GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 HAY

Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011
Thanh Mỹ,ngày 29 tháng 11 năm2010

DÃy các số viết theo quy luật
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dÃy số sau:
a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Híng dÉn:
a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
c)

n( n + 1)
2

d) 1+n2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
n( n + 3)
2
(n + 1)(n + 2)
h)

2
n( n + 1)(n + 2)
i)
2

g)

Bµi 2: TÝnh:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Híng dÉn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tỉng qu¸t:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bµi 3: TÝnh:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Híng dÉn:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
Nguyễn Văn Tú

1

Trờng THCS Thanh Mỹ

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 7
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tỉng qu¸t: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)n
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2
A= (n-1)n(2n+1):6

Năm học: 2010-2011

Bài 4: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hớng dẫn:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900
A = 343200
Bµi 5: TÝnh:
A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Híng dÉn:
1
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
2

A= 666600
Bµi 6: TÝnh:
A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Híng dÉn:

2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bµi 7: TÝnh:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Híng dÉn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bµi 8: TÝnh:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Híng dÉn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bµi 9: TÝnh:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Híng dÉn:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Nguyễn Văn Tú

2

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7

Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: TÝnh:
A = 12+22+32+...+992+1002
Híng dÉn:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tỉng qu¸t:
A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6

Năm học: 2010-2011

Bµi 11: TÝnh:
A = 22+42+62+...+982+1002
Híng dÉn:
A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bµi 12: TÝnh:
A = 12+32+52+...+972+992
Híng dÉn:
A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bµi 13: TÝnh:
A = 12-22+32-42+...+992-1002
Híng dÉn:

A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bµi 14: TÝnh:
A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Híng dÉn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bµi 15: TÝnh:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.100
Híng dÉn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)
Bµi 16: TÝnh:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Híng dÉn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)
Nguyễn Văn Tú

3

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011

Bài 17: Tính:
A = 13+23+33+...+993+1003

Híng dÉn:
A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)
A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.10098.99+(12+22+32+...+992+1002)
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...
+992+1002)
Bµi 18: TÝnh:
A = 23+43+63+...+983+1003
Híng dÉn:
Bµi 19: Tính:
A = 13+33+53+...+973+993
Hớng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 13-23+33-43+...+993-1003
Hớng dẫn:

Nguyễn Văn Tó

4

Trêng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011
Thanh Mỹ,ngày1 tháng 12 năm2010

Chuyên đề:

tỉ lệ thức-tính chất của dÃy tỉ số bằng nhau
A. Cơ sở lí thuyết
I. Tỉ lệ thức
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

a c
=
b d

(hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d đợc gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số h¹ng trong hay trung tØ.
2. TÝnh chÊt:
TÝnh chÊt 1: NÕu

a c
=
b d

th× ad = bc

TÝnh chÊt 2: NÕu ad = bc và a, b, c, d 0 thì ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:
a c
=
b d

a b
=

c d

,

d
c
=
b a

,

,

d b
=
c a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn l¹i.
II. TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau
-TÝnh chÊt: Tõ

a c
=
b d

suy ra:

a c a+c a−c
= =
=

b d b+d bd

-Tính chất trên còn mở rộng cho dÃy tỉ số b»ng nhau:
a c
e
= =
b d
f

suy ra:

a c e
a+b+c
a −b +c
= = =
=
= ...
b d
f b+d + f b−d + f

(gi¶ thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi cã d·y tØ sè

a b c
= =
2 3 5

ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè 2, 3, 5.

Ta còng viÕt a : b : c = 2 : 3 : 5

Nguyễn Văn Tú

5

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011

B. Các dạng toán và phơng pháp giải
Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

x
y
=
2 3

và

x + y = 20

Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

x y
= =k
2 3

, suy ra:

Theo giả thiết:
Do ®ã:

x = 2k

,

y = 3k

x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4

x = 2 .4 = 8

y = 3.4 = 12

KL:

x = 8 , y =12

C¸ch 2: (sư dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau):
¸p dơng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
x y x + y 20
= =
=

=4
2 3 2+3
5

Do ®ã:

x
=4⇒ x=8
2

y
= 4 ⇒ y = 12
3

KL:

x = 8 , y =12

C¸ch 3: (phơng pháp thế)
Từ giả thiết
mà

x + y = 20

Do ®ã:
KL:

x y
2y
= ⇒x=

2 3
3

x=

2y
+ y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 12
3

2.12
=8
3

x = 8 , y =12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:

x
y
=
3 4

,

y
z
=
3 5

và

2x − 3y + z = 6

Gi¶i:
Tõ gi¶ thiÕt:

x y
x
y
= ⇒ =
3 4
9 12

Nguyễn Văn Tú

(1)

6

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011

y z
y
z
=

=
3 5
12 20

(2)

x
y
z
=
=
9 12 20

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

(*)

Ta cã:

x
y
z
2x 3y
z
2x − 3y + z 6
=
=
=
=
=

=
= =3
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2

Do ®ã:

x
= 3 ⇒ x = 27
9
y
= 3 ⇒ y = 36
12
z
= 3 ⇒ z = 60
20

KL:

x = 27 , y = 36 , z = 60

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

x
y
z
=
=
=k
9 12 20

( sau đó giải nh cách 1 của VD1).

Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
y z
3z
= y=
3 5
5

x y
3y
= x=
=
3 4
4

mà

2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2.

Suy ra:
KL:

y=

3z
5 = 9z
4
20

3.

9z
3z
z
− 3. + z = 6 ⇒
= 60 ⇒ z = 60
20
5
10

3.60
= 36 ,
5

x=

9.60
= 27
20

x = 27 , y = 36 , z = 60

VÝ dơ 3: T×m hai số x, y biết rằng:

x
y
=
2 5

và

x. y = 40

Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt

x y
= =k
2 5

Theo giả thiết:

, suy ra

x = 2k

,

y = 5k

x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2

+ Víi k = 2 ta có:
Nguyễn Văn Tú

x = 2.2 = 4

7

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011

y = 5.2 =10

+ Víi k = −2 ta cã:

x = 2.( −2) = −4
y = 5.(−2) = −10

KL:

x = 4 , y = 10

hoặc

x = , y =
4
10

Cách 2: ( sử dụng tính chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau)
HiĨn nhiªn x ≠ 0
Nhân cả hai vế của

x
y
=
2 5

với x ta đợc:

x 2 xy 40
=
=
=8
2
5
5
⇒ x 2 = 16
⇒ x = ±4

4 y
4 .5
= ⇒y=
= 10
2 5
2

+ Víi x = 4 ta cã

+ Víi x = −4 ta cã
KL:

x = 4 , y = 10

−4 y
− 4.5
= ⇒y=
= −10
2
5
2

hc

x = −4 , y =
10

Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1.

Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
a)

x
y
z
= =
10 6 21

c)

2x 3y 4z
=

=
3
4
5

e)

x
y
=
5 3

vµ

vµ

5 x + y − 2 z = 28

vµ

x + y + z = 49

x2 − y2 = 4

b)
d)

x
y
=

3 4

x
y
=
2 3

,

vµ

y
z
=
5 7

vµ

2 x + 3 y − z = 124

xy = 54

x
y
z
=
=
=x+y+z
y + z +1 z + x +1 x + y 2

f)

Bài 2: Tìm các số x, y, z biÕt r»ng:
a)

x
y
z
= =
10 6 21

c)

2x 3y 4z
=
=
3
4
5

e)

x
y
=
5 3

vµ

vµ

5 x + y − 2 z = 28

vµ

x + y + z = 49

x2 − y2 = 4

b)
d)
f)

x
y
=
3 4

x
y
=
2 3

,

vµ

y
z
=

5 7

vµ

2 x + 3 y − z = 124

xy = 54

x
y
z
=
=
=x+y+z
y + z +1 z + x +1 x + y 2

Bài 3: Tìm các số x, y, z biÕt r»ng:
a)

3x = 2 y , 7 y = 5z

Nguyễn Văn Tú

và

b)

x y + z = 32

8

x 1 y − 2 z − 3
=
=
2
3
4

vµ

2 x + 3 y − z = 50

Trêng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
và

Năm học: 2010-2011

c)

2x = 3 y = 5z

e)

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=

=
x
y
z
x+ y+z

x y z
= =
2 3 5

d)

x + y − z = 95

f) 10 x = 6 y vµ

vµ

xyz = 810

2 x 2 − y 2 = 28

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết r»ng:
a)

3x = 2 y , 7 y = 5z

c)

2x = 3 y = 5z

e)

b)

x − y + z = 32

x + y − z = 95

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
3
4

d)

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z

vµ

vµ

x y z
= =
2 3 5

f) 10 x = 6 y vµ

vµ

vµ

2 x + 3 y − z = 50

xyz = 810

2 x 2 y 2 = 28

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
18
24
6x

Bài 6: Tìm x, y biÕt r»ng:
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=

18
24
6x

Bµi 7: Cho a + b + c + d 0 và
Tìm giá trị của:
Giải:

A=

a
b
c
d
=
=
=
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
c+d a+d a+b b+c

a
b
c
d
a+b+c+d

1
=
=
=
=
=
b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) 3 (

V× a + b + c + d ≠ 0 )

=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
T¬ng tù =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x 7
= vµ 5x – 2y = 87;
y 3
x 3 y3
z3
=
=
b)
vµ x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216

a)

x
y
=
vµ 2x – y = 34;

19 21
2x + 1 3y − 2 2x + 3y 1
=
=
c)
5
7
6x

b)

Bài 9: Tìm các số a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c 7b = 30.
Bài 10: Tìm c¸c sè x, y, z biÕt :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 vµ 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hc x = - 9; y = - 12; z = - 15.

