

⇒ = ⇒ ⊥ , hay tam giác SCD vuông tại C.
Mặt khác (SCD) có VTPT là SC CD,  (a2 2;a2 2;2 )a2

 

(SCD) :1.(x a) 1.(y a) 2.(z 0) 0

⇒ − + − + − =

hay (SCD): x y+ + 2z−2a =0.

b
P

a
Q

(r

ấ

t ít g

ặ

p)

(g

ặ

p trong

đề

đạ

i h

ọ

c)

A

b
a

P

b’

Q

z

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Đường thẳng SB có phương trình tham số là
0

2
x a t
y
z t
 = +

=


= −


( ;0; 2 )

H∈SB⇒H a t+ − t .

. 0

3
a
AH ⊥SB⇔AH SB= ⇔ = −t .
Vậy (2 ;0; 2)

3 3

a a

H .

Từđó suy ra khoảng cách từHđến (SCD) là

2 2 2

3 3

( ,( ))

3
1 1 2

a a

a
a
d H SCD

+ −

= =

+ + .

Nhận xét: Nếu so với đáp án chính thức trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp hơn,

dễ hiểu hơn ( đáp án chính thức tính d(H, (SCD)) thơng qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,(SCD)) rồi lại

tính d(B,(SCD)) thơng qua thể tíchtứ diện SBCD ).

Ví dụ 2 (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA’ = a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụđã cho và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM, B’C.

Giải

Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vng
cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ
đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
B≡O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0;a 2).

Dễ thấy / / /

3
/
.
1 2
.( . . )
2 2

ABC A B C

a

V =BB BA BC = .

Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C.
M là trung điểm của BC

( ;0;0) ( ; ;0)

2 2

a a

M AM a

⇒ ⇒ = −

Mặt khác, 'B C=( ;0;a −a 2)

2 2 2

, ' ( 2; ; )

2
a

AM B C a a

 

⇒ = .

Lại có AC=( ;a a− ;0)

, ' . 7

2
( , ' )
7
7
, '
2
a

AM B C AC a

d AM B C

a

AM B C

 
 
⇒ = = =
 
 

.

Nhận xét: Theo đáp án chính thức, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C trong bài tốn

này hồn tồn khơng dễ, địi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM và song song với B’C, rồi qui việc tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng này về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới dựng đó. Lời

giải bằng tọa độ rõ ràng là rất ngắn gọn và trực tiếp.

---oOo---

CÁC BÀI TỐN HÌNH KHÔNG GIAN C

Ổ

Đ

I

Ể

N

TH

ƯỜ

NG G

Ặ

P TRONG THI QU

Ố

C GIA

O≡B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 1(ĐH D2008−NC)Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng, AB = BC = a, cạnh
bên AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. ĐS : ' ' '

3
.

2
2

ABC A B C

a

V = ; ( , ' ) 7

7
a
d AM B C =

Bài 2(ĐH A2009)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB = AD = 2a,
CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.

ĐS : 3
.

3 15
5

S ABCD

V = a

Bài 3(ĐH D2009)Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =
2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích
khối tứ diện IABC và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IBC).

ĐS : 3
.

4
9

I ABC

V = a ; ( , ( )) 2 5

5
a

d A IBC =

Bài 4(ĐH A2010)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . ĐS

: 3

5 3
24

S CDMN

V = a ; ( , ) 2 3

d DM SC = a

Bài 5(ĐH D2010)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu
vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4
AC

AH = .Gọi CM là đường cao
của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

ĐS : . 14 3

S BCM

V = a

Bài 6(ĐH A2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua
SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính th0 ể tích 
khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa AB và SN theo a. ĐS : 3

. 3

S BCMN

V = a ; ( , ) 2 39

d AB SN = a

Bài 7(ĐH B2011)Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD a= 3.Hình

chiếu vng góc của điểm A1 trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 60 . Tính th0 ể tích khối lăng trụđã cho và khoảng cách từB

1đến (A1BD) theo a.

ĐS : ' ' ' '

3
.

3
2

ABCD A B C D

V = a ;

(

1 1

)

,( )

a

d B A BD =

Bài 8(ĐH D2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng
(SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SAC) theo a. ĐS : VS ABC. =2 3a3 ;

(

, ( )

)

6 7

7
a

d B SAC =

Bài 9(ĐH A2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
theo a. ĐS : 3

7
12

S ABC

V = a ;

(

)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com 
Bài 10(ĐH B2012)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vng góc
của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH
theo a. ĐS : 3

7 11
96

S ABH

V = a

Bài 11(ĐH D2012)Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vng, tam giác A’AC vng cân,
A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

ĐS : ' '

3
.

2
48

A BB C

V = a ;

(

, ( ')

)

6
a

d A BCD =

Bài 12(ĐH A2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A, ABC 30 0

= , SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vng góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

điểm C đến mặt phẳng (SAB). ĐS : . 3

S ABC

a

V = ;

(

, ( )

)

13
a

d C SAB =

Bài 13(ĐH B2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà khoảng
cách từđiểm A đến mặt phẳng (SCD).

ĐS :

3
.
3
6
S ABCD
a

V = ;

(

, ( )

)

7
a

d A SCD =

Bài 14(ĐH D2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cạnh SA vng góc với đáy ,

BAD 120= , M là trung điểm của cạnh BC và SMA 45 0

= .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà
khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (SBC).

ĐS : . 3
4

S ABCD

a

V = ;

(

,( )

)

a

d D SBC =

Bài 15(ĐH A2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SD = 3a

2 , hình chiếu vng
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) ĐS:

3
a 2a

;
3 3

Bài 16(ĐH B2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A’
trên (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

ĐS:
3

3a 3 3a 13;

8 13

Bài 17(ĐH D2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

ĐS:
3

a 3 a 3
;

24 4

Bài 18(CĐ2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo
với đáy góc bằng 450. Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ B đến (SCD).

ĐS: a3 2
3 ;

a 6
3 .

Bài 19(QG2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳmg
(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.

ĐS:

3 2

3
a

; 2
5
a

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

Lớp học thân thiện của học sinh Tây Ninh

0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305-0929.105.305-0967.859.305

---

M

Ộ

T S

Ố

KI

Ế

N TH

Ứ

C HÌNH H

Ọ

C GI

Ả

I TÍCH

TRONG M

Ặ

T PH

Ẳ

NG T

Ọ

A

ĐỘ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VAØ ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ:

N

ế

u

 =



a (x; y)

b (x'; y')

thì:

⊥ ⇔
⇔

a.b = x.x'+ y.y'
a bÛ a.b = 0

x y

a / /b =
x' y'

S x.y'-x'.y
)
y'
;
(x'
AC
y)
(x;
AB

ABC
2
1
=
⇒




=
=
∆

2.ĐƯỜNG THẲNG:

Ph

ươ

ng trình

đ

t qua M

o

(x

o

; y

o

) và có VTPT

n=(A;B)

: A(x-x

o

)+B(y-y

o

) = 0

Ph

ươ

ng trình

đ

t qua M

o

(x

o

; y

o

) và có VTCP

u=(a;b)

: b(x-x

o

) - a(y-y

o

) = 0

Ph

ươ

ng trình

đ

t qua M

o

(x

o

,y

o

) và song song Ax+By+C=0: A(x-x

o

)+B(y-y

o

)=0

Ph

ươ

ng trình

đ

t qua M

o

(x

o

,y

o

) và vuơng gĩc Ax+By+C=0: B(x-x

o

)-A(y-y

o

)=0

Phương trình đoạn chắn (đường thẳng qua A(a;0) và B(0;b):

1

b
y
a
x
=
+

∆

:

Ax+By+C=0

⇒

VTPT:

n=(A;B)

, VTCP:

u=(B;-A)

ho

ặ

c

u=(-B;A)

3. KHOẢNG CÁCH :

a)

Khoảng cách từ điểm M đến

đ

t

∆

:

