Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

DƯƠNG THỊ THÚY

Giải một số bài tốn về hình chóp
bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Hà Nội, 2018


Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn ThS.Trần Quang Hùng, giáo viên
Toán trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên đã tận tình giúp đỡ, hướng
dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian từ khi nhận đề tài tới khi hồn thành
khóa luận. Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường
Đại học Giáo dục, các thầy cơ trong khoa Tốn – Cơ –Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên đã dạy dỗ tôi trong những năm vừa qua.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong khoa
Sư phạm, tới gia đình và bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ và là nguồn động
viên tinh thần lớn trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận.
Mặc dù tơi đã cố gắng nhiều nhưng khóa luận của tơi vẫn cịn nhiều thiếu
sót.Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn để
khóa luận của tơi được hồn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2018
Sinh viên
Dương Thị Thúy

Danh mục viết tắt
Dạnh mục viết tắt

Từ viết tắt

PTMP

Phương trình mặt phẳng

PTTS

Phương trình tham số

THPT

Trung học phổ thơng

VPCP

Vectơ chỉ phương

VTPT

Vectơ pháp tuyến

Nxb

Nhà xuất bản

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 3
4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 3
6. Cấu trúc đề tài ........................................................................................... 4
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 5
1.1. Khái niệm hình chóp và hình tứ diện ............................................... 5
1.1.1. Khái niệm hình chóp ..................................................................... 5
1.1.2. Khái niệm hình tứ diện ................................................................. 5
1.2. Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp tọa độ .......................... 7
1.2.1. Ưu điểm của phương pháp tọa độ ................................................ 7
1.2.2. Nhược điểm của phương pháp tọa độ .......................................... 7
1.3. Một số dấu hiệu nhận biết bài tốn hình chóp có thể giải bằng
phương pháp tọa độ ..................................................................................... 7
1.4. Một số kiến thức về hệ tọa độ trong không gian ............................. 8
1.4.1. Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc trong khơng gian.................... 9
1.4.2. Tọa độ của một điểm ..................................................................... 9
1.4.3. Tọa độ của vectơ .......................................................................... 11
1.4.4. Tích có hướng của hai vectơ....................................................... 12
1.4.5. Phương trình mặt cầu ................................................................. 13
1.4.6. Phương trình mặt phẳng ............................................................ 13
1.4.7. Phương trình đường thẳng ......................................................... 14
1.5. Các dạng bài tốn thường gặp ........................................................ 14
1.6. Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ........................ 17

1.7. Cách chọn hệ trục tọa độ và chọn vectơ ......................................... 18
1.7.1. Chọn vectơ ................................................................................... 18
1.7.2. Chọn hệ trục tọa độ ..................................................................... 18
1.8. Thiết lập hệ trục tọa độ .................................................................... 19
1.8.1. Thiết lập hệ trục tọa độ cho tứ diện vuông và tứ diện đều ........ 19
1.8.2. Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác ....................... 22
1.8.3. Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tứ giác .......................... 30
CHƯƠNG 2: GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH CHĨP BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN............................... 46
2.1. Kết hợp phương pháp hình học khơng gian thuần túy và phương
pháp tọa độ giải một số bài tốn hình chóp trong đề thi Đại học - Cao
đẳng ………………………………………………………………………46
2.2. Giải một số bài tốn hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong
khơng gian ................................................................................................... 55
2.2.1. Bài tốn về tứ diện vng và tứ diện đều ................................... 55
2.2.2. Bài tốn về chóp tam giác ........................................................... 61
2.2.3. Bài tốn về hình chóp tứ giác ..................................................... 72
KẾT LUẬN .................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 87