Nguyễn Văn Tú

9

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7
Năm học: 2010-2011
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y x) = 0, mà y khác 0 nên 2y x = 0, do đó : x =
2y.
Từ đó tìm đợc : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thơng của a và b và bằng

hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra đợc: a = - 3b, từ ®ã suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:
số đó ?

a
b
c
,
,
.
b +c c +a a +b

Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ

Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trờng THCS lần lợt tỉ lệ với 9;10;11;8. BiÕt
r»ng sè häc sinh khèi 6 nhiỊu h¬n sè häc sinh khèi 9 lµ 8 em. TÝnh sè häc sinh của trờng đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mÃn đẳng thức:

[ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 0
2

2

thì chúng lập thành mét tØ lƯ thøc.
2 2
Gi¶i:  ab ( ab − 2cd ) + c d  . ab ( ab − 2 ) + 2(ab + 1)  = 0





=> ab(ab-2cd)+c2d2=0

(Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

Dạng II: Chøng minh tØ lƯ thøc
§Ĩ chøng minh tØ lƯ thức:

A C
=
B D

ta thờng dùng một số phơng pháp sau:

Phơng pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phơng pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

A
B

và

C
D

có cùng giá trị.

Phơng ph¸p 3: Sư dơng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc.
Mét sè kiÕn thøc cÇn chó ý:
+)

a na
=
b nb

+)

a c
a
c
= ⇒ =
b d
b
d

( n 0)
n

n

Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Nguyễn Văn Tú

10

Trờng THCS Thanh Mỹ

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 7
VÝ dơ 1: Cho tØ lƯ thức

Năm học: 2010-2011

a c
=
b d

.Chứng minh rằng:

a +b c +d
=
a b c d

Giải:
Cách 1: (PP1)
(a + b)(c d ) = ac − ad + bc − bd

(1)

(a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd

Ta cã:

(2)

Tõ gi¶ thiÕt:

a c
= ⇒ ad = bc
b d

Tõ (1), (2), (3) suy ra:

(3)

(a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )

⇒

a +b c +d
=
a b c d

(đpcm)

Cách 2: (PP2)
Đặt

a c
= =k
b d

, suy ra

a = bk

, c = dk

a + b kb + b b(k + 1) k + 1
=
=
=
a − b kb − b b(k − 1) k − 1

(1)

c + d kd + d d (k + 1) k + 1
=
=
=
c − d kd − d d (k − 1) k − 1

Ta cã:

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

a +b c +d
=
a b c d

(đpcm)

Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết:

a c
a b
= =
b d
c d

¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
a b a +b a −b
= =
=
c d c+d cd



a +b c +d
=
a b c d

(đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Nguyễn Văn Tú

11

Trờng THCS Thanh Mỹ


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 7
VÝ dơ 2: Cho tØ lƯ thức

Năm học: 2010-2011

a c
=
b d

. Chứng minh rằng:

ab a b 2
=
cd c 2 d 2
2

Giải:
Cách 1: Từ giả thiÕt:
Ta cã:

a c
= ⇒ ad = bc
b d

(1)

ab( c 2 − d 2 ) = abc 2 − abd 2 = acbc − adbd

(2)

cd ( a 2 − b 2 ) = a 2 cd − b 2 cd = acad − bc.bd

(3)

ab( c 2 − d 2 ) = cd ( a 2 − b 2 )

Tõ (1), (2), (3) suy ra:

2
2
⇒ ab = a2 − b 2

cd

C¸ch 2: Đặt
Ta có:

a c
= =k
b d

, suy ra

(đpcm)

c d

a = bk

, c = dk

ab bk .b kb 2 b 2

=
=
=
cd dk .d kd 2 d 2

(1)

a 2 − b 2 (bk ) 2 − b 2 b 2 k 2 − b 2 b 2 ( k 2 − 1) b 2
=
=
=
=
c 2 − d 2 (dk ) 2 − d 2 d 2 k 2 − d 2 d 2 ( k 2 − 1) d 2

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

Cách 3: Từ giả thiết:

ab a 2 b 2
=
cd c 2 − d 2

(2)

(®pcm)

a c
a b ab a 2 b 2 a 2 − b 2
= ⇒ = ⇒
=

=
=
b d
c d
cb c 2 d 2 c 2 − d 2
2
2
ab = a2 b 2

cd

(đpcm)

c d

Bài tập vËn dơng:
Bµi 1: Cho tØ lƯ thøc:

a c
=
b d

. Chøng minh r»ng ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau: (víi giả thiết
các tỉ số đều có nghĩa).

Nguyễn Văn Tú

12

Trờng THCS Thanh Mü

Giáo án BDHSG Toán 7
1)

Năm học: 2010-2011

3a + 5b 3c + 5d
=
3a − 5b 3c − 5d

2

2)

a + b2
a+b

 = 2
c +d2
c+d 

3)

a −b c −d
=
a +b c +d

4)

ab ( a − b )
=
cd ( c − d ) 2

5)

2a + 5b 2c + 5d
=
3a − 4b 3c − 4d

6)

2005a − 2006b 2005c − 2006d
=
2006c + 2007 d 2006a + 2007b

7)

a
c
=
a+b c+d

8)

7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
=
7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd

Bµi 2: Cho tØ lƯ thøc:

2

2

a c
=
b d

.

