Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính QCD cho sinh cặp squark trong quá trình hủy cặp e+e-

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Nguyễn Bá Linh

BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH
HỦY CẶP

e+e-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Nguyễn Bá Linh

BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH
HỦY CẶP

e+e-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01

Cán bộ hƣớng dẫn: TS. Toán lý Phạm Thúc Tuyền

Hà Nội – 2011


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4
CHƢƠNG I:

SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

I.1. Sự cần thiết của siêu đối xứng ........................................................................ 7
I.2. Susy .................................................................................................................. 9
I.3. Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm Susy ................................................... 13
I.4. Siêu khơng gian ............................................................................................. 17
I.5. Siêu trƣờng thuận tay ..................................................................................... 21
I.6. Siêu trƣờng vectơ ........................................................................................... 27
I.7. Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng ....................................................................... 32
CHƢƠNG II: MSSM TRONG CHUẨN ‟t HOOFT - FEYNMAN
II.1. Nội dung trƣờng trong MSSM ..................................................................... 39
II.2. Lựa chọn chuẩn và Lagragean tƣơng tác...................................................... 50
II.3. Kết luận về MSSM trong chuẩn ‟t HOOP -FEYNMAN ............................ 65
CHƢƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO SQUARK TRONG QUÁ
TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON - POSITRON
III.1. Các phƣơng trình cơ bản ............................................................................ 69
III.2. Hủy cặp e e trong SM .............................................................................. 73
III.3. Hủy cặp trong MSSM ................................................................................ 76
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 86

1


MỞ ĐẦU
Việc đƣa giả thiết Siêu đối xứng1 (viết tắt là SUSY) vào lý thuyết trƣờng
lƣợng tử [1] đã dẫn đến sự mở rộng Mơ hình tiêu chuẩn2 (viết tắt là SM) một
cách hấp dẫn nhất. Nó khơng những giữ ổn định [2] hệ thống thứ bậc giữa thang
tƣơng tác yếu với thang Planck của Mơ hình Thống nhất lớn (viết tắt là GUT)
ngay cả khi xét đến các bổ chính bức xạ. Nếu xét vi phạm ở thang năng lƣợng
tƣơng đối lớn, ví dụ nhƣ trong trƣờng hợp của Siêu hấp dẫn (viết tắt là SUGRA
[3]) ta có thể tìm đƣợc nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những số
hạng vi phạm bức xạ của đối xứng chuẩn [4]. Thêm nữa, các mơ hình SUSY cho
ta một trong những giải pháp tự nhiên đối với bài toán Vật chất Tối [5], và cho ta
một lý thuyết Thống nhất lớn tƣơng thích cho tất cả bốn loại tƣơng tác chứ
khơng bỏ sót tƣơng tác hấp dẫn nhƣ SM. Tất cả những đặc tính hấp dẫn nói trên
có thể tìm thấy trong Mơ hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (viết tắt là MSSM).
Hệ quả của tính siêu đối xứng là sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành cho
tất cả các hạt đã biết với spin sai khác 1/2. Siêu hạt đồng hành của hạt chất sẽ là
các hạt vô hƣớng slepton và squark. Siêu hạt đồng hành của các hạt trƣờng sẽ là
các hạt spinơ Majorana photino, Yang-Millsino (do hạt có ký hiệu W , Z 0 cho
nên chúng có thể đọc là Win và Zin và do đó, siêu hạt đồng hành sẽ là Wino và
Zino) và gluino. Siêu hạt đồng hành của các hạt Higgs là Higgsino. Nếu có hạt
graviton, truyền tƣơng tác hấp dẫn, siêu hạt đồng hành sẽ là gravitino.
Tuy vậy, cho đến nay chƣa có dấu hiệu trực tiếp nào chứng tỏ sự tồn tại
của siêu hạt đồng hành; Những tìm kiếm thực nghiệm chỉ cho ta giới hạn thấp
nhất của khối lƣợng của chúng (LEP [6],[7] và Tevatron [8]). Vì vậy, những
phép đo chính xác các bổ chính bức xạ có chứa siêu hạt đồng hành sẽ đóng vai
trị quan trọng. Những bổ chính quan trọng nhất là liên quan đến tƣơng tác mạnh,

tức là có xét những vịng của squark và gluino. Quá trình tốt nhất hiện nay để
thực hiện việc đo đạc đối với quá trình sinh cặp squark từ quá trình hủy cặp
1

Supersymmetry, viết tắt SUSY, là đối xứng mở rộng của khơng-thời gian. Nó đƣợc coi mở rộng nhƣ duy
nhất thỏa mãn định lý no-go của Sidney Coleman và Jeffrey Mandula.
2
Standard Model, viết tắt là SM

2


e+e−, bởi vì máy va chạm electron-positron đã đƣợc cải thiện và sẽ đƣợc vận
hành ở năng lƣợng cỡ TeV . Trong tƣơng lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC,
vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark.
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày những tính tốn bổ chính QCD
siêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó có
xét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và righthanded squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lƣợng khác khơng của
quark.
Nội dung chính của Luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng. Chƣơng
thứ nhất sẽ trình bày về SUSY và sự mở rộng SM thành lý thuyết chuẩn siêu đối
xứng SGFT (Supersymmetric Gauge Field Theory). Chƣơng thứ hai sẽ trình bày
một trong những mơ hình của SGFT là MSSM khi nhóm chuẩn là tích của ba
nhóm chuẩn của SM trong chuẩn ‟t Hooft-Feynman. Chƣơng thứ ba sẽ tính các
cơng thức bổ chính vịng cho q trình sinh cặp quark có tính đến đóng góp một
vịng kín của squark, gluino và thảo luận kết quả số với những kết quả thực
nghiệm thu đƣợc ở LEP. Các kết luận tóm tắt sẽ đƣợc trình bày ở phần kết luận.
Bổ chính SUSY QCD cho q trình sinh cặp squark ở phản ứng hủy e+e−
đã đƣợc thảo luận trong [9], [10] trong đó đã bỏ qua hiệu ứng pha trộn squark và
ảnh hƣợng của khối lƣợng quark.

