Bài giảng giải tích một biến đại học thủy lợi

Chương 3

TÍCH PHÂN
3.1.

Tích phân bất định

Định nghĩa 3.1 Ngun hàm. Hàm F (x) gọi là một nguyên hàm của hàm f (x)
trên (a, b) nếu F (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b).
Ví dụ 3.1 Hàm sin x là một nguyên hàm của cos x trên toàn trục số.
Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số
f (x) trên (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm số f (x) và kí hiệu là
f (x)dx = F (x) + C
trong đó f (x) là hàm dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x
là biến tích phân.
Chú ý 3.1 Ta có
1.

f (x)dx = f (x)

2. d
3.

f (x)dx = f (x)dx
F (x)dx =

d(F (x)) = F (x) + C

Bảng tích phân cơ bản.
xα+1
α+1

1.

xα dx =

2.

dx
x

3.

ax dx =

4.

sin xdx = − cos x + C

5.

cos xdx = sin x + C

6.

dx
cos2 x

= tan x + C

7.

dx
sin2 x

= − cot x + C

8.

√ dx
1−x2

+ C, (α = 1)

= ln |x| + C
ax
ln a

+C

= arcsin x + C = − arccos x + C

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




55

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
9.

dx
1+x2

= arctan x + C = −arccotx + C

Định lý 3.1 Nếu hàm f (x) liên tục trên (a, b) thì
(a, b).

f (x)dx tồn tại trên khoảng

Các tính chất của tích phân bt nh.
ã Tớnh cht tuyn tớnh
ã Nu

3.2.

[f (x) + àg(x)] dx = λ

f (x)dx = F (x) + C thì

f (x)dx + µ

g(x)dx.

f (u)du = F (u) + C.

Các phương pháp tính tích phân bất định

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. Biến đổi đại số, biến đổi lượng giác,

biến đổi vi phân.
Ví dụ 3.2
√

√

dx
√
=
x+ x+1
=

x+1−

√

x dx

(x + 1)1/2 d(x + 1) −

x1/2 dx

2
2
= (x + 1)3/2 − x3/2 + C
3
3
Ví dụ 3.3
sin2 x + cos2 x
dx

sin2 x cos2 x
dx
dx
=
+
2
cos x
sin2 x
= tan x − cot x + C

dx
=
2
sin x cos2 x

Ví dụ 3.4
sin(ax)dx =

1
a

sin(ax)d(ax)

1
= − cos(ax) + C
a
Ví dụ 3.5
Ví dụ 3.6

cos(ax)dx =

√

dx
=
2
a − x2

1
a

sin(ax) + C
d( xa )
1−

x 2
a

= arcsin

x
+C
a

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




56

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Ví dụ 3.7

dx
1
=
2
2
a +x
a

Ví dụ 3.8

x3 dx
1
=
1 + x4
4

Ví dụ 3.9

dx
=
x(1 + x)

d
1+

x
a

x 2
a

=

1
x
arctan + C
a
a

d(1 + x4 )
1
= ln |1 + x4 | + C
1 + x4
4
1
1
−
x x+1

dx = ln |x|−ln |x+1|+C = ln

x
+C
x+1

Ví dụ 3.10
sin(3x) cos xdx =

1
2

=−
=

Ví dụ 3.11

ln xdx
=
x

(sin(4x) + sin(2x))dx
1
2

1
4

cos(4x) cos(2x)
+C
+
4
2
cos 4x
+ cos 2x + C
2
1 2
ln x + C
2

ln xd(ln x) =

Phương pháp tích phân từng phần. Từ công thức đạo hàm (uv) = u v + uv
ta có cơng thức tích phân từng phần
udv = uv −

vdu

Ví dụ 3.12
ln xdx = x ln x −

xd(ln x) = x ln x −

dx = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C

Ví dụ 3.13
xex dx =

xd(ex ) = xex −

ex dx = xex − ex + C = ex (x − 1) + C

Ví dụ 3.14
√
x ln(x + 1 + x2 )
√
dx =
1 + x2

ln(x +

1 + x2 )d(

x2 ln(x

+

1+

1 + x2 )
x2 )