Chøng minh r»ng ta cã c¸c tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số ®Òu cã nghÜa).
a)

3a + 5b 3c + 5d
=
3a − 5b 3c − 5d

b)

a2 + b2
a+b

 = 2
c +d2
c+d 

d)

ab ( a − b )

=
cd ( c − d ) 2

e)

2a + 5b 2c + 5d
=
3a − 4b 3c − 4d

g)

a
c
=
a+b c+d

2

h)

Bµi 3: Cho

a b c
= =
b c d

Bµi 4: Cho

a b c
= =

b c d

Bµi 5: Cho

2

c)

f)

a −b c −d
=
a +b c +d

2008a − 2009b 2008c − 2009d
=
2009c + 2010d 2009a + 2010b

7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
i)
=
11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2

7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
=
7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd
3

a

b
c
=
=
2003 2004 2005

. Chøng minh r»ng:

a
 a +b +c 

 =
d
b +c +d 

. Chøng minh r»ng:

a
 a +b +c 

 =
d
b +c +d 

Chøng minh r»ng:

3

4( a − b)(b − c) = (c − a ) 2

a

a

a

a

Bµi 6: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a 1 = a 2 = a 3 = ... = a 2008
2
3
4
2009
CMR: Ta có đẳng thức:
Nguyễn Văn Tú

a1
a 2009

2008

a + a 2 + a 3 +... + a 2008 
= 1
÷
 a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009 

13

Trêng THCS Thanh Mü

Giáo án BDHSG Toán 7

a

Năm học: 2010-2011

a

a

a

Bài 7: Cho a1 = a2 = ............... = a8 = a9
2
3
9
1
Chøng minh r»ng:
Bµi 8: Cho

a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0

vµ

a1 = a 2 = ... = a9

a
b
c

=
=
2003 2004 2005

Chøng minh r»ng:

4( a − b)(b − c) = (c − a ) 2

Bµi 9: Chøng minh r»ng nÕu :
a

a b
=
b d

a

a

a2 + b2 a
=
b2 + d 2 d

thì
a

Bài 10: Cho a1 = a2 = ............... = a8 = a9
2
3
9

1
Chøng minh r»ng:

a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0

a1 = a 2 = ... = a 9

Bµi 11: CMR: NÕu a 2 = bc th×

a +b c +a
=
a −b c −a

Bµi 12: Chøng minh r»ng nÕu :

Bµi 13: Cho

vµ

a +b c +d
=
a b c d

.

a b
=
b d

thì

CMR:

. Đảo lại có đúng không?
a2 + b2 a
=
b2 + d 2 d

a c
=
b d

a
c
a 2 +b 2
ab
=
. Chøng minh r»ng: = .
2
2
b
d
c +d
cd
2
2
2
2
2
( a + b ) = ab ⇒ ( a + b )( a + b ) = a.b ;

a +b
ab 2ab a + 2ab + b
=
=
Gi¶i. Ta cã : 2
=
=
2
( c + d )( c + d ) c.d
2cd c 2 + 2cd + d 2 ( c + d ) 2 cd
cd
c +d

Bµi 14. Cho tØ lƯ thøc :

⇒

c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd
a c
=
=
=
=
= 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ =
a( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd
b d

Bµi 15: Chøng minh r»ng nÕu:

Ngun Văn Tú

u +2 v +3
=
u 2 v 3

14

thì

u v
=
2 3

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
Bài 16: CMR: Nếu a 2 = bc thì
Bài 17: CMR nếu

a +b c +a
=
a b c −a

Bµi 19: Cho

a +b c +d
=
a −b c − d

a c
=
b d

Chứng minh rằng:

. Đảo lại có đúng không?

a ( y + z ) = b( z + x ) = c ( x + y )

trong ®ã a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
Bài 18: Cho

Năm häc: 2010-2011

.

CMR:

y −z
z −x
x−y
=
=
a (b − c ) b(c − a ) c (a − b)

a c
=
b d

. C¸c sè x, y, z, t tháa m·n:

xa + yb ≠ 0

vµ zc + td ≠ 0

xa + yb xc + yd
=
za + tb
zc + td

Bµi 20: Chøng minh r»ng nÕu:

u +2 v +3
=
u 2 v 3

thì

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mÃn:

u v
=
2 3

b 2 = ac

; c 2 = bd

vµ b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0

Chøng minh r»ng:

a3 + b3 + c3 a
=
b3 + c3 + d 3 d

Bµi 22: CMR nÕu

a ( y + z ) = b( z + x ) = c ( x + y )

.Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

y −z
z −x
x−y
=
=
a (b − c ) b(c − a ) c(a − b)

Bµi 23: Cho

P=

ax 2 + bx + c
a1 x 2 + b1 x + c1

. Chøng minh rằng nếu

a
b

c
=
=
a1 b1 c1

thì giá trị của P

không phụ thuộc vµo x.
Bµi 24: Cho biÕt :
Bµi 25: Cho

a c
=
b d

Chøng minh rằng:
Nguyễn Văn Tú

a b'
b c'
+ = 1; ' + = 1
a' b
b c

. CMR: abc + a’b’c’ = 0.