Ax+By+C=0

⇒

2
2
M
M
B
A
C
By
Ax
)
d(M,
+
+
+
=
∆

b)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

∆

:

Ax+By+C=0,

∆

’:

Ax+By+C’=0

⇒

∆ ∆ =, '

2 2

C - C'

d( )

A B

4. GÓC TẠO BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG:

∆

:

Ax+By+C=0,

∆

’:

A’x+B’y+C’=0

⇒

cos( , ')

+
∆ ∆ =

+ +

2 2 2 2

A.A' B.B'

A B A' B'

5. ĐIỂM ĐỐI XỨNG:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

' '

' (trong do: ( ; ))

2 2

M M M M

MM u u B A

x x y y

A B C

∆ ∆

 ⊥ = −



⇔  +   + 

+ + =

    

   



6. PH

ƯƠ

NG TRÌNH

ĐƯỜ

NG PHÂN GIÁC:

a) Tính chất:

D là chân

đườ

ng phân giác trong c

ủ

a góc A thì

DB AB
AC
DC = −

⇒

t

ọ

a

độ

D

I l

à tâm

đường tròn nội tiếp

∆

ABC thì

IA BA
BD
ID= −

⇒

tọa độ I

b)

Đường phân giác:

∆

:

Ax+By+C=0,

∆

’:

A’x+B’y+C’=0, ta cĩ:

Ph

ươ

ng trình phân giác gĩc tù:

'

∆ ∆

+ + + +

+ +

2 2 2 '2

Ax By C A'x B'y C'

A B daáu (n .n ) A' B

Ph

ươ

ng trình phân giác góc nh

ọ

n:

'

∆ ∆

+ + + +

= −

+ +

2 2 2 '2

Ax By C A'x B'y C'

A B daáu (n .n ) A' B

7.

ĐƯỜ

NG TRỊN:

a) Phương trình đường trịn:

Dạng 1

:

Đường trịn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R:

(x-a)

+(y-b)

= R

Dạng 2

:

Đường tròn (C):

x

+y

-2ax-2by +c = 0

⇒

c
b
a
R

b)
I(a;

2
2






−
+
=

b) Tiếp tuyến của đường trịn tâm I và bán kính R

Tiếp tuyến tại M

o

(x

o

; y

o

):

nhận

IM (A;B)

o =

laøm VTPT: A(x-x

)+B(y-y

) = 0

Các dạng tiếp tuyến khác:

Ti

ế

p tuy

ế

n

∆

qua A(x

o

; y

o

)

⇒

∆

: A(x-x

o

)+B(y-y

o

)=0

Ti

ế

p tuy

ế

n

∆

song song v

ớ

i Ax+By+C=0

⇒

∆

:Ax+By+m=0 (m

≠

C)

Ti

ế

p tuy

ế

n

∆

vng góc v

ớ

i Ax+By+C=0

⇒

∆

:Bx-Ay+m=0

Áp d

ụ

ng

đ

i

ề

u ki

ệ

n ti

ế

p xúc:

d(I,

∆

) = R

đượ

c

ẩ

n và vi

ế

t pttt

∆

---

D

Ạ

NG TỐN HÌNH TH

ƯỜ

NG G

Ặ

P

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13></div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

M

Ộ

T S

Ố

TÍNH CH

Ấ

T HÌNH H

Ọ

C PH

NG

---

1. Đờng trung trực của đoạn thẳng

a) Định nghĩa:

Đờng thẳng vuông góc

với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó

đợc gọi là đờng trung trực của đoạn

thẳng ấy

b) Tổng quát:

a là đờng trung trực của AB

IA =IB

aAB

2. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng

a) Các cặp góc so le trong:

và B

A

;

A

và B2

.

b) Các cặp góc đồng vị:

và B

A

;

và B

A

;

và B

A

;

A

và B

.

c) Khi a//b

th×

và B

A

;

A

và B

gäi lµ

các cặp góc trong cùng phía bù nhau

3. Hai đờng th¼ng song song

- Nếu đ−ờng thẳng c cắt hai đ−ờng thẳng

a, b và trong các góc tạo thành có một cặp

góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp

góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song

song với nhau

- NÕu mét đờng thẳng cắt hai đờng

thẳng song song thì:

Hai gúc so le trong bằng nhau;

Hai góc đồng vị bằng nhau;

Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.

c) Quan hÖ giữa tính vuông góc với tính song song

- Hai đờng thẳng phân biệt cùng

vuông góc với đờng thẳng thø ba

th× chóng song song víi nhau

a

c

a / / b

b

c

⊥



=>



⊥



c

b

a

c

b

a

1

4

2

3

4

3

2

1 b

a

B

A

I B

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

- Mét đờng thẳng vuông góc với

một trong hai đờng thẳng song

song thì nó cũng vuông góc với

đờng thẳng kia

c

b

c

a

a / / b

=>

4. Góc ngoài của tam giác

a) Định nghĩa:

Góc ngoài của một tam

giác là góc kỊ bï víi mét gãc cđa tam

gi¸c Êy

b) Tính chất:

Mỗi góc ngoài cđa tam

gi¸c b»ng tỉng hai gãc trong không kề

với nó

ACx

=

A

+

B

5. Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác

a) Trờng hợp 1:

Cạnh - Cạnh - Cạnh

(c.c.c)

- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba

cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó

bằng nhau

' '

' ' '( . . )

' '

AB

A B

AC

A C

ABC

A B C c c c

BC

B C

=





=



=> ∆

= ∆



=



b) Tr−êng hỵp 2:

C¹nh - Gãc - C¹nh

(c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác

này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam

giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

' '

'

' ' '( . . )

' '

AB

A B

B B

ABC

A B C c g c

BC

B C

=





=



=> ∆

= ∆



=



C

'

B

'

A'

C

B

A

C

'

B

'

A'

C

B

A

x

C

B

A

c

b

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

c) Tr−êng hỵp 3:

Gãc - C¹nh - Gãc

(g.c.g)

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam

giác này bằng một cạnh và hai góc kề

của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng

nhau

'

' '

' ' '( . . )

'

B B

BC

B C

ABC

A B C g c g

C C



=



=



=> ∆

= ∆



=



d) C¸c tr−êng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Trng hợp 1:

Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này bằng hai

cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.

Tr−ờng hợp 2

: Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam

giác vng này bằng một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của

tam giác vng kia thì hai giác vng đó bằng nhau.

Tr−ờng hợp 3:

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này

bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác

vng đó bằng nhau.

C'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

A

B

C

A'

B

'

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Tr−ờng hợp 4:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng

này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai

tam giác vng đó bằng nhau.

6. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam

gi¸c

(

quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam

giác

)

- Trong một tam giác, góc đối diện với

cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

: AC > AB

B > C

ABC

∆

⇒

-

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

ABC

: B > C

AC > AB

∆

7. Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên, đờng xiên

và hình chiếu

Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng xiên

- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vu«ng

góc kẻ từ A đến đ−ờng thẳng d

- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên

đờng thẳng d

- on thng AB gi l một đ−ờng xiên

kẻ từ A đến đ−ờng thẳng d

- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của

đờng xiên AB trên đ.thẳng d

Quan h gia ng xiên và đ−ờng vng góc:

Trong các đ−ờng xiên và

đ−ờng vng góc kẻ từ một

điểm ở ngồi một đ−ờng thẳng đến đ−ờng thẳng đó,

đ−ờng vng góc là đ−ờng ngắn nhất.

Quan hệ giữa đ−ờng xiên và hình chiếu:

Trong hai đ−ờng xiên kẻ từ một

điểm nằm ngoài một đ−ờng thẳng đến ng thng ú, thỡ:

-

Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

A

B

C

A

'

B'

C

'

C'

B'

A'

C

B

A

d

B

H

A

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

-

Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

-

Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc lại, nếu

hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.

8. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài

cạnh còn lại.