−

=

1+

1+

=

1 + x2 ln(x +

1 + x2 ) −

=

1 + x2 ln(x +

1 + x2 ) − x + C

x2

x
1 + √1+x
2
√
dx
x + 1 + x2

dx

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




57

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Chú ý 3.2 Khi gặp các dạng sau thì ta dùng tích phân từng phần




 ln x
arctan x
dx thì ta đưa đa thức Pn (x) vào dấu vi phân rồi

1. Dạng Pn (x)


arcsin x
tích phân từng phần.
 x

 e

sin x
2. Dạng Pn (x)
dx thì ta đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân rồi tích


cos x
phân từng phần n lần.
sin βx
dx thì ta đưa một trong hai thừa số vào dấu vi phân
cos βx
rồi tích phân từng phần hai lần làm xuất hiện tích phân cần tìm với hệ số khác
1 rồi chuyển vế suy ra kết quả.
eαx

3. Dạng

Ví dụ 3.15
(x2 + x − 1) ln xdx =

ln xd(

x3 x2
+
− x)
3
2

x3 x2
x3 x2
1
+
− x) ln x − ( +
− x) dx
3
2
3
2
x
x3 x2
x3 x2
=( +
− x) ln x −
−
+x+C
3
2
9
4
=(

Ví dụ 3.16

(x2 − x + 2) cos xdx =

(x2 − x + 2)d(sin x)

= (x2 − x + 2) sin x −

(sin x)(2x − 1)dx

= (x2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − 2

cos xdx

= (x2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − 2 sin x + C
= (x2 − x) sin x + (2x − 1) cos x + C

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




58

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Ví dụ 3.17
ex sin xdx =

sin xdex

= ex sin x −

ex cos xdx

= ex sin x −

cos xd(ex )

= ex sin x − ex cos x +

ex (− sin x)dx

Vậy
ex sin xdx = ex (sin x − cos x) + C

2

ex sin xdx =

⇒

ex (sin x − cos x)
+C
2

Đổi biến số tích phân. Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) hoặc t = ψ(x). Chú ý sau
khi đổi biến thì ta viết biểu thức dưới dấu tích phân về biến t. Khi tính được tích
phân theo biến t rồi thì ta phải viết kết quả trở lại biến x.
√
Ví dụ 3.18 Tính tích phân bất định I =
a2 − x2 dx, a > 0.
Giải. Đặt x = a sin t, − π2 ≤ t ≤

√
a cos2 t = a cos t. Do đó
I=

a cos t.a cos tdt = a2

Vì x = a sin t, − π2 ≤ t ≤

π
2

π
2

thì dx = a cos tdt,

cos2 tdt = a2

√
a2 − x2 =

a2 − a2 sin2 t =

1 + cos 2t
a2
sin 2t
dt = (t +
)+C
2
2

2

nên t = arcsin xa . Ta có

x
sin 2t = 2 sin t cos t = 2
a

x
1−
a

2

√
2x a2 − x2
=
a2

Vậy
a2 − x2 dx =

a2
x x
arcsin +
2
a 2

a2 − x2 + C

Ví dụ 3.19 Tính tích phân bất định
I=

√

dx
± a2

x2

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




59

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Giải. Đặt t =

√

x2 ± a2 thì dt =
√

√ xdx
x2 ±a2

hay là

dx
dx
dt
dx + dt
d(x + t)
=
=
=
=
2
t
x
x+t
x+t
±a

x2

Vậy
√

I=

dx
=
x2 ± a2

d(x + t)
= ln |x + t| + C
x+t

Trở lại biến x
√

dx
= ln |x +
± a2

x2 ± a2 | + C

x2

√

Ví dụ 3.20 Tính tích phân bất định

x2 ± a2 dx.