. C¸c sè x, y, z, t tháa m·n:

xa + yb ≠ 0

vµ zc + td ≠ 0

xa + yb xc + yd
=
za + tb
zc + td

15

Trêng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mÃn:
Chứng minh rằng:

Bài 27: Cho

b 2 = ac

Năm học: 2010-2011
và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0

; c 2 = bd

a3 + b3 + c3 a
=
b3 + c3 + d 3 d

ax 2 + bx + c

P=
a1 x 2 + b1 x + c1

. Chøng minh r»ng nÕu

a
b
c
=
=
a1 b1 c1

th× giá trị của P

không phụ thuộc vào x.
Bài 28: Cho tØ lƯ thøc:

2a +13b 2c +13d
=
3a −7b
3c − 7d

Bµi 29: Cho d·y tØ sè :

bz −cy cx −az ay −bx
=
=
a
b
c

; Chứng minh rằng:
; CMR:

a
c
=
b
d

.

x
y
z
= =
a
b
c

.

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyờn đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A> MôC TI£U

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,
rèn ý chí vượt qua mọi khó khn.
B> Thời lợng

Tổng số :(6 tiết)
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)
2)Các dạng bài tập và phơng pháp giải(5 tiết)
1. Lý thuyt
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của
một số a( a là số thực)

Nguyễn Văn Tú

16

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7
Năm học: 2010-2011
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của
nó.
TQ: Nếu a ≥0 ⇒ a = a
NÕu a <0 ⇒ a = −a
NÕu x-a ≥ 0=> = x-a
NÕu x-a ≤ 0=> = a-x
*Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ: a 0 với mọi a R
Cụ thể:
=0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai sè b»ng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngợc lại hai số

có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
a = b
TQ: a = b
a = b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ: a ≤a ≤ a vµ − a = a ⇔a ≤ 0; a = a ⇔a ≥ 0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu a < b < 0 a > b
* Trong hai số dơng số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: NÕu 0 < a < b ⇒ a < b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: a.b =a . b
* Giá trị tuyệt đối của một thơng bằng thơng hai giá trị tuyệt đối.
TQ:

a
a
=
b
b

* Bình phơng của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phơng số đó.
TQ: a =a
2

2

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dÊu.

TQ: a + b ≥ a +b vµ a + b = a +b a.b 0
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mÃn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A(x) =k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trớc )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mÃn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) =0 A( x) =0

Nguyễn Văn Tú

17

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7

Năm học: 2010-2011

A( x) = k

- NÕu k > 0 th× ta cã: A( x) = k ⇒ 
 A( x) = − k
Bµi 1.1: T×m x, biÕt:
a)

b)

2 x −5 =4

1
5
1
− −2x =
3
4
4

c)

1
1
1
−x+ =
2
5
3

d)

3
7
− 2x +1 =
4
8

Gi¶i
a) = 4
x= ± 4

a) 2 x −5 =4
2x-5 = ± 4
* 2x-5 = 4
2x = 9
x = 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5
Tãm l¹i: x = 4,5; x =0,5
1

5

b) 3 − 4 − 2 x

=

1
4

= Bµi 1.2: T×m x, biÕt:
a)

2 2x − 3 =

1
2

b)

c)

7,5 −3 5 2 x = ,5
4

x+

4
3,75 = 2,15
15

Bài 1.3: Tìm x, biÕt:
a)

b)

2 3 x − + =5
1 1

x
−1 = 3
2

c)

−x +

2 1
+ = 3,5

5 2

d)

x

1
1
=2
3
5

Bài 1.4: Tìm x, biết:
1 3
= 5%
4 4
3 1
5
5
4,5 −
x+ =
4 2
3
6

a)

b)

x+

2−

3
1
−5
x− =
2
4
4

c)

3 4
3
7
+ x− =
2 5
4
4

d)

Bài 1.5: Tìm x, biết:
a)

6,5

9
1

: x + =2
4
3

2. Dạng 2: A(x)
* Cách giải:

b)

11 3
1
7
+ : 4x =
4
2
5
2

= B(x)

c)

15
3
1
− 2,5 : x + = 3
4
4
2

d)

21
x 2
+3 : − = 6
5
4 3

( Trong đó A(x) và B(x) là hai biĨu thøc chøa x )

a = b
VËn dơng tÝnh chÊt: a = b ⇔ 
ta cã: A( x) = B( x) ⇒
a= −b


 A( x) = B( x)
 A( x) = B( x)


Bài 2.1: Tìm x, biết:
Nguyễn Văn Tú

18

Trờng THCS Thanh Mü


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 7
a) 5 x −4 = x +2 b) 2 x −3 − 3x +2

a) 5 x −4 = x +2
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
x=
Vậy x= 1,5; x=

c)

