GV day Toán 9 Nên tham khảo

RÚT GỌN BIỂU THỨC - CĂN THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2
x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải
a) Phân thức
3
x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

⇔
x = 0 hoặc 4x – y = 0

⇔
x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ:
x 0; y 4x≠ ≠
.
Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau
2 2
2
4x 1 x x 20
A B
2x 1 x 5x
− + −
= =
− +
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2x 1 2x 1 2x 1
4x 1 1
A 2x 1; x
2x 1 2x 1 2x 1 2
− − +
−
 

= = = = + ≠
 ÷
− − −
 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )

( )
( )
2 2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
a) x 1; x 1
x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
− +
−
+ = − = = = + ≠
− − − − − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
x 2 x 3 x 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1
b)
x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
2 x 3
x 3x 2x 6 x x 2x 6 2
x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3
x 3; x 0
+ + − +
+ + + +

− = − =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
VD4: Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải
A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1

+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD5: Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )

( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x
y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1

y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= = = =
VD6:.So sỏnh hai s sau
a 1997 1999= +
v
b 2 1998=
Gii
Cú
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= + + = + +
= + < + =
Vy a < b.
VD7: Cho biểu thức:
b2ab2a2
ba1a
ba
1

bbaa
a3
baba
a3
M
++


+


++
=
))((
:)(
a, Rút gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nguyên
Giải
a, Rút gọn
M =
1a
2

b, Để M nguyên thì a-1 phải là ớc của 2
a 1 = 1 => a = 2
a 1 = -1 => a = 0 ( loại )
a 1 = 2 => a = 3
a 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3
VD8:

Cho biểu thức:
1
1a
1
1a
1
A
+
+


=
Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên

Giải
1
1a
2
1
1a
1a1a
1
1a
1a1a
A
+

=+

++

=+

+
=
)(
Để A nguyên thì a 1 là ớc của 2
Tổng quát : Để giảI toán tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo các b-
ớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện
Bớc 2: Rút gọn về dạng
)(
)(
xf
a
hay
a
xf
Nếu
a
xf )(
thì f(x) là bội của a
Nếu
)(xf
a
thì f(x) là ớc của a
Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai
VD9 : Tính
1281812226A
++=
Ta có :

242424228412818
22
===+=
)(
1313132332423261326A
1313132341224122
2
2
==+===+=
+=+=++=+=++
)()(
)(
*MT S BI TP C BN
1.Tỡm iu kin xỏc nh ca cỏc phõn thc sau
( )
2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
+ + +
+
+
2.Cỏc biu thc sau cú ph thuc vo giỏ tr ca bin hay khụng?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1

A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x
+
=
+
= + +
+
3.Chng minh
2 2 x y x y 2x
x y :
3x x y 3x x x y

+

=
ữ

+


.
4.Cho biu thc
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+

=

a)Tỡm KX ca biu thc A.
b)Rỳt gn A v tớnh giỏ tr vi x = - 0,5; y = 3.
c)Tỡm iu kin ca x, y A = 1.
d)Tỡm x, y biu thc A cú giỏ tr õm.
5.Thc hin phộp tớnh, rỳt gn biu thc
A 4 3 2 2 57 40 2= + +
B 1100 7 44 2 176 1331= +
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3

= +
ữ ữ

F 8 2 15 8 2 15= +
G 4 7 4 7= +
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −

2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5

2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
6.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
7. Chứng minh

a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S ...
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
8. Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −

− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
9. Cho
x 1
A
x 3
+
=

. Tỡm s nguyờn x A nhn giỏ tr nguyờn.
10. Tỡm x, bit:
( )
2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ +
= = =

Phơng trình vô tỷ - PHƯƠNG TRìNH CHứA DấU GTTđ
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
)1(75
=
xx
Cách 1: Bình phơng hai vế
x 5 = x

2
14x + 49
x
2
14x x + 49 + 5 = 0
x
2
15x + 54 = 0
x
1
= 6 ; x
2
= 9
Lu ý :
* Nhận định kết quả : x
1
= 6 loại vì thay vào phơng trình (1) không phải là nghiệm
. Vậy phơng trình có nghiệm x = 9
* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trình có nghiệm thì :
7
7
5
07
05

x
x
x
x
x
kết hợp
Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp
Cách 2 Đặt ẩn phụ
Đa phơng trình về dạng :
255
=
xx
Đặt
5
=
xy
phơng trình có dạng
y = y
2
2
y
2
y 2 = 0
Giải ta đợc y