Giải.
x2 dx
x2 ± a2
2
x ± a2 ∓ a2
√
dx
x2 ± a2

x2 ± a2 dx = x

x2 ± a2 −

=x

x2 ± a2 −

=x

x2 ± a2 −

=x

x2 ± a2 − I ± a2 ln |x +

√

x2 ± a2 dx ∓ a2

√

dx
± a2

x2

x 2 ± a 2 | + C1

Vậy
x2 ± a2 dx =

x

2

x2 ± a2 ±

a2
ln |x +
2

x2 ± a2 | + C

Ví dụ 3.21 Tính tích phân bất định
dx
√
2(1 + x)
Giải. Đặt x = t2 thì dx = 2dt. Vậy
dx
√ =
2(1 + x)
cuối cùng

2tdt
=
2(1 + t)

dt −

dt
= t − ln |t + 1| + C
t+1

√
√
dx
√ = x − ln( x + 1) + C
2(1 + x)

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




60

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Ví dụ 3.22 Tính tích phân bất định
dx
(1 + x2 )2

I=
Giải. Đặt x = tan t thì dx =
I=

dt
cos2 t

cos2 tdt =

và 1 + x2 =

1

cos2 t

Vậy

sin 2t
1
)+C
(1 + cos 2t)dt = (t +
2
2

1
2

Quay trở về biến x
dx
1
=
2
2
(1 + x )
2

arctan x +

1 2x
2 1 + x2

+C

hay là
dx
1
=
(1 + x2 )2
2

arctan x +

x
1 + x2

+C

Chú ý 3.3 Tổng quát đối với tích phân
In =

(a2

dx
+ x2 )n

thì ta dùng phép đổi biến x = a tan t. Hơn nữa ta có cơng thức truy hồi

I1 =

1
2na2

x

(x2 +a2 )n
x
1
a arctan a + C

In+1 =

+ (2n − 1)In

Thật vậy
In =

(x2

dx
+ a2 )n

x
(x2 + a2 )n
x
= 2
(x + a2 )n
x
= 2
(x + a2 )n
x
= 2
(x + a2 )n
=

1
(x2 + a2 )n
2nx2
+
dx
(x2 + a2 )n+1
dx
+ 2n
− a2
(x2 + a2 )n
−

xd

dx
(x2 + a2 )n+1

+ 2n In − a2 In+1

Từ đó suy ra
In+1 =

1
x
+ (2n − 1)In
2
2
2na (x + a2 )n

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

61

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Ví dụ 3.23 Tính tích phân bất định
e2x
dx
1 + ex
Giải. Đặt ex = t thì x = ln t nên dx = (dt)/t. Vậy
e2x
dx =
1 + ex

t2 dt
=
1+t t

t
dt =
t+1

1−

1
t+1

dt = t − ln |1 + t| + C

Cuối cùng
e2x
dx = ex − ln(1 + ex ) + C
1 + ex
Chú ý 3.4 Nói chung dạng

R(ex )dx trong đó R(t) là hàm hữu tỉ thì đặt ex = t.

Bảng tích phân mở rộng.
xα+1
+ C, α = 1
α+1

1.

xα dx =

2.

dx
= ln |x| + C
x

3.

ax dx =

4.

sin xdx = − cos x + C

5.

cos xdx = sin x + C

6.

dx
= tan x + C
cos2 x

7.

dx
= − cot x + C
sin2 x

8.

√

9.

ax
+C
ln a

dx
x

x
= arcsin + C = − arccos + C, a > 0
a
a
a2 − x2

a2

dx
x
1
x
1
= arctan + C = − arccot + C
2
+x
a
a
a
a

10.

a+x
dx
1
ln
+ C, a = 0
=
a2 − x2

2a
a−x

11.

√

dx
= ln |x +
x2 ± a2

x2 ± a2 | + C, a > 0

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




62

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
12.

a2 − x2 dx =

x
2

a2 − x2 +

a2
x
arcsin + C, a > 0
2
a

13.

x2 ± a2 dx =

x
2

x2 ± a2 ±

a2
ln |x +
2

3.3.

x2 ± a2 | + C

Tích phân bất định của một vài lớp hàm

Định nghĩa 3.3 Hàm hữu tỉ đơn giản. Hàm hữu tỉ đơn giản hay phân số hữu
tỉ đơn giản có dạng:
1.
2.

