Đề + đáp án Môn Toán năm 2010

Phòng giáo dục & đào tạo lâm thao
------------------------
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9
(Thời gian làm bài 120 phút; Ng y thi: 14/12/2010)
Bài 1: (2điểm).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: A = n
3
+ 11n chia hết cho 6.
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a/ (2 điểm):
10232
22
+=
xxxx
b/ (1 điểm): 3xy- 2x + y = 3 (với x, y

Z).
Bài 3:
a/ (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc trong kẻ từ A cắt BC
tại D. Chứng minh rằng:
2 1 1
AD AB AC
= +
b/ (1 điểm): Cho tam giác ABC, điểm O thuộc miền trong tam giác. AO; BO v
CO cắt BC; AC v AB lần l ợt tại M; N; P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q =
OP
CO
ON
BO
OM

AO
++
Bài 4: (1 điểm).
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

2336222
=++
zyx
(với x < y < z).
--------------------------
Chú ý: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm
Kì thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2010-2011
Hớng dẫn chấm môn toán 9
Bài Nội dung chấm (tóm tắt) Điểm
1
2
Bài 1: (2điểm) - Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
A = n
3
+ 11n chia hết cho 6.
HD: Đa về dạng: A = n
3
- n + 12n = (n 1)n(n +1) + 12n
Từ đó, xét từng số hạng của A chia hết cho 6; suy ra đpcm.
------------------------------------------------------------------
Bài 2: (3 điểm). Giải các phơng trình sau:
a/ (2 điểm):
10232
22
+=

xxxx
HD:
Ta có: x
2
- 2x +10 = (x-1)
2
+ 9 > 0 với mọi x. Vậy ĐKXĐ:
Rx

.

010102310210232
2222
=+++=
xxxxxxxx
(*)
Đặt
yxx
=+
102
2
; ĐK: y > 0



<=
>=

=+=+=
loaiy

mty
yyyyyyy
;02
/;05
0)2)(5(010250103(*)
22
Với y = 5, ta có:



=
=
=+=+
==+=+
3
5
0)3)(5(01535
0152251025102
2
222
x
x
xxxxx
xxxxxx
Vậy PT có 2 nghiệm là: x
1
= 5; x
2
= -3
b/ (1 điểm): Giải phơng trình: 3xy- 2x + y = 3 (với x, y

Z)
HD: Đa phơng trình về dạng: (3x + 1)(3y 2) = 7
Do x, y là các số nguyên; phân tích 7 =
)7).(1(

, nên ta có bảng:
3x + 1 1 7 -1 -1
3y - 2 7 1 -7 -7
1,0
1,0
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Từ đó, PT đã cho có 2 nghiệm là:
x 0 2
y 3 1

Bài 3: (4điểm).
a/ (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc trong kẻ từ A
cắt BC tại D.
Chứng minh rằng:

2 1 1
AD AB AC
= +

D
C
B
A
Ta có:
2.S
ABC
= AB.AC = 2(S
ABD
+S
ACD
) = AB.AD.Sin 45
0
+ AD.AC.Sin 45
0
= AD.Sin 45
0
(AB + AC) =
2
2
AD (AB + AC) =
2
1
AD (AB + AC)
=>
2 2 1 1

.
AB AC
AD AB AC AD AB AC
+
= = +
(đpcm).
b/ (1điểm): Cho tam giác ABC, điểm O thuộc miền trong tam giác. AO;
BO v CO cắt BC; AC v AB lần l ợt tại M; N; P . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: Q =
OP
CO
ON
BO
OM
AO
++
KH
M
P
N
CB
A
O
Kẻ AH

BC;BK

BC, đặt:
;;;;
321

SSSSSSSS
AOBAOCBOCABC
====
Do

BOC và

ABC chung đáy BC nên
OK
AH
S
S
=
1
, mà: AH // OK, nên:

OM
AM
OK
AH
=
suy ra:
)1(
1
32
1
1
1
S
SS

OM
AO
S
SS
OM
OMAM
OM
AM
S
S
+
=

=

=
0,25
1,00
0,75
1,00
0,25
0,25
0,25
4
------
Tơng tự
);3();2(
3
21
2

13
S
SS
ON
CO
S
SS
ON
BO
+
=
+
=
Từ (1); (2) và (3) ta có
)()()(
3
1
1
3
2
3
3
2
1
2
2
1
S
S
S

S
S
S
S
S
S
S
S
S
Q
+++++=
áp dụng BĐT thức Cauchy cho các số không âm, ta đợc: Q
6


Giá trị nhỏ nhất của
321
6 SSSQ
===
hay O là trọng tâm

ABC.
----------------------------------------------------------

Bài 4: (1 điểm).
Ta có:
73.2)221(2
5
=++

xzxyx
Đặt A =
xzxy

++
221
, ta thấy A lẻ, nên
5
22 =
x
và A = 73.
Suy ra: x = 5 và
7222
=+

xzxy
hay
9.2)21(2
3
=+

yzxy
Từ đó
3
22
=

xy
và
921

=+

xz
. Suy ra: y = 8, z = 11
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = 5, y = 8 , z = 11.
----------------------------------
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25