AB + AC > BC

AB + BC > AC

AC + BC > AB

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn

độ dài cạnh còn lại.



AC - BC



< AB;



AB - BC



< AC;



AC - AB



<BC

- Nhận xét

: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn

hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

VD:



AB- AC



< BC < AB + AC

9. TÝnh chÊt ba đờng trung tuyến của tam giác

Ba ng trung tuyến của một tam giác

cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách

mỗi đỉnh một khoảng bằng

2

3 độ dài

đ−ờng trung tuyến đi qua đỉnh ấy:

GA

GB

GC

2 DA

=

EB

=

FC

=

3 G là trọng tâm của tam giác ABC

10. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác

Ba đ−ờng phân giác của một

tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm này cách đều ba cạnh của

tam giác đó

- Điểm O là tâm đờng tròn nội

tiếp tam giác ABC (lớp 9)

11. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác

O

C

B

A

G

D

F

E

C

B

A

C

B

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Ba đ−ờng trung trực của một tam giác cùng

đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba

đỉnh của tam giác đó

- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam

giác ABC

12. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản

a) Chứng minh tam giác cân

1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau

2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau

3. Chứng minh tam giác đó có đ−ờng trung tuyến vừa là đ−ờng cao

4. Chứng minh tam giác đó có đ−ờng cao vừa là đ−ờng phân giác ở đỉnh

b) Chứng minh tam giác đều

1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau

2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau

3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 60

c) Chøng minh một tứ giác là hình bình hành

1. T giỏc có các cạnh đối song song là hình bình hành

2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình

hành

4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bỡnh hnh

5. Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đờng là hình

bình hµnh

d) Chứng minh một tứ giác là hình thang:

Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh

đối song song

e) Chứng minh một hình thang là hình thang c©n

1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

2. Chứng minh hình thang có hai đ−ờng chéo bằng nhau

f) Chøng minh mét tứ giác là hình chữ nhật

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật

3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật

g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

3. Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau

4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của một

góc

h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông

1. Hình chữ nhật co hai cạnh kề bằng nhau

2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc

3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc

4. Hình thoi có một góc vuông

O

C

B

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

5. Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau

13. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang

a) Đờng trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai

cạnh của tam giác

Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng

nửa cạnh ấy

1 DE / / BC, DE

BC

2 =

b) Đờng trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai

cạnh bên cđa h×nh thang

Định lí: Đ−ờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng

nửa tổng hai đáy

EF//AB, EF//CD,

EF

AB

CD

2 +

=

14. Tam giác đồng dạng

a) Định lí Ta_lét trong tam giác:

Nếu một đ−ờng thẳng song song với một cạnh

của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn

thẳng t−ơng ứng tỉ lệ

AC '

AB '

B 'C '/ / BC

;

AB

AC

AC '

C 'C

AB '

;

B ' B

C 'C

AB

AC

=>

=

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:

Nếu một đ−ờng thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng t−ơng ứng tỉ lệ thì đ−ờng thẳng

đó song song với cạnh cịn lại của tam giác

VÝ dô:

AB '

AC '

B 'C '/ / BC

AB

=

AC

=>

; Các trờng hợp khác tơng tự

c) H qu ca nh lớ Ta_lột

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh

E

C

B

D

A

C'

B'

a

C

B

A

F
E

D C

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong tr−ờng hợp đ−ờng thẳng song song với một

cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại

(

B 'C '/ /BC

AB '

AC '

B 'C '

AB

AC

BC

=>

=

)

d) Tính chất đ−ờng phân giác của tam giác:

Đ−ờng phân giác trong (hoặc ngoài)

của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai

đoạn đó

DB

AB

DC

=

AC

D ' B

AB

D 'C

=

AC

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :

Hai tam giác đồng dạng là hai

tam giác có các góc t−ơng ứng bằng nhau và các cạnh t−ơng ứng tỉ lệ

';

'

' ' '

' '

A A B B C C

ABC

A B C

AB

AC

BC

k

A B

A C

B C



=



∆

<=>



=



f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:

Nếu một đ−ờng thẳng cắt hai cạnh của một

tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng

với tam giác đã cho

MN/ /BC

=>∆

AMN

∆

ABC

*) L−u ý

: Định lí cũng đúng đối với tr−ờng

hợp đ−ờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh

của tam giác và song song với cạnh còn lại

g) Các tr−ờng hợp đồng dạng của hai tam giác

a

N

M

C

B

A

C
B

C' B'

C
B

C'

B'

a

C

B

A

S

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

*)

Tr−ờng hợp 1:

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì

hai tam giác đó đồng dạng.

' ' '( . . )

' '

AC

BC

AB

ABC

A B C c c c

A B

=

A C

=

B C

=> ∆

∆

*)

Tr−ờng hợp 2:

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia

và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng

' '

' ' '( . . )

'

BC

AB

A B

B C

ABC

A B C c g c

B B



=



=> ∆

∆





=



*)

Tr−ờng hợp 3:

Nếu hai góc của tam giác này lần l−ợt bằng hai góc của tam giác

kia thì hai tam giác đồng dạng;

'

' ' '( . )

'

A A

ABC

A B C g g

B B



=



=> ∆

∆



=



h) Các tr−ờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

*)

Tr−ờng hợp 1

: Nếu hai tam giác vng có một góc nhọn bằng nhau thì chúng

đồng dạng;

C'

B'

A'

C

B

A

C

'

B

'

A'

C

B

A

C

B

'

A'

C

B

A

S

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

' 90

' ' '

'

A A

ABC

A B C

C C



=



=> ∆

∆



=



*)

Tr−ờng hợp 2:

Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này tỉ lệ với hai cạnh

góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác đó đồng dạng;

' ' '

' '

AC

' '

AB

ABC

A B C

A B

=

A C

=> ∆

∆

*)

Tr−ờng hợp 3

: Nếu cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ

với cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vng kia thì chỳng đồng dạng.

' ' '

' '

BC

' '

AB

ABC

A B C

A B

=

B C

=> ∆

∆

15. Tỉ số hai đ−ờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đ−ờng cao t−ơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng

dạng

- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình ph−ơng tỉ số đồng dạng

Cơ thĨ :

' '

A B C' ' ' 2

ABC

S

A H

k

AH

=

⇒

S

=

16. HƯ thøc l−ỵng trong tam giác vuông

(lớp 9)

b

=

ab '

c

=

ac'

a

=

b

+

c

(Pi_ta_go)

bc = ah

h

=

b ' c'

2 2 2

1 b

c

h

+

=

C

'

B'

A

'

C

B

A

C

B'

A

’

C

B

A

a

H

h

b'

b

c'

c

C

B

A

S

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

17. Diện tích các hình

.

S

=

a b

S

=

a

S

1 ah

2 =

S

1 ah

2 =

1 S

ah

2 =

S

1 (a

b)h

EF .h

2 =

+

=

.

=

S

a h

1 2

1 S

d

2 =

⋅

18. Góc và đường trịn

- AOB: góc ở tâm chắn AB
- ACB: góc nội tiếp chắn AB

- EAB: góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AB

- 1

2
ACB EAB= = AOB
- sñHDG = 1

(

sñHG -sñJI

)

- sñADG = 1

(

sñAG -sñJA

)

- sñEDF = 1

(

sñAmF -sñAnF

)

- 1

(

)

JKC=BKG= sđJC+ sđBG

Chú ý: Góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

( ACB=AGB)

h

a

h

a

F

E

b

h

a

h

a

h

a

C
O
D

F G

m 
n

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

T

Ổ

NG H

Ợ

P CÁC BÀI TỐN HÌNH H

Ọ

C PH

Ẳ

NG

TRONG

ĐỀ

THI

ĐẠ

I H

Ọ

C T

Ừ

2002-2014

Bài 1: (

Đ

H A2002)

cho

tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là

3x y− − 3 0=

, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2. tìm

tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Đ

S :

7 4 3 6 2 3; ; 1 4 3; 6 2 3

3 3 3 3

G + +  G− − − − 

   

Bài 2 : (

Đ

H B2002)

Cho hình ch

ữ

nh

ậ

t ABCD tâm

1;0
2

 

 

 

,

đườ

ng th

ẳ

ng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB

= 2AD. Tìm A,B,C,D bi

ế

t r

ằ

ng A có hồnh

độ

âm.