A
, k ∈ N∗
(x − a)k
Mx + N
, p2 − 4q < 0 (đk đó là đk để mẫu vơ nghiệm)
+ px + q)k

(x2

Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản.
1.

A
, k ∈ N∗
(x − a)k
• Khi k = 1 thì ta có
• Khi k ≥ 2 thì ta có

2.

A
dx = A ln |x − a| + C
x−a
A
A
1
dx =
+C
1 − k (x − a)k−1
(x − a)k

Mx + N
, p2 − 4q < 0
(x2 + px + q)k
2
2
Ta có x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q − p4 ) = t2 + a2 trong đó t = x + p2 , a2 = q − p4 .
M (t − p2 ) + N
dt
(t2 + a2 )k
tdt
Mp
dt
=M
)
+ (N −
2
(t2 + a2 )k
(t2 + a2 )k
1
Mp
M 1
=
+ (N −
)Ik
2
2
k−1
2 1 − k (t + a )
2

Mx + N
dx =
2
(x + px + q)k

Ví dụ 3.24 Tính tích phân
I=

(x2

3x + 2
dx
+ x + 1)2

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




63

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Giải.
3
3x + 2
dx =
2
2
(x + x + 1)

2

=−
1
2

trong đó t = x +
Ta tính

3
1
1
+
2
2x +x+1 2

Đặt t = α tan u thì dt =

αdu
cos2 u

và

arctan

1
√

2

3
2

4
= √
3 3

√

+

3
2

2 2

dt
+ α2 )2

3

1
√ 2
3
2

x+

dt
+ α2 )2

=

cos4 u
.
α4

Từ đó ta có

1 + cos 2u
1
du =
2
2α3

t
t
α
+
α 1+ t
α

arctan

(t2

1
(t2 +α2 )2

1

1
cos2 udu = 3
3
α
α
1
tan u
=
u+
2α3
1 + tan2 u

=

1 2
2

3
2 .

I1 =

1
2α3

(t2

x+

1

2

√

và α =

I1 =

=

d x+

2x + 1
1
dx +
2
2
(x + x + 1)
2

+

=

2

1
2α3

arctan

u+

sin 2u
2

+C

t
αt
+ 2
α α + t2

√

3
2 (x

3
4

+ 12 )
+C
+ (x + 21 )

√
2x + 1
3 2x + 1
arctan √
+

4 x2 + x + 1
3

+C

Cuối cùng
3
1
2x + 1
2
2x + 1
+
+ √ arctan √
+C
2
2
2 x + x + 1 6(x + x + 1) 3 3
3
x−4
2
2x + 1
=
+ √ arctan √
+C
3(x2 + x + 1)
3
3

I=−

Định nghĩa 3.4 Hàm hữu tỉ. Hàm hữu tỉ là hàm có dạng
f (x) =

Pn (x)
Qm (x)

trong đó Pn (x), Qm (x) là các đa thức tương ứng có bậc m, n và khơng có nghiệm
chung.
• Nếu n < m thì f (x) gọi là hàm hữu tỉ thực sự.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




64

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm

• Nếu n ≥ m thì f (x) là hàm hữu tỉ khơng thực sự. Khi đó nó là tổng của một
đa thức và một hàm hữu tỉ thực sự.
Chú ý 3.5 Một hàm hữu tỉ thực sự có thể phân tích thành tổng những hàm hữu tỉ
đơn giản.
Dạng phân tích
• Mỗi thừa số của mẫu số có dạng (x + a)k tương ứng với tổng của n phân thức
đơn giản dạng 1.
A1
A2
Ak
+
+ ... +