1
= - 1 ( loại) y
2
=2
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
2173
=++
xx
9
45
25
=
=
=
x
x
x
Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:
1
01
073




+
+
x

x
x
Chú ý : Không nên bình phơng hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà ta nên chuyển
vế.
2173
++=+
xx
Bình phơng hai vế ta đợc :
121
+=+
xx
Bình phơng hai vế (x + 1)
2
= 4( x+ 1)
x
2
- 2x 3 =0 có nghiệm x
1
= -1; x
2
= 3
Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện
Ví dụ 3:
Giải phơng trình
0212
2
=++
xx

Đặt điều kiện

* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( 2x + 1 ) + 2 = 0
x
2
2x 1 + 2 = 0
x
2
2x +1 = 0
=> x
1
= x
2
= 1
* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( -2x -1 ) + 2 =0
x
2
+ 2x + 3 = 0
Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 1
PHNG TRèNH- H PHNG TRèNH
VD1.Gii cỏc phng trỡnh sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9 + = +
b)
( )
7x 20x 1,5

5 x 9
8 6
+
=
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ +
d)
x 3 3 x 7 10 + =
(*)
Gii
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =

+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +

-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a

a b ab
+ − + − −
− = (1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì

( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −

thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =

+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2

5
1
3
u v
u
u v
8
8
8
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3

+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh








=+
=+
1

y
10
x
6
36
13
y
3
x
4
Gi¶i :
§Æt Èn phô :
y
Y
x
X
1
;
1
==
Ta cã hÖ :







=+
=+

36
36
106
36
13
34
YX
YX
VÝ dô 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :






−=++
=++
=++
)3(232
)2(323
)1(1132
zyx
zyx
zyx

Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)
VÝ dô 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





=++
=++
)2(12
)1(6
222
zyx
zyx
Híng dÉn: Nh©n (1) víi 4 råi trõ cho (2)
=> (x
2
+ y
2
+ z
2
) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
x
2
– 4x + y
2
-4y + z
2
- 4z + 12 = 0
( x
2
– 4x + 4 ) + ( y
2
– 4y + 4 ) + ( z
2
– 4z -4 ) = 0

( x – 2 )
2
+ ( y – 2 )
2
+ ( z – 2 )
2
= 0
=> x = y = z = 2
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82
x 17 3x 7
b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4
c)
65 64 63 62
x 1 x 7x 3
d)
x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e)
x 2 x x x 2
f ) x 3 5
g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4

i) x 2 x 3 2x 1
k) 5 3x x 3 3x 1 x 2
4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)
3 6 2 4
+ − − = − +
+ −
− = −
+ + + +
+ = +
− −
− =
+ − −
+
− =
− −
+ =
− = +
− − + =
− + − =
+ + < − +
+ − − +
− > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b
a) b a

a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3.Giải các hệ phương trình
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22

+ + =

+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =



 


+ + =

4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -

2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VD1.Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..

2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =

e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3

=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0.
Trong đó x

1
, x
2
là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì
về hai nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2

∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1

= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c

a

2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13

1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥




+ = −

⇔


=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔


= −


+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
-Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =




= = −



mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phng trỡnh cú hai nghim cựng du
9
0
m
9
m 0

4
P 0
4
m 0





<

>


>

Hai nghim ny luụn õm. Vỡ S = - 3.\
Ví dụ 3
Cho phơng trình: x
2
( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )
a, Giải phơng trình khi
2
3
m
=
b, Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c, Gọi x
1
, x

2
là hai nghiệm phơng trình . Tìm giá trị m để :
x
1
( 1 2x
2
) + x
2
( 1 2x
1
) = m
2

Giải
a, Thay
2
3
m
=
vào ta có phơng trình :

01x2x2
01
2
3
x2
2
3
2x
2

2
=+
=++
)(
Phơng trình có hai nghiệm :
2
31
x
2
31
x
21
+
=
+
=
,
b, Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi x
1
x
2
=
0
a
c
<
hay a.c < 0
1(m + 1) < 0
m < -1
c, x