Đ

S :

A

(

−2;0 ;

) (

B 2;2 ;

)

C

(

3;0 ;

)

D

(

− −1; 2

)

Bài 4 : (

Đ

H B2003)

Trong m

ặ

t ph

ẳ

ng v

ớ

i h

ệ

t

ọ

a

độ

Đ

êcac vng góc Oxy cho tam giác ABC có

AB = AC ,

BAD=

90

. Bi

ế

t M(1; -1) là trung

đ

i

ể

m c

ạ

nh BC và G

2;0
3

 

 

 

là tr

ọ

ng tâm tam giác

ABC. Tìm t

ọ

a

độ

các

đỉ

nh A, B, C.

Đ

S :

A

(

0; 2 ;

) (

B 4;0 ;

)

C

(

− −2; 2

)

Bài 5 : (

Đ

H D2003)

Cho

đườ

ng tròn (C):

(x−1)2+(y−2)2 =4

và

đườ

ng th

ẳ

ng d: x – y – 1 = 0.Vi

ế

t

ph

ươ

ng trình

đườ

ng trịn (C’)

đố

i x

ứ

ng v

ớ

i

đườ

ng trịn (C) qua

đườ

ng th

ẳ

ng d.Tìm t

ọ

a

độ

các giao

đ

i

ể

m c

ủ

a (C) và (C’).

Đ

S :

( ) : (C' x 3)2 y2 4;A

(

1;0 ;

) (

B 3; 2

)

− + =

Bài 6 : (

Đ

H A2004)

cho hai

đ

i

ể

m A(0; 2), B(

− 3; 1−

). Tìm t

ọ

a

độ

tr

ự

c tâm và tâm

đườ

ng tròn ngo

ạ

i

ti

ế

p c

ủ

a tam giác OAB.

Đ

S :

H( 3; 1); (− I − 3;1)

Bài 7 : (ĐH B2004) cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho
khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. ĐS : (7;3); ( 43; 27)

11 11

C C − −

Bài 8 : (

Đ

H D2004)

cho tam giác ABC có các

đỉ

nh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) v

ớ

i

m≠0

. Tìm t

ọ

a

độ

tr

ọ

ng tâm G c

ủ

a tam giác ABC theo m. Xác

đị

nh m

để

tam giác GAB vuông t

ạ

i G.

Đ

S :

m= ±3 6

Bài 9 : (

Đ

H A2005)

cho hai

đườ

ng th

ẳ

ng: d

:

x y− =0

và d

:

2x y+ − =1 0

. Tìm t

ọ

a

độ

các

đỉ

nh hình

vng ABCD bi

ế

t r

ằ

ng

đỉ

nh A thu

ộ

c d

, C thu

ộ

c d

, và các

đỉ

nh B, D thu

ộ

c tr

ụ

c hoành.

Đ

S :

( ) (

1;1 ; 0;0 ;

)

(

1; 1 ;

)

(

2;0

)

A B C − D

và

A

( ) (

1;1 ;B 2;0 ;

)

C

(

1; 1 ;−

)

D

(

0;0

)

Bài 10 : (

Đ

H B2005)

cho hai

đ

i

ể

m A(2; 0) và B(6; 4). Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng trịn (C) ti

ế

p xúc

v

ớ

i tr

ụ

c hoành t

ạ

i

đ

i

ể

m A và kho

ả

ng cách t

ừ

tâm c

ủ

a (C)

đế

n

đ

i

ể

m B b

ằ

ng 5.

Đ

S :

2 2

( ) : (C x−2) +(y−1) =1

ho

ặ

c

( ) : (C x 2)2 (y 7)2 49

− + − =

Bài 12 : (

Đ

H A2006−CB)

cho

đườ

ng th

ẳ

ng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0.Tìm

t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m M n

ằ

m trên

đườ

ng th

ẳ

ng d

sao cho kho

ả

ng cách t

ừ

M

đế

n

đườ

ng th

ẳ

ng d

b

ằ

ng hai

l

ầ

n kho

ả

ng cách t

ừ

M

đế

n

đườ

ng th

ẳ

ng d

.

Đ

S :

M( 22; 11);− − M(2;1)

Bài 13 : (

Đ

H B2006−CB)

cho

đườ

ng tròn (C):

x2+y2−2x−6y+ =6 0

và

đ

i

ể

m M(-3; 1). G

ọ

i T1 và

T2 là các ti

ế

p

đ

i

ể

m c

ủ

a các ti

ế

p tuy

ế

n k

ẻ

t

ừ

M

đế

n (C). Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng T1T2.

Đ

S :

2x y+ − =3 0

Bài 14 : (

Đ

H D2006−CB)

cho

đườ

ng tròn (C):

x2 y2 2x 2y 1 0

+ − − + =

và

đườ

ng th

ẳ

ng d:

x y− + =3 0

.

Tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m M n

ằ

m trên d sao cho

đườ

ng trịn tâm M, có bán kính g

ấ

p

đ

ơi bán kính

đườ

ng trịn

(C), ti

ế

p xúc ngồi v

ớ

i

đườ

ng tròn (C).

Đ

S :

M(1; 4);M( 2;1)−

Bài 15 : (

Đ

H A2007−CB)

cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). G

ọ

i H là chân

đườ

ng

cao k

ẻ

t

ừ

B; M và N l

ầ

n l

ượ

t là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a các c

ạ

nh AB và BC. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng trịn

đ

i

qua các

đ

i

ể

m H, M, N.

Đ

S

: (C):

x2 y2 x y 2 0

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 16 : (

Đ

H B2007−CB)

cho

đ

i

ể

m A(2;2) và các

đườ

ng th

ẳ

ng: d

: x + y – 2 = 0, d

: x + y – 8 =

0.Tìm to

ạ

độ

các

đ

i

ể

m B và C l

ầ

n l

ượ

t thu

ộ

c d

và d

sao cho tam giác ABC vuông cân t

ạ

i A.

Đ

S :

(

1;3 ;

)

(

3;5

)

B − C

ho

ặ

c

B

(

3; 1 ;−

)

C

(

3;5

)

Bài 17 : (

Đ

H D2007−CB)

cho

đườ

ng tròn (C) : (x – 1)

+ (y + 2)

= 9 và

đườ

ng th

ẳ

ng d: 3x–

4y+m=0 . Tìm m

để

trên d duy nh

ấ

t m

ộ

t

đ

i

ể

m P mà t

ừ

đ

ó có th

ể

k

ẻ

đượ

c hai ti

ế

p tuy

ế

n PA, PB t

ớ

i

(C) ( A, B là các ti

ế

p

đ

i

ể

m ) sao cho tam giá PAB

đề

u.

Đ

S :

m=19;m= −41

Bài 19 : (

Đ

H B2008−CB)

Hãy xác

đị

nh t

ọ

a

độ

đỉ

nh C c

ủ

a tam giác ABC bi

ế

t r

ằ

ng hình chi

ế

u vng

góc c

ủ

a C trên

đườ

ng th

ẳ

ng AB là

đ

i

ể

m H(−1;−1),

đườ

ng phân giác trong c

ủ

a góc A có ph

ươ

ng

trình x − y+ 2 = 0 và

đườ

ng cao k

ẻ

t

ừ

B có ph

ươ

ng trình 4x +3y−1= 0.