2
x + a (x + a)
(x + a)k
• Mỗi thừa số của mẫu số dạng (x2 + px + q)k , p2 − 4q < 0 tương ứng với tổng
của n phân thức đơn giản loại 2.
M1 x + N1
M2 x + N2
M k x + Nk
+
+ ... +
x2 + px + q (x2 + px + q)2
(x2 + px + q)k
Để tính các hệ số Ai , Mi , Ni , i = 1, 2, ..., k thì ta dùng phương pháp so sánh các hệ
số của luỹ thừa cùng bậc ở hai vế hoặc cho x một số các giá trị đặc biệt.
Ví dụ 3.25 Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản
f (x) =

2x2 + 3x − 2
(x + 1)2 (x2 + x + 1)

Giải. Phân tích f (x) dưới dạng
f (x) =

A
B
Cx + D
+
+
x + 1 (x + 1)2 x2 + x + 1

hay là 2x2 + 3x − 2 = A(x + 1)(x2 + x + 1) + B(x2 + x + 1) + (Cx + D)(x + 1)2 . Cho
x = −1 thì B = −3.
So sánh các hệ số của x3 , x2 , x0 ở hai vế ta được
x3 : 0 = A + C
x2 : 2 = 2A + B + 2C + D
x0 : −2 = A + B + D
Từ đó suy ra A = −4, B = −3, C = 4, D = 5. Vậy
f (x) = −

4
3
4x + 5
−
+
x + 1 (x + 1)2 x2 + x + 1

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




65

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Ví dụ 3.26 Tìm tích phân bất định
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
Giải. Ta có
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x − 1)(x + 2)
Xét dạng phân tích

x2 + 2x − 1
A
B
C
= +
+
3
2
2x + 3x − 2x
x
2x − 1 x + 2
Quy đồng mẫu số ta được
x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)
Cho x = 0 suy ra A = 21
1
Cho x = −2 suy ra C = − 10
1
1
Cho x = 2 suy ra B = 5
Vậy
x2 + 2x − 1
=
2x3 + 3x2 − 2x

11 1 1
1 1
+
−
dx
2 x 5 2x − 1 10 x + 2

1
1
1
ln |2x − 1| −
ln |x + 2| + C
= ln |x| +
2
10
10

Tích phân của hàm vơ tỉ.
Dạng
dx
ax2 + bx + c
dt
dt
√
√
hay
. Đây là các tích phân ta đã
2
2
2
α −t
t ± α2
√

đưa về tích phân dạng
biết cách tính.
Ví dụ 3.27

√

dx
1
=√
2
2
2x − x − 3
1
= √ ln
2

d(x − 14 )
x−
x−

1
4

1 2
4

−

+

5 2
4

x−

1
4

2

−

5
4

2

+C

Ví dụ 3.28
√

dx
=
1 + 2x − x2

d(x − 1)
x−1
= arcsin √ + C
√
2
( 2)2 − (x − 1)2

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

66

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Dạng
ax2 + bx + cdx
√

đưa về các tích phân
cách tính.

√
t2 ± α2 dt. Đây là các tích phân ta đã biết

α2 − t2 dt hay

Ví dụ 3.29
2x2

=

√



− x − 3dx =
1

4

x−

2

2
2

x−

1
x−
4

2

1 2
4

−

5 2
4

2

√
=

√

x−

1
4

x2 −

−

2

−

( 54 )2
2

5
4

2

d x−

1
4

1
ln |(x + ) +

4

x 3 25
1
− −
ln x − +
2 2 16
4

x−

1
4

x 3
−
2 2

x2 −

2

−

5
4

2



| + C

+C

Ví dụ 3.30
1 − 2x − x2 dx =

2 − (x − 1)2 d(x − 1)
√
(x − 1) 1 + 2x − x2
x−1
=
+ arcsin √ + C
2
2

Dạng
√

mx + n
dx
ax2 + bx + c

Biến đổi tử số thành đạo hàm của mẫu số thì tích phân đã cho được đưa về
m
2a

√

2ax + b

mb
dx + n −
2a
ax2 + bx + c

√

dx
ax2 + bx + c

Đây là các tích phân ta đã biết cách tính.
Ví dụ 3.31
(2x + 3)dx
√
=
x2 − 2x + 2

(2x − 2)dx
√
+5
x2 − 2x + 2

dx
(x − 1)2 + 1

= 2 x2 − 2x + 2 + 5 ln |x − 1 +

x2 − 2x + 1| + C

Dạng

dx
√
(x − α)k ax2 + bx + c
Đặt x − α =

1
t

sẽ dẫn đến tích phân dạng ở trên.

