A numerical model for the simulation of wave dynamics in the surf zone and near coastal structures

VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 160‐169 

A numerical model for the simulation of wave dynamics  
in the surf zone and near coastal structures 
Vu Thanh Ca* 
Center for Marine and Ocean-Atmosphere Interaction Research,
Vietnam Institute of Meteorology, Hydrology and Environment
Received 07 March 2007 

Abstract. This paper describes a numerical model for the simulation of near shore wave dynamics 
and bottom topography change. In this part, the nearshore wave dynamics is simulated by solving 
the  depth  integrated  Boussinesq  approximation  equations  for  nearshore  wave  transformation 
together with continuity equation with a Crank‐Nicholson scheme. The wave runup on beaches is 
simulated by a scheme, similar to the Volume Of Fluid (VOF) technique. The wave energy loss due 
to  wave  breaking  and  shear  generated  turbulence  is  simulated  by  a  k − ε   model,  in  which  the 
turbulence  kinetic  energy  (TKE)  generation  is  assumed  as  the  sum  of  those  respectively  due  to 
wave breaking and horizontal and vertical shear. 
The verification of the numerical model against data obtained from various indoor experiments 
reveals  that  the  model  is  capable  of  simulating  the  wave  dynamics,  turbulence  and  bottom 
topography  change  under  wave  actions.  The  simulation  of  turbulence  in  the  surf  zone  and  near 
coastal structures enable the model realistically simulates the contribution of suspended sediment 
transport into the bed topography change. 
Keywords: Wave dynamics; Wave runup; Wave energy; Surf zone; Boussinessq model. 

1. Introduction1 

Nadaoka  [9]  found  by  indoor 
experiments that during wave breaking, large 
vortices  were  formed  and  rapidly  extended 
both  vertically  and  horizontally.  Ting  and 
Kirby  [15‐17]  by  conducting  experiments 

with different wave conditions found that the 
advective  and  diffusive  transports  of  TKE 
play  a  major  role  in  the  distribution  of 
turbulence,  especially  under  plunging 
breaker.  They  also  found  that  under  spilling 
breakers  (the  breaking  of  relatively  steep 
waves on a gentle slope), the time variation of 
TKE  was  relatively  small,  and  the  time 
average  transport  of  TKE  was  directed 
offshore.  Under  plunging  breakers  (the 
breaking  of  less  steep  waves  on  a  gentle 
slope),  there  was  a  large  time  variation  of 

Extensive  researches  on  the  wave 
dynamics,  sediment  transport  and  bottom 
topography  change  in  the  nearshore  area, 
especially in the surf zone [1‐5, 7, 9, 12, 14‐17] 
have  elucidated  various  aspects  of  coastal 
processes,  such  as  the  dynamics  of  wave 
breaking,  characteristics  of  turbulence  in  the 
surf  zone,  structure  of  the  undertow,  the 
development of bottom boundary layer under 
breaking waves, the rate of bed load transport, 
uptake of bed material for suspension, settling 
rate of suspended sediment etc. 

_______
* Tel.: 84‐913212455.  
  E‐mail:  
160 

160

Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

TKE,  and  its  time  averaged  transport  is 
directed on‐shore.  
For  situations  with  negligible  alongshore 
sediment  transport,  the  status  of  a  beach 
depends  on  the  cross‐shore  transport  of 
sediment, which is closely related with wave 
conditions.  If  the  shoreward  transport  of 
sediment  by  incoming  waves  exceeds  the 
offshore  transport  of  sediment  by  retreating 
waves  and  the  undertow,  there  will  be  a  net 
onshore  transport  of  sediment,  resulting  in 
beach  accretion.  Otherwise,  the  beach  is  in 
equilibrium state or eroded.  
During  a  storm,  turbulence  generated  by 
the breaking of a relatively short wind wave 
has  not  been  significantly  dissipated  when  a 
new wave arrives and breaks. Thus, the time 
variation  of  TKE  is  relatively  small,  and  the 
combination  of  wave‐induced  flow  and 
undertow may transport TKE and suspended 
sediment  offshore.  This  results  in  the 
offshore‐directed  transport  of  sand  during 
storm  and  the  associated  beach  erosion.  On 
the  other  hand,  post  storms,  turbulence 

generated  by  the  breaking  of  a  long  period  ‐ 
small  amplitude  swell  has  significantly 
dissipated  when  the  wave  retreats.  Thus, 
there is a large time variation of TKE, and the 
peaks  in  turbulence  intensity  and  suspended 
sediment  concentration  coincide  with 
incoming  waves.  Accordingly,  onshore 
transport of TKE and suspended sediment by 
incoming  waves  exceeds  the  offshore 
transport  by  retreating  waves  and  the 
undertow.  This  results  in  a  net  onshore 
transport  of  suspended  sediments  and  helps 
explaining  the  onshore‐directed  transport  of 
sediment  during  calm  weather  and  the 
consequent post storm beach recovery.  
Schaffer  [14]  and  Madsen  [7]  developed 
models  for  the  simulation  of  the  nearshore 
wave  dynamics  based  on  Boussinesq 
approximation  equations.  The  wave  energy 