Đ

S :

( 10 3; )

3 4

C −

Bài 20 : (

Đ

H D2008−CB)

cho parabol (P) : y

=16x và

đ

i

ể

m A(1;4). Hai

đ

i

ể

m phân bi

ệ

t B, C (B và

C khác A) di

độ

ng trên (P) sao cho góc

BAC 900

. Ch

ứ

ng minh r

ằ

ng

đườ

ng th

ẳ

ng BC luôn

đ

i qua

m

ộ

t

đ

i

ể

m c

ố

đị

nh.

Đ

S :

I(17; 4)− ∈BC

Bài 21 : (

Đ

H A2009−CB)

cho hình ch

ữ

nh

ậ

t ABCD có

đ

i

ể

m I(6; 2) là giao

đ

i

ể

m c

ủ

a hai

đườ

ng

chéo AC và BD.

Đ

i

ể

m M(1; 5) thu

ộ

c

đườ

ng th

ẳ

ng AB và trung

đ

i

ể

m E c

ủ

a c

ạ

nh CD thu

ộ

c

đườ

ng

th

ẳ

ng

∆

:

x+ y−5=0

. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng AB.

Đ

S :

AB y: − =5 0;AB x: −4y+19 0=

Bài 21 : (

Đ

H A2009−NC)

cho

đườ

ng tròn (C):

2 2 4 4 6 0

=
+

+
+
+

+ y x y

x

và

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

:

2 + =

−

+my m

x

, v

ớ

i m là tham s

ố

th

ự

c. G

ọ

i I là tâm c

ủ

a

đườ

ng trịn (C). Tìm m

để

∆

c

ắ

t (C) t

ạ

i

hai

đ

i

ể

m phân bi

ệ

t A và B sao cho di

ệ

n tích tam giác IAB l

ớ

n nh

ấ

t.

Đ

S :

0; 8

m= m=

Bài 22 : (

Đ

H B2009−CB)

cho

đườ

ng tròn (C) :

(x 2)2 y2 4
5

− + =

và hai

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

1 : x–y= 0,

∆

2 :

x – 7y = 0. Xác

đị

nh to

ạ

độ

tâm K và tính bán kính c

ủ

a

đườ

ng trịn (C

); bi

ế

t

đườ

ng tròn (C

) ti

ế

p

xúc v

ớ

i các

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

2 và tâm K thu

ộ

c

đườ

ng tròn (C)

Đ

S :

( ; );8 4 2 2

5 5 5

K R=

Bài 23 : (

Đ

H B2009−NC)

cho tam giác ABC cân t

ạ

i A có

đỉ

nh A(-1;4) và các

đỉ

nh B, C thu

ộ

c

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

: x – y – 4 = 0. Xác

đị

nh to

ạ

độ

các

đ

i

ể

m B và C , bi

ế

t di

ệ

n tích tam giác ABC b

ằ

ng

18. Đ

S :

( ; ); ( ;11 3 3 5)

2 2 2 2

B C −

ho

ặ

c

( ;3 5);( ; )11 3

2 2 2 2

B −

Bài 24 : (

Đ

H D2009−CB)

cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a c

ạ

nh AB.

Đườ

ng trung

tuy

ế

n và

đườ

ng cao qua

đỉ

nh A l

ầ

n l

ượ

t có ph

ươ

ng trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x–y–4=0. Vi

ế

t

ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng AC.

Đ

S :

AC: 3x−4y+ =5 0

Bài 25 : (

Đ

H D2009−NC)

cho

đườ

ng tròn (C) : (x – 1)

+ y

= 1. G

ọ

i I là tâm c

ủ

a (C). Xác

đị

nh t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m M thu

ộ

c (C) sao cho

IMO

= 30

.

Đ

S :

3; 3

2 2

M ± 

 

Bài 26 : (

Đ

H A2010−CB)

cho hai

đườ

ng th

ẳ

ng d1:

3x y+ =0

và d2:

3x y− =0

. G

ọ

i (T) là

đườ

ng

tròn ti

ế

p xúc v

ớ

i d1 t

ạ

i A, c

ắ

t d2 t

ạ

i hai

đ

i

ể

m B và C sao cho tam giác ABC vng t

ạ

i B. Vi

ế

t

ph

ươ

ng trình c

ủ

a (T), bi

ế

t tam giác ABC có di

ệ

n tích b

ằ

ng

và

đ

i

ể

m A có hồnh

độ

d

ươ

ng.

Đ

S :

2 2

1 3

( ) : ( ) ( ) 1

2
2 3

T x+ + y+ =

Bài 27 : (

Đ

H A2010−NC)

cho tam giác ABC cân t

ạ

i A có

đỉ

nh

A

(6; 6),

đườ

ng th

ẳ

ng

đ

i qua trung

đ

i

ể

m c

ủ

a các c

ạ

nh

AB

và

AC

có ph

ươ

ng trình

x + y

−

4 = 0. Tìm

B

và

C

, bi

ế

t E(1;

−

3) n

ằ

m trên

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Bài 28 : (

Đ

H B2010−CB)

cho tam giác ABC vuông t

ạ

i A, có

đỉ

nh C(-4; 1), phân giác trong góc A

có ph

ươ

ng trình x + y – 5 = 0. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng BC, bi

ế

t di

ệ

n tích tam giác ABC b

ằ

ng

24 và

đỉ

nh A có hồnh

độ

d

ươ

ng.

Đ

S :

BC: 3x−4y+16 0=

Bài 30 : (

Đ

H D2010−CB)

cho tam

giá

c ABC

có đỉ

nh A(3;-7), tr

ự

c tâm

là

H(3;-1), tâm

đườ

ng

trò

n

ngoạ

i ti

ế

p

là

I(-2;0).

Xá

c

đị

nh

toạ độ đỉ

nh C, bi

ế

t C

có hồ

nh

độ

d

ươ

ng.

Đ

S :

C( 2− + 65;3)

Bài 31 : (

Đ

H D2010−NC)

cho

đ

i

ể

m A(0;2)

và

∆

là đườ

ng th

ẳ

ng

đ

i qua O.

Gọ

i H

là hì

nh chi

ế

u

vng

gó

c

củ

a A trên

∆

. Vi

ế

t ph

ươ

ng

trì

nh

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

, bi

ế

t

khoả

ng

cá

ch t

ừ

H

đế

n

trụ

c

hoà

nh

b

ằ

ng AH.

Đ

S :

∆: ( 5 1)− x−2 5 2− y=0; : ( 5 1)∆ − x+2 5 2− y=0

Bài 32 : (

Đ

H A2011−CB)

cho

đườ

ng th

ẳ

ng

∆:x+ + =y 2 0 và đường tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0

.

G

ọ

i I là tâm c

ủ

a (C), M là

đ

i

ể

m thu

ộ

c

∆

. Qua M k

ẻ

các ti

ế

p tuy

ế

n MA và MB

đế

n (C) (A và B là các ti

ế

p

đ

i

ể

m). Tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m M, bi

ế

t t

ứ

giác MAIB có di

ệ

n tích b

ằ

ng 10.

Đ

S :

M(2; 4);− M( 3;1)−

Bài 34 : (

Đ

H B2011−CB)

cho

∆:x+ − =y 4 0 và đường thẳng d: 2x y− − =2 0. Tìm tọa độ điểm N
thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM ON. =8

Đ

S :

6 2
(0; 2); ( ; )

5 5

N − N

Bài 35 : (

Đ

H B2011−NC)

cho tam giác

ABC

có

đỉ

nh

( ;1)1
2

B

.

Đườ

ng tròn n

ộ

i ti

ế

p tam giác

ABC

ti

ế

p xúc v

ớ

i các c

ạ

nh

BC

,

CA

,

AB

t

ươ

ng

ứ

ng t

ạ

i các

đ

i

ể

m

D

,

E

,

F

. Cho

D

(3; 1) và

đườ

ng th

ẳ

ng

EF

có ph

ươ

ng trình

y− =3 0

. Tìm t

ọ

a

độ

đỉ

nh

A

, bi

ế

t

A

có tung

độ

d

ươ

ng.

