Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC

Đồn Hồng Ngọc

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chun ngành: Tốn Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội-2011


Mục lục
Lời mở đầu

4

1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong
khơng gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov

6

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Tốn tử tuyến tính, tốn tử đóng và bao đóng của tốn tử . . .

8

1.2.2

Phổ của tốn tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra

9

1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong khơng gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Phương trình vi phân trong khơng gian Hilbert . . . . . . . . .

15

1.3.2

Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3

Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4

16
18

Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính
có nhiễu trong khơng gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ
nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình
truyền sóng

27

2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . . . . . .

27

2.1.1

Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.2

Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2 Tốn tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1

Định nghĩa về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Tính chất của tốn tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.3

Ví dụ về tốn tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . .

33

2


2.2.4

Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35

2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.1

Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

42

2.3.2

Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . .

42

2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5.1

Không gian hàm và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5.2

Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Kết luận

57

Tài liệu tham khảo

58

3


Lời mở đầu
Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trong
những bài tốn cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Ngoài các

phương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng một
vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính và
dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert.
Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phương
pháp nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngồi
các ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết tốn học, nó cịn góp phần quan trọng trong việc
nghiên cứu các mơ hình ứng dụng trong vật lý học, hố học và mơi trường sinh thái.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị và
các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong khơng gian
Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chúng tơi
xin lưu ý rằng các tốn tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phân
trong chương này đều thuộc lớp các tốn tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đó

các nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổ
điển.

Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổng
quát hơn, trong chương hai chúng tơi đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ
ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của
các phương trình vi phân trong khơng gian Hilbert. Nội dung chính của chương này
bao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, tốn tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm
có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của
phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với tốn tử ở vế phải là tốn
tử tuyến tính khơng giới nội. Phần cuối của luận văn này, chúng tơi trình bày tóm tắt
về bài tốn truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm
các tốn tử tuyến tính.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song khơng tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác
4

giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn này
được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn!
Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Đình Châu, người
đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù bận rất nhiều công việc
nhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tơi hồn
thành luận văn. Đồng thời, tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cơ
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt chương trình cao học
và hồn thành xong luận văn này. Và tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã ln bên tơi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

5


Chương 1
Khơng gian Hilbert và sự ổn định
của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert theo hai phương
pháp của Lyapunov
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không
gian Banach, không gian Hilbert, về tốn tử tuyến tính và phổ của nó cùng ví dụ về
phổ của tốn tử Volterra. Phần chính của chương là phần trình bày những kết quả cơ
bản về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Chú ý rằng
tốn tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân được xét trong phần này
chỉ là các tốn tử giới nội.

1.1

Khơng gian Banach và khơng gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. (Khơng gian tuyến tính định chuẩn)
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức
C, X được gọi là khơng gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một
số khơng âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0

với mọi x ∈ X,

• ||λx|| = |λ|||x||,

||x|| = 0 ⇔ x = 0;

với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X;

• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

với mọi x, y ∈ X.
6


Định nghĩa 1.1.2. (Không gian đầy đủ)
Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ, tức là {xn }∞
n=1

là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach)

Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là khơng gian đầy đủ thì (X, ||.||) gọi
là khơng gian Banach.

Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n-chiều)
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn (K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng
K.
Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) :
Ta xác định chuẩn ·

2

x1 , x2 , ..., xn ∈ K}

trên K bởi
n

||x||2 =

i=1

|x2i |,

x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn .

Khi đó Kn là một khơng gian định chuẩn với chuẩn · 2 . Không gian này gọi là không

gian Euclide n-chiều. Ta có thể chứng minh được Kn là khơng gian Banach, xem [1]
trang 7.
Ví dụ 1.1.2. (Khơng gian các hàm liên tục)
Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với phép cộng các hàm và

nhân một hàm với một số được hiểu theo nghĩa thơng thường. Bởi vì mọi hàm liên tục
trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định
||x|| = max |x(t)|,
a≤t≤b

x ∈ C[a, b].