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học khơng gian là một bộ phận quan trọng của chương trình tốn học
trung học phổ thơng hiện nay.Các bài tốn hình học khơng gian khá phức tạp,
địi hỏi người học phải có tư duy tốt. Việc giải một số bài tốn hình học
khơng gian tương đối khó và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương
pháp tọa độ sẽ đơn giản hơn. Trong đề tài “Giải một số bài toán về hình chóp
bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian” tơi sẽ trình bày cách vận dụng

phương pháp tọa độ để giải bài tốn về hình chóp thuộc một đối tượng thường
gặp nhất trong các bài tốn hình học khơng gian.Qua đây tơi muốn đem đến
cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn về phương pháp giải tốn hình học
đó chính là sử dụng phương pháp tọa độ như một công cụ hữu ích cho việc
giải quyết vấn đề đã nêu.Lời giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương
pháp tọa độ nhiều khi thực sự bất ngờ vì rất gọn, dễ hiểu. Cách tiếp cận và
giải bài tốn hình học bằng phương pháp tọa độ sẽ làm cho học sinh có khả
năng tìm tịi, sáng tạo và nhất là khả năng tư duy tốn học tốt hơn.
Hình học khơng gian là mơn hình học khá trừu tượng nên đa số học
sinh e ngại khi học về phần này. Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao
đẳng gần đây, phần hình học khơng gian được ra dưới dạng mà học sinh có
thể giải bằng hai phương pháp: phương pháp hình học thuần túy và phương
pháp tọa độ. Việc giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp hình
học thuần túy gặp nhiều khó khăn đối với học sinh vừa học xong lớp 12 vì đa
phần các em ít nhiều đã quen giải các bài toán tọa độ trong khơng gian.
Việc giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ có rất nhiều
ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn.Bởi vì, phương pháp
này chưa được đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thơng ít

1


được tiếp cận, và phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài tốn nào đó chứ
khơng phải lúc nào nó cũng tỏ ra hiệu quả.
Học sinh đã quen với hình học suy luận thì đơi khi khơng thích đến phương
pháp dựa nhiều vào tính tốn, tuy nhiên thế mạnh của phương pháp tọa độ là
giúp ta giải quyết được các bài tốn chứng minh mà khơng giải được bằng suy
luận.Phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc cịn ít
thời gian, vì dù tính tốn có hơi rắc rối nhưng khơng cần phải suy nghĩ nhiều.
Cái hay của phương pháp này theo tơi là nó khơng phụ thuộc vào cách chọn

hệ trục tọa độ, nhưng để bài tốn có lời giải đẹp thì ta phải chọn hệ trục tọa độ
một cách khéo léo và ít tham số. Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ đây là
phương pháp có sức mạnh khá lớn để giải các bài tốn hình học khơng gian,
cụ thể là các bài tốn về hình chóp. Hy vọng rằng qua đề tài “Giải một số bài
tốn về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian” các bạn sẽ
thấy được rằng sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn về hình chóp có cái
hay riêng của nó.
Để các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải tốn hình học khơng
gian, chuẩn bị cho kì thi cuối cấp. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi sẽ chủ yếu
tập trung vào các vấn đề sau:
- Dấu hiệu nhận biết và các bước giải bài toán về hình chóp bằng phương
pháp tọa độ
- Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình chóp đặc biệt
- Trình bày một số bài tốn về hình chóp được giải theo phương pháp tọa
độ và một số bài toán được giải theo hai phương pháp: phương pháp
hình học khơng gian thuần túy (phương pháp tổng hợp) và phương
pháp tọa độ trong không gian. Điều này giúp học sinh rèn luyện kĩ năng
giải toán bằng phương pháp tọa độ và có thể trở nên linh hoạt trong
việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài toán.