Trong [11] cũng đã xét đến hiệu ứng của pha trộn squark và thấy rằng nó
rất nhỏ và có thể bỏ qua. Tuy vậy, ở đó chỉ tính đến sơ đồ cây. Trong luận văn
này chúng ta xét đến cả bổ chính một vịng kín. Ta cũng chỉ tính cho đóng góp
của gaugino tƣơng tác điện yếu và Higgs boson vì đóng góp một vịng kín của K
và B meson đã đƣợc tính trong [9] và cũng đƣợc coi là nhỏ.
Trong giới hạn khối lƣợng quark bằng khơng và khơng tính đến sự pha
trộn squark kết quả của chúng tôi trùng với [10] và [11]. Kết quả thực nghiêm
trên LEP [12] đã đƣợc dùng và thang năng lƣợng cho quá trình hủy e+e− là
s  500 GeV .

Các tính tốn số sẽ đƣợc thực hiện nhờ gói phần mềm FeynArts và
FormCalc do nhóm Hagen Eck and Sepp Küblbeck [13] thiết kế. Tuy nhiên, để

3


làm điều đó chúng ta phải tính bằng tay Lagrangian tƣơng tác trong một chuẩn
nhất định. Trong [1] đã làm điều đó cho chuẩn unitary và trong [4] đã làm điều
đó cho trƣờng thành phần nguyên thủy. Các kết quả trong những cơng trình trên
đã đƣợc dùng làm chuẩn để so sánh với kết quả mà chúng tôi thu đƣợc. Trong
luận văn này chuẩn đƣợc chọn là ‟t Hooft-Feynman và trƣờng trong lý thuyết là
trƣờng vật lý, nghĩa là đã xét đến sự pha trộn của các trƣờng nguyên thủy. Các
lựa chọn này có ƣu điểm là dễ so sánh với các kết quả thực nghiệm mà chúng tơi
có đƣợc.

CHƢƠNG I
SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

I.1

Sự cần thiết của siêu đối xứng.
Một trong những nguyên nhân dẫn đến giả thiết siêu đối xứng của thế giới

vật chất là tìm cách khử những phân kì xuất hiện trong tính toán các đại lƣợng
vật lý của lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Nếu lý thuyết trƣờng bất biến siêu đối xứng,
mỗi bậc tự do fermion sẽ tƣơng ứng với một bậc tự do boson và ngƣợc lại. Mặt
khác, vì sự đóng góp phân kỳ của hai bậc tự do này bằng nhau và trái dấu nhau,
cho nên, các phân kỳ đều tự khử, ít nhất là các phân kỳ bình phƣơng. Nhƣ vậy,
phân kỳ logarithm đƣợc khử nhờ đối xứng tƣơng đối tính, phân kỳ bình phƣơng
đƣợc khử nhờ siêu đối xứng [14].
Thêm vào nữa, trong mơ hình tiêu chuẩn, ngồi vật chất thơng thƣờng là
quark và lepton, ta cịn cần đến trƣờng Higgs H để sinh khối cho các hạt và cho
boson chuẩn (gauge boson) truyền tƣơng tác yếu, thông qua cơ chế Higgs. Tuy
nhiên, cơ chế Higgs chỉ đƣợc vận hành và cho kết quả đúng đắn khi thừa số m 2H
trong thế Higgs :
U  m2H H   H
2

4

4

1.1


là âm và có độ lớn cỡ - 100 (GeV)2. Độ lớn này cũng giải thích sự phân cấp
tƣơng tác diễn ra ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu. Tuy nhiên, vấn đề ở
chỗ, nếu xét đến bổ lƣợng tử cho m 2H khi trƣờng Higgs liên kết với một số
trƣờng trung gian khác, thì giá trị của m 2H sẽ trở lên lớn đến mức không thể chấp
nhận đƣợc. Khi xung lƣợng cắt ở vào cỡ khối lƣợng Plank, m 2H sẽ có bậc 30

10  lần lớn hơn bậc giá trị cần có.
30

Tuy nhiên, nếu xét đến bổ chính năng lƣợng riêng với sơ đồ một vịng kín
(Hình 1.1a), trong đó hạt ảo là fermion f, tƣơng tác với trƣờng Higgs bằng
Lagrangian -  f H f f , thì đóng góp vào m 2H sẽ có
m 
2
H

f

2

 2 2UV  6mf2 ln   UV / mf   ...
16
2

1.2

Nếu giả thiết tồn tại thêm một hạt bosson vô hƣớng s tƣơng tác với trƣờng Higgs
thông qua Lagrangian S H S thì sơ đồ (Hình 1.1b) sẽ đóng góp vào m 2H
2

2

thêm một lƣợng:
m2H 

S
  2  2mS2 ln   UV / mS   ...
2  UV
16

1.3

Hình 1.1. Sơ đồ năng lƣợng riêng của trƣờng Higgs
Nhƣ vậy, nếu cả hai hạt cùng tồn tại, tổng của (1.2) và (1.3) sẽ bằng
không nếu mỗi bậc tự do quark và lepton trong mơ hình tiêu chuẩn có “các bạn
đồng hành” là hai vơ hƣớng phức với S  f . Khi đó, sự rắc rối về phân kỳ sẽ
2

bị loại bỏ. Khối lƣợng trƣờng Higgs sẽ khơng bị phân kỳ khi tính đến bổ chính
bức xạ.