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




67

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Ví dụ 3.32 Tính tích phân
dx
√
2
x 2x − 2x + 1

I=
với x > 0.
Giải. Đặt x =

1
t

khi đó t > 0 và dx = − dt
. Vậy
t2
1

I=
1
t

=−

2
t2

√

−

2
t

−dt
2
+1 t

dt
=−
t2 − 2t + 2

dt
(t − 1)2 + 1

t2 − 2t + 2| + C
√
1 − x + 2x2 − 2x + 1
+C
= − ln
x
= − ln |t − 1 +

Dạng
R x,

ax2 + bx + c dx

Dùng phép thế Euler.
√
√
• Nếu a > 0 thì đặt ax2 + bx + c = t ± ax. Khi đó chẳng hạn trong trường
√
hợp dấu trừ thì bx + c = t2 − 2 atx hay
t2 − c
x= √
2 at + b
suy ra

√

√

at2 + bt + c a
dx = 2
dt
√
2
(2 at + b)

và

√
ax2

+ bx + c =

√
at2 + bt + c a
√
2 at + b

Thế và tích phân đã cho thì ta được tích phân của hàm hữu tỉ.
√
√
• Nếu c > 0 thì đặt ax2 + bx + c = xt ± c. Khi đó chẳng hạn trong trường
√
hợp dấu cộng thì ax + b = xt2 + 2 ct hay
√
2 ct − b
x=
a − t2
suy ra

√ 2
√
ct − bt + c
dx = 2
dt
(a − t2 )2
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




68

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
và

√
ax2

+ bx + c =

ct2 − bt +
a − t2

√

c

Thay vào tích phân ban đầu ta được tích phân của hàm số hữu tỉ.
• Nếu tam thức ax2 + bx + c có các nghiệm thực khác nhau λ và µ nghĩa là

ax2 + bx + c = a(x − λ)(x − µ) thì ta đặt ax2 + bx + c = t(x − λ). Khi đó
a(x − µ) = t2 (x − λ) nên
x=

aµ + λt2
,
t2 − a

dx =

2a(λ − µ)t
dt,
(t2 − a2 )2

ax2 + bx + c =

a(λ − µ)t
t2 − a

Thế vào tích phân ban đầu sẽ dẫn đến tích phân của hàm hữu tỉ.
Ví dụ 3.33 Tính tích phân
dx
√
x + x2 − x + 1

I=

Giải. Trường hợp này a = 1 > 0. Đặt
x=

t2 − 1
,
2t − 1

dx = 2

√

x2 − x + 1 = t − x. Khi đó

t2 − t + 1
dt,
(2t − 1)2

x+

x2 − x + 1 = t

Thay vào tích phân ban đầu ta được
2t2 − 2t + 2
dt
t(2t − 1)2
2
3
3
=
−
+
dt
t

2t − 1 (2t − 1)2
3 1
3
=−
+ 2 ln |t| − ln |2t − 1| + C
2 2t − 1
2
3
1
3
√
=−
− ln |2x + 2
2 2x + 2 x2 − x + 1 − 1 2

I=

x2 − x + 1 − 1| + 2 ln |x +

Chú ý 3.6 Với tích phân trên vì c = 1 > 0 nên ta có thể đặt
Khi đó
x=

2t − 1
,
t2 − 1

dx = −2

t2 − t + 1

dt,
(t2 − 1)2

√

x2 − x + 1 =

x2 − x + 1|

x2 − x + 1 = tx − 1.
t2 − t + 1
t2 − 1

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




69

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Thay vào tích phân ban đầu ta được
−2t2 + 2t − 2
dt
t(t − 1)(t + 1)2
2 1 1
3 1
3
−
−