2


2. Mục đích nghiên cứu
Từ lý do chọn đề tài, cùng với kinh nghiệm trong q trình học tập, tơi đã
phân tích, khai thác các nội dung liên quan để tổng hợp và hệ thống hóa thành
đề tài nghiên cứu: “Giải một số bài tốn về hình chóp bằng phương pháp tọa
độ trong không gian”. Qua nội dung của đề tài này tôi rất mong muốn sẽ cung
cấp cho người học đặc biệt là học sinh chuẩn bị thi Đại học– Cao đẳng một
số kỹ năng sử dụng có hiệu quả hơn phương pháp tọa độ hóa để giải các bài

tốn về hình chóp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày và hệ thống kiến thức liên quan đến hệ tọa độ trong không
gian
- Tổng hợp và sắp xếp các bài tốn dựa vào các loại hình chóp để người
học dễ dàng tiếp nhận.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình
có liên quan đến phương pháp tọa độ trong khơng gian.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên
cứu.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp
hướng dẫn, các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài tốn về hình chóp giải bằng phương
pháp tọa độ trong khơng gian.
- Phạm vi nghiên cứu: Tốn hình học khơng gian lớp 11 và lớp 12; một
số đề thi Đại học – Cao đẳng.

3


6. Cấu trúc đề tài
Mở đầu.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Giải một số bài tốn hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong
không gian.
Kết luận

Tài liệu tham khảo

4


CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

Khái niệm hình chóp và hình tứ diện

1.1.1. Khái niệm hình chóp
Cho đa giác A1 A2 ... An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa
giác đó. Nối S với các đỉnh A1 , A2 ,..., An để được n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 ,...,
SAn A1. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1 A2 ... An gọi là hình chóp và được

kí hiệu là S. A1 A2 ... An .Điểm S được gọi là đỉnh của hình chóp. Đa giác
A1 A2 ... An gọi là mặt đáy của hình chóp.Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh

đáy của hình chóp.Các đoạn thẳng SA1 , SA2 ,..., SAn gọi là các cạnh bên của
hình chóp.Mỗi tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 gọi là một mặt bên của hình
chóp. Nếu đáy của một hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì
hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp
ngũ giác,…

Hình chóp tam giác

Hình chóp tứ giác

Hình chóp ngũ giác

1.1.2. Khái niệm hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C , D khơng đồng phẳng.Hình gồm bốn tam giác
ABC , ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay nói ngắn gọn là tứ diện) và
5


được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C , D gọi là các đỉnh của tứ diện.Các
đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh
khơng có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC , ACD, ABD
và BCD gọi là các mặt của tứ diện.Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh
đối diện của mặt đó.

Hình tứ diện ABCD
Chú ý:
Ta có thể định nghĩa tứ diện thơng qua khái niệm hình chóp như sau:
Trong mặt phẳng  P  cho đa giác lồi n cạnh A1 A2 ... An và cho một điểm S
nằm ngoài mặt phẳng  P  . Hình gồm các miền tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,...,

SAn A1 và miền đa giác A1 A2 ... An được gọi là hình chóp, kí hiệu là S. A1 A2 ... An .
- Miền đa giác được gọi là đáy của hình chóp
- Các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 được gọi là các mặt bên của hình
chóp
- Khi n  3, ta có hình chóp S . ABC và cũng là hình tứ diện hoặc hình
chóp tam giác
6


1.2.

Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp tọa độ

1.2.1. Ưu điểm của phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ giúp giải một số bài tốn hình học khơng gian đơn
giản hơn khi giải bằng phương pháp hình học thuần túy.
Lượng kiến thức và kĩ năng để giúp học sinh có thể giải các bài tốn
hình học khơng gian thơng qua phương pháp này không nhiều chủ yếu là các
kiến thức về tọa độ vectơ trong khơng gian, phương trình đường thẳng,
phương trình mặt phẳng, mối quan hệ giữa chúng.
Phương pháp này khơng q khó nên đối với các em học sinh trung
bình việc sử dụng phương pháp này đơn giản hơn nhiều so với phương pháp
tổng hợp, chủ yếu là dạy các em cách đặt hệ trục tọa độ sao cho phù hợp.
1.2.2. Nhược điểm của phương pháp tọa độ
Khơng phải tất cả các bài tốn về hình học khơng gian đều có thể sử
dụng phương pháp tọa độ để giải, chỉ với những hình đặc biệt có những cạnh
có quan hệ vng góc với nhau thì ta mới nên sử dụng phương pháp này vì
nếu khơng việc tính tọa độ các điểm rất khó khăn.
Sử dụng phương pháp này địi hỏi phải có kĩ năng tinh tốn khá tốt và
phải nhớ được các cơng thức về tính góc và khoảng cách.Một số công thức
khá giống nhau nên đôi khi dễ gây nên sự nhầm lẫn.
1.3.