5


Xét trên khía cạnh nhận thức luận việc tồn tại đối xứng giữa các bậc tự do
spinơ và bậc tự do tensơ cũng là rất hợp lý. Rất khó giải thích vì sao trong tự
nhiên, một bậc tự do nào đó là ƣu tiên hơn so với bậc tự do khác. Hơn nữa,
ngƣời ta đã chứng minh rằng, siêu đối xứng là đối xứng cực đại của S - ma trận.
Khi đó, tự nhiên sẽ bị khống chế bởi nhiều sự ràng buộc hơn và do đó, ta có cơ
hội tìm lời giải thích hợp lí cho hiện tƣợng nhƣ giam cầm quark, lƣợng tử hóa
điện tích v.v….
Từ những lý do, mặc dù đến nay chƣa có bằng chứng nào về sự tồn tại của
các siêu hạt đồng hành, nhƣng lí thuyết trƣờng phải là tái chuẩn hóa và thực tế
về sự phân cấp tƣơng tác ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu là những luận cứ
có tính chất thuyết phục để chúng ta tin rằng, thế giới tự nhiên thực sự là siêu đối

xứng.

I.2

SUSY
Đối xứng ngoài của lý thuyết trƣờng tƣơng tác (S-ma trận) là nhóm

Poincaré, với 10 vi tử sinh boson là mơmen góc tổng qt M  và xung lƣợng
P . Cho lý thuyết trƣờng các hạt không khối lƣợng, số vi tử sinh sẽ tăng lên 15

vì nhóm đối xứng ngồi là nhóm bảo giác (conformal group). Tuy nhiên, chúng
vẫn chỉ là vô hƣớng, vectơ hay tensơ, mà ta gọi chung là vi tử sinh boson hay vi
tử sinh chẵn.
Nhóm đối xứng trong gồm các phép biến đổi tác dụng lên hàm trƣờng.
Chúng là các nhóm unitary U 1 liên quan đến bảo tồn điện tích, số baryon hay
số lepton, SU  2  liên quan đến isospin hay isospin yếu, SU  3 liên quan đến
hƣơng của quark. Theo định lý no-go, vi tử sinh của đối xứng trong luôn là các
vô hƣớng đối với nhóm đối xứng ngồi.
SUSY giả thiết rằng, bên cạnh các vi tử sinh vơ hƣớng của nhóm đối xứng
trong, ta cịn có một số vi tử sinh spinơ Qa , sao cho giao hoán tử của chúng với
vi tử sinh của nhóm đối xứng ngồi khác khơng. Chúng đƣợc gọi là vi tử sinh lẻ

6


hay fermion và là các spinơ Majorana. Phép toán Lie giữa chúng khơng phải là
giao hốn tử mà là phản giao hoán tử. Đại số giữa các vi tử sinh sẽ bao gồm các
giao hoán tử cho chẵn với chẵn, chẵn với lẻ, cịn sẽ là phản giao hốn tử cho các
lẻ với lẻ, thỏa mãn quy tắc sau đây:
[chẵn, chẵn]  chẵn, [chẵn, lẻ]  lẻ, {lẻ, lẻ}  chẵn

1.4

Đồng nhất thức Jacobi cũng đƣợc tổng quát hóa một cách tƣơng ứng, chú ý thêm
đến tính phản giao hốn của spinơ:
 B1 , B2  , B3    B2 , B3 , B1    B3 , B1 , B2   0
 B1 , B2  , F    B2 , F  , B1    F , B1 , B2   0

 B, F1 , F2   F1 , F2 , B   F2 , B1 , F1  0

1.5

F1 , F2 , F3   F2 , F3 , F1   F3 , F1 , F2   0

trong đó, vi tử sinh boson đƣợc ký hiệu là B , còn fermion đƣợc ký hiệu là F .
Bằng quy tắc nói trên và sử dụng đồng nhất thức Jacobi, ta có thể chứng
minh đƣợc rằng, ngồi những giao hốn tử quen thuộc của đại số Poincaré:
 P , P   0,

 M  , M    i  g  M   g M   g  M   g M   ,

1.6

 M  , P   i  g P  g P 

đại số SUSY trong trƣờng hợp có một vi tử sinh lẻ Q sẽ có thêm những hệ thức
mới:
 P , Q   0

Q , M        Q



Q ,Q   2  








7

P

1.7


trong đó,   i   ,    / 4 là vi tử sinh của biểu diễn nhóm Lorentz. Trƣờng
hợp có một vi tử sinh lẻ, đối xứng đƣợc gọi là siêu đối xứng, còn trƣờng hợp có
N  2,3,... vi tử sinh lẻ, siêu đối xứng đƣợc gọi là mở rộng. Trong luận án này ta

không xét đến siêu đối xứng mở rộng.
Để dễ kết hợp siêu đối xứng với đối xứng trong thông thƣờng, ta thƣờng
dùng không phải ngôn ngữ spinơ Dirac bốn chiều mà diễn đạt nó thơng qua
spinơ Weyl hai chiều của nhóm SL C,2  . Khi đó, thay cho vi tử sinh spinơ
Majorana Q bốn thành phần, ta sẽ có hai vi tử sinh spinơ Weyl hai thành phần
Q và Q , trong đó, dấu gạch ngang khơng cịn ý nghĩa của liên hợp Dirac. Q sẽ

là biểu diễn (0,1 / 2) , còn Q là biểu diễn (0,1 / 2) của nhóm SL  2, C  . Chỉ số của