Dễ thấy hàm x → ||x|| xác định như trên là một chuẩn trên C[a, b]. Như vậy C[a, b]

là một không gian tuyến tính định chuẩn. Ta có thể chứng minh C[a, b] là một không
gian Banach, xem [1] trang 7.
Định nghĩa 1.1.4. (Khơng gian tiền Hilbert)

Khơng gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K là R hoặc C) được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vơ hướng của x
và y thỏa mãn các tiên đề

• (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
7


• (x, y) = (y, x) với mọi x, y ∈ X.
• (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với mọi α, β ∈ K và với mọi x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert)
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng
x =

1.2
1.2.1

(x, x),

x ∈ X.

Tốn tử tuyến tính và phổ của nó
Tốn tử tuyến tính, tốn tử đóng và bao đóng của tốn
tử

Định nghĩa 1.2.1. (Tốn tử tuyến tính)
Giả sử X, Y là các khơng gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, tốn tử A : X → Y

được gọi là tuyến tính nếu:

A(αx + βy) = αAx + βAy

với mọi x, y ∈ X và với mọi α, β ∈ K.

Định nghĩa 1.2.2. Tốn tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi

dãy xn hội tụ đến x0 , ta đều có Axn → Ax0

(n → ∞).

Định lý 1.2.1. (Xem [1], trang 22)
Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Như vậy để kiểm tra tính liên tục của tốn tử tuyến tính A (trong tồn khơng gian)
ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.3. (Tốn tử tuyến tính giới nội)
Giả sử X, Y là các khơng gian Banach. Tốn tử A : X → Y được gọi là tốn tử tuyến

tính giới nội (bị chặn) nếu A là tốn tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới
nội.
Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là khơng gian các tốn tử tuyến tính

giới nội trên X.
Định lý 1.2.2. (Xem [1], trang 22)
Tốn tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.

8


Định lý 1.2.3. (Xem [1], trang 22)
Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là tốn tử tuyến tính. Điều kiện
cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho:
Ax

với mọi x ∈ X.

c x

Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của tốn tử
tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:
A = sup Ax = sup
x

x=0

1

Ax

.
x

Định nghĩa 1.2.5. (Tốn tử đóng)
Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X. Tốn tử
tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi là tốn tử đóng nếu với mọi dãy {xn }∞
n=1 ⊂ D(A)

mà xn → x, Axn → y thì x ∈ D(A) và Ax = y hay nói cách khác đồ thị G(A) =
{(x, Ax) : x ∈ D(A)} ⊂ X × Y là tập đóng trong X × Y.

Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ
con của X. Nếu A : D(A) → Y là tốn tử bị chặn thì A là tốn tử đóng khi và chỉ khi

D(A) là khơng gian vectơ con đóng.

Chứng minh. Thật vậy, vì A bị chặn nên A liên tục. Giả sử {xn }∞
n=1 ⊂ D(A) : xn → x,

Axn → y. Khi đó x ∈ D(A) khi và chỉ khi D(A) đóng. Ax = y do A liên tục và giới

hạn là duy nhất.

Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X, Y là các không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . Khi

đó B : D(B) ⊂ X → Y gọi là mở rộng của A nếu D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi
x ∈ D(A).

Tốn tử A gọi là có bao đóng nếu B là mở rộng của A và B là toán tử đóng.

1.2.2

Phổ của tốn tử tuyến tính và ví dụ về phổ của tốn tử
Volterra

Giả sử X là khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.2.7. Xét tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A),
trong đó D(A) là không gian vectơ con của X.

(i) Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa
D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X).

9


(ii) Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
(iii) Tập hợp các điểm khơng phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của tốn tử A
(kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ ρ(A).

(iv) Tốn tử R(λ, A) = (λI − A)−1 được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán
tử A.

Nếu A là tốn tử đóng thì (λI − A) cũng là tốn tử đóng (do λI liên tục). Do đó

nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là tốn tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song ánh giữa

D(A), A là tốn tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục. Vậy đối
với tốn tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:

ρ(A) = λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X .

σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X khơng là song ánh}.
A. Một số tính chất của phổ
Định lý 1.2.4. Nếu tốn tử A khơng có phổ là tồn mặt phẳng phức C thì A là tốn
tử đóng. (Nếu A khơng đóng thì phổ là C.)
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ ∈
/ σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X);
B : X → D(A). Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y.

Đặt hn = (λI −A)xn . Suy ra lim hn = λx−y. Vì B liên tục nên B(λx−y) = lim Bhn =
n↓∞

n↓∞

lim xn = x. Suy ra x ∈ D(A). Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy

n↓∞

ra Ax = y.