loss  due  to  breaking  is  simulated  by 
employing  a  surface  roller  model.  Due  to  the 
instability  of  the  numerical  code  resulting 
from  the  treatment  of  the  surface  roller  wave 
energy  loss,  Schaffer  [14]  had  to  use  a 
smoothing technique to stabilize the solution. 
Rakha et al [12, 13] presented a quasi‐2D 
and 
a 
quasi‐3D 

phase 
resolving 
hydrodynamic  and  sediment  transport 
models.  In  these  models,  the  horizontal 
transport  of  TKE,  and  the  associated 
transport  of  suspended  sediment  are 
neglected. However, as discussed previously, 
results  of  Nadaoka  et  al  [9]  and  Ting  and 
Kirby [16] show that the horizontal transport 
of TKE in the surf zone is very important and 
should  not  be  neglected.  Thus,  without 
accounting  for  this,  it  is not  easy  to  simulate 
the  beach  erosion  during  storm  and  the 
consequent recovery after the storm. 
Nadaoka and Ono [10] presented a depth‐ 
integrated  k‐model  where  the  TKE 
production  rate  was  evaluated  with  a 
Rankine eddy model. In this model, the TKE 
dissipation  rate  and  the  eddy  viscosity  was 
evaluated  by  employing  an  empirical  length 
scale.  The  model  had  not  been  verified 
against experimental data. Also, wave runup 
on beach, which is mainly responsible for the 
erosion  of  foreshore  during  storms,  is  not 
simulated in this model. 
Regarding  all  the  above  mentioned  facts, 
the  purpose  of  this  study  is  to  develop  a 
numerical  model  that  can  simulate  the 
nearshore  wave  dynamics,  including  wave 
breaking  and  wave  runup,  the  generation, 

transport and dissipation of TKE. 

2.  Governing  equations  of  the  numerical 
model for nearshore wave dynamics 

In  this  study,  the  near‐shore  wave 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

dynamics  are  simulated  by  solution  of  two‐
dimensional  depth  integrated  Boussinesq 
approximation  equations,  including  bottom 
friction  and  wave  energy  loss  due  to  wave 
breaking  and  shear.  The  main  equations  of 
the numerical model are written as: 
∂q x ∂q y ∂η
+
+
= 0       
∂x
∂y
∂t

 

       (1) 

∂q x ∂ ⎛ q x2 ⎞ ∂ ⎛ q x q y ⎞
∂η

⎟ + gd
+ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
∂t
∂x ⎝ d ⎠ ∂y ⎝ d ⎟⎠
∂x
h3 ⎡ ∂ 3 ⎛ qx ⎞
∂ 3 ⎛ q y ⎞⎤
⎜ ⎟⎥
+
      (2) 
⎢ 2 ⎜ ⎟+
6 ⎢⎣ ∂x ∂t ⎝ h ⎠ ∂x∂y∂t ⎜⎝ h ⎟⎠⎥⎦
∂ 3q y ⎞
h 2 ⎛ ∂ 3q
⎟ − M bx + f c Qq x = 0
− ⎜ 2x +
⎜
2 ⎝ ∂x ∂t ∂x∂y∂t ⎟⎠
d2
∂q y ∂ ⎛ q x q y ⎞ ∂ ⎛ q 2y ⎞
∂η
⎟ + ⎜ ⎟ + gd
+ ⎜⎜
∂t
∂x ⎝ d ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠
∂y
h3 ⎡ ∂ 3 ⎛ q y ⎞
∂ 3 ⎛ q x ⎞⎤
⎜
⎟

    (3) 
+
+
⎜ ⎟⎥
⎢
6 ⎣⎢ ∂y 2 ∂t ⎜⎝ h ⎟⎠ ∂x∂y∂t ⎝ h ⎠⎦⎥
⎛ ∂ 3q y
∂ 3 q x ⎞⎟
f
⎜
+
− M by + c2 Qq y = 0
⎜ ∂y 2 ∂t ∂x∂y∂t ⎟
d
⎝
⎠
where  q x   and  q y   are  respectively  the  depth 
−

h2
2

integrated  flow  discharges  in  x  and  y 
directions;  η   is  the  water  surface  elevation; 
d  is the instantaneous water depth;  h  is the 
still  water  depth;  f c   is  the  bed  friction 

coefficient;  Q   is  the  total  discharge,  defined 
as  Q = q x2 + q 2y ;  and  M bx   and  M by   represent 
the  wave  energy  loss  due  to  breaking, 

evaluated  by  introducing  an  eddy  viscosity 
and expressed as: 
∂(q x / d ) ⎤ ∂ ⎡
∂(q x / d ) ⎤
∂ ⎡
+
df Dν t
df Dν t
∂x ⎢⎣
∂x ⎥⎦ ∂y ⎢⎣
∂y ⎥⎦
 (4) 
∂ qy / d ⎤ ∂ ⎡
∂ qy / d ⎤
∂ ⎡
=
⎢df Dν t
⎥+
⎢df Dν t
⎥
∂x ⎣
∂x ⎦ ∂y ⎣
∂y ⎦

M bx =
M by

(

)

(

)

In Eq. (4),  ν t  is the eddy viscosity; and  f D  
is  an  empirical  coefficient,  determined  based 
on the calibration of the numerical model.  