=0

Năm học: 2010-2011
d) 7 x +1 − 5 x +6 =0

2 +3 x = 4 x 3

Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)

3
1
x + = 4 x −1
2
2

b)

5
7
5
3
7
2
4
1
x − − x + = 0 c)
x+ = x−
4
2
8
5
5
3
3
4

d)

7
5
1
x + − x +5 = 0
8
6
2

3. D¹ng 3: A(x) =B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biĨu thøc chøa x )
* C¸ch 1: Ta thÊy nÕu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mÃn vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải nh sau:
A( x ) =B ( x )
(1)
≥ 0 (*)
§iỊu kiƯn: B(x)

 A( x) = B( x)

(1) Trë thµnh A( x) = B( x)
( Đối chiếu giá tri x tìm đợc víi ®iỊu kiƯn ( * )
A( x) = − B( x)

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a 0 a = a
Nếu a <0 ⇒ a = −a
Ta gi¶i nh sau: A( x) =B( x) (1)
ã Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đợc với điều
kiện )
ã Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đợc với
điều kiện )
VD1:
Giải :
a0) Tìm x Q biết =2x
* Xét x+ ≥ 0 ta cã x+ =2x
*XÐt x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 −2x
2

x − =3 x +2
1

c)

5 x =x −
12

d)

7 −x =5 x +
1

Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 9 +x =2 x
b)

5 x −3 x =2

c)

x +6 −9 = 2 x

d)

2 x 3 +x =21

Bài 3.3: Tìm x, biết:
4
a) 4 +2 x =− x
b)

3 x − +2 = x
1

c)

x+
15 + =3 x
1

d)

2 x 5 + x = 2

Nguyễn Văn Tú

b)

19

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
Bài 3.4: Tìm x, biết:

a) 2 x −5 = x +1
b) 3x −2 −1 =x

c)

3 x −7 =2 x +
1

d)

2 x − + =x
1 1

Bµi 3.5: T×m x, biÕt:
a) x −5 +5 = x
b)

c)

3 x −4 +4 =3 x

d)

7 −2 x +7 = 2 x

x +7 x =7

Năm học: 2010-2011

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x ) + B ( x ) + C ( x ) =m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tơng ứng )
Ví dụ1 : T×m x biÕt r»ng x − 1 + x − 3 = 2 x − 1 (1)
 NhËn xÐt: Nh trên chúng ta đà biến đổi đợc biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành
các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của
đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm đợc x
Giải
Xét
x 1 = 0 x = 1; x – 1 < 0 ⇔ x < 1; x – 1 > 0 ⇔ x > 1
x- 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3; x – 3 > 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dới đây:
x
x1
x3

-

1
0

3
+
-

0

+
+

Xét khoảng x < 1 ta cã: (1) ⇔ (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
⇔ -2x + 4
= 2x – 1
5
⇔ x = (gi¸ trị này không thuộc khoảng đang xét)
4
Xét khoảng 1 x ≤ 3 ta cã:
(1) ⇔ (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
⇔ 2
= 2x 1
3
x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
2
(x 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
XÐt kho¶ng x > 3 ta cã: (1)
⇔ - 4 = -1 ( V« lÝ)
3
KÕt luËn: VËy x = .
2
VD2 : T×m x
+ =0
NhËn xÐt x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu
Ngun Văn Tú

20

Trờng THCS Thanh Mỹ

Giáo án BDHSG Toán 7
x
-1
x+1
0
+
x-1
Căn cứ vào bảng xét dấu ta cã ba trêng hỵp
NÕu x<-1
NÕu -1 ≤ x ≤ 1
Nếu x >1
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a) 4 3 x −1 + x −2 x −5 +7 x −3
c)

2

b)

=12

1
0

d)

2 x +3

d) x −2 + x −3 + x −4
f) 2 x +2 + 4 x =11

Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) x −2 + x −3 + 2 x −8 =9
c) x −1 +3 x −3 −2 x −2 =4
e) x − 2 x +3 = x −1

b)

1
1
1
+ x −3 = 2 − x
2
2
5

=2

3 x x + −2 x x +2 =12
1

d)
f)

+
+

3 x +4 − 2 x +1 −5 x +3 + x −9 =5

1
1
1
− x + x − + 8 = 1,2
5
5
5

Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 2 x 6 + x +3 =8
c) x +5 + x −3 =9
e) x +1 + x 2 + x +3 =6

Năm học: 2010-2011

x +5 −1 −2 x = x

x +1 −x = x + x 3

Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) x 2 + x −5 =3
c) 2 x −1 + 2 x −5 =4

b)
d)

x −3 + x +5 =8
x −3 + 3 x +4 = 2 x +1

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x) + B(x) + C(x) =D(x ) (1)
§iỊu kiƯn: D(x) ≥ 0 kÐo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0
Do vËy (1) trë thµnh: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x +1 + x +2 + x +3 = 4 x
c)

x +2 + x +

3
1
+ x + = 4x
5
2

b)
d)

x +1 + x +2 + x +3 + x + 4 = 5 x −1

x +1,1 + x +1,2 + x +1,3 + x +1,4 =5 x

Bài 5.2: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)