1
( 1 2x
2
) + x
2
( 1 2x
1
) = m
2

( )
*)(
2
2121
2
212211
mxx4xx
mxx2xxx2x
=+
=+

Theo viet ta có :
( )
( )
1m
a
c
xx
2m2
1

2m2
a
b
xx
21
21
+==
+=
+
==+
Thay vào (*) ta có :
2(m + 2 ) 4 ( m + 1 ) = m
2
2m + 4 4m 4 = m
2
m
2
+ 2m = 0
m ( m + 2 ) = 0



==+
=

2m02m
0m

Ví dụ 4
Cho phơng trình : x

2
2mx + 2m 1 = 0
1, Chng tỏ phơng trình có hai nghiệm với mọi m
2, Đặt
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A
+=
a. Chứng minh A = 8m
2
18m + 9
b. Tìm m sao cho A = 27
3, Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Giải
1. Xét
( ) ( ) ( )
m01m1m2m1m2m
2
2
2
=+==
'
=> Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
a.
( )
21

2
2
2
1
xx5xx2A
+=
=
21
2
2
2
1
xx5x2x2
+
( )
( )
21
2
21
2121
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
xx9xx2

xx9xx2xx2
xx9xx4x2x2
+=
++=
++=
Theo viet ta có :
( ) ( )
( )
9m18m89m18m421m29m22
a
c
xx
a
b
xx
22
2
21
21
+=+=







=
=+
=> điều phải

chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giảI phơng trình
8m
2
18m + 9 = 27
8m
2
18m 18 = 0
4m
2
9m 9 = 0
Phơng trình có hai nghiệm : m
1
= 3 , m
2
= -3/4
2.Tìm m để x
1
= 2x
2
Theo viet ta có : x
1
+ x
2
= -b/a = 2m
Hay 2x
2
+ x
2
= 2m

3x
2
= 2m
x
2
= 2m/3
x
1
= 4m/3
Theo viet:
09m18m8
9m18m8
1m2
9
m8
1m2
3
m4
3
m2
1m2
a
c
xx
2
2
2
21
=+
=

=
==>
==
.

Phơng trình có hai nghiệm : m
1
= 3/2; m
2
= 3/4
MT S BI TP C BN
1.Gii cỏc phng trỡnh sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2

1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
2.Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương
trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
3.Cho phương trình x
2

+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.

4.Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm
kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m

2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1

x x
;
x x
làm nghiệm.
GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải
Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong số những điều chưa
biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
Bước 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ giữa
đại lượng đã biết và chưa biết.
Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
1.Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô
chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô
lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Quãng đường
(km)
Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10 3x
x :
3 10

=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5 2x
x :
2 5
=
Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =
, giải được x = 200 km.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x - 20 3h20ph =
10
3
h
( )
10
x 20
3
−

Ôtô x 2h30ph =
5
2

h
5
x
2
Từ đó có phương trình
( )
5 10
x x 20
2 3
= −
, giải được x = 80 km/h.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10
x
3

Ôtô x + 20 2h30ph =
5
2
h
( )
5
x 20
2
+
Từ đó có phương trình

( )
10 5
x x 20
3 2
= +
, giải được x = 60 km/h.
*Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ nhất là ngắn gọn nhất.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho 200g dung dịch có nồng độ muối là 10%. Phải pha thêm vào dung dịch đó
một lượng nước là bao nhiêu để được dung dịch có nồng độ muối là 8%.
2.Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2
giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2
chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
3.Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai
chữ số bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số
ban đầu là 54. Tìm số ban đầu.
4.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều
rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225m
2
. Tính kích thước của hình chữ nhật đó.
5.Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy. Biết rằng số xe
đạp bán được nhiều hơn số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số
này là 97. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu xe mỗi loại.
6.Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số
của địa phương đó là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương
đó tăng bao nhiêu phần trăm.
-------------------------------------------------------------------------------------
HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
VD1.Cho (P): y = x
2

1. Vẽ (P) trên hệ trục Oxy.
2. Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Hãy viết
phương trình đường thẳng đi qua A và B.
3. Lập phương trình đường trung trực (d) của AB.
4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
5.Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục
hoành.
VD2.Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
x
y ; y x 1
4
= − = +
.
a) Vẽ (P) và (d).
b) Dùng đồ thị để giải phương trình
2
x 4x 4 0+ + =
và kiểm tra lại bằng
phép toán.
Phương trình đã cho
2
x
x 1
4
⇔ − = +
. Nhận thấy đồ thị của hai hàm số
vừa vẽ là đồ thị của
2
x

y
4
= −
và
y x 1= +
.
Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có
nghiệm kép là hoành độ của điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với (d) và cắt (P) tại
điểm có tung độ là - 4. Tìm giao điểm còn lại của (d
1
) với (P).
VD3.Cho (P): y =
2
1
x
4
và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có
hoành độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d).
c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong
khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn
nhất.
MH lớn nhất khi là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB và tiếp xúc
với (P).
Tìm được tọa độ của M