Q sẽ khơng có chấm, trong khi, chỉ số của Q sẽ có chấm. Thay cho vectơ ba

thành phần của ma trận Pauli, ta dùng vectơ bốn thành phần:




   1,  ,    1,  

1.8

Chúng có một chỉ số có chấm và một chỉ số khơng chấm. Khi đó, hai biểu diễn
cơ bản của nhóm SL  2, C  sẽ có vi tử sinh là:

   i          / 4 ,    i          / 4

1.9

Vởi cách lựa chọn nhƣ vậy, đại số siêu đối xứng sẽ có dạng:
 P , Qa    P , Qa   0

Qa , M    i    Qb , Qa , M    i     Qb
a
a
b

b

1.10

Q ,Q   2  P , Q ,Q   Q ,Q   0
a

b

ab

a

b

a

b

Khi có đối xứng trong với vi tử sinh Tk thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Tk ,Tl   iCklmTm

1.11

trong đó, Cklm là hằng số cấu trúc của nhóm đối xứng trong. Nếu ta có nhiều vi tử
sinh lẻ làm thành một biểu diễn của nhóm trong, khi đó:

8


Qa , Tk   iSk Qa

1.12

với Sk là ma trận biểu diễn.
Do Q là toán tử spinơ, cho nên, tham số biến đổi  cũng phải là spinơ.
Khi đó, phép biến đổi siêu đối xứng sẽ có dạng expi Q , và phép biến đổi
siêu đối xứng vi phân sẽ là 1  i Q . Với trƣờng vô hƣớng A , ta có:

 A  i QA  i  Q, A  i Q, A

1.13

từ đó suy ra, Q, A là một spinơ. Nhƣ vậy, vi tử sinh lẻ biến trƣờng boson thành
trƣờng fermion, và ngƣợc lại, nó biến trƣờng fermion thành trƣờng boson. Vì lẽ
đó, ta thƣờng nói, phép biến đổi siêu đối xứng biến trƣờng boson thành fermion
và ngƣợc lại. Nếu cho trƣớc một đa tuyến fermion, để nó đóng kín đối với phép
biến đổi siêu đối xứng, ta phải mở rộng đa tuyến sao cho nó chứa cả thành phần
boson. Đa tuyến thu đƣợc bằng cách siêu đối xứng hóa nhƣ vậy, đƣợc gọi là siêu
đa tuyến. Siêu đa tuyến thu đƣợc từ một đa tuyến fermion, sẽ chứa thêm thành
phần boson, chúng có thể coi là thành phần của hạt boson đồng hành với hạt
fermion ban đầu. Tƣơng tự, nếu siêu đối xứng hóa đa tuyến boson, ta sẽ đƣợc
siêu đa tuyến có chứa thêm thành phần fermion. Các thành phần fermion tạo nên
hạt siêu đồng hành của hạt boson ban đầu. Kết quả là, nếu tự nhiên là siêu đối
xứng, mỗi hạt boson sẽ có hạt fermion đồng hành, ngƣợc lại, mỗi hạt fermion sẽ
có hạt boson đồng hành.
Từ (1.13) suy ra, hạt siêu đồng hành của hạt có spinơ 1/2 là hạt vơ hƣớng,
cịn hạt siêu đồng hành của hạt vectơ là hạt fermion có spin 1/2. Nhƣ vậy, tƣơng
ứng với mỗi hạton (xem Hình
3.2).
Đối với trƣờng hợp năng lƣợng rất cao s  m2 , me2 ta có các cơng thức gần
đúng sau đây:
  Q2

4 2
3s

d  2Q 2

1  cos2  
d
4s

3.9a

3.9b

Nếu tính đến N f hƣơng quark với điện tích Qi khác nhau và tính đến số
màu N c của chúng, trong (3.9) ta sẽ tính tổng theo các bậc tự do đó:

64




4 2
N c  Qi2
3s
i 1,..., N f

3.10

Hình 3.2 Góc  trong hệ quy chiếu khối tâm

Kết quả (3.9) đƣợc thực nghiệm xác nhận. Thay cho



ngƣời ta thƣờng quan

tâm đến tỷ số:

Re e

2 N c /3

3s
10 N c / 9,
2

 N c  Qi  
2
4
i 1,..., N f
11N c / 9,
5N / 3,
 c

N f  u, d , s
N f  u, d , s, c
N f  u, d , s, c, b, t

Hình 3.4 Kết quả thực nghiệm đối với

R

với các giá trị

Dựa vào kết quả cho bởi Hình 3.4, khi

s  1 102 GeV , R

công thức (3.10) với số màu của quark

Nc  3 .

III. 2. Hủy cặp e e trong SM

65

3.11

N f  u , d , s , c, b

s

khác nhau

có giá trị cỡ 5 , đúng nhƣ


Trong SM, ngồi photon, q trình hủy cặp electron-positron cịn sinh ra
boson trung hịa điện tích Z 0 . Do đó, thay cho một giản đồ nhƣ trong Hình 1 ta
sẽ có ba giản đồ nhƣ trong Hình 3 (chiều thời gian là từ trái sang phải):

Hình 3. Giản đồ mức cây của quá trình hủy cặp electron-positron trong SM
Nhƣ vậy, ngoài phản ứng   q  q , ta cịn có phản ứng Z  f  f , trong đó, f
là một fermion, nó có thể là lepton và cũng có thể là quark. Tuy nhiên, trong SM,
photon và Z  boson là các trạng thái khối lƣợng riêng sinh ra do sự pha trộn của
W3 và B :
 W3   cos  W


 B    sin  W




sin  W   Z  
 
cos  W   A 

3.12

trong đó,  W là tham số trộn, thƣờng đƣợc gọi là góc Weinberg. Nó sẽ đƣợc xác
định thơng qua thực nghiệm. Khi đó:
  