1

2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
101
101
101
101
1
1
1
1
x+
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
1.2
2.3
3.4
99.100
1
1
1
1
x+
+ x+

+ x+
+ ... + x +
= 50 x
1.3
3.5
5.7
97.99
1
1
1
1
x+
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
1.5
5.9
9.13
397.401

x+

6. D¹ng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a)

2 x 1 +

1

4
=
2
5

Nguyễn Văn Tú

b)

x2 + 2 x

1
= x2 + 2
2

21

c)

x2 x +

3
= x2
4

Trêng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
Bài 6.2: Tìm x, biết:

a)

2 x 1

1
1
=
2
5

Năm học: 2010-2011
b)

1
3
2
x +1 =
2
4
5

3
=x
4

c)

x x2 +

c)

x

c)

3 x + =2
1
5

Bài 6.3: Tìm x, biết:
a)

x x2

3
=x
4

b)

Bài 6.4: T×m x, biÕt:
1
1
a) 2 x −3 −x + =4 x −

b)

1
3
3


= 2x −
 x +  2x −
2
4
4


x− − =
1
1
2

1
3
3
2x −
=2x −
2
4
4

7. D¹ng 7: A + B =0
VËn dơng tÝnh chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phơng pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B =0

A 0
B1: đánh giá:

A+ B 0
B 0
B2: Khẳng định:

A + B =0

A= 0

B= 0

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mÃn:
a)

3 x 4 + 3 y +5 = 0

b)

x−y + y+

9
=0
25

c)

3 −2 x + 4 y +5 =0

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mÃn:
a)

5

3
2
x + y −3 = 0
4
7

b)

2 1 3
11 23
− + x + 1,5
+
y =0
3 2 4
17 13

* Chú ý1: Bài toán có thể cho dới dạng
* Cách giải: A + B ≤0 (1)

A + B ≤0

c)

x −2007 + y −2008 =0

nhng kết quả không thay đổi

A 0

A + B ≥ 0 (2)
B ≥ 0
Tõ (1) vµ (2) ⇒

A + B =0

A= 0

B= 0

Bài 7.3: Tìm x, y tho¶ m·n:
a) 5 x +1 + 6 y −8 ≤0
b)

x +2 y + 4 y −3 ≤ 0

c)

x − y +2 + 2 y +1 0

Bài 7.4: Tìm x, y tho¶ m·n:
a) 12 x +8 +11 y −5 ≤0 b)

3 x +2 y + 4 y −1 ≤ 0

c)

x + y 7 + xy 10 0

Nguyễn Văn Tú

22

Trờng THCS Thanh Mü


Giáo án BDHSG Toán 7
Năm học: 2010-2011
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tơng tự nh tính chất không âm
của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tơng tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mÃn đẳng thức:
a) x y 2 + y +3 =0
b)
( x + y)
+ 2007 y −1 = 0
c)

x −3 y

c)

3( x − 2 y )

2004

+4 y +

b) 2( x −5)

1

=0
2

+ y +4

2008

=0

x − y −5 + 2007( y 3)

d)

2006

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mÃn :
a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0

2007

4

+ 5 2 y −7

5

2008

=0

=0

d)

1

x + 3 y −1 + 2 y
2


b)

3xy

2000

=0

Bài 7.7: Tìm x, y thoả m·n:
a)

x −2007 + y −2008 ≤0

c)

1 3
1
 x− 
24
2

2006

+

2007 4
6
y+
≤0
2008 5
25

d)

5

+10 y +

2
3

7

2007 2 x − y

≤0
2008

+2008 y −4

2007

≤0

8. D¹ng 8: A + B = A +B
* Cách giải: Sử dơng tÝnh chÊt: a + b ≥ a +b
Tõ ®ã ta cã: a + b = a +b ⇔a.b ≥0
Bµi 8.1: T×m x, biÕt:
a) x +5 + 3 −x =8
d) 2 x 3 + 2 x +5 =11
Bài 8.2: Tìm x, biÕt:
a) x −4 + x −6 =2
d) 5 x +1 + 3 −2 x = 4 +3x

b)
e)

x −2 + x −5 =3

c)

3 x −5 + 3 x + =6
1

x + + 2 x −3 = 3 x −2
1

b)
e)

x −3 + 5 −x +2 x −4 = 2

c) 3x +7 +3 2 −x =13
f) x −2 + x −7 =4

x +1 + x +5 = 4
x +2 + 3 x − + x − =3
1
1

1 - LËp b¶ng xÐt dÊu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
Bài 1: Tìm x, biÕt:
a) 2 x −6 + x +3 =8
Ta lËp b¶ng xét dấu
x
-3
3
x+3
0
+
2x-6
0
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trờng hợp
* Nếu x<-3
Khi đó phơng trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x
=8-3
-3x
=5

x
= - ( kh«ng tháa m·n x<-3)
* NÕu - 3 ≤ x ≤ 3
6 - 2x + x + 3 = 8
-x
= -1
Nguyễn Văn Tó

f)