Một số dấu hiệu nhận biết bài tốn hình chóp có thể giải bằng
phương pháp tọa độ

Những bài tốn về hình chóp ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên
dùng phương pháp tọa độ để giải:
 Hình tứ diện vng:
Tứ diện OABC được gọi là tứ diện vng khi tứ diện đó có các cạnh OA,
7

OB, OC đơi một vng góc với nhau.

Chú ý: Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối tương ứng vng góc
với nhau. Như vậy tứ diện vng cũng là tứ diện trực tâm đặc biệt.
 Hình tứ diện đều:
Tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
 Hình chóp đều:
Hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau được gọi là hình
chóp đều (hình chóp đa giác đều).
- Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều, các cạnh
bên bằng nhau.
- Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vng, các cạnh bên
bằng nhau.
 Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy (đáy là các đa giác đặc
biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, hình vng, hình chữ
nhật, hình thoi, hình thang vng,…)
 Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy (đáy là các đa giác đặc
biệt: tam giác vng, tam giác cân, tam giác đều, hình vng, hình chữ
nhật, hình thoi, hình thang vng,…)
 Hìnhchóp có một đường thẳng vng góc với mặt phẳng (trong mặt
phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vng, tam giác cân, tam
giác đều, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang vng,…)
 Với một số bài tốn mà giả thiết khơng cho những hình quen thuộc như
đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vng góc của
các đoạn thẳng hay đường thẳng trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa
độ.
1.4.

Một số kiến thức về hệ tọa độ trong không gian

8


1.4.1. Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc trong khơng gian
Trong không gian, cho ba trục x 'Ox,
y 'Oy, z ' Oz vng góc với nhau từng

đơi một. Gọi i, j, k lần lượt là các
vectơ đơn trên các trục x 'Ox, y 'Oy,
z ' Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ

trục tọa độ Đề-các vng góc Oxyz
trong không gian, hay đơn giản được
gọi là hệ tọa độ Oxyz .
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ, Ox được gọi là trục hoành, Oy được
gọi là trục tung, Oz được gọi là trục cao.
- Các mặt phẳng  Oxy  , Oyz  , Oxz  đơi một vng góc với nhau được
gọi là các mặt phẳng tọa độ.
- Vì i, j, k là ba vectơ đơn vị đơi một vng góc với nhau nên:
2

2

2

i  j  k  1và i  j  j  k  k  i  0
1.4.2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho một điểm M tùy ý. Vì

ba

vectơ

i, j, k khơng

đồng

phẳng nên có một bộ ba số

 x, y , z 

duy nhất sao cho:

OM  xi  y j  zk

9


Ngược lại, với bộ ba số  x, y , z  ta có một điểm M duy nhất trong
khơng gian thỏa mãn hệ thức OM  xi  y j  zk .
Ta gọi bộ ba số  x, y , z  đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa
độ Oxyz đã cho và viết: M   x, y , z  hoặc M  x, y , z  .
Nhận xét:
 Trong hệ tọa độ Oxyz , tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ

OM .
 Nếu gọi M1 , M 2 , M 3 lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy,
Oz. Khi đó M  x, y , z  với x  OM 1 , y  OM 2 , z  OM 3 .

 Cách xác định tọa độ điểm M  xM ; y M ; z M  trong hệ trục tọa độ Oxyz :
- Tìm hình chiếu M ' của M trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
- Từ M ' kẻ M ' I vng góc với trục x 'Ox tại I .
- Từ M ' kẻ M ' J vng góc với trục y 'Oy tại J .
- Từ M kẻ MK vng góc với trục z 'Oz tại K .