161

When  waves  are  breaking  on  beach,  a 
part  of  the  lost  wave  energy  is  transformed 
into  turbulence  energy.  At  the  beginning  of 
the  wave  breaking  process,  the  turbulence  is 
confined into a small portion of the breaking 
wave  crest,  the  surface  roller;  after  that, 
turbulence  eddies  rapidly  expand  in  vertical 
and  horizontal  directions  [9,  15‐17].  The 
turbulence  under  wave  breaking  is  very 
complex and fully three‐dimensional. Thus, a 
3D model is required for a proper simulation 
of turbulence  processes  here.  However,  such 
a  model  would  require  an  excessive 
computational  time  and  at  the  moment  is  not 
suitable  for  a  practical  application.  On  the 
other hand, based on results of Nadaoka et al 
[9], Ting and Kirby [15‐17], it can be estimated 
that  in  the  surf  zone,  the  time  scale  for 
turbulence  energy  transport  in  the  vertical 

direction  is  much  shorter  than  that  in  the 
horizontal directions. Thus, the simulation of 
the  transport  of  TKE  in  the  horizontal 
direction  is  more  important  than  that  in  the 
vertical  direction.  Therefore,  in  the  present 
study,  the  TKE  is  assumed  uniformly 
distributed in the whole water depth, and the 
depth‐integrated 
equations 
for 
the 
production,  transport  and  dissipation  of  the 
TKE and its dissipation rate read: 
∂k ∂uk ∂vk
+
+
= Pr − ε
∂t
∂x
∂y
        (5) 
∂ ⎡ dν t ∂(k / d ) ⎤ ∂ ⎡ dν t ∂(k / d ) ⎤
+ ⎢
⎥+ ⎢
⎥,
∂x ⎣ σ t
∂x ⎦ ∂y ⎣ σ t
∂y ⎦
∂ε ∂uε ∂vε
∂ ⎡ dν ∂ (ε / d ) ⎤

+
+
= ⎢ t
⎥
∂t
∂x
∂y ∂x ⎣ σ ε
∂x ⎦
         (6) 
∂ ⎡ dν t ∂ (ε / d ) ⎤ ε
+ ⎢
⎥ + (C1ε Pr − C 2ε ε )
∂y ⎣ σ ε
∂y ⎦ k
where  k   and  ε   are  respectively  the  depth 
integrated  TKE  and  its  dissipation  rate;  u  
and  v   are  respectively  phase‐depth 
averaged flow velocities in x and y directions; 
σ t ,  σ ε ,  C1ε ,  C2ε   are  closure  coefficients.  In 


162

Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

Eq. (6),  Pr  is the TKE production rate, which 
is  assumed  as  a  summation  of  the  TKE 
production  due  to  bottom  friction  Prb , 
horizontal  shear  Prs   and  wave  breaking  Prw  
as: 

Pr = Prb + Prs + Prw          

 

      (7) 

With known values of  k  and  ε , the eddy 
viscosity is evaluated as: 
ν t = Cε k 2 / (dε ) ,   
      
 
      (8) 
where  Cε (= 0.09)  is constant. 
The  scheme  for  the  simulation  of  wave 
runup  and  rundown  on  the  beach  is 
explained  in  the  next  section.  By  employing 
this  scheme,  the  present  model  can  simulate 
the  wave  setup,  set  down  on  the  beach,  and 
the erosion of foreshore during storm events. 

3.  Boundary  and  initial  conditions  and 
numerical scheme  

3.1. Boundary and initial conditions 
It  is  possible  to  use  a  weekly  wave 
reflected  boundary  condition  such  as  the 
Summerfeld  radiation  condition  at  the 
offshore  boundary  to  let  reflected  waves 
freely going out of the computational region. 
However,  this  linear  wave  theory  based 

boundary  condition,  when  applied  in 
combination  with  a  nonlinear  wave  model, 
does  not  ensure  mass  conservation  and  may 
lead  to  an  accumulation  or  lost  of  water 
inside the computational region. Thus, in this 
study, water surface elevation under waves is 
given at the offshore boundary.  
Wave‐absorbing  zones  are  introduced  at 
the  lateral  boundaries  to  minimize  wave 
reflection.  The  bed  friction  coefficient  f c   in 
these  zones  is  assumed  constant  within  first 
five meshes from the lateral boundaries, and 
then  increases  linearly  with  the  distances 