Đ

S :

(3;13)

A

Bài 36 : (

Đ

H D2011−CB)

cho tam giác

ABC

có

đỉ

nh

B

(- 4; 1), tr

ọ

ng tâm

G

(1; 1) và

đườ

ng th

ẳ

ng

ch

ứ

a phân giác trong c

ủ

a góc

A

có ph

ươ

ng trình

x y− − =1 0. Tìm

A

và

C

.

Đ

S :

A(4;3); (3; 1)C −

Bài 37 : (

Đ

H D2011−NC)

cho

đ

i

ể

m

A

(1; 0) và

đườ

ng tròn (

C

):

x2+y2−2x+4y− =5 0

. Vi

ế

t ph

ươ

ng

trình

đườ

ng th

ẳ

ng

∆

c

ắ

t (

C

) t

ạ

i

M

và

N

sao cho

∆

AMN

vuông cân t

ạ

i

A

.

Đ

S :

∆:y= ∆1; :y= −3

Bài 38 : (

Đ

H A2012−CB)

cho hình vng ABCD. G

ọ

i M là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a c

ạ

nh BC, N là

đ

i

ể

m trên

c

ạ

nh CD sao cho CN = 2ND. Gi

ả

s

ử

11 1;

2 2
M 

 

và

đườ

ng th

ẳ

ng AN có ph

ươ

ng trình 2x – y–3=0.

Tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m A.

Đ

S :

A(1; 1); (4;5)− A

Bài 40 : (

Đ

H B2012−CB)

cho các

đườ

ng tròn (

C

1

) :

x2+y2=4

, (

C

2

):

x2+y2−12x+18 0=

và

đườ

ng

th

ẳ

ng

d

:

x y− − =4 0

. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng trịn có tâm thu

ộ

c (

C

2

), ti

ế

p xúc v

ớ

i

d

và c

ắ

t (

C

1

) t

ạ

i

hai

đ

i

ể

m phân bi

ệ

t

A

và

B

sao cho

AB

vng góc v

ớ

i d.

Đ

S :

(x 3)2 (y 3)2 8

− + − =

Bài 42 : (

Đ

H D2012−CB)

cho hình ch

ữ

nh

ậ

t ABCD. Các

đườ

ng th

ẳ

ng AC và AD l

ầ

n l

ượ

t có

ph

ươ

ng trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0;

đườ

ng th

ẳ

ng BD

đ

i qua

đ

i

ể

m M (

−

; 1). Tìm t

ọ

a

độ

các

đỉ

nh c

ủ

a hình ch

ữ

nh

ậ

t ABCD.

Đ

S :

A( 3;1); (1; 3); (3; 1); ( 1;3)− B − C − D −

Bài 43 : (

Đ

H D2012−NC)

cho

đườ

ng th

ẳ

ng d: 2x – y + 3 = 0. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng trịn có tâm

thu

ộ

c d, c

ắ

t tr

ụ

c Ox t

ạ

i A và B, c

ắ

t tr

ụ

c Oy t

ạ

i C và D sao cho AB = CD = 2.

Đ

S :

2 2 2 2

( ) : (C x+1) +(y−1) =2;( ) : (C x+3) +(y+3) =10

Bài 44 : (

Đ

H A2013−CB)

cho hình ch

ữ

nh

ậ

t ABCD có

đ

i

ể

m C thu

ộ

c

đườ

ng th

ẳ

ng d :

2x y 5 0+ + =

và

A( 4;8)−

. G

ọ

i M là

đ

i

ể

m

đố

i x

ứ

ng c

ủ

a B qua C, N là hình chi

ế

u vng góc c

ủ

a B trên

đườ

ng

th

ẳ

ng MD. Tìm t

ọ

a

độ

các

đ

i

ể

m B và C, bi

ế

t r

ằ

ng N (5;-4).

Đ

S :

B( 4; 7); (1; 7)− − C −

Bài 45 : (

Đ

H A2013−NC)

cho

đườ

ng th

ẳ

ng

∆:x y 0− =

.

Đườ

ng tròn (C) có bán kính R =

c

ắ

t

∆

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 46 : (

Đ

H B2013−CB)

cho hình thang cân ABCD có hai

đườ

ng chéo vng góc v

ớ

i nhau và AD

= 3BC .

Đườ

ng th

ẳ

ng BD có ph

ươ

ng trình x + 2y – 6 = 0 và tam giác ABD có tr

ự

c tâm làH(-3 ; 2).

Tìm t

ọ

a

độ

các

đỉ

nh C và D

Đ

S :

C( 1;6); (4;1)− D

ho

ặ

c

C( 1;6); ( 8;7)− D −

Bài 47 : (

Đ

H B2013−NC)

cho tam giác ABC có chân

đườ

ng cao h

ạ

t

ừ

A là H

(17; 1)

5 −5

, chân

đườ

ng

phân giác trong c

ủ

a góc A là D(5 ; 3) và trung

đ

i

ể

m c

ủ

a c

ạ

nh AB là M (0 ; 1). Tìm C .

Đ

S :

C(9;11)

Bài 48 : (

Đ

H D2013−CB)

cho tam giác ABC có

đ

i

ể

m

M( 9 3; )
2 2

−

là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a c

ạ

nh AB ,

đ

i

ể

m

H( 2; 4)−

và

đ

i

ể

m

I( 1;1)−

l

ầ

n l

ượ

t là chân

đườ

ng cao k

ẻ

t

ừ

B và tâm

đườ

ng tròn ngo

ạ

i ti

ế

p tam giác

ABC . Tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m C .

Đ

S :

C(4;1); ( 1;6)C −

Bài 49 : (

Đ

H D2013−NC)

Cho

đườ

ng tròn (C) :

(x 1)− 2+(y 1)− 2 =4

và

đườ

ng th

ẳ

ng

∆: y 3 0− =

.

Tam giác MNP có tr

ự

c tâm trùng v

ớ

i tâm c

ủ

a (C) , các

đỉ

nh N và P thu

ộ

c

∆

,

đỉ

nh M và trung

đ

i

ể

m

c

ủ

a c

ạ

nh MN thu

ộ

c (C). Tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m P .

Đ

S :

P( 1;3); (3;3)− P

Bài 50 : (

Đ

H A2014).

Cho hình vng ABCD có

đ

i

ể

m M là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a

đ

o

ạ

n AB và N là

đ

i

ể

m

thu

ộ

c

đ

o

ạ

n AC sao cho AN = 3NC. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng CD, bi

ế

t r

ằ

ng M(1;2) và N

(2;-1)

(xem bài gi

ả

i bên d

ướ

i)

Bài 51 : (

Đ

H B2014).

Cho hình bình hành ABCD, M(-3;0) là trung

đ

i

ể

m c

ủ

a AB, H(0;-1) là hình

chi

ế

u vng góc c

ủ

a B trên AD và G(

;3) là tr

ọ

ng tâm c

ủ

a tam giác BCD. Tìm B và D

(xem bài gi

ả

i bên d

ướ

i)

Bài 52 : (

Đ

H D2014).

Cho tam giác ABC có chân

đườ

ng phân giác trong góc A là

đ

i

ể

m D (1; -1).

Đườ

ng th

ẳ

ng AB có ph

ươ

ng trình 3x + 2y – 9 = 0, ti

ế

p tuy

ế

n t

ạ

i A c

ủ

a

đườ

ng trịn ngo

ạ

i ti

ế

p tam

giác ABC có ph

ươ

ng trình x + 2y – 7 = 0. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng BC

(xem bài gi

ả

i bên d

ướ

i)

Bài 53 : (C

Đ

2014).

Cho

đ

i

ể

m

A

(

−2;5

)

và

đườ

ng th

ẳ

ng (d):

3x-4y+1=0

. Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng

th

ẳ

ng qua A và vng góc v

ớ

i d. Tìm M thu

ộ

c d sao cho AM b

ằ

ng 5

(xem bài gi

ả

i bên d

ướ

i)

Bài 54 : (QG2015).