Vậy A là tốn tử đóng.
Định lý 1.2.5. (Phương trình giải thức Hilbert)
Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).
Chứng minh. Ta có: λR(λ, A) − AR(λ, A) = I = µR(µ, A) − AR(µ, A).

Suy ra

[λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A).
R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).
Do A, R(λ, A) giao hốn nên

R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).

10


Hệ quả 1.2.1. Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), R(λ, A), R(µ, A) giao hốn và:
R(λ, A) − R(µ, A)
= R(λ, A)R(µ, A).
µ−λ
Định lý 1.2.6. Đối với tốn tử đóng A : D(A) ⊂ X → X, các tính chất sau xảy ra:

(i) Tập giải thức ρ(A) là mở trong C và với µ ∈ ρ(A) ta có:
∞

R(λ, A) =
n=0

(µ − λ)n Rn+1 (µ, A)

với mọi λ ∈ C thoả mãn: |µ − λ| < R(µ, A)

−1

.

(ii) Ánh xạ giải thức λ → R(λ, A) là giải tích địa phương với
dn
R(λ, A) = (−1)n n!R(λ, A)n+1
dλn

(1.1)

∀n ∈ N.

(iii) Giả sử dãy số {λn }n ⊂ ρ(A) và lim λn = λ0 .
n→∞

Khi đó λ0 ∈ σ(A) ⇔ lim R(λn , A) = +∞.
n→∞

Chứng minh xem [6], chương V, mệnh đề 1.3.
B. Phổ của tốn tử tuyến tính bị chặn trong khơng gian Banach
Phổ của tốn tử sẽ phụ thuộc vào loại khơng gian mà tốn tử xác định trên đó và loại
toán tử mà ta xét đến. Sau đây ta xét tốn tử tuyến tính bị chặn T trên khơng gian
Banach phức X.
Định lý 1.2.7. Cho T ∈ L(X) trong đó X là khơng gian Banach. Nếu T < 1 thì
(I − T )−1 tồn tại như một tốn tử tuyến tính bị chặn trên khơng gian X và
∞

(I − T )

−1

(1.2)

T j = I + T + T 2 + ... + T n + ...

=
j=0

trong đó chuỗi bên vế phải hội tụ theo chuẩn trên L(X).
Chứng minh. Ta có T j

T

j

. Chuỗi

T

j

hội tụ khi T

< 1. Do đó chuỗi

trong 1.2 hội tụ tuyệt đối khi T < 1. Ta biết chuỗi hội tụ tuyệt đối suy ra hội tụ. Vì
vậy chuỗi trong 1.2 hội tụ. Kí hiệu vế phải của 1.2 là S, ta chứng minh S = (I − T )−1 .
Đặt Sn = I + T + ... + T n , ta có Sn → S. Xét

(I − T )(I + T + ... + T n ) = (I + T + ... + T n )(I − T ) = I − T n+1.
Cho n → ∞. Khi đó T n+1 → 0 vì T < 1. Ta suy ra (I − T )Sn = Sn (I − T ) → I.

Chứng tỏ S = (I − T )−1 .

11


Định lý 1.2.8. (Định lý phổ)

Phổ σ(T ) = C\ρ(T ) của một tốn tử tuyến tính bị chặn T : X → X trên một không

gian Banach phức X là compact và nằm trong hình trịn
λ

(1.3)

T .

Do đó giải thức ρ(T ) của T khác rỗng.
Chứng minh. Với λ ∈ C, xét
1
(λI − T )−1 = [λ(I − T )]−1
λ
1
1 −1
= (I − T )
λ
λ

(1.4)

1
T
1
T =
T =
< 1 tức là |λ| > T thì (λI − T )−1 tồn
λ
λ

λ
tại như một tốn tử tuyến tính bị chặn trên khơng gian X. Như vậy nếu |λ| > T thì

Theo định lý 1.2.7 nếu

λ ∈ ρ(T ). Khi đó phổ σ(T ) = C\ρ(T ) phải nằm trong hình trịn 1.3. Vậy σ(T ) bị chặn
mà σ(T ) đóng nên σ(T ) là compact.

Định lý 1.2.9. (Xem [6], trang 157) Nếu X = { 0} là một không gian Banach phức
và T ∈ L(X) thì σ(T ) = ∅.
Định lý 1.2.10. (Định lý ánh xạ phổ)
Nếu A là toán tử tuyến tính giới nội trên khơng gian Hilbert H và f (z) là hàm giải
tích trên miền mở D ⊃ σ(A) thì
σ(f (A)) = f (σ(A)).

