Đề HSG toán 7 nam học 2016 2017

PHÒNG GD-ĐT BỐ TRẠCH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017

SBD:

Mơn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1 (2 điểm): Thực hiện tính
3

  1 2
1
 1 
a) 6.    3.    1 : (  1
3
 3 
  3



2

2017
�2 � � 3 �
� �. � �.  1
�3 � � 4 �
b)
2

3
�2 � � 5 �
 �
� �. �
�5 � � 12 �

Câu 2 (2 điểm):
a) Tìm số nguyên a để

a2  a  3
là số nguyên
a 1

b) Cho 4 số nguyên dương a, b, c và d thoả mãn a 2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh
rằng a + b + c + d là hợp số.
Câu 3 (2 điểm)
1  3y 1  5y 1  7 y


12
5x
4x
2
2
b) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mãn x  2 x  y  9 = 0

a) Tìm x, y biết

Câu 4 (1,5điểm)
�x  1 khi x �1

� x  1 khi x  1

a) Cho hàm số y = f(x) = �
* Viết biểu thức xác định f
* Tìm x khi f(x) = 2
b) Cho hàm số y =

2
x
5

* Vẽ đồ thị hàm số
* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hồnh độ M (giải bằng tính
tốn).
Câu 5 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia
MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
�
�
c) Từ E kẻ EH  BC  H �BC  . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o .
�
�
Tính HEM
và BME
--------------------------- Hết -------------------------------

PHÒNG GD-ĐT BỐ TRẠCH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
Mơn thi: Tốn

Câu

Biểu
điểm

Đáp án
a)

Câu 1
(2 đ)

2
�� 1�
� 1 � �� 1 �
6.

 � 1�: �
  1�
� � � 3. �
� � 3 � � 3 � �� 3 �
�1
�4
�

6.  1  1 �
:
�9
�3
8 3
 .  2
3 4
3
2
2
2017
�2 � � 3 �
23 32
.

.

1


� �� �
 3. 4
�3 � � 4 �
b)
= 32 2 3
2
3
2 5
�2 � � 5 �
 2. 3 6

 �
� �. �
5 32
�5 � � 12 �
1

3 2
6  2 .3  72
= 5
5
5
 3 4
32

0,5
0.5

0,5
0.5

3
a 2  a  3 a (a  1)  3
a 
a) Ta có :
=
a 1
a 1
a 1
2
3

a a 3
vì a là số nguyên nên
là số nguyên khi
là số nguyên hay a+1
a 1
a 1

là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
a
-4
-2
Vậy với a   4, 2,0,2 thì
Câu 2
(2
điểm)

1
0

3
2

a2  a  3
là số nguyên
a 1

b) Với mọi số nguyên n thì n2 - n = n(n-1) là số chẵn.

Do đó a2 + b2 + c2 + d2 – (a + b + c + d) là số chẵn
Vì a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 =2(a2 + b2) là số chẵn
Vậy a+b+c+d là số chẵn
Vì a, b, c, d  Z  nên a + b + c + d là hợp số.
1  3 y (1) 1  5 y (2) 1  7 y (3)


12
5x
4x

a. Tìm x biết
Câu 3
(2điểm
- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
(4)
(1)
)
1 3y
1  7 y (3) 2  10 y
12



4x



12  4 x

- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)
 6+2x =5x  x = 2

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0.5
0.25


0.25

1
15
2
2
b. Vì x  2 x 0 và y  9 0
 x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0

Và từ đó tính được y= 

0.25
0.25
0.5

từ đó tìm các cặp (x;y) =(0 ;-3) ; (0 ;3); (2 ;-3); (2 ;3)
a. - Biểu thức xác định f(x) = x  1
- Khi f(x) = 2  x  1 = 2 từ đó tìm x =1 , x=-3
b. - Vẽ đồ thị hàm số y =
Câu 4
(1.5
điểm)

0,5
0,25

2
x
5

0,25

x 0 5
O (0;0)
y 0 2
A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ

0.25

0,25

2
 OA là đồ thị hàm số y= x

5
2
2
- M  đồ thị y = x  -2 = x  x = -5
5
5

Câu 5
(2,5
điểm)

Vẽ hình
A

I
M

B

C
H

K

E

a/ Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
�
�

(đối đỉnh )
AMC = EMB
BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c )
� AC = EB

0,5


�
�
Vì AMC = EMB � MAC
= MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường
thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
b/
Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
� = MEK
�
( vì AMC  EMB )
MAI
AI = EK (gt )
Nên AMI  EMK ( c.g.c )
�
Suy ra �
AMI = EMK
� = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
Mà �

AMI + IME
�
� = 180o
� EMK
+ IME
� Ba điểm I;M;K thẳng hàng
� = 90o ) có HBE
�
c/ Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
�
�
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
� HEB
�
�
�
= HEB
- MEB
= 40o - 25o = 15o
� HEM
�
là góc ngồi tại đỉnh M của HEM
BME
�
�
�
Nên BME
= HEM

+ MHE
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )

0,25

0,5

0,5
0.25
0.25
0.25

Lưu ý:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài, học sinh có thể giải cách
khác, nếu đúng và chặt chẽ thì cho điểm tối đa bài đó.
- Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước trước thì cho điểm 0 đối với những bước
giải sau có liên quan.
- Ở bài hình, nếu khơng vẽ hình phần nào thì khơng chấm điểm cho phần đó.
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần khơng làm trịn.