from the boundaries towards the ends of the 
wave absorbing zones. Finally, at the ends of 
the  wave  absorbing  zones,  the  Summerfeld 
radiation  condition  for  long  waves  are 
introduced to let remaining waves going out 
of  the  computational  region.  A  free  slip 
boundary  condition  is  applied  at  surfaces  of 
the coastal structures.  
Zero  gradients  of  k   and  ε   are  assumed 
at  the  offshore,  lateral  boundaries  and  at 
surfaces of coastal structures. 
A  scheme  similar  to  that  of  Hibberd  and 
Peregrine  [5]  is  used  to  compute  the  wave 
runup on the beach. A sketch of the scheme is 
shown  in  Fig.  1.  In  this  scheme,  when  the 
shore  is  approached,  all  the  dispersion  terms 

in  Eqs.  (2)  and  (3)  are  turned  off. 
Additionally,  a  cell  side  wetted  function, 
defined  as  the  wetted  portion  over  the  total 
length  of  a  cell  side,  and  a  cell  wetted  area 
function,  defined  as  the  wetted  portion  over 
the  total  cell  area  are  introduced  to  account 
for  the  fact  that  water  flows  only  in  wetted 
parts  of  the  cells  on  the  instantaneous 
shoreline.  Then,  the  continuity  equation  (Eq. 
1)  and  momentum  equations  (Eqs.  2  and  3) 
can be derived by a method similar to Vu et 
al [19] and become:  
∂f q
∂f q
∂Sη
  y x + x y +
=0 
(9) 
∂x
∂y
∂t
∂q x 1 ∂ ⎛ Sq x2 ⎞ 1 ∂ ⎛ Sq x q y ⎞
⎜
⎟+
⎟
⎜
+
S ∂x ⎜⎝ d ⎟⎠ S ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠
∂t
∂ (q x / d ) ⎤

∂η 1 ∂ ⎡
−
dν t S
 
∂x ⎥⎦
∂x S ∂x ⎢⎣
∂ (q x / d ) ⎤ f c
1 ∂ ⎡
dν t S
+
Qq x = 0,
−
S ∂y ⎢⎣
∂y ⎥⎦ d 2

  + gd

 

(10) 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

2
⎞ 1 ∂ ⎛⎜ Sq y ⎞⎟
⎟⎟ +
∂t
⎠ S ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠
∂ qy / d ⎤

∂η 1 ∂ ⎡
+ gd
−
 
⎢dν t S
⎥
∂y S ∂x ⎣
∂x ⎦
∂ qy / d ⎤ fc
1 ∂ ⎡
Qq y = 0
−
⎢ dν t S
⎥+
∂y ⎦ d 2
S ∂y ⎣

∂q y

+

1 ∂ ⎛ Sq y q x
⎜
S ∂x ⎜⎝ d

(

(

)

(11) 

)

where  f x  and  f y  are respectively the cell side 
wetted  functions  corresponding  to  x   and  y  
directions,  and  S   is  the  cell  area  wetted 
function. 

 
Fig. 1. The coordinate system and method for the 
evaluation of a wetting and drying boundary. 

The  procedure  for  determining  the  cell 
side  wetted  function  and  the  cell  area  wetted 
function  in  the  numerical  scheme  will  be 
discussed in the next section. 
A still water is assumed at the beginning 
of  the  computation.  With  this,  all  variables 
are set equal to zero initially. 
3.2. Numerical scheme 

Equations  (1‐3)  and  (5‐6)  are  integrated 
numerically  on  a  spatially  staggered  grid 
system,  where  components  of  the  flow 
discharge  are  evaluated  at  surfaces,  and  bed 
elevation,  k   and  ε   are  evaluated  at  the 
centers of control volumes. The sketch of the 
coordinates  and  computational  mesh  is 

shown in Fig. 1. As it will be discussed later, 

163

in the present scheme, the water level inside 
a cell is evaluated at the center of the wetted 
area  inside  the  cell.  A  second  order  accurate 
Crank‐Nicholson scheme is employed for the 
time  discretization  for  all  equations,  and  a 
central  differencing  scheme  is  employed  for 
spatial  discretization  of  Eqs.  (1)  to  (3).  The 
spatial  disretization  for  advection  terms  of 
Eqs.  (5)  and  (6),  governing  the  transport, 
diffusion,  generation  and  dissipation  of  k  
and  ε ,  follows  the  third  order  accurate 
QUICK  scheme,  and  that  for  the  diffusion 
terms  follows  the  central  differencing 
scheme.  As  the  discretization  scheme  is 
implicit,  an  iterative  scheme  similar  to  the 
SIMPLE  scheme  of  Patankar  [11]  is 
employed.  At  the  beginning  of  a  new  time 
step,  the  computation  of  the  flow  discharges 
requires  the  still  unknown  water  level  and 
eddy  viscosity.  Thus,  at  first,  the  water  level 
at each new time step is assumed equal to the 
value at the previous time step. Then, Eqs. (2) 
and (3) are solved to get the flow discharges 
in  x  and  y  directions,  respectively.  The  new 
values of the flow discharges are substituted 
into  the  continuity  equation  to  compute  the 

new  water  level.  Also,  with  the  new  water 
level,  the  thickness  of  the  surface  roller  is 
evaluated.  Then,  Eqs.  (5)  and  (6)  are 
integrated to get  k  and  ε , and consequently 
the  new  coefficient  of  eddy  viscosity.  All 
newly  obtained  water  level,  flow  discharges 
and  coefficient  of  eddy  viscosity  are 
substituted  back  into  Eqs.  (2)  and  (3)  to 
compute  the  new  components  of  the  flow 
discharge.  The  procedure  is  repeated  until 
converged solutions are reached. 
The  wetted  periphery  inside  a 
computational  mesh  at  the  intersection 
between the water surface and the beach, the 
cell  side  wetted  function  and  the  cell  area 
wetted  function  at  each  time  step  are 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