1
1;
4
 
 ÷
 
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho (P): y = ax
2
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1). Hàm số này đồng biến,
nghịch biến khi nào.
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ
m ( m ≠ 1). Viết phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) chỉ có một điểm chung.
2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d
1
):
y = -2(x+1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d
1
).
b) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị là (P) qua A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
2
) qua A và vuông góc với (d
1
).
d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d
2

); C là giao điểm của (d
1
) với trục
tung. Tìm tọa độ của B và C. Tính diện tích của tam giác ABC.
3.Cho (P): y = x
2
và (d): y = 2x + m. Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau.
c) Không giao nhau.
4.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
.
a) Vẽ (P).
b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2. Viết
phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với
(P).
5.Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình lần lượt là:
y = (m-2)x + 4 và y = mx + m + 2.
a) Tìm m để (d
1
) đi qua điểm A(1; 5). Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m vừa
tìm được.
b) Chứng tỏ rằng (d
1

) luôn đi qua điểm cố định với m ≠ 2.
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) //(d
2
); (d
1
)
⊥
(d
2
).
d) Tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) và trục
hoành trong trường hợp (d
1
)
⊥
(d
2
).
CỰC TRỊ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác
định giá trị của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.

Để tìm maxA cần chỉ ra A M≤ , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA =
M.
-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.
Để tìm minA cần chỉ ra A m≥ , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng toán thường gặp
2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):
Nếu A = B
2
+ m (đa thức 1 biến), A = B
2
+ C
2
+ m (đa thức hai biến), …
thì A có giá trị nhỏ nhất minA = m.
Nếu A = - B
2
+ M (đa thức 1 biến), A = - B
2
– C
2
+ M (đa thức hai biến),
… thì A có giá trị lớn nhất maxA = M.
2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:
2.2.1. Phân thức
m
A
B
=
, trong đó m là hằng số, B là đa thức.
-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.

-Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi
B nhỏ nhất.
2.2.2. Phân thức A =
B
C
, trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C.
Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành
m D
A n ; A n
C C
= + = +
trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn
bậc C.
2.2.3. Phân thức A =
B
C
, trong đó C có bậc cao hơn bậc của B.
Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì
1
A
có giá trị nhỏ nhất và
ngược lại.
2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:
-Chia khoảng giá trị để xét.
-Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai.
-Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:
a b a b+ ≥ +
;
a b a b a,b− ≥ − ∀
. Dấu “=” xảy ra khi

ab 0≥
.
-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.
Bất đẳng thức Côsi:
( )
n
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1
a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...a
n
≥ ⇒ + + + ≥
dấu “=” xảy ra khi a
1
= a
2
=
…= a
n
.
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
1 2 n 1 2 n
a ,a ,...,a ;b ,b ,...,b∀
có
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a a ... a b b ... b a b a b ... a b+ + + + + + ≥ + + +
dấu “=” xảy

ra khi
1 2 n
1 2 n
a a a
...
b b b
= = =
.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau
2 2 2
A x 3x 3; B 2x 2y y 2x 2xy 2007= − − + = + + − + +
( )
2
2
3 x
C ; D x 1
4x 4x 7 x 1
= = ∀ >
− + −
2
E x 1 x 3 ; F 2x 1 3 2x 1 2= − + − = − − − +
G x 2 x; H 1 x 1 x= + − = − + +
Giải
*
2 2 2
2
3 3 3 3 21 21
A x 2.x. 3 x x
2 2 2 2 4 4

 
     
= − + + + + = − + + ≤ ∀
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
Dấu “=” xảy ra
3
x
2
⇔ = −
Vậy maxA =
21
4
khi x = -
3
2
.
*
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
B x 2xy y 2y 2x 1 x 4x 4 2002
x y 1 x 2 2002 2002 x, y
= + + + + + + − + +
= + + + − + ≥ ∀
Dấu “=” xảy ra khi

x y 1 0 x 2
x 2 0 y 3
+ + = =
 
⇔
 
− = = −
 
Vậy minB = 2002 khi x = 2 và y = - 3.
*
( )
2
3
C
2x 1 6
=
− +
mà
( )
2
2x 1 6 6 x− + ≥ ∀
3 1
C x
6 2
⇒ ≤ = ∀
Dấu “=” xảy ra khi
1
x
2
=