C. Bán kính phổ
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian Banach phức và σ(T ) là phổ của tốn tử
T ∈ L(X). Khi đó số

r(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}

được gọi là bán kính phổ của tốn tử T .
Định lý 1.2.11. (Cơng thức tính bán kính phổ, xem [6] trang 158)
Cho T là tốn tử tuyến tính bị chặn trong khơng gian Banach X. Khi đó bán kính phổ
r(T ) của tốn tử T được tính bởi cơng thức sau
r(T ) = lim

n↓∞

12

n

Tn .


D. Ví dụ về phổ của tốn tử Volterra
Cho k(t, s) là một hàm liên tục hai biến trên tập
D := { (t, s) : a

t

b, a

s

t} .

Với một hàm f cho trước trên đoạn [a, b], phương trình sau đây được gọi là phương
trình tích phân Volterra loại 2
t

x(t) = f (t) +

k(t, s)x(s)ds,

(1.5)

a

trong đó x(t), t ∈ [a, b] là hàm cần xác định. Trong mục này ta sẽ ứng dụng lý thuyết

phổ được trình bày ở trên để tìm phổ của tốn tử Volterra
t

(Ax)(t) =

k(t, s)x(s)ds.

(1.6)

a

Với tốn tử A xác định trong 1.6, phương trình 1.5 có thể được viết thành:
(I − A)x = f.

(1.7)

Vì vậy việc tìm phổ của tốn tử A có ý nghĩa đối với việc giải được và giải nghiệm cụ
thể của phương trình 1.5.
Đặt K = max |k(t, s)|. Xét dãy { xn (t)}
(t,s)∈D

n

xác định bởi:

t

k(t, s)x(s)ds,

x1 (t) =
a
t

k(t, s)x1 (s)ds,

x2 (t) =
a

.................................
t

xn (t) =

k(t, s)xn−1 (s)ds.
a

13


Với mọi t ∈ [a, b], ta có:
t

|x1 (t)|

a

|k(t, s)| |x(s)| ds

K(t − a) x ,

t

|x2 (t)|

K(s − a) x ds =K

K

2 (t

− a)2
x ,
2

a

.................................
t

|xn (t)|

K n−1

K
a

(s − a)n−1
(t − a)n

x ds =K n
x .
(n − 1)!
n!

Hiển nhiên theo định nghĩa của tốn tử A ta có: xn (t) = An x(t). Vì t ∈ [a, b] nên
K n (b − a)n
x .
n!

An x
Suy ra

K n (b − a)n
.
n!

n

A

(1.8)

Áp dụng cơng thức tính bán kính phổ ở định lý 1.2.11 cho 1.8 ta có:
r(A)

K(b − a)
√
= 0.
n

n↓∞
n!
lim

Vậy r(A) = 0. Theo định lý 1.2.9, σ(A) = ∅ nên λ = 0 ∈ σ(A). Vậy σ(A) = { 0}.

Một trong những ý nghĩa của việc xác định được phổ của toán tử Volterra ở trên

là toán tử I − A khả nghịch và do đó phương trình tích phân Volterra 1.7 có nghiệm
duy nhất x = (I − A)−1 f.

1.3

Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi
phân trong khơng gian Hilbert

Trong phần này, chúng tơi sẽ trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định
của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo hai phương pháp
của Lyapunov, đó là phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Lyapunov. Trước hết, ta cần nhắc lại khái niệm phương trình vi phân trong khơng gian
Hilbert cũng như nghiệm của nó và một số định lý cơ bản về sự có nghiệm của phương
trình này.
14


1.3.1

Phương trình vi phân trong khơng gian Hilbert

Cho H là khơng gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân

dx(t)
= f (t, x(t)),
dt

(1.9)

trong đó f : R+ × H → H, t ≥ 0; x(.) ∈ H.