 

Lint   j   A  g 3 sin W  g y j cos W   Z   g 3 cos W  g y j sin W   j

 2


j
  2

3.13

trong đó yi là siêu tích của trƣờng tƣơng ứng còn g và g  là các hệ số tƣơng tác
tƣơng ứng với nhóm SU  2  và U 1 . Để SM cho ta kết quả của QED đối với
trƣờng A , ta phải có:
g sin  W  g  cos W  e,

Y
 Q  I3
2

và do đó, tƣơng tác giữa trƣờng vật chất với Z  boson sẽ là:

66

3.14


Lint Z  

e
2sin  W cos  W

J Z Z 

3.15

trong đó, J Z là dịng trung hịa:

J Z   j   3  2sin 2  WQ j  j  J 3  2sin 2  W J em

3.16

j

Ta đƣa vào hệ số liên kết trung hòa vectơ  f và giả vectơ a f cho trƣờng fermion
f nhƣ sau:



a f  I 3f ,  f  I 3f 1  4 Q f sin 2 W



3.17

Biểu thức cụ thể của chúng cho từng loại fermion đƣợc liệt kê trong bảng dƣới
đây:

u

d

e

e

2 f

8
1  sin 2  W
3

4
1  sin 2  W
3

1

1  4sin 2  W

2a f

1

1

1

1

Khi đó, tƣơng tác trung hịa sẽ đƣợc viết dƣới dạng:
Lint Z  

e
2sin  W cos  W

Z   f    f  a f  5  f

3.18

f

Trên cơ sở Lagrangean tƣơng tác (3.17), tính tốn tƣơng tự nhƣ trong
QCD, ta có thể tính đƣợc thiết diện phân rã ee   , Z  ff . Kết quả tính tốn
đƣợc cho trong phần Phụ lục A.
Với chùm electron-positron không phân cực (Hình 3.4), ta có:





d  2

N f A 1  cos 2    B cos   h f C 1  cos 2    D cos  
d  8s

trong đó, h f  1 , là độ xoắn của fermion đƣợc sinh ra, còn:

67

3.19


A  1  2e f Re     e2  ae2  2f  a 2f  
B  4ae a f Re     8e ae f a f 

2

2

C  2e a f Re     2 e2  ae2  f a f 
D  4ae f Re     4e ae  2f  a 2f  

3.20

2

2

Hình 3.4 Qua trình phân rã ee   , Z  ff
Hàm  chứa hàm truyền của Z :


GF M Z2
s
2
2 2 s  M Z  is Z / M Z

3.21

Trong đó,  Z là độ rộng tồn phần của thiết diện phân rã Z  ff . Nó có biểu
thức là tổng theo tất cả các trạng thái Fermion khả dĩ của:



2

GF M Z3
  Z  ff   N f
f  af
6 2

2



3.22

và nó có giá trị cỡ 2, 48 GeV [b,c].
Các hệ số A, B, C, D có thể đƣợc xác định bằng thực nghiệm thơng qua
việc đo thiết diện tồn phần   s  , tính bất đối xứng trƣớc-sau AFB  s  , tính bất
đối xứng phân cực APol  s  , tính bất đối xứng phân cực trƣớc-sau AFB, Pol :

68


4 2
N  N B 3B
 s 
N f A, AFB  s   F

,
3s
NF  NB 8A
APol  s  





h f 1



 h f 1

AFB ,Pol  s  

NF f

h





1

 h f 1

NF

 h f 1
 h f 1
h

 NF f




1

 h f 1

 NF

C
,
A
h

 NB f

3.23


1

 h f 1

 NB

h

 NB f



1

 h f 1

 NB



3D
8A

Trong đó, N F và N B là số fermion.
III. 3. Hủy cặp trong MSSM
MSSM dự đoán sự tồn tại các siêu đồng hành vô hƣớng của tất cả các
quark và lepton đã biết. Do SUSY bị vi phạm, các hạt đó có thể có khối lƣợng
lớn hơn khối lƣợng hạt tƣơng ứng của mơ hình tiêu chuẩn; tuy nhiên, các luận cứ
của tính tự nhiên (naturalness arguments) gợi ý rằng, thang vi phạm SUSY
breaking, và từ đó là khối lƣợng hạt SUSY sẽ không vƣợt quá 1 TeV. Đến nay,
việc tìm kiếm hạt SUSY đồng hành khơng đƣợc thành cơng lắm và bằng một số
giả thiết, nó chỉ đặt đƣợc giới hạn dƣới cho khối lƣợng cỡ 100 GeV cho squark
[21] và dƣới 50 GeV cho slepton [22].
Để dự đốn chính xác tỷ số sản sinh các siêu hạt đồng hành ta cần tính
đến những bổ chính bức xạ. Nói riêng, do hằng số tƣơng tác mạnh là lớn, bổ
chính QCD cho q trình sinh cặp squark cần phải đƣợc tính đến. Trong MSSM,
việc tính tốn các bổ chính này khơng thể thực hiện đƣợc một cách hồn chỉnh
nhƣ trong QED và QCD do hai nguyên nhân chính sau đây:
Một là, các siêu hạt đồng hành của các quark có khối lƣợng tay chiêu và
tay đăm sẽ pha trộn với nhau [23] và sự pha trộn này sẽ cho hai trạng thái riêng

khối lƣợng không suy biến; điều này khơng có trong kết quả của Schwinger
trong QED và QCD.
Hai là, trong SUSY, gluon có siêu hạt đồng hành spin 1/2, đó là gluino,
mà những hạt này tƣơng tác mạnh với squark và quark; tƣơng tác gluino–quark–
squark sẽ dẫn đến những loại bổ chính QCD mới mà trong QCD chƣa từng có.