10


-

 xM  OI  OI

Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz thì:  y M  OJ  OJ

 zM  OK  OK

-

 xM  OI  OI

Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox ', Oy ', Oz ' thì:  y M  OJ  OJ

 zM  OK  OK

 M   Oxy   z  0, M   Oyz   x  0, M   Oxz   y  0
 M  Ox  y  z  0, M  Oy  x  z  0, M  Oz  x  y  0
Biểu thức tọa độ của điểm:
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  x A , y A , z A  , B  xB , yB , z B  , ta có:


AB  OB  OA   xB  xA , yB  y A , zB  z A 

AB  AB 

 xB  xA    yB  y A    zB  z A 
2

2

2

 Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  k  1 :

 x  kxB y A  kyB z A  kz B 
M A
,
,

1

k
1

k
1 k 

 Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :

 x  xB y A  y B z A  z B 

M A
,
,

2
2 
 2
 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC 
G A
,
,

3
3
3


 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  z D 
G A
,
,

4
4
4



1.4.3. Tọa độ của vectơ
11


Trong khơng gian Oxyz cho vectơ a . Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ
ba số  a1 , a2 , a3  saocho a  a1 i  a2 j  a3 k .
Ta gọi bộ ba số  a1 , a2 , a3  đó là tọa độ của vectơ a đối với hệ tọa độ
Oxyz cho trước và viết a   a1 , a2 , a3  hoặc a  a1 , a2 , a3  .

Biểu thức tọa độ của vectơ:
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  a1 , a2 , a3  và b  b1 , b2 , b3  , ta có:
 a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
 ka  k  a1 , a2 , a3    ka1 , ka2 , ka3  với k là một số thực
a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3

 0   0, 0, 0 
a1  kb1

 a cùng phương với b b  0  a  kb  k    a2  kb2
a  kb
 3
3







a1 a2 a3
   b1 , b2 , b3  0 
b1 b2 b3

 a  b  a1  b1  a2  b2  a3  b3
 a  b  a  b  0  a1  b1  a2  b2  a3  b3  0


a  a12  a2 2  a32

 

 cos a, b 

a.b
a.b



a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32

1.4.4. Tích có hướng của hai vectơ

12

với a, b  0


Tích có hướng của hai vectơ a   a1 , a2 , a3  và b   b1 , b2 , b3  , kí hiệu
là  a , b  hoặc a  b được xác định bằng tọa độ như sau:

a
 a, b    2
 
 b2

a3 a3 a1 a1 a2 
,
,
   a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b3 
b3 b3 b1 b1 b2 

Chú ý:
- Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ
là một số.
- Các tính chất sau đây của tích có hướng thường được áp dụng khi giải
một số bài tốn hình học:
  a, b   a;  a, b   b tức là  a, b   a  0;  a, b   b  0


 

 a, b  a . b .sin a, b
 

  a, b   0  a và b cùng phương
1.4.5. Phương trình mặt cầu
- Phương trình mặt cầu  S  tâm I  a, b, c  , bán kính R có dạng:

 x  a   y  b   z  c
2

2

2

 R2

- Phương trình có dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
với a 2  b2  c 2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I  a, b, c  bán
kính R  a 2  b 2  c 2  d
1.4.6. Phương trình mặt phẳng
- Cho mặt phẳng   đi qua điểm M  xo , yo , zo  có n   A, B, C  là một
VTPT, khi đó phương trình tổng qt của mặt phẳng   có dạng:

A  x  xo   B  y  yo   C  z  zo   0

13


- Nếu phương trình mặt phẳng

  có

dạng Ax  By  Cz  D  0 thì

n   A, B, C  là một VTPT của mặt phẳng  

- Nếu A  a,0,0  , B  0, b,0 , C  0,0, c  ; abc  0 thì phương trình của mặt
phẳng  ABC  có dạng:

x y z
   1 và được gọi là phương trình theo
a b c

đoạn chắn của mặt phẳng  
1.4.7. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng  đi qua điểm M  xo , yo , zo  và có VTCP u   a, b, c  , khi
đó phương trình đường thẳng  có dạng:
 x  xo  at

 y  yo  bt  t 
 z  z  ct

o

 1

1 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  , t gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng  có phương trình 1 thì:
 u   a, b, c  là một VTCP của 
 M    M  xo  at , yo  bt , zo  ct 
Nếu abc  0 , khi đó ta viết 1 dưới dạng:

x  xo y  yo z  zo



a
b
c

2

 2  được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 
1.5.

Các dạng bài tốn thường gặp

 Tính độ dài đoạn thẳng:
Nếu A  x1 , y1 , z1  , B  x2 , y2 , z2  thì độ dài đoạn thẳng AB được tính theo
cơng thức:

14


AB 

 x1  x2    y1  y2    z1  z2 
2

2

2

 Tínhkhoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M  xo , yo , zo  đến  P  : Ax  By  Cz  D  0
được tính theo cơng thức:

d  M , P  

Axo  Byo  Czo  D  0
A2  B 2  C 2

 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d ( d qua điểm A có VTCP u )
được tính theo cơng thức:
 AM , u 


d M ,d  
u

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
- Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng
khoảng cách từ một điểm trên đường này tới đường kia, khi đó ta dùng
cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính.
- Nếu hai đường thẳng chéo nhau: d1 đi qua điểm M 1 có VTCP u1 và
d 2 đi qua điểm M 2 có VTCP u2 , khi đó khoảng cách giữa d1 và d 2

được tính theo cơng thức:
d  d1 , d 2  

M 1M 2 . u1 , u2 
u1 , u2 




 Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng:
- Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách bằng 0

15


- Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng
bằng khoảng cách từ một điểm của đường thẳng tới mặt phẳng, khi đó
ta dùng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính.
 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, khi đó ta dùng cơng
thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính.
 Tính góc giữa hai đường thẳng:
Nếu d1 có VTCP là u1 và d 2 có VTCP là u2 thì góc   0    90o  giữa
chúng được xác định theo cơng thức:

cos 

u1.u2
u1 . u2

 Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Nếu mặt phẳng  P  có VTPT là n1 và mặt phẳng  Q  có VTPT là n2
thì góc   0    90o  giữa chúng được xác định theo công thức:

cos 

n1.n2
n1 . n2

 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu đường thẳng d có VTCP là u và mặt phẳng  P  có VTPT là n thì
góc   0    90o  giữa chúng được xác định theo cơng thức:

sin 

u.n
u.n

 Tính thể tích khối đa diện:
- Thể tích hình chóp được tính theo cơng thức:

16


1
V𝑐ℎó𝑝 = . ℎ. Sđá𝑦
3
- Thể tích hình tứ diện ABCD được tính theo cơng thức:

VABCD 

1
AB.  AC , AD 
6

 Tính diện tích thiết diện:

- Diện tích tam giác ABC được tính theo cơng thức:

S ABC 

1
 AB, AC 

2

- Diện tích hình bình hành ABCD được tính theo công thức:
S ABCD   AB, AC 

 Chứng minh quan hệ song song, vng góc:
- Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta thường sử dụng tích vô
hướng của hai vectơ:

a  b  a b  0
- Để chứng minh các véctơ cùng phương ta thường sử dụng tích có
hướng của hai vectơ:

a , b cùng phương   a, b   0
1.6.

Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ
Để giải được các bài tốn về hình chóp bằng phương pháp tọa độ ta cần

phải thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp nhất.Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên
quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
Phương pháp giải
 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (chú ý vị trí của gốc O )

 Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (Có thể xác định tọa độ
tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết).