Từ nay về sau, nếu khơng nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của phương trình (1.9) là

nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.3.1. Hàm trừu tượng x = x(t)(x : I −→ H; I ⊂ R+ ) xác định trên I,

khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.9) nếu khi ta thay nó vào (1.9) sẽ

thu được một đồng nhất thức trên I, tức là
dx(t)
= f (t, x(t))
dt
trong đó

với mọi t ∈ I,

dx(t)
là đạo hàm được hiểu theo nghĩa Fretche.
dt

Bài tốn Cauchy:

Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.9) thỏa mãn điều

kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × H cho trước.

Tương ứng với phương trình (1.9), người ta thường xét phương trình dạng tích

phân:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.

(1.10)

t0

Nhận xét:

Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của

(1.10) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Sau đây tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về sự có nghiệm của bài tốn Cauchy.
Định lý 1.3.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x) liên tục
theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M||x2 − x1 ||

(1.11)

(M là hằng số hữu hạn).

Khi đó tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận đó (1.9) có duy nhất nghiệm x = x(t)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
Chứng minh xem [2], định lý 2.1 trang 187.
Chú ý:

Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t0 || ≤ ǫ , ||x − x0 || ≤ η với ǫ, η

đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b].
15


Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất nghiệm tồn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏa

mãn điều kiện Lipschitz (1.11). Khi đó với mọi (t0 , x0 ) ∈ [a, b] × H, bài tốn Cauchy

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
Chứng minh xem [2], định lý 2.2 trang 188.

Định lý 1.3.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện
||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r
r0

dr
→ ∞ khi r → ∞.
L(r)

Khi ấy mọi nghiệm của phương trình (1.9) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vơ
hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh xem [2], định lý 2.3 trang 189.

1.3.2

Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân
trong khơng gian Hilbert

Giả sử H là khơng gian Hilbert tách được;
D = {(t, x) ∈ (a, b) × H : |t − t0 | ≤ T ; ||x − x0 || ≤ r}.
Xét phương trình vi phân
dx(t)
= f (t, x(t)),
(1.12)
dt
trong đó t ∈ R+ ; x ∈ H; f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = 0 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho:

Với mọi (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ D thì ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||.

Trước hết chúng ta nêu một số định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường.
Ký hiệu:
G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞};

x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của phương trình ( 1.12) thỏa mãn điều kiện
ban đầu x(t0 ) = x0 (x0 ∈ G).
16

Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu :

∀ǫ > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ(t0 , ǫ) > 0 : ∀x0 ∈ G; ||x0 || < δ → ||x(t, t0 , x0 )|| < ǫ; ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi nếu số δ trong định nghĩa (1.3.2) không phụ

thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu :

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định;

(ii) Tồn tại △ = △(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0 || < △ thì
lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0.

t→+∞

Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều;

(ii) Tồn tại △ > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn
||x0 || < △ thì

lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0.

t→+∞

Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t0 , x0 ) của (1.12) thỏa
mãn

||x(t, t0 , x0 )|| ≤ B||x0 ||e−α(t−t0 )
trong đó B, α là hằng số dương nào đó khơng phụ thuộc vào (t0 , x0 ).
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ta thường dùng hai phương
pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov và phương pháp thứ hai
Lyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov.
Trước hết tơi sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản về tính ổn định của nghiệm
tầm thường của phương trình vi phân trong khơng gian Hilbert theo phương pháp hàm
Lyapunov.

17


1.3.3

Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp
hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.3.7. (Phiếm hàm Lyapunov)
Ta nói phiếm hàm V : R+ × H → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và

thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.

.

Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.12), kí hiệu là V (t, x) được xác định
bởi

1
{V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}.
h→+∞ h
Kí hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.
.

V (t, x) = lim

Định lý 1.3.4. (Định lý ổn định, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và hàm a(.) ∈ CIP

thỏa mãn các điều kiện:
(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
.

(iii) V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) là ổn định.
Định lý 1.3.5. (Định lý ổn định đều, xem [9].)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm

a(.), b(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);
.

(ii) V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định đều.

Định lý 1.3.6. (Định lý ổn định tiệm cận đều, xem [9].)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm

a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);
.

(ii) V (t, x) ≤ −c(||x||).
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định tiệm cận đều.
Phương pháp hàm Lyapunov được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính

các hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến. Tuy nhiên việc xác định hàm Lyapunov nói
chung là khó. Vì vậy để nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình vi phân người
ta cịn sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra
một số định lý về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có
nhiễu trong khơng gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov.
18


1.3.4

Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến
tính có nhiễu trong khơng gian Hilbert theo phương
pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov

A. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất trong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert. Trong H, xét phương trình

dx
= A(t)x.
dt

(1.13)

Giả sử tốn tử A(t) với mỗi giá trị cố định của t là một toán tử tuyến tính giới nội và
hàm tốn tử A(t) liên tục theo t khi t ≥ 0.