Trong m

ặ

t ph

ẳ

ng h

ệ

t

ọ

a

độ

Oxy, cho tam giác ABC vng t

ạ

i A. G

ọ

i H là hình

chi

ế

u c

ủ

a A trên c

ạ

nh BC; D là

đ

i

ể

m

đố

i x

ứ

ng c

ủ

a B qua H; K là hình chi

ế

u c

ủ

a vng góc C trên

đườ

ng th

ẳ

ng AD. Gi

ả

s

ử

H (-5;-5), K (9;-3) và trung

đ

i

ể

m c

ủ

a c

ạ

nh AC thu

ộ

c

đườ

ng th

ẳ

ng : x - y +

10 = 0 . Tìm t

ọ

a

độ

A

Đ

S:

A (-15; 5).

---

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2013

1. Khối A2013 (chuẩn). cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc d : 2x y 5 0+ + = và A( 4;8)− . Gọi M là
điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu của B trên đường thẳng MD. Tìm B và C, biết N(5;-4).

Giải:Ta có: C∈d ⇒ C(t;-2t-5). Gọi I là trung điểm của AC, suy ra 4 ; 2 3

2 2

− + − +

 

 

 

t t

I

Ta có: IN2 = IA2, suy ra t =1 ⇒ C(1;-7), B là điểm đối xứng của N qua AC ⇒ B(-4;-7)

2. Khối A2013 (nâng cao).cho :x y 0∆ − = . Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm A và
B sao cho AB = 4 2. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc Oy. Viết phương trình (C).

Giải:

cos

AIH

= 1
5

IH

IA = ⇒ IH = 2
Vậy MH = MI – IH = 4 2; với M ∈ Oy
MI ⊥ AB ⇒ MI : x + y + c = 0 ; M (0;-c)

M

A

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

⇒ c = 8 (loại vì M thuộc tia Oy) hay c = -8
Với c = -8 : I (t; -t + 8)

d (I; ∆) = 2

2

8

2 t

−

⇔

=

⇔ t = 3 hay t = 5
t = 3 ⇒ I (3; 5); t = 5 ⇒ I (5; 3)

Vì I và M nằm 2 bên đường thẳng ∆ nên nhận I (5; 3)⇒ Pt đường trịn cần tìm là : (x – 5)2 + (y – 3)2 = 10

3. Khối B2013 (chuẩn). cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau và AD = 3BC.
Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H (-3; 2). Tìm C và D. 
Giải:Gọi I là hình chiếu của H xuống DB dễ dàng tìm được I (-2; 4)

Vì ∆ IHB vng cân tại I có IH = 5. Từ phương trình IH = IB = IC ta có điểm B (0; 3) và C (-1; 6)
3

ID= − IB

, ta có D (-8; 7)Tương tự B(-4; 5) và D (4; 1)

4. Khối B2013 (nâng cao). cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từđỉnh A là 17; 1

5 5

H − 

 , chân đường
phân giác trong của góc A là D (5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M (0; 1). Tìm tọa độđỉnh C.

Giải:Phương trình BC : 2x – y – 7 = 0 và AH : x + 2y – 3 = 0
A ∈ AH ⇒ A (3 – 2a; a) ⇒ B (2a – 3; 2 – a)

. 0

AH HB= ⇒ a = 3⇒ A (-3; 3); B (3; -1)

Phương trình AD: y = 3⇒N (0; 5) đối xứng M qua AD ⇒ N ∈AC

Phương trình AC: 2x – 3y + 15 = 0 và BC : 2x – y – 7 = 0⇒ C (9; 11).

5.Khối D2013 (chuẩn). cho tam giác ABC có điểm 9 3;
2 2

 

−

 

 

M là trung điểm của cạnh AB, điểm H(-2; 4)
và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm C. 
Giải: Đường thẳng AB qua M có vectơ pháp tuyến 1(7; 1)

IM = − −

nên có phương trình: 7x y− +33 0=

⇒ B(b; 7b + 33); M là trung điểm AB ⇒ 9

3 (7 33) 7 30

= − −


= − + = − −

A
A
x b

y b b ;

(7 ;34 7 ) ( 2 ; 29 7 )

= + + ⊥ = − − − −

AH b b BH b b

2 9 20 0 5 4

b b b hay b

⇒ + + = ⇒ = − = −

TH1 : b = -5: B(-5; -2) và A (-4; 5) , Phương trình AH là: x+2y− =6 0⇒ C (6 - 2c;c)

2 2 5 2 30 25 0 1 5

= ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

IB IC c c c c (loại vì C≠A)⇒C(4;1)

TH2 : b = -4 : B(-4; 5) và A (-5; -2), Phương trình AH là: 2x – y + 8 = 0⇒ C (c; 2c + 8).

2 2 1 5

IA =IC ⇔ = − ∨ = −c c (loại vì C≠B)⇒C(-1; 6). Do đó C (4; 1) hay C (-1; 6).

6. Khối D2013 (nâng cao). cho đường tròn (C): ( 1)2 ( 1)2 4

− + − =

x y và đường thẳng :∆ y− =3 0. Tam
giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), N và P thuộc ∆, M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C).
Tìm P.

Giải:(C) có tâm I(1;1), R=2. Do ( , )d I ∆ =R⇒∆ tiếp xúc (C) tại T
Do I là trực tâm tam giác PMN nên MI vng góc ∆⇒xM =xI =1

Mà M thuộc (C) nên M(1; -1). Gọi J là trung điểm MN suy ra IJ là đường trung bình của

∆MTN⇒yI = yJ =1. Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1)

Nếu J(3;1) thì N(5;3). Gọi P(t;3)∈ ∆. NI⊥MP⇒t= −1⇒P( 1;3)−

Nếu J(-1;1) thì N(-3;3). Gọi P(t;3) ∈ ∆. Tương tự ta có: P(3;3)

7. CĐ2013 (chuẩn).d:x+y-3=0, ∆:x–y+2= 0 và điểm M(-1; 3). Viết phương trình đường trịn đi qua M, có
tâm thuộc d, cắt ∆ tại 2 điểm A và B sao cho AB = 3 2.

Giải: I ∈ d ⇒ I (t; 3 – t); [d(I, ∆)]2 = IM2 –

3 2

2 











⇔
2

3

2 t



− + +











= (t + 1)

2 + t2 –

9

2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

8. CĐ2013 (nâng cao) cho tam giác ABC vuông tại A(-3; 2), và có trọng tâm 1 1;
3 3

G 

 . Đường cao kẻ từ

đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P(-2; 0). Tìm tọa độ các điểm B và C.

Giải:

Gọi M là trung điểm BC ⇒

2

3 AG

=

AM

⇒ M

(2;

1 )

2 −

BC qua M và có VTPT

AP

= (1; -2) ⇒ BC: x – 2y – 3 = 0; B ∈ BC ⇒ B (2t + 3; t).

M là trung điểm BC ⇒ C (1 – 2t; -1 – t);

AB

= (2t + 6; t – 2);

AC

= (4 – 2t; -3 – t)

∆ABC vuông tại A ⇔

AB AC

.