164

evaluated  explicitly  based  on  the  water  level, 
bed  elevation  and  the  bed  slope  in  two 
directions. The procedure for this is shown in 
Fig. 1. The bed elevations at cell corners (such 
as points A, B, C and D in Fig. 1) are evaluated 
as  the  average  value  of  the  bed  elevation  at 
four  adjacent  points.  For  example,  the  bed 
elevation at point C in this figure is evaluated 

as: 
bc =

bi , j + bi , j +1 + bi +1, j +1 + bi +1, j
4

,                 (12) 

where bc is the bed elevation at point C, and 
bi,j, bi,j+1, bi+1,j+1  and  bi+1,j  are  respectively  the 
bed  elevations  at  the  center  of  cells  (i,j),
(i,j+1), (i+1,j+1) and (i+1,j). 
The  water  level  at  a  cell  side  is  averaged 
from  the  water  levels  at  two  adjacent  cells. 
For  example,  the  water  level  on  the  side  BC 
of cell i,j in Fig. 1 is evaluated as: 

ηbc =

ηi , j + ηi , j +1
2

, 

 

 

   (13) 

where  ηbc ,  ηi , j   and  ηi , j +1   are  respectively 
water  levels  at  the  cell  side  BC,  and  in  the 
cells (i,j) and (i,j+1). 
If  one  of  adjacent  cells  to  a  cell  side  is 
completely  dry  (with  the  value  of  the  area 
wetted  function  equal  to  zero),  the  average 
water  level  at  the  cell  side  is  assumed  equal 
to the water level at the wetted cell. Based on 
the  bed  elevation  at  its  two  ends  and  the 
average  water  level  on  a  cell  side,  the 
intersected  point  between  the  water  surface 
and  the  cell  side,  and  the  wetted  portion  of 
the  side  are  determined.  When  the  average 
water level on the cell side is higher than the 
bed  elevation  at  its  two  ends,  the  side  is 
considered totally submerged into the water, 
and  the  corresponding  value  of  the  cell  side 
wetted function is 1. For other cases, value of 
the  cell  side  wetted  function  equals  to  the 
ratio of the length of the wetted portion over 

the total length of the cell side. After getting 
all the wetted points on four sides of the cell, 
the  wetted  periphery  and  the  wetted  area 
inside  a  cell  are  determined  by  connecting 
two  adjacent  wetted  points  with  a  straight 
line.  This  wetted  periphery  is  shown  by  the 
dotted line in Fig. 1. The wetted area in cell i,j 
in  this  figure  is  the  portion  of  the  cell  from 
the  dotted  line  to  offshore.  The  wetted 

periphery  and  area  inside  the  cell  are  kept 
constant for a time step. 

4. Model verification 

4.1.  Wave  transformation  and  characteristics  of 
turbulence  due  to  wave  breaking  on  a  natural 
beach 
To  verify  the  accuracy  of  the  numerical 
model  on  the  simulation  of  the  wave 
transformation  on  a  natural  beach,  existing 
experimental data on the wave dynamics in 
the  nearshore  area  obtained  by  Ting  and 
Kirby  [15‐17]  are  used.  The  experiments 
were  carried  out  in  a  two‐dimensional  wave 
flume of 40m long, 0.6m wide and 1.0m deep. 
A  plywood  false  bottom was  installed  in  the 
flume  to  create  a  uniform  slope  of  1  on  35. 
Regular  waves  with  heights  and  periods 
equal to 12.7cm, 2s and 8.7cm, 5s are used as 
incoming  waves  respectively  for  spilling 
breaker and plunging breaker experiments. 
Fig.  2  shows  the  sketch  of  the  Ting  and 
Kirby [15‐17] experiments. Computation was 
carried  out  with  the  same  conditions  of  the 
experiments.  The  critical  water  surface  slope 
for  a  broken  wave  to  be  recovered  φ0  is  set 
equal to 60, according to Madsen et al [7]. 

Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

Wave generator

fD = a + b
1

0.38m
35

 

Fig. 2. Experiments by Ting and Kirby [15‐17]. 