23

+
+

Trêng THCS Thanh Mü


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 7
x
= 1 ( tháa m·n - 3 ≤ x ≤ 3)
* NÕu x >3
2x-6 + x + 3 = 8
3x
= 11
x
= ( thỏa mÃn x >3)

Năm học: 2010-2011

2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

2 x −1 +

1
4
=
2
5

* + =
= =
2x-1=
2x-1= -

2x = + 1
<=>
2x = - + 1

x=
<=>
x=

* + ==- - (kh«ng tháa m·n)
3 - Sử dụng phơng pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mÃn đẳng thức:
a) x y 2 + y +3 =0
x-y-2 =0

x=-1
<=>
y+3 =0
y= -3
Bài 2: Tìm x, y tho¶ m·n :
a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0
Bài 3: Tìm x, y thoả mÃn:
a) x 2007 + y 2008 0
Bài 4: Tìm x tho¶ m·n:
a) x +5 + 3 −x =8
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mÃn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A + B
* Cách giải:

=m

* Nếu m = 0 th× ta cã

víi m ≥ 0

A + B =0

* NÕu m > 0 ta gi¶i nh sau:
A + B =m (1)
Do A 0 nên từ (1) ta có:
Nguyễn Văn Tú

A= 0

B= 0

0 B m

từ đó tìm giá trị của
24

B

và

A

tơng ứng .

Trờng THCS Thanh Mỹ


Giáo án BDHSG Toán 7
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) tho¶ m·n:
a) x −2007 + x −2008 =0 b) x − y −2 + y +3 =0

c) ( x + y )

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) tho¶ m·n:
a) x −3 y + y +4 = 0
b) x − y −5 + ( y 3)

c)

4

5

Năm học: 2010-2011

=0

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) tho¶ m·n:
a) x +4 + y −2 =3
b) 2 x +1 + y 1 =4 c)
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mÃn:
a) 3 x −5 + y +4 =5 b) x +6 +4 2 y −1 =12 c)

2

+ 2 y −1 = 0

x +3 y − +3 y +2 =0
1

d)

2 3 x + y +3 =10

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) tho¶ m·n:
a) y = 3 − 2 x −3
b) y = 5 − x −1
c) 2 y = 3 − x + 4
2

2

2

5 x + 2 y +3 =7

d)

3 4 x + y +3 =21

d)

3 x + y +5 =5

3 y 2 =12 − x − 2

2. D¹ng 2: A + B <m víi m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A + B
A 0
⇒ A + B ≥ 0 (2)
B ≥ 0
Tõ (1) và (2)

0 A + B < m

từ đó giải bài toán

A + B =k

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mÃn:
a) x + y ≤3 b) x +5 + y −2 ≤4 c) 2 x +1 + y −4 ≤3 d)

nh d¹ng 1 víi 0 ≤ k < m

3 x + y +5 ≤4

Bµi 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) tho¶ m·n:
a) 5 x +1 + y −2 ≤7 b) 4 2 x +5 + y +3 ≤5 c) 3 x +5 +2 y −1 ≤3 d)
3. D¹ng 3: Sư dụng bất đẳng thức:

a + b a +b

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mÃn:
a) x 1 + 4 −x =3 b) x +2 + x −3 =5 c)

3 2 x + +4 2 y − ≤7
1
1

xÐt kho¶ng giá trị của ẩn số.

x +1 + x 6 =7

d)

2 x +5 + 2 x 3 =8

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mÃn đồng thời các điều kiện sau.

a) x + y = 4 và x +2 + y =6
b) x +y = 4 vµ 2 x +1 + y −x =5
x + y =3
c) x –y = 3 vµ
d) x – 2y = 5 và x + 2 y 1 =6
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mÃn đồng thêi:
a) x + y = 5 vµ x +1 + y −2 =4
b) x – y = 3 vµ x −6 + y −1 =4
c) x – y = 2 vµ 2 x +1 + 2 y +1 =4
d) 2x + y = 3 vµ 2 x +3 + y +2

=8

4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A( x).B( x) = A( y )
Đánh giá: A( y ) ≥ 0 ⇒A( x).B( x) ≥ 0 n x m tìm đợc giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mÃn:
a) ( x + 2)( x − 3) < 0 b) ( 2 x −1)( 2 x − 5) < 0 c) ( 3 − 2 x )( x + 2) > 0 d) ( 3x + 1)( 5 − 2 x ) > 0
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) tho¶ m·n:
a) ( 2 − x )( x +1) = y +1
b) ( x +3)(1 − x ) = y c) ( x −2)(5 − x ) = 2 y +1 + 2

Nguyễn Văn Tú

25

Trờng THCS Thanh Mü