SKKN phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT bình xuyên

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1.

Lời giới thiệu
Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình

Giải tích 12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho
học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức.
Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số
phức với đủ các mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Do
đó, việc dạy học giải bài tốn này cũng là một trong những nội dung ôn thi
THPT Quốc Gia của các trường THPT. Tuy nhiên, do thời lượng dạy học nội
dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển
nhiều phương pháp giải toán cho học sinh. Trong các phương pháp giải toán số
phức, nếu tiếp cận bài tốn dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những lời
giải hay và hiệu quả cho bài tốn đó.
Vì vậy, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là “Phát triển năng lực
giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT
Bình Xuyên”.
2.

Tên sáng kiến

Phát triển năng lực giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học
sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
3. Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Đào Thùy Linh
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
Số điện thoại: 0914262612 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Bà Đào Thùy Linh - GV Tốn trường THPT Bình Xun.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực dạy học bộ mơn Tốn: cụ thể là
dạy học giải bài tập toán học. Sáng kiến được đưa ra nhằm giải quyết vấn đề
phát triển năng lực giải bài tập toán học cho học sinh.
1


6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp
dụng thử Ngày 06 tháng 04 năm 2019.
7.

Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1. Về nội dung của sáng kiến
Ngoài các phần: mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, sáng kiến
kinh ngiệm gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Phát triển năng lực giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học
cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Phát triển năng lực giải bài tập toán học
1.1.1. Năng lực giải bài tập toán học
Theo Trần Thúc Trình, năng lực là đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành hiệu quả loại hoạt động đó.
Năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc
điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo
điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương

đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Năng lực giải bài tập toán học là khả năng áp dụng áp dụng tiến trình thực
hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, địi hỏi khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện.
Giải bài tập toán học vừa là mục đích vừa là phương tiện của việc dạy học
mơn Tốn. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngơn ngữ. Nhờ quá trình tập luyện ấy mà năng lực giải bài
tập tốn học của học sinh được hình thành và phát triển.
2


Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-

Ba là: biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác

-

Bốn là: biết phân tích lời giải bài toán.

Cũng như năng lực giải bài tập toán học, năng lực giải bài tập số phức
được xem như khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn
vào hoạt động giải bài tập số phức. Ở đây, ta có thể hiểu năng lực giải bài tập số
phức không chỉ giới hạn ở khả năng giải quyết những bài tốn về số phức mà
cịn ở cả khả năng biết sử dụng số phức như một công cụ giải toán.
1.1.2. Phát triển năng lực giải bài tập toán cho học sinh
Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-

Ba là: biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác

-

Bốn là: biết phân tích lời giải bài tốn.

Từ đó, để học sinh có được năng lực giải tốn và phát triển năng lực ấy thì

người thầy cần cho học sinh tập luyện những hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện tư
duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tư duy thuật
giải, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo,... Theo định hướng đổi mới
phương pháp dạy học thì các loại hình tư duy này được rèn luyện qua bốn bước
giải toán của G.Polya dưới tác động của các biện pháp hoạt động hóa người học.
Một số hoạt động để GV cho HS tập luyện nhằm phát triển năng lực giải
toán theo bốn bước giải toán của G.Polya gồm:
3


-

Hoạt động phân tích đề bài, tìm tịi suy đốn, phát biểu bài tốn theo

nhiều cách khác nhau hay tìm sự liên quan giữa các bài toán.
Hoạt động tiếp cận những tri thức phương pháp giải toán và thực hiện
các thao tác như: quy lạ về quen, phân chia trường hợp,…
-

Hoạt động luyện tập trình bày lời giải một bài tốn từ cách giải tìm

được; hoạt động theo dõi lời giải cho trước để đánh giá lời giải đó, tìm sai lầm
và sửa chữa sai lầm nếu có.
-

Hoạt động tư duy bao gồm: lật ngược vấn đề, khái quát hoá, đặc biệt

hoá bài toán, khai thác các lời giải của bài tốn để đề xuất những bài tốn mới
hoặc tìm hướng giải cho những bài toán khác, giải bài toán theo nhiều cách khác
nhau…