Do đó, theo định lý 1.3.1 phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất
nghiệm với bài toán giá trị ban đầu; còn theo định lý 1.3.3 tất cả các nghiệm của
phương trình này đều thác triển khơng giới nội được trên nửa khoảng thời gian vô hạn.
Trong không gian L(H) ta xét phương trình
.

(1.14)

U = A(t)U,

trong đó U(t) là hàm toán tử lấy giá trị trong L(H). Giả sử U(t) là nghiệm của phương
trình 1.14 thoả mãn điều kiện U(0) = I, ta chứng tỏ tồn tại toán tử ngược U −1 (t).
.

Thật vậy, ký hiệu V (t) là nghiệm của phương trình V = −V A(t) thoả mãn điều kiện
V (0) = I. Đặt W1 (t) = V (t)U(t). Suy ra
.

.

.

W1 (t) = V (t) U (t) + V (t)U(t) = V AU − V AU = 0.
.

Do đó W1 (t) là toán tử hằng số và bằng I. Đặt W2 (t) = U(t)V (t), ta có
.

.

.

W2 (t) = U V (t) + U V (t) = AUV (t) + U(−V A)(t) = AUV (t) − UV A(t).
.

.

Vậy W2 = AW2 − W2 A. Phương trình cuối cùng này nhận W2 (t) = I là nghiệm. Theo
tính chất duy nhất nghiệm, mọi nghiệm bất kỳ khác xác định bởi điều kiện W2 (0) = I
cũng phải trùng với nghiệm này. Vậy W2 (t) = I. Suy ra UV = V U.
Đặt W (t, t0 ) = U(t)U −1 (t0 ) thì W (t, t0 ) được gọi là tốn tử Cauchy của phương
trình 1.13. W (t, t0 ) có tính chất W (t, t1 )W (t1 , t0 ) = W (t, t0 ). Dễ thấy, nghiệm của
phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện x(t0 ) = x0 có thể viết dưới dạng x(t) =
W (t, t0 )x0 .
Trong trường hợp đặc biệt, khi A(t) = A, A ∈ L(H), ta sẽ chỉ ra U(t) = eAt . Toán

tử mũ eAt được xác định như sau

19

Định nghĩa 1.3.8. Với A là tốn tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, ta
định nghĩa

∞
tA

e

=
n=0

(tA)n
n!

(1.15)

với mỗi t ≥ 0. (Qui ước 0 = I.)
0

Chú ý: Chuỗi

∞

n=0

(tA)n
n!

hội tụ vì

(tA)n
n!

n

tn A
n!

với mọi t

0

tn A n
hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert. Do đó chuỗi
n!
n=0
trong L(X). Vì vậy etA hồn toàn được xác định.

và chuỗi số

∞

(tA)n
hội tụ
n=0 n!
∞

Bây giờ, xét phương trình vi phân tuyến tính trong khơng gian Hilbert H
.

x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t

0;

(1.16)

với A : H → H là tốn tử tuyến tính giới nội. Ta sẽ chứng minh etA x0 là nghiệm của
phương trình 1.16 thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 . Trước hết ta cần có mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.3.1. Với A là tốn tử tuyến tính giới nội trên khơng gian Hilbert H, xác
định etA bởi 1.15. Khi đó, ánh xạ
R+

t → T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)

liên tục và thoả mãn
T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ 0,
e0A = I.

(Ký hiệu R+ là tập các số thực không âm.)
Chứng minh. Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi luỹ thừa:
∞

∞

∞
n

n

an x
n=0

bn x

cn xn

=
n=0

n=0

với cn = a0 bn + a1 bn−1 + ... + an b0 , ta có:
∞

T (t)T (s) =
n=0
∞

(tA)n
n!
cn An

=
n=0

20

∞

n=0

(sA)n
n!


với
1
cn =
n!
=
Vậy

n

k=0

n!
tk sn−k
k!(n − k)!

1
(t + s)n .
n!
∞

T (t)T (s) =
n=0

[(t + s)A]n

= T (t + s).
n!