17


Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa
độ, mặt phẳng tọa độ).
- Các quan hệ hình học như bằng nhau, vng góc, song song, cùng
phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ.
 Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
1.7.

Cách chọn hệ trục tọa độ và chọn vectơ

1.7.1. Chọn vectơ
Đối với dạng bài toán sử dụng phương pháp tọa độ khi tìm VTCP,
VTPT của đường thẳng và mặt phẳng ta sẽ gặp trường hợp vectơ chứa tham
số a là độ dài cạnh. Khi đó để tiện cho việc tính tốn ta chọn lại VTCP, VTPT
mất tham số a .
Ví dụ:Vectơ chỉ phương của mặt phẳng    là SA   a, 3a, 2a  thì ta có thể
chọn lại vectơ chỉ phương là u   1, 3, 2  .
1.7.2. Chọn hệ trục tọa độ
Vấn đề quan trọng nhất của phương pháp tọa độ là cách chọn hệ trục
tọa độ.Khơng có phương pháp tổng qt nào cho cách chọn này, có nhiều hệ
trục tọa độ có thể được chọn đối với mỗi hình. Sau đây là một số lưu ý khi
chọn hệ trục tọa độ:
- Vẽ hình theo u cầu bài tốn, sau đó tìm mối quan hệ vng góc ở mặt
đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vng góc với

nhau). Nơi giao nhau của hai đường thẳng vng góc đó chính là nơi ta
đặt gốc tọa độ và đồng thời hai đường thẳng đó tương ứng chính là trục
hồnh (trục Ox ) và trục tung (trục Oy ).

18


- Từ gốc tọa độ ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt đáy thì ta được
trục cao (trục Oz ) nằm trên đường thẳng đó. Như vậy, là ta đã hoàn
thành xong việc thiết lập hệ trục tọa độ.
- Nhìn vào hình vẽ và từ giả thiết của bài tốn ta tìm tọa độ các điểm liên
quan đến u cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương,
đồng phẳng, vng góc để tìm tọa độ các điểm đó. Ta chọn sao cho
việc tìm tọa độ các điểm có nhiều số 0 càng tốt cho việc tính tốn.
1.8.

Thiết lập hệ trục tọa độ
Để giải được một số bài tốn về hình chóp bằng phương pháp tọa độ ta

cần phải thiết lập hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Sau đây tơi xin giới thiệu
một số phương pháp để thiết lập hệ trục tọa độ cho một số hình thường gặp:
1.8.1. Thiết lập hệ trục tọa độ cho tứ diện vuông và tứ diện đều
Đối với hình tứ diện có hai loại hình thường gặp nhất đó là hình tứ diện
vng và hình tứ diện đều cho việc áp dụng phương pháp tọa độ:
 Hình tứ diện vng:
Cho hình tứ diện vng O. ABC
có OA  a, OB  b, OC  c.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho
điểm O là gốc tọa độ,

A  Ox, B  Oy, C  Oz.

 x A  OA  OA  a

 A  x A , y A , z A   Ox   y A  0
 A  a,0,0 
z  0
 A

19


 xB  0

 B  xB , yB , zB   Oy   yB  OB  OB  b  B  0,b,0 
z  0
 B
 xC  0

 C  xC , yC ,zC   Oz   yC  0
 C  0,0, c 

 zC  OC  OC  c
Khi đó tọa độ các đỉnh là: A  a,0,0  , B  0, b,0  , C  0,0, c 
 Hình tứ diện đều:
Cho tứ diện đều

ABCD, AB  a, AH  h.
 Cách 1:
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc O là

trung điểm của CD, B  Ox, D  Oy .

 A  x A , y A , z A    Oxz 
Gọi điểm K là hình chiếu của điểm A
lên trục Oz


a 3
 x A  OH  OH 
6

a 3 a 6
  yA  0
 A
,0,

6
3



 z  OK  OK  AH  OA2  OH 2  a 6
 A
3

20