1.1.3. Đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải tốn cho học sinh
Thầy cơ giáo cần trang bị đầy đủ các tri thức về phương pháp giải tốn
cho HS bao gồm: quy trình giải tốn theo 4 bước của G.Polya và những tri thức
phương pháp về nội dung toán học cụ thể. Đặc biệt, đối với những bài tốn chưa
có hoặc khơng có thuật giải: GV thường thông qua dạy HS giải một số bài toán
cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới kĩ thuật giải một lớp
các bài toán có dạng quen thuộc.
Học sinh phải được rèn luyện thường xun kĩ năng giải tốn thơng qua
củng cố, luyện tập giải các bài toán trong từng dạng hoặc cùng sử dụng một
phương pháp giải theo các mức độ năng lực tăng dần: nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao .
1.2. Bài tập toán và dạy học giải bài tập tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập trong q trình dạy học.
Bài tập tốn học có vai trị là giá mang hoạt động của HS. Khi giải bài tập,
HS phải thực hiện những hoạt động bao gồm: nhận dạng thể hiện, những hoạt
động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong tốn học, những hoạt
động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.
Trong dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về phương
pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dụng
4


mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức, giúp GV nắm bắt
được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya về cách thức giải toán, phương pháp chung để giải bài tốn gồm 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
Một lời giải bài toán cần thỏa mãn các yếu tố: kết quả đúng kể cả các
bước trung gian; lập luận chặt chẽ; lời giải đầy đủ; ngơn ngữ chính xác; trình
bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Nếu bài tốn có nhiều cách giải thì lời giải trình
bày theo cách ngắn gọn, hợp lý.
1.3. Mục tiêu của phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ
Hình học cho học sinh
a) Về kiến thức:
- Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan.
- Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của
một số phức và modun của số phức.
- Tri thức phương pháp giải bài tốn tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập
hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài tốn tìm

GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình
học. b) Về kĩ năng:
Rèn luyện kĩ năng giải toán số phức gồm:
- Giải bài toán điểm biểu diễn của một số phức.
- Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước .
- Giải bài toán min – max biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học.
c)

Về tư duy, thái độ:

- Phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo.

- Phát triển năng lực sử dụng hình học vào giải bài tập số phức.
- Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ.
5


Chương 2: Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc
độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
2.1. Lý thuyết
2.1.1. Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:
Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b
+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z |
+ Số phức liên hợp :
+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là : M(a ; b).
+
Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau.
b)

Các phép toán đối với số phức

Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và
nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.
 Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z z ' ( a a ') ( b b ')i .
z z ' ( a a ') ( b b ')i



Phép nhân số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' aa ' bb ' ( ab '



a ' b)i .

Phép chia hai số phức

Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
z1 z1 .z 2 z1 .z2
z 2 z 2 .z2 | z2 |2

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép tốn trên các số thực thì
cũng đúng trên các số phức.


Liên hợp của số phức

6


z

z
2

1

c) Phương trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có
+ Nếu

+ Nếu

+ Nếu
1,2

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;
+ Nếu
1,2

+ Nếu
a

+ Nếu
1,2

2.1.2. Các phép tốn về modun của số phức.
có:
1)

z

2) zz

3)
4)

.

z

z

2

.

z.z '
z

z
z

.
,z'

z'


z'

5)

z OM .

6)

z z ' MN .

z'

7


7) z z ' 2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
2.2. Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học
2.2.1. Bài tốn về điểm biểu diễn số phức
Cách giải: Số phức z
phẳng phức là M( a; b).
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức
A. z
C. z
Điểm M( 2;1)
Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z
(a,b
sau đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
B. M đối xứng với M qua Ox .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y
D. M đối xứng với M qua O .
Ta có M là điểm biễu diễn cho số phức
đối xứng với M qua Ox . Đáp án B

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức cho số phức z.
Biết OM = 5. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng
A.

z

C. zz
z

OM 5 nên chọn đáp án A.

Mức độ 2: Thơng hiểu
Câu 4: Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z


8


A.

Ta có z
Do đó điểm biểu diễn cho số phức z
Câu 5: Gọi
z
1

A.
Ta có: A(1; 2) ,
Câu 6: Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ
tự biểu diễn các số

tạo bởi ba điểm còn lại?
A. M.

Tọa độ các điểm: M(0; 1) ,
0

Dễ thấy

B.
Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z
0
1 i

và z '

2

A. Tam giác đều.
C. Tam giác nhọn.
Phân tích: Ở bài tốn này, nếu đặt z = a + bi (a, b

R) thi điểm

M(a;b) biểu diễn cho số phức z. Do nên ta tính được tọa độ M’ biểu

diễn cho z’. Tuy nhiên, tính tốn đại số như vậy rất dài nên ta có các cách sau
giải bài toán này:


Lời giải

Cách 1: Ta có
9


OM

z

Do z 0 nên tam giác OMM’ vuông cân tại M’.
Cách 2: Làm thủ thuật trắc nghiệm.
Thử chọn z 1
Dễ có OMM’ vng cân tại M’. Chọn D
Mức độ 3: Vận dụng
Câu 8: Gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1
z

3

2 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

A. 8.
Phân tích: Trong bài tốn này, việc gắn hình học vào bài tốn số phức là
bắt buộc khi cần tính yếu tố diện tích của một tam giác thơng qua nhận dạng tam
giác đó.
Lời giải
Ta có A(2;0) , B(0; 4) , C(2; 4) suy ra
Do

đó tam
1

S
ABC

CA.CB

2

Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có bài tốn sau:
Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số
phức z1 1 i , z 2 1 2i , z 3 2 i , z 4 3i . Gọi S là diện tích tứ giác Tính S .