Khi đó, ta có
e(t+h)A − etA = etA (ehA − I)
với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh T (T ) liên tục, ta chỉ cần chỉ ra
(1.17)

lim ehA = I.
h↓0

Đẳng thức 1.17 được suy từ đánh giá sau
∞

ehA − I =

k=1
∞

k=1

hk Ak
k!

|h|k A
k!

k

= e|h|·

A

− 1.

Vậy mệnh đề được chứng minh.
Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng etA x0 là nghiệm của phương trình 1.16 thoả mãn
điều kiện ban đầu x(0) = x0 .
Định lý 1.3.7. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên khơng gian Hilbert H, xác
định etA bởi 1.15. Khi đó, ánh xạ
R+

t → T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)

khả vi và thoả mãn
d
T (t) = AT (t) với t ≥ 0,
dt
T (0) = I.
Chứng minh. Theo mệnh đề trên ta có
T (h) − I
T (t + h) − T (t)
=
· T (t)
h
h
21


với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra

lim
h↓0

T (h) − I
= A.
h

Đẳng thức trên được suy ra từ đánh giá sau
T (h) − I
−A
h

∞

A
k=2

|h|k−1 A
k!

A (e|h|·

k−1

− 1) → 0 khi h → 0.

A

Vậy định lý được chứng minh.
Kết quả sau đây được trích dẫn từ tài liệu [4].

Định lý 1.3.8. (Định lý Lyapunov về ổn định mũ của phương trình vi phân)
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình 1.16 ổn định mũ nếu một trong các mệnh
đề sau được thoả mãn.

(i) r(eA ) < 1, ở đây r(eA ) là bán kính phổ của tốn tử eA .
(ii) σ(A) ⊂ {z ∈ C : Rez < 0}.
B. Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không
gian Hilbert
Trong phần này ta xét mối liên hệ về sự ổn định của nghiệm tầm thường của
phương trình thuần nhất và khơng thuần nhất. Giả sử W (t, t0 ) = U(t)U −1 (t0 ) là toán
tử Cauchy của phương trình 1.13. Dễ thấy, nếu có bất đẳng thức
||W (t, t0 )|| ≤ Be−α(t−t0 )

(1.18)

trong đó B, α là hằng số dương nào đó, khơng phụ thuộc vào t0 thì đây là điều kiện
để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.13) ổn định theo số mũ.

Tương ứng với phương trình thuần nhất 1.13, ta xét phương trình khơng thuần

nhất

dx
= A(t)x + u(t),
dt
trong đó u(t) là hàm lấy giá trị trong H. Nghiệm của phương trình này có thể nhận
được theo cơng thức Cauchy:
t

W(t, s)u(s)ds

x(t) = W (t, t0 )x0 +
t0

mà ta có thể dễ dàng nghiệm lại bằng cách thử trực tiếp.
22


Xét phương trình

dx
= A(t)x(t) + R(t, x(t)),
(1.19)
dt
trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính giới nội, liên tục theo t; R(t, x(t)) là hàm thỏa mãn
điều kiện R(t, 0) = 0 và
||R(t, x)|| ≤ L||x|| trong miền G.

(1.20)

Để xét sự ổn định của phương trình 1.19 ta cần tới các bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall, xem [3]) Giả sử u, m : R+ → R+ \{ 0} là các hàm

liên tục. Khi đó nếu

t

u(t)

c+

(t ≥ t0 , c > 0)

m(τ )u(τ )dτ
t0

thì ta có

t

u(t)

m(τ )dτ } .

c. exp {
t0

Bổ đề 1.3.2. Giả sử u(t) là một hàm liên tục thoả mãn khi t > t0 bất đẳng thức
t

(η + Lu(t))dt

0 < u(t) < δ +
t0

trong đó δ, η, L là những hằng số và δ ≥ 0, η ≥ 0, L > 0. Khi đó ta có bất đẳng thức:
u(t) <

η L(t−t0 )
(e

− 1) + δeL(t−t0 ) .
L

Chứng minh, xem [2], bổ đề 1.1, trang 11.
Định lý 1.3.9. (Về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất)
Nếu điều kiện (1.20) và (1.18) được thỏa mãn và ngoài ra nếu các hằng số α, B, L
thỏa mãn bất đẳng thức
λ = α − BL > 0

(1.21)

thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.19) sẽ ổn định mũ.
Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương trình
(1.13)
t

x(t) = W (t, t0 )x0 +

W (t, τ )R(τ, x(τ ))dτ.
t0

23

(1.22)


Từ các điều kiện(1.20) và (1.18) ta có đánh giá
t

||x(t)|| ≤ B.e−α(t−t0 ) ||x0 || +

t0

BL.e−α(t−s) ||x(s)||ds.