−
t
2 t − 1 2 t + 1 (t + 1)2

I=
=

dt

√
3
1
3
x2 − x + 1 + 1
=
+ 2 ln |t| − ln |t − 1| − ln |t + 1| + C
chú ý t =
t+1
2
2
x
3x
1
=√
+ 2 ln | x2 − x + 1 + 1| − | x2 − x + 1 − x + 1|−
2
x2 − x + 1
3
− ln | x2 − x + 1 + x + 1| + C
2

Nếu thay C = C +

3
2

thì hai kết quả trên là như nhau.

Ví dụ 3.34 Tính tích phân
I=

xdx
(7x − 10 − x2 )3

√
Giải. Vì 7x − 10 − x2 = (x − 2)(5 − x) nên ta đặt 7x − 10 − x2 = t(x − 2). Khi đó
ta có
5 + 2t2
6tdt
3t
x=
, dx = −
,
7x − 10 − x2 =
2
2
2
1+t
(1 + t )
1 + t2
Thay vào tích phân ban đầu ta được

5
− + 2t + C
t
√
2 7x − 10 − x2
2
5(x − 2)
√
−
=
+C
9
x−2
7x − 10 − x2
2
7x − 20
= √
+C
9 7x − 10 − x2

I=

2
9

5
2
+ 2 dt =
2
t

9

Chú ý 3.7 Ta có thể đưa tích phân

√
do t =

7x − 10 − x2
x−2

√
R x, ax2 + bx + c dx về một trong ba dạng
π
π
≤t≤ .
2
2

1.

R(u,

α2 − u2 )du. Đặt u = α sin t, −

2.

R(u,

α2 + u2 )du. Đặt u = α tan t, −

3.

R(u,

u2 − α2 )du. Đặt u =

π
π
2
2

α
π
π
, t ∈ (0, ) ∪ ( , π).
cos t
2
2

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




70

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Ví dụ 3.35 Tính tích phân
I=

x

√

x2

dx
+ 2x + 2

Giải. Vì x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 nên ta đổi biến x + 1 = tan t, − π2 < t < π2 . Khi
đó
dt
1
dt
=√
sin t − cos t
sin t − π4
2
1
t
π
= √ ln tan
−
+ C với t = arctan(x + 1)
2
8
2

I=

Dạng
n

R(x,

ax + b
)dx
cx + d

Đổi biến
ax + b
=t
cx + d

n

Ví dụ 3.36 Tính tích phân
I=

dx
3

(x − 1)(x + 1)2

Giải. Ta có
I=

3

x + 1 dx
x−1x+1

Đặt
3

x+1
= t,
x−1

x+1
= t3 ,
x−1

dx =

−6t2 dt
,
(t3 − 1)2

x+1=

2t3
t3 − 1

Thay vào tích phân ban đầu ta được
I=

t

t3 − 1 −6t2 dt
= −3
2t3 (t3 − 1)2

= − ln |t − 1| +

1
2

t2

t3

dt
=−
−1

2t + 1
3
dt −
+t+1
2

dt
+
t−1
d(t + 21 )

(t + 12 )2 +

(t + 2)dt
t2 + t + 1

√

3
2

2

1
3 1
t + 1/2
ln(t2 + t + 1) + √
arctan √
+C
2
2 3/2
3/2
√
√
t2 + t + 1
2t + 1
x+1
= ln(
) + 3 arctan √ + C với t = 3
|t − 1|
x−1
3
= − ln |t − 1| +