69


Vì vậy, trong luận văn này chúng tơi đề ra nhiệm vụ là tính bổ chính QCD
cho q trình sinh cặp squark trong q trình hủy cặp e+e−, trong đó có xét khả
năng có hai trạng thái khối lƣợng squark khác nhau và tính riêng phần bổ chính
tiêu chuẩn do sự đóng góp của gluon và phần đóng góp của vịng quark–gluino.
Việc tính tốn này đƣợc tiến hành nhờ vào gói phần mềm FeynArts và
FormCalc.
Q trình sinh cặp squark trong phản ứng hủy electron-positron đƣợc diễn
ra trong kênh s thông qua việc trao đổi photon và Z  boson. Tƣơng tác giữa các
boson trung hòa V   , Z với các dòng trạng thái riêng của squark đƣợc cho
trong chƣơng 2. Ở mức cây, chúng có những giản đồ Feynman dƣới đây:

Nhƣ vậy, thêm vào đỉnh gauge-squark-squark ở mức cây (a), ta có các bổ chính
đỉnh (b) bổ chính năng lƣợng riêng (c). Ngồi ra ta cịn các bổ chính do sự có
mặt của các vịng gluino, bao gồm bức xạ gluon (d), bổ chính đỉnh (e) và năng
lƣợng riêng (f). Những giản đồ này tƣơng ứng với các phần sau đây của
Lagrangian tƣơng tác. Cho (a), ta có Lagrangian:

70





ieeq U i  U i A  ie sw1 c w1  I q3 L ZUIi* ZUIj  eq s2w  ij  U i  U i Z 


ieeq Di   Di A  ie sw1 c w1  I q3 L Z DIi Z DIj*  eq s2w  ij  Di   Di Z 

 2e sw1 Z Dli ZUJi C IJ Di   D j W / 2  H .c

















3.24

trong đó, để đơn giản, ta đã ký hiệu sw , cw là sin và cos của góc pha trộn
Weinberg, eq , I q3L là điện tích và isospin của quark tƣơng ứng. Các số hạng cịn
lại sẽ cho bổ chính vịng (b), (c):
e2

4
ZUIi* ZUIjWW  U iU j  e 2 A AU iU i
2
2sin 
9
2
2e
 Ii* Ij 4 ij 2   


 ZU ZU   sin  U i U j Z  A 
3sin  cos  
3



4

3  8sin 2 
 e 2   ij tan 2  
ZUIi ZUIj*  Z  Z U iU j
2
2
12sin  cos 
9

e2
1

Z DIi Z DIj*WW   Di D j  e 2 A A Di Di

2
2sin 
9
2
e
 Ii Ij* 2 ij 2   


 Z D Z D   sin   Di D j Z  A
3sin  cos  
3


3.25

1

3  4sin 2 
 e 2   ij tan 2  
Z DIi Z DIj*  Z  Z  Di D j
2
2
12sin  cos 
9

e2 2 Ii Jj   

Z D ZU Di U j  Z tan   A W  H .c
6sin 

Để diễn tả (d) ta có Lagrangian diễn tả tƣơng tác squark-squark-gluon:


ig3  U iY a  U i  DiY a   D j  Ga


4
2
 eg3 U iY aU i  Ga A  eg3  DiY a D j  Ga A
3
3
eg3
 Ii Ij* 2 ij 2   a   a

  Z D Z D   sin    Di Y D j  Z G
sin  cos  
3






eg3
sin  cos 

 



3.26

 Ii* Ij 4 ij 2   a  a 
 ZU ZU   sin   U i Y U j  G Z
3



Còn để diễn tả các giản đồ đỉnh, năng lƣợng riêng ta cần những số hạng còn lại:

71


15

I  3 i* 1   5  I
 g3 2U iY a  Ga   ZUIi*
 ZU 
 qu  H .c
2
2 

15

I 3 i 1   5  I
 g3 2 DiY a  Ga   Z DIi
 Z D 
 qu  H .c
2
2 



3.27

Với giản đồ (a), tức là gần đúng Born, tiết diện tồn phần của q trình
sinh cặp squark sẽ là:

 B  e  e   qi q j  

a


2
q

 2
s

 vq2  aij2

256c 4w s4w



eq vq aij ij



8c2w s2w

ij3/2  eq2 ij 

s
s  M Z2



2 2
2
2 
 s  M Z   Z M Z 
s2

3.28

trong đó, s  q2   k1  k2  là năng lƣợng ở hệ quy chiếu khối tâm của e e , ij
2

là hàm hai vật trong không gian pha:

ij  1  i2   2j   4i2  2j , i2  m q2 .q / s
2

1

2

3.29

và aq , vq là hệ số cho liên kết vectơ và axial:

vq  2 I q3L  4sw2 eq , aq  2 I q3L

3.30

Ta có thể so sánh kết quả trên với kết quả của [10], [13] khi khơng tính đến sự
pha trộn giữa các squark:

 B  e  e   qi q j  

a


2
q

 2

 vq2  aq2i

256cw4 s4w

s



eq vq aqi



2

w

 q3 eq2 

s
8c s s  M Z2
2
w

3.31



2 2
2
2 
s

M


M

Z
Z
Z 
s2

trong đó, aq1  vq  aq , aq2  vq  aq ,  q  1  4m q2 / s  . Nhƣ vậy, kết quả (3.5)
1/2

có thể tin cậy đƣợc.
Sự phân bố góc của thiết diện:

72


d B
3
e e  qi q j   sin 2  B  e  e   qi q j 

d  cos  
4

3.32

với  là góc tán xạ, là điển hình cho quá trình sinh hạt vơ hƣớng.
Khi tính đóng góp riêng rẽ của các Lagrangian tƣơng tác cho giản đồ (b)(c), tức là bổ chính đỉnh và bổ chính hàm sóng, chúng sẽ phân kỳ tử ngoại. Nếu
ta điều chỉnh bằng phƣơng pháp thứ nguyên, tổng của chúng là hữu hạn tử ngoại
những phân kỳ hơng ngoại. Các cách tính khác cũng cho kết quả tƣơng tự. Trong
[1] đã đề xuất việc khử phân kỳ hông ngoại bằng việc đƣa vào số hạng khối
lƣợng của gluon. Khi tính đóng góp của các giản đồ (d) diễn tả sự bức xạ gluon,
kết quả cũng phân kỳ hồng ngoại. Tuy nhiên nếu tính tổng của các giản đồ bức
xạ gluon với tổng ba giản đồ (a), (b) và (c), ta đƣợc kết quả hữu hạn. Vì vậy,
tổng ba giản đồ nói trên đƣợc gọi là bức xạ gluon ảo. Ta có



  e e  qi q j    B  e e  qi q j  1 

4 S 
ij 
3


3.33

trong đó, ij  Vij  ijR tức là tổng của bức xạ gluon thực và ảo:
Vij  log

2
2
1/2
i  j
1 1  i   j  ij

2

 g2
ij1/2 1  i2   2j  ij1/2

 1  i2   2j  ij1/2

2
2
 1/2 1  i   j   log
log  g2  FijV 


2ij

2 i  j


1

3.34

với g2  mg2 / s , mg là khối lƣợng của gluon ảo đƣợc đƣa vào để điều chỉnh
phân kỳ hồng ngoại. Phần hữu hạn hồng ngoại và tử ngoại FijV có dạng:
1
log 2 1  y1   log 2   y1   log 2 1  y2   log 2   y2  
2
1  y1 
2log
log  y1  y2   log   y1  log   y2   log 1  y1  log 1  y2 
  y1 
FijV 

 y1 
 y1  1 
2 Li2 
  2 Li2 

 y1  y2 
 y1  y2 

trong đó, Li2  x  là hàm Spence đƣợc định nghĩa bằng:

73

3.35


Li2  x    dt log 1  xt  t 1

3.36a

1
1  i2   2j  ij1/2 

2

3.36b

1

0

còn
y1,2 

Số hạng thứ hai của (3.34) tỷ lệ với hàm ba điểm C0 .
Bổ chính bức xạ gluon thực đƣợc tính nhờ Lagrangian (3.27). Bình
phƣơng biên độ cho quá trình e e  qi q j g sẽ là:
4 g32 e4
M  e e  qi q j g  
3s
 

2

a


2
q

 vq2  aij2

256c4w s4w

eq vq aij ij
 2
s
e


 q ij 16c 2 s2 s  M 2
w w
Z




2 2
2
2 
 s  M Z   Z M Z 
s2

3.37

2
2
2

 s2  2
s 2  2j
s 2 i2
2s
2 s s  i  i  1  
i

 8  ij 





  k1 .k2  2  k1 .k  2  k2 .k 2 k1 .k k2 .k
k1 .k  k2 .k   





trong đó, k là mơmen của gluon và k1 , k2 là mơmen của hai squark. Tích phân
trong khơng gian pha ba hạt, ta thu đƣợc:
 
R

ij

1  i2   2j



1/2
ij

 Li2 1  22  
4 


1  2  2j

ij1/2

4  1 1/2
ij 1  i2   2j   i2 log 2   2j log 1  i2  2j log 0 
3/2 
ij  4


log 2 

2  i2   2j

ij1/2

 2log 2 0  log 2 1  log 2 2  2 Li2 1  02   Li2 1  12 



1  2 i2

ij1/2

1  i2   2j

ij2
log 1  
log 0  1 log 2 2 2
ij1/2
i  j  g



log 0

với:

74

3.38


0 

1  

1

2
i

2i  j

  2j  ij1/2  , 1,2 

1
2 j ,i

1  

2
i

  2j  ij1/2 

3.39

Ta thấy rằng phần phân kỳ hồng ngoại của Vij và  ijR bằng nhau và trái dấu
nhau, cho nên, tổng của chúng là hữu hạn.

Bổ sung (Appendix)
Sau đây là các hàm đƣợc dùng trong tính tốn của chƣơng 3. Riêng C0 có
thể tìm thấy trong G. ‟t Hooft và M. Veltman, Nucl. Phys. B153 (1979) 365. Các
hàm vô hƣớng một hai và ba đỉnh A0 , B0 , C0 đƣợc định nghĩa bằng:
A0  m0 

 2 



B0  s, m1 , m2 

n 4

i 2

d nk
 k 2  m02  i

 2 


n 4

i 2

B0  m1 , m2 , m3 

 2 

i 2

d nk
 k 2  m2  i  k  q 2  m2  i 


1
2



n 4

  k  p 


1

d nk

2

 m12  i   k  p2   m22  i   k 2  m32  i 


2

trong đó, n là số chiều của không-thời gian,  là thang số tái chuẩn hóa. Kết
quả sau khi tính tích phân là:
A0  m0   m02 1  0  , i 