(1.23)

Nếu đưa vào ký hiệu ϕ(t) = eαt ||x(t)|| thì từ ( 1.23) ta suy ra
t

ϕ(t) ≤ Beαt0 ||x0 || + BL

ϕ(s)d(s).
t0

Từ đó theo bổ đề 1.3.2 ta nhận được
ϕ(t) ≤ eBL(t−t0 ) Beαt0 ||x0 ||.
Vậy ta có:
||x(t)|| ≤ Be(BL−α)(t−t0 ) ||x0 ||.

(1.24)

Vì BL − α < 0 nên ta có sự ổn định theo số mũ cần chứng minh.
Cùng với toán tử tuyến tính A(t) bây giờ ta xét tốn tử tuyến tính F (t) khác.
Hệ quả 1.3.1. Giả sử bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn và có bất đẳng thức
||F (t)|| ≤ L

(0 ≤ t < ∞).

Ngoài ra, nếu các đại lượng α, B, L thỏa mãn điều kiện (1.21) thì nghiệm tầm

thường x ≡ 0 của phương trình

dx
= (A(t) + F (t))x
dt

(1.25)

ổn định theo số mũ.
Định lý 1.3.10. Giả sử H là khơng gian Hilbert. Xét phương trình
dx
= A(t)x + ψ(t, x) + g(t, x),
dt
trong đó ψ, g : R+ × H → H thoả mãn các điều kiện sau:

(i) ψ(t, x)

L x , ψ(t, 0) = 0;

(ii) g(t, x)

ϕ(t) x , g(t, 0) = 0,

+∞

ϕ(t)dt < +∞.
0

Ký hiệu W (t, s) là tốn tử Cauchy của phương trình
dx

= A(t)x.
dt
Khi đó nếu tồn tại các số dương c và λ sao cho
W(t, s)

ce−λ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0

thì nghiệm x(t) = 0 của phương trình 1.26 ổn định tiệm cận nếu cL < λ.
24

(1.26)


Chứng minh. Giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình 1.26 thoả mãn điều kiện
ban đầu x(t0 ) = x0 . ta có
t

W(t, τ )[ψ(τ ,x(τ )) + g(τ ,x(τ ))]dτ

x(t) = W(t, t0 )x(t0 ) +

với t ≥ t0 ≥ 0.

t0

Vậy
t

W(t, t0 )

x(t)

W(t, τ )

x(t0 ) +

ψ(τ ,x(τ ) dτ

t0
t

W(t, τ )

+

g(τ ,x(τ ) dτ

t0
t
−λ(t−t0 )

ce

ce−λ(t−τ ) L x(τ ) dτ

x(t0 ) +
t0
t

ce−λ(t−τ ) ϕ(τ ) x(τ ) dτ.

+
t0

t

t

Suy ra

x(t) eλt

eλτ ϕ(τ ) x(τ ) dτ

eλτ L x(τ ) dτ + c

ceλt0 x(t0 ) + c

t0

t0
t

(L + ϕ(τ )) x(τ ) eλτ dτ.

ceλt0 x(t0 ) + c
t0

Áp dụng bổ đề Gronwall ta có
t

x(t) eλt

ceλt0 x(t0 ) exp{c

(L + ϕ(τ ))dτ }.
t0

Suy ra
t

x(t)

−λ(t−t0 ) cL(t−t0 )

c x(t0 ) e

e

exp{c
t0

ϕ(τ )dτ }

+∞

ce−(λ−cL)(t−t0 ) exp{c

ϕ(τ )dτ } x(t0 )
0

−(λ−cL)(t−t0 )

cMe
với M = exp{c

+∞
0

ϕ(τ )dτ } < +∞ (do
x(t)

x(t0 )

+∞

ϕ(t)dt < +∞). Với cL < λ, ta có

0

cM x(t0 )
25