A. S

17
2


Ta có z1
z4

10


AC (3;

trình AC : 2 x

A
1

3 D

Khoảng cách từ B đến AC là:

d( B; AC)

Khoảng cách từ D đến AC là:

d( D ; AC)

Vậy S S
Mức độ 4: Vận dụng cao
Câu 10: Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z
; iz và z i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mơ đun của
số phức z bằng
A.2 3.

B.3 2.

C.6.

D.9.

Phân tích: Việc dùng cơng cụ hình học ở bài toán này thể hiện ở ràng
buộc diện tích cho trước. HS phải biết đưa ràng buộc đó về biểu thức tính mơ
đun của z.
Lời giải
Gọi z a

Ta có: iz
Ta gọi A( a , b) ,
Vậy S

1

AB, AC

2

11


Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự là các điểm biểu diễn số
phức z 0 và z’. Biết rằng tam giác OMM’ vuông cân tại M’ (O là gốc tọa độ).
Hỏi phần ảo k của
A.

k

C. 0
Phân tích: Câu hỏi của bài tốn này khiến HS không thực hiện được các
cách giải trong câu 10 nên mức độ tăng cao hơn nhiều. Tuy nhiên, dấu hiệu sử
dụng cơng cụ hình học ở đây thể hiện ở chỗ

Giả sử z '

OM

2OM '

OM2MM '

Đặt

x

2.2.2. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải cơ bản:
- Đặt z x yi x , y . Khi đó điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z.
y.
-

Biến đổi đại số các điều kiện ở từng bài, thu được ràng buộc giữa x và

Dựa vào kiến thức hình giải tích trong mặt phẳng để kết luận về tập hợp

điểm M.
Các loại quỹ tích cơ bản:


a) Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng
Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải cơ bản trên.

Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuần ảo là?
12

A. Tia.

Phân tích: Dựa vào định nghĩa số
bằng 0 nên HS dễ dàng chọn đáp án C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z
A. Trục hoành.
C. Đường thẳng x = 2.
Phân tích: Trong bài tốn này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ
đơn giản để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z.
Đặt z

x yi x , y

Lời giải
z=x–yi, do đóz z 2i

y

1 . Đáp án D.

Tăng cường các bước tính tốn, ta có mức độ 3 của bài tốn này như sau:
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z thoả mãn điều kiện
A. Đường tròn tâm I(-3;0), bán kính bằng 2. B. Đường thẳng x
C. Hai đường thẳng.
Xét hệ thức: |z +
Đặt z x yi x , y
(1)  |(x+yi)+(x-yi)+3|=4

điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung: x =
Câu 4: Cho số phức z
diễn số phức z là?
A. Hai đường thẳng.


13


Gọi z
(1

Do (1
Vậy tập hợp các điểm
0 và y

x 1

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5:

Cho S là

nghiệm phức mà điểm biểu diễn của ngh

tâm O(0;0), bán kính bằng 2 đơn vị. Tín
A.
Phân tích: Bài tốn này trở nên khó hơn khi HS phải biết phân chia
trường hợp của tham số để tìm ra phần thực, phần ảo của z .

Ta có:
Trường hợp 1 :
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z
+ Với z

1

+ Với z

1

Trường hợp 2 :
Vì đây là phương trình hệ số thực có
nghiệm phức là liên hợp của nhau. Do đó:
z

Vậy m
Cách 2: Sử dụng phương pháp khác
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất
z z 1 z z2

hoặc những tính chất đưa được về nó.

2 z.

{


14

Cách giải:
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn

cho các số phức liên quan z1 , z 2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

- Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất
trung trực của AB .
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1:

Cho số phức z
số phức z
A. Hai đường thẳng.
C. Một đường thẳng.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
cho các số phức z1

Suy ra tập hợp M là đường trung tr
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2:

Cho số phức z

số phức z
A. Đường trịn tâm I(1; 2) , bán kín
B. Đường thẳng có phương trình 2

C. Đường thẳng có phương trình x

D. Đường thẳng có phương trình x

Chọn C
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
phức z1
z 1

z 2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số
trình x

3y

Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3:

Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm
z


15

A. y
C. y

Phân tích: Dấu hiệu nh
1 bước đưa về dạng
Cách 1:
Từ z x yi , x , y
Do đó
Cách 2:
z 2 i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm
diễn cho các số phức z1
Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB có phương trình y
Chọn đáp án D
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 4: Có bao nhiêu số phức z
A. 0.
Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thơng thường,
học sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z. Do đó,
HS cần biết các phép tốn về mơ đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng
z z1

Lời giải
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm
A(1;0),B(0;1),C(0; 3), D(0;
z1

1, z2

i,

Gọi số phức z
Ta có
AB có phương trình x – y =0.

z
z

i