2
2
  E  ln  4   ln 2
4n
mi

với  E là hằng số Euler. B0 và đạo hàm của nó theo s , B0 sẽ là:
B0  s, m1 , m2  

m2  m2 m2 x  x
x
1
 1   2   2  1 2 ln 22 +   log  ,
2
2s
m1
4s
x

2
2 2
2
2


m12  m22 m22 2  m1  m2   s  m1  m2  x 
1 
B0  s, m1 , m2   
2
ln 2 +
ln
2s 
s
m1 s
x  x
x 



trong đó:
x  s  m12  m22  s 2  2s  m12  m22    m12  m22 

75

2


C0  m12 , m22 , s, m1, m2 , m3     dy  dx ay 2  bx 2  cxy  dy  ex  f 
0
0
1

y

1

a  mq2 , b  s, c  s, d  m22  m32  mq2 , e  m12  m22 , f  m32  i

KẾT LUẬN

76


Trong luận văn này chúng ta đã tính Lagrangian của MSSM và dùng nó
để tính bổ chính QCD cho q trình sinh cặp hai hạt đồng hành của quark sau
khi hủy cặp electron-positron e+e−. Chúng ta đã tính đến sự pha trộn giữa squark
tay đăm và tay chiêu và điều đó đã cho phép xét đƣợc trƣờng hợp khi hai hạt có
khối lƣợng khác nhau. Trƣờng hợp hai hạt có khối lƣợng bằng nhau đã đƣợc xét

trong [10] . Ta cũng đã tính đến bổ chính sinh ra do sự có mặt của gluon và
gluino. Việc tính tốn bổ chính do sự trao đổi gluon ảo và thực. Kết quả có thể
chấp nhận đƣợc về mặt định tính, nếu so sánh với kết quả đã tính trƣớc đây của
Schwinger khi hai hạt squark có cùng khối lƣợng. Về mặt định tính, nó chỉ ra sự
tự khử của các phân kỳ hồng ngoại và tử ngoại. Ta cũng tính bổ chính SUSY
QCD một vịng kín quark–gluino. Bổ chính này khơng có trong QED và nó chỉ
quan trọng nếu gluino có khối lƣợng tƣơng đối nhỏ. Bổ chính do bức xạ thực
gluon có vai trị quan trọng, bởi vì làm thay đổi tiết diện lớn gập bốn lần bổ
chính QCD trong quá trình sinh quark khơng khối lƣợng spin 1/2.

TÀI LIỆU THAM KHẢO (References)
[1] H.E. Haber and G.L. Kane, Phys. Rep. 117 (1985) 75;
X.R. Tata, in Proceedings of the Mt Sorak Symposium on the Standard Model
and Beyond, Mt Sorak, Korea, 1990.
[2] E. Witten, Nucl. Phys. B188 (1981) 513;N. Sakai, Z. Phys. C11 (1981) 153;
S. Dimopoulos and H. Georgi, Nucl. Phys. B193 (1981) 150.
[3] For reviews, see H.P. Nilles, Phys. Rep. 110 (1984) 1; P. Nath, R. Arnowitt
and A. Chamseddine, Applied N=1 Supergravity,
ITCP Series in Theoretical Physics, World Scientific, Singapore 1984.
[4] For a recent review, see L.E. Ib`a˜nez and G.G. Ross, CERN report TH–
6412–92, to appear in Perspectives in Higgs Physics, G.L. Kane, editor.
[5] See e.g. M. Kamionkowski, Supersymmetric Dark Matter, in the Proceedings
of the Workshop on High Energy Atrophysics, Honolulu, Hawaii, March 1992,
edited by J.G. Learned and X.R. Tata.

77


[6] U. Amaldi, W. de Boer and H. Făurstenau, Phys. Lett. B260 (1991) 447;
P. Langacker and M. Luo, Phys. Rev. D44 (1991) 817;

J. Ellis, S. Kelley and D.V. Nanopoulos, Phys. Lett. B260 (1991) 131.
[7] M. Davier, in Proceedings of the Joint International Lepton–Photon
Symposium and European Conference on High Energy Physics, Geneva,
Switzerland, 1991, edited by S. Hegarty, K. Potter and E. Quereigh (World
Scientific, Singapore, 1992).
[8] CDF Collab., F. Abe et al., Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 3439.
[9] S. Bertolini, F. Borzumati, A. Masiero and G. Ridolfi, Nucl. Phys. B353
(1991) 591, and references therein.
[10] K. Hagiwara and H. Murayama, Phys. Lett. B246 (1990) 533.
[11] G. Bhattacharyya and A. Raychaudhuri, Calcutta Preprint CUPP-92/1 (May
1992).
[12] J. Ellis and S. Rudaz, Phys. Lett. B128 (1983) 248.
[13] T. Hahn et al. Exercusion into FeynArts and FormCalc, Nucl. Phys. B
(Proc. Suppl) 160 (2006) 101.
[14] Phạm Thúc Tuyền, Nhập môn siêu đối xứng, bài giảng cho SV bộ môn
VLLT, DDHKHTN, DDHQG Hà Nội, 2005.
[15] G.F. Giudice and G. Ridolfi, Z. Phys. C41 (1988) 447;
M. Olechowski and S. Pokorski, Phys. Lett. B214 (1988) 239.
[16] A. Salam, J. Strathdee, Nucl. Phys. B76 (1974) 477. 131
[17] The ALEPH, DELPHI, L3, OPAL and SLD Collaborations, the LEP
Electroweak Working Group and the SLD Electroweak and Heavy Flavour
Groups,Phys. Rep. 427 (2006) 527
[18] Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG HN, Hà Nội 2011.
[19] W. Beenakker, W. Hollik and S. C. van de Marck, Nucl. Phys. B365 (1991)
24. G. ‟t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B153 (1979) 365.
W. Hollik, Fortschr. Phys. 38 (1991) 165.
[20] J. Jerzak, E. Laermann and P. M. Zerwas, Phys. Rev. D25 (1980) 1218;
A. Djouadi, Z. Physik C39 (1988) 561.

78