=

0

⇔ t = -3 hay t = 2. Đáp số: B (-3; -3); C (7; 2) và B (7; 2); C (-3; -3)
Cách khác : Gọi M là trung điểm BC ⇒ GA=- GM ⇒M , - 

 
1
2 2
2

,

,BBCCtthhẳẳnnggggóóccAAPP,,nnêênnpphhưươơnnggttrrììnnhhBBCC::

x--22yy--33==00,,ttừừ AM =2 125

4 ,,vvàà

2 2 2

AM =BM =CM cchhoottaa B (-3; -3); C (7; 2) hhaayy B (7; 2); C (-3; -3)
---

H

ƯỚ

NG D

Ẫ

N GI

Ả

I

ĐỀ

TUY

Ể

N SINH

ĐẠ

I H

Ọ

C VÀ CAO

ĐẲ

NG N

Ă

M 2014 VÀ QU

Ố

C GIA 2015

1. Khối A2014.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M là trung điểm của
đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng
M(1;2) và N (2;-1)

Giải: Gọi I giao điểm MN và CD

∆NAM ~ ∆NCI ⇒ NA NM 3

NC= NI = ⇒

1
NI MN

3
=

⇒ I
I
1
x 2 (1)

3
1
y 1 ( 3)

3

− =


 + = −


. Vậy I 7; 2
3

 

−

 

 

Gọi n = (a; b) là VTPT của AB
pt (AB) : a (x – 1) + b (y – 2) = 0
pt (CD) : a(x 7) b(y 2) 0

− + + =

Đặt AB = x (x > 0) ⇒MH = x

4; NH =
3

x
4
Ta có : MN2 = MH2 + NH2⇒ x = 4

d(M; CD) = 4 ⇔ − +a 3b =3 a2+b2 ⇔ 4a2 + 3ab = 0

Với b = 0 ⇒ a = 0 (loại)

Với b ≠ 0 chọn b = 1 ⇒ a = 0 hoặc a = 3
4

−

Vậy phương trình CD là : y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y - 15 = 0
Cách 2: Gọi I giao điểm MN và CD⇒ I 7; 2

 

−

 

 

VTCP của MN là a (1; -3)
VTCP của CD là b (m; n)
cos(MN,CD) = 1

10 ⇔ 8n

2 – 6mn = 0

⇔ n = 0 hay n = 3m

4
+ TH1: n = 0 ⇒ CD : y + 2 = 0

A B

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

+ TH2: n = 3m

4 ⇒ CD : 3x – 4y – 15 = 0

2. Khối B2014. Cho hình bình hành ABCD. Điểm M(-3;0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0;-1) là hình
chiếu vng góc của B trên AD và G(4

3;3) là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D

Giải: Phương trình đường trịn đường kính AB: (x 3)2 y2 10

+ + =

I(a; b) là giao điểm của AC và BD

(

)

(

)

(

)

GC= −2GI⇒C 4 2a;9 2b− − ⇒B 2 4a;9 4b− − − ⇒D 2 6a;6b 9+ −

(

)

HA= 4a 4;4b 8− −

cùng phương HD=

(

6a 2;6b 8+ −

)

nên a = 2b -3

(

)

A 8b 16; 4b 9

⇒ − − mà A (C)∈ ⇒

(

8b 13−

)

(

4b 9−

)

2 =10

b 2= ⇒a 1= ⇒B( 6;1), D(8;3)− (loại vì khi đó H khơng là hình chiếu của B lên AD)
hay b 3 a 0 B( 2;3), D(2;0)

= ⇒ = ⇒ −

Cách 2: K là điểm đối xứng của H qua M nên K thuộc (BC) và K(-6; 1)
N là giao điểm của MG và BC ⇒GN 2MG= ⇒N(10;9)

(BC) đi qua K(-6; 1) và có vecto pháp tuyến là KM (16;8) 8(2;1)= =

nên (BC): x – 2y + 8 = 0
(HB): 2(x – 0) + y + 1 = 0 ⇔2x y 1 0+ + =

B là giao điểm của (BC) và (HB) nên B(-2; 3)
M là trung điểm AB nên A(-4; -6)

Gọi I là giao điểm AC và BD nên GA 4GI I 0;3
2

 
= ⇒  
 

I là trung điểm BD nên D(2;0).

Vậy B(-2; 3), D(2;0)

3. Khối D2014. Cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D (1; -1). Đường
thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có
phương trình x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC

Giải: Tọa độđiểm A là nghiệm của hệ phương trình: 3x 2y 9 0
x 2y 7 0

+ − =




+ − =

 ⇔ A (1; 3)

Phương trình đường thẳng AD : x = 1

Gọi α là góc hợp bởi AB và AD ⇒ cosα = 3

Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = 0
Gọi β là góc hợp bởi AD và AC ⇒ β = α

cosβ =

2 2
a
a +b

= 3

13 ⇔ 4a

2 = 9b2. Chọn b = 1 ⇒ a =

±3

2 (loại a =
3
2)
⇒ Phương trình AC : -3x + 2y – 3 = 0

Gọi γ là góc hợp bởi đường tiếp tuyến tại A với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và đường thẳng AC. BC có
pháp vectơ (m; n)

⇒ cosγ =

2 2

3m 2n

13 m n

+ = cosB =

65⇔ 5(9m

2+4n2+ 12mn) = m2 + n2

⇔ 44m2 + 19n2 + 60mn = 0
⇔ m = n

−

hay m = 19n
22

−

Vậy phương trình BC là : x - 2y - 3 = 0 hay 19x - 22y – 41 = 0

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Gi

ả

i:

Ta

có

nd =(3; 4)−

, g

ọ

i H là hình chi

ế

u c

ủ

a A lên (d), ph

ươ

ng trình AH là :

x 2 3t

y 5 4t

+ =




− = −



H

∈

(d)

⇒

3(3t – 2) – 4(-4t + 5) + 1 = 0

⇒

t = 1

⇒

H (1; 1).

Vì AH = 5

⇔

M

≡

H. V

ậ

y M (1; 1).

5. (QG2015).

Đ

S:

A (-15; 5).

HD: Đường trung trực HK: y = -7x + 10 cắt phương trình (d): x – y + 10 = 0 tại điểm M (0; 10).
Vì ∆HAK cân tại H nên điểm A đối xứng của K qua MH : y = 3x + 10, vậy tọa độđiểm A (-15; 5).

---

Hãy g

ọ

i g

ọ

i 01234.444.305- 0918.859.305-0929.105.305-0996.113.305

0666.513.305- 0967.859.305 khi g

ặ

p s

ự

c

ố

trong h

ọ

c t

ậ

p

---

CHÚC CÁC EM H

Ọ

C T

Ố

T

L

ớ

p b

ồ

i d

ưỡ

ng ki

ế

n th

ứ

c và LT

Đ

H ch

ấ

t l

ượ

ng cao

www.huynhvanluong.com

Lớp học thân thiện của học sinh Tây Ninh

</div>

Ôn tập Chương I. Khối đa diện

<b>H</b>

<b>HU</b>

<b>U</b>

Ỳ

Ỳ

<b>N</b>

<b>N</b>

<b>H </b>

<b>H</b>

<b> V</b>

<b>V</b>

Ă

Ă

<b>N </b>

<b>N</b>

<b> L</b>

<b>L</b>

Ư

Ư

Ợ

Ợ

<b>NG</b>

<b>N</b>

<b>G </b>

<b> </b>

<b>0</b>

<b>09</b>

<b>91</b>

<b>18</b>

<b>8.</b>

<b>.8</b>

<b>85</b>

<b>59</b>

<b>9.</b>

<b>.3</b>

<b>30</b>

<b>05</b>

<b>5 </b>

<b> –</b>

<b>– </b>

<b> 0</b>

<b>01</b>

<b>12</b>

<b>23</b>

<b>34</b>

<b>4.</b>

<b>.4</b>

<b>44</b>

<b>44</b>

<b>4.</b>

<b>.3</b>

<b>30</b>

<b>05</b>

<b>5 </b>

<b> –</b>

<b>– </b>

<b> 0</b>

<b>09</b>

<b>99</b>

<b>96</b>

<b>6.</b>

<b>.1</b>

<b>11</b>

<b>13</b>

<b>3.</b>

<b>.3</b>

<b>30</b>

<b>05</b>

<b>5 </b>

<b>0</b>

<b>09</b>

<b>96</b>

<b>67</b>

<b>7.</b>

<b>.8</b>

<b>85</b>

<b>59</b>

<b>9.</b>

<b>.3</b>