As  cited  by  various  authors  [2,  4],  when 
waves  are  breaking,  a  major  part  of  the  lost 
wave  energy  is  dissipated  directly  in  the 
shear layer beneath the surface roller, and only 
a minor part of it is transformed into turbulent 
energy.  Thus,  a  turbulence  model  may 
underestimate  the  wave  energy  lost  due  to 
breaking.  To  account  for  this,  an  empirical 
coefficient  f D   was  introduced  in  Eq.  4. 
Calibrations were carried out to find the best 
value of this coefficient. Vu et al [18] found a 
constant  value  of  1.5  for  this  coefficient  for 
their one‐dimensional model. However, their 
computational  results  show  that  the 
coefficient  does  not  provide  adequate  wave 
energy  dissipation,  and  the  computed  wave 

heights  after  breaking  is  significantly  larger 
than the observed ones. 
As mentioned previously, wave breaking 
happens with a sudden loss of wave energy. 
This  in  a  numerical  model  can  be  simulated 
by  a  sudden  increase  in  the  “energy 
dissipation  coefficient”  f D .  As  the  breaking 
wave progresses onshore, the growth of TKE 
may accompany an increase in the coefficient. 
On  the  other  hand,  turbulence  length  scale, 
and  the  corresponding  turbulence  intensity 
decrease  with  water  depth,  leading  to  a 
decrease  in  the  coefficient.  Thus,  in  this 
study,  the  coefficient  is  assumed  suddenly 
increases  at  the  breaking  point,  then 
gradually  increases  towards  the  shore,  and 
then decreases with the decrease in the water 
depth in the following form: 

2

⎛ hm ⎞
⎟
⎜
⎜ h ⎟ , 
⎝ mb ⎠

 

   (14) 

where  a  and  b  are  constants,  to  be 
determined  from  calibration;  x  and  xb  are 
respectively  the  coordinates  in  the  on‐
offshore  direction  at  the  point  under 
consideration and the breaking point;  hm  and 
hmb  are the corresponding mean water depths 
at the respective points.  
Fig. 3 shows the comparison between on‐
offshore distributions of time averaged mean 
water  surface  elevation,  minimum  water 
surface  elevation,  maximum  water  surface 
elevation,  and  wave  height  for  the  spilling 
breaker,  computed  by  the  model  (with  f D  
evaluated  following  Eq.  (14),  a = 0.05   and 
b = 1 ),  and  observed  by  Ting  and  Kirby  [15, 
16].  
0.2
Height (m)

0.4m

x − xb
hmb

165

Bed
Comp. Etaav
Comp. Etamax

Comp. Etamin
Comp. Waveh
Obs. Wavh
Obs. Etaav
Obs. Etamax
Obs. Etamin

0.1
0

-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Horizontal Distance (m)

Fig. 3. Comparison between observed and computed 
time averaged wave height, highest, lowest and 
mean water surface elevation for spilling breaker. 
Experimental data from Ting and Kirby [15, 16]. 

It can be seen in Fig. 3 that the model can 
accurately  predict  the  wave  breaking  point 
and  provides  adequate  wave  energy 
dissipation  after  breaking.  The  maximum, 
minimum and mean water levels at all points 
in  the  computational  region  are  also 
predicted  by  the  model  with  good  accuracy. 
The  general  satisfactory  agreement  between 

computed  and  observed  data  shown  in  the 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

figure  suggests  that  the  model  can  simulate 
nearshore  wave  processes,  such  as  wave 
energy  loss  due  to  breaking,  wave  setup, 
setdown etc. with acceptable accuracy. 
Figures  (4)  to  (7)  respectively  show  the 
time  variation  of  ensemble  averaged  (phase‐
averaged)  non‐dimensional  water  surface 
elevation,  depth‐averaged  horizontal  flow 
velocity, TKE, and advective transport rate of 
TKE,  computed  by  the  model  and  observed 
by  Ting  and  Kirby  [15,  16]  at 
(x − xb ) / hmb = 7.642 . The time t in the figures is 
non‐dimensionalized  by  wave  period  T.  For 
convenient,  the  same  coordinate  system  in 
Ting  and  Kirby  [15‐17]  is  employed  in  this 
study.  The  computed  time  variation  of 
ensemble‐averaged  water  surface  elevation 
fluctuation,  non‐dimensionalized  by  local 
mean water depth hm (equal the sum of local 
still  water  depth  and  mean  water  surface 
fluctuation  η ),  shown  in  Fig.  4  agrees  very 
well  with  observed 
between  computed 
variation  of  phase 
horizontal 

flow 
dimensionalized  by 

data.  The  agreement 
and  observed  time 
and  depth‐averaged 
velocity, 
non‐
the  local  long‐wave 

commonly  known  that  just  after  wave 
breaking,  turbulence  is  concentrated  only 
inside  the  surface  roller,  and  flow  in  the 
region  below  remains  irrotational.  Thus,  a 
depth‐integrated  model  for  the  generation, 
transport  and  dissipation  of  TKE  cannot  be 
considered  as  a  good  approximation  for  this 
situation.  However,  despite  of  all  inadequate 
assumptions  and  approximations,  order  of 
TKE predicted by the model, shown in Fig. 6, 
agrees well with the observed one. Regarding 
difficulties in predicting the TKE under wave 
breaking  with  a  numerical  model,  it  can  be 
said that the numerical model can predict the 
TKE  and  its  advective  transport  with 
satisfactory accuracy. 
0.5
0.4
0.3
(ζ -<ζ >)/h