. Vậy maxC =
1
2
khi
1
x
2
=
.
*
2
x 1 1 1 1
D x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1
− +
= = + + = − + +
− − −
Do x > 1 nên
1
x 1 0; 0
x 1
− > >
−
theo Bđt Côsi có
( )
1 1
x 1 2 x 1 2 1 2
x 1 x 1
 
− + ≥ − = =

 ÷
− −
 
D 4⇒ ≥
. Dấu “=” xảy ra khi
1 1
x 1 2 x 1 1 x 2
x 1 x 1
− + = ⇔ − = = ⇔ =
− −
.
Vậy minD = 4 khi x = 2.
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x - 3 - - 0 +
Khi x < 1: E = 1 – x + 3 – x = 4 – 2x > 4 – 2.1 = 2.
Khi
1 x 3≤ ≤
: E = x – 1 + 3 – x = 2.
Khi x > 3: E = x – 1 + x – 3 = 2x – 4 > 2.3 – 4 = 2.
Vậy minE = 2 khi
1 x 3≤ ≤
.
* Đặt
t 2x 1 0= − ≥
khi đó
2
2
3 1 1
F t 3t 2 t t

2 4 4
 
= − + = − − ≥ − ∀
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
5
x
3 3 3
4
t 2x 1 2x 1
1
2 2 2
x
4

=

= ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔


= −


Vậy minF =
1
4
−
khi
5

x
4
=
hoặc
1
x
4
= −
.
* KX: x 2
t
2 2
t 2 x 0 t 2 x x 2 t= = =
2
2
1 9 9
G 2 t t t t
2 4 4

= + = +
ữ

Du = khi v ch khi
1
t
2
=

1 7
2 x x

2 4
= =
Vy maxG =
9
4
khi x =
7
4
.
* KX: 1 x 1
2 2
H 1 x 1 x H 2 2 1 x= + + = +
Cú
2 2
0 1 x 1 0 2 1 x 2
2
2 H 4 2 H 4
Du = th nht xy ra khi v ch khi x = 1.
Du = th hai xy ra khi v ch khi x = 0.
Vy minA =
2
khi x = 1; maxA = 4 khi x = 0.
Ví dụ 2:
Cho biểu thức:

x1
1
x1
1
x1

1
:
x1
1
x1
1
A

+






+









+

=
a. Rút gọn A.
b. Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.

Giải:
a. Rút gọn đợc:
( )
x1x
1

b. A nhỏ nhất nếu mẫu
( )
x1x

là lớn nhất
Gọi
Kx
=
ta có K(1- K) = -K
2
+ K
-(K
2
- K) = -(K
2
- 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)
2
1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)
2
- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= 1/4
Hay

21x41x //
==
=>A nhỏ nhất =4
Ví dụ3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1xx
x
M
24
2
++
=


Giải:

Ta nhận thấy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x 0.
Chia cả tử và mẫu cho x
2
1
x
1
x
1
M
2
2
++
=
Vậy M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Mẫu nhỏ nhất khi
2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất
0
x
1
x
2
2
>+
Vậy
2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất x =1
Vậy
3
1
12
1
M
=

+
=
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1x2x1x2xY
++=

Giải:
( )
1x111x
1x111x11x11x
11x21x11x21xY
222
2
++=
++=++=
++++=
)()()(
Biết rằng |A| + |B| |A + B|
Vậy Y nhỏ nhất là 2 khi
01x111x
+
)()(
2x1
01x1
1x

)(
MT S BI TP C BN
Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht nu cú ca cỏc bu thc sau
2 2 2 2
A x y 6x 2y 17; B x 4xy 5y 10x 22y 28= + + = + + +
( )
2 2
2 2
x 1 8 x 1
C x 0 ; D ; E
x 2 3x 2 x 1
+
= = =
+ + +
( )
2 2
2 2
x x 1 x x 1
F x 0 ; G
x x 1 x 1
+ + +
= > =
+ + +
21x111x1x111x
11x11x11x11xY
++++=
++++=