166

0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0

celerity  c  (defined  as  c = g (hm + H ) ,  with  H 

0.4

0.6

0.8

1

t/T

Fig. 4. Computed and observed phase‐averaged 
water surface elevation at (x‐xb)/hb=7.462. Spilling 
breaker. 
0.4
0.3
0.2
<u >/c

as  the  deepwater  wave  height)  also  agrees 
satisfactorily  with  observed  data.  The 
agreement  between  computed  and  observed 
phase  and  depth‐averaged  non‐dimensional 
TKE  and  its  advective  transport  is  less 
satisfactory  than  that  of  the  water  level  or 
flow  velocity.  It  must  be  noted  that  the 
computation  of  TKE  employs  a  depth‐
integrated  k − ε  model, which involves many 
approximation  assumptions  and  may  not 
accurately  predict  the  TKE  production, 
transport  and  dissipation  under  a  complex 
situation  such  as  wave  breaking.  Among  all, 
the weakest point of this model might be the 
depth‐integrated  approximation.  It  is 

0.2

0.1
0
-0.1
-0.2
0

 

0.2

0.4

0.6
t /T

0.8

1


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

2

Fig. 5. Computed and observed phase‐depth 
averaged horizontal flow velocity  
at (x-xb)/hb=7.462. Spilling breaker. 

-

<u>k/c 3 (X10 3)

1.5

The  agreement  between  computed  and 
observed advective transports of TKE, shown 
in Fig. 7, is better than that for the TKE itself. 
Results  of  Ting  and  Kirby  [15,  16]  show  that 
there  is  a  tendency  of  offshore  (negative) 
transport  of  TKE.  The  computational  results 
by  the  present  model  also  reveals  the  same 
tendency;  however,  as  shown  in  Fig.  8,  the 

residual  advective  offshore  transport  of  TKE 
evaluated  by  the  numerical  model  is 
significantly smaller than the observed one. 
From  the  general  agreement  between 
computed  and  observed  values  of  various 
wave  characteristics,  it  can  be  remarked  that 
the  numerical  model  can  simulate  wave 
transformation  in  the  nearshore  region  with 
an acceptable accuracy. 
0.006
0.005

k /c

2

0.004
0.003
0.002
0.001
0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t /T

Fig. 6. Computed and observed phase‐depth 
averaged relative turbulent intensity  
at (x-xb)/hb=7.462. Spilling breaker. 

167

1.2

1
0.5
0
-0.5
-1
0

0.2

0.4

  

0.6

0.8

1

t /T

Fig. 7. Computed and observed phase‐depth 
averaged relative advective transport rate of TKE  
in the horizontal direction at (x-xb)/hb=7.462.  
Spilling breaker.  

4.2. Wave runup on beach 

To  verify  the  accuracy  of  the  simulation 
by the present numerical model on the wave 
runup  on  beach,  experimental  data  of  Mase 
and Kobayashi [8] are used. The sketch of the 
experiment is shown in Fig. 10. As shown in 
the  figure,  the  experiments  were  carried  out 
in  a  wave  flume  with  the  length  of  27  m, 
depth  of  0.75  m  and  width  of  0.50  m.  An 
irregular  wave  generator  is  installed  at  one 
end of the wave flume. At the other end is a 
model  beach  with  a  foreshore  slope  of  1/20. 
The  water  depth  in  front  of  the  slope  is  set 
constant and equal to 0.47 m. The wave runup 
on  the  beach  is  recorded  by  a  wave  meter. 
Wave  groups  used  in  the  experiments  are 
expressed as: 
η
1
1

= cos[2π (1 + δ ) ft ] + cos[2π (1 − δ ) ft ]
   (15) 
η max 2
2
= cos(2πδft )cos(2πft ),
where  η max  is the amplitude of the incoming 
waves,  f   is  the  wave  frequency,  and  ∆   is 
the  variation  in  the  relative  wave  frequency. 
During  the  experiments,  η max was  taken  as  5 
cm. 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

168

Water Surface Elevation (m)

0.05

turbulence  generated  by  wave  breaking  and 
shear.  As  the  model  is  a  depth‐integrated, 
two‐dimensional in the horizontal directions, 
the  computational  time  is  relatively  short. 
Thus,  the  application  of  the  model  for 
simulation  of  wave  transformation  in  the 
field,  especially  in  the  vicinity  coastal 
structures  and  inside  harbours  is  very 
promising. 

0.025

0

- 0.025

- 0.05
0

5

10
15
Time (sec)

20

25

Fig. 8. Computed and observed wave runup height. 
T = 2.5 s, ∆ = 0.1. 

Fig.  8  shows  an  example  of  comparison 
between  observed  and  computed  wave 
runup  for  different  wave  periods.  It  can  be 
seen  in  the  figures  that  the  computed  wave 
runup  heights  agree  very  satisfactorily  with 
the observed values. 
The  computational  results  (not  shown) 
also  reveal  that  short  period  waves  are 

dissipated  much  more  rapidly  on  the  beach 
compared  with  long  period  waves.  The  very 
satisfactory  agreement  between  computed 
and  observed  wave  runup  heights  reveals 
that  the  numerical  model  can  accurately 
simulate wave runup on beaches. 
The  model  is  also  verified  for  its 
applicability  of  computing  waves  near 
coastal structures. 

5. Conclusions 

A  numerical  model  has  been  developed 
for  the  simulation  of  the  wave  dynamics  in 
the  near  shore  area  and  in  the  vicinity  of 
coastal  structures.  It  has  been  found  that  the 
numerical  model  can  satisfactorily  simulate 
the  wave  transformation,  including  wave 
breaking,  wave  runup  on  the  beach,  and 

References 
[1] D.  Cox,  N.  Kobayashi,  Kinematic  undertow 
model with logarithmic boundary layer, Journal 
of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering 
123/6 (1997) 354. 
[2] W.R. Dally, C.A. Brown, A modeling investigation 
of  the  breaking  wave  roller  with  application  to 
cross‐shore  currents,  Journal  of  Geophysical 
Research 100 (1995) 24873. 
[3] A.G. Davies, J.S. Ribberink, A. Temperville, J.A. 

Zyserman,  Comparisons  between  sediment 
transport  models  and  observations  made  in 
wave  and  current  flows  above  plane  beds, 
Coastal Engineering 31 (1997) 163. 
[4] R.  Deigaard,  Mathematical  modelling  of  waves 
in the surf zone, Prog. Report ISVA 69 (1989) 47. 
[5] S.  Hibberd,  H.D.  Peregrine,  Surf  and  runup  on 
beach: A uniform bore, Journal of Fluid Mechanics 
95 (1979) 323. 
[6] C.W. Hirt, Nichols, Volume of fluid method for 
the  dynamics  of  free  boundaries,  Journal  of 
Computational Physics 39 (1981) 201. 
[7] P.A.  Madsen,  O.R.  Sorensen,  H.A.  Schaffer,  
Surf  zone  dynamics  simulated  by  a  Boussinesq 
type model. Part 1: Model description and cross‐
shore  motion  of  regular  waves,  Coastal 
Engineering 33 (1997) 255. 
[8] H.  Mase,  N.  Kobayashi,  Low  frequency  swash 
oscillation,  Journal  of  Japan  Society  of  Civil 
Engineers II‐22/461 (1993) 49. 
[9] K.  Nadaoka,  M.  Hino,  Y.  Koyano,  Structure  of 
the  turbulent  flow  field  under  breaking  waves 
in  the  surf  zone,  Journal  of  Fluid  Mechanics  204 
(1989) 359. 


Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168 

[10] K.  Nadaoka,  O.  Ono,  Time‐Dependent  Depth‐
Integrated  Turbulence  Closure  Modeling  of 

Breaking  Waves,  Coastal  Engineering  ACSE 
(1998) 86. 
[11] S.V. Patankar, Numerical  Heat  Transfer  and  Fluid 
Flow, Hemisphere Publ. Co., London, 1980. 
[12] K.A.  Rakha,  R.  Deigaard,  I.  Broker,  A  phase 
resolving cross shore sediment transport model 
for  beach  profile  evolution,  Coastal  Engineering 
31 (1997) 231. 
[13] K.A.  Rakha,  A  quasi‐3D  phase‐resolving 
hydrodynamic  and  sediment  transport  model, 
Coastal Engineering 34 (1998) 277. 
[14] H.A.  Schaffer,  P.A.  Madsen,  R.  Deigaard,  A 
Boussinesq  model  for  waves  breaking  in 
shallow water, Coastal Engineering 20 (1993) 185. 
[15] F.C.K. Ting, J.T. Kirby, Observation of undertow 
 
 

[16]

[17]

[18]

[19]

169

and  turbulence  in  laboratory  surf  zone,  Coastal 
Engineering 24 (1994) 51. 

F.C.K.  Ting,  J.T.  Kirby,  Dynamics  of  surf  zone 
turbulence in a strong plunging breaker, Coastal 
Engineering 24 (1995) 177. 
F.C.K.  Ting,  J.T.  Kirby,  Dynamics  of  surf  zone 
turbulence  in  a  spilling  breaker,  Coastal 
Engineering 27 (1996) 131. 
Vu  Thanh  Ca,  K.  Tanimoto,  Y.  Yamamoto, 
Numerical simulation of wave breaking by a k‐ε 
model,  Proceedings  of  Coastal  Engineering,  JSCE 
47 (2000) 176. 
Vu  Thanh  Ca,  Y.  Ashie,  T.  Asaeda,  A  k‐
ε turbulence  closure  model  for  the  atmospheric 
boundary  layer  including  urban  canopy, 
Boundary‐Layer Meteorology 102 (2002) 459.