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




71

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Tích phân của các hàm lượng giác. Dạng
R(sin x, cos x)dx
trong đó R là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x.
x
Phương pháp chung. Đổi biến tan = t ta có
2
x
= arctan t,
2

x = 2 arctan t,

dx =

2dt
1 + t2

Mặt khác
sin x =

2t

,
1 + t2

cos x =

1 − t2
1 + t2

Thay vào tích phân ban đầu ta sẽ được tích phân của hàm hữu tỉ theo biến t.
Ví dụ 3.37 Tính tích phân
I=
Giải. Đổi biến tan

dx
1 + 2 sin x − cos x

x
= t ta có
2
x
= arctan t,
2

x = 2 arctan t,

dx =

2dt
1 + t2

Mặt khác
sin x =

2t
,
1 + t2

cos x =

1 − t2
1 + t2

Thay vào tích phân ban đầu ta sẽ được
dt
1
1
1
=
−
(t + 2)t
2
t
t+2
x
tan
1
2
+C
= ln
2

tan x2 + 2

I=

dt =

1
t
ln
+C
2
t+2

Chú ý 3.8 Các trường hợp riêng
1. Nếu R là hàm chẵn đối với sin x và cos x thì đặt t = tan x.
2. Nếu R là lẻ đối với sin x thì đặt t = cos x.
3. Nếu R là lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x.

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




72

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Ví dụ 3.38 Tính tích phân
I=

2 + sin2 x

dx
2 − cos2 x

Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x hơn nữa nó chẵn
dt
đối với cả sin x và cos x nên ta đặt t = tan x hay là x = arctan t suy ra dx = 1+t
2.
Hơn nữa
2 + sin2 x
2(1 + tan2 x) + tan2 x
2 + 3t2
=
= 2
2
2
2 − cos x
2t + 1
2(1 + tan x) − 1
Thay vào tích phân ban đầu ta được
(2 + 3t2 )dt
(2t2 + 1)(1 + t2 )
1
1
=
+
dt
2t2 + 1 1 + t2
√
1
= √ arctan(t 2) + arctan t + C

2
√
1
= √ arctan( 2 tan x) + x + C
2

I=

Ví dụ 3.39 Tính tích phân
I=

cos3 x
dx
1 + sin x

Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hữu tỉ đối với sin x và cos x hơn nữa nó lẻ đối với
cos x nên đặt sin x = t. Vậy
(1 − sin2 x)d(sin x)
= (1 − t)dt
1 + sin x
t2
sin2 x
= t − + C = sin x −
+C
2
2

I=

Dạng vi phân nhị thức. Xét tích phân

là các hằng số a, b = 0, m, n, p ∈ Q.
Cách tính

xm (a + bxn )p dx trong đó a, b, m, n, p

1. Nếu p ∈ Z thì đặt x = us trong đó s là mẫu số chung của m, n.
2. Nếu

m+1
n

∈ Z đặt a + bxn = us trong đó s là mẫu số của p.

3. Nếu

m+1
n

+ p ∈ Z đặt ax−n + b = us trong đó s là mẫu số của p.

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




73

3.4. Tích phân xác định

Ngồi 3 trường hợp trên Trê-bư-sép đã chứng minh được là tích phân dạng trên

khơng biểu thị qua các hàm số sơ cấp.
Ví dụ 3.40 Tính tích phân
√
3

I=

dx

√
3

x2 (1 +

x2 )

Giải. Ta có
x−2/3 (1 + x2/3 )−1 dx

I=

In Chapter 2 we used the tangent and velocity problems
to introduce the derivative, which is the central idea in

predictions, cardiac output, forces on a dam, work,
consumer surplus, and baseball, among many others.

Đây là tích phân dạng thứ nhất
với
m In=much

− 23the, same
n =way,23 ,thispchapter
= −1. Đặt
= z 3/2between
thì tích
differential
calculus.
There isx
a connection
integral calculus and
starts with the area and distance problems and uses
differential calculus. The Fundamental Theorem of
phân đã cho viết lại là
them to formulate the idea of a definite integral, which
Calculus relates the integral to the derivative, and we
3 concept −1/2
is the basic
of integral calculus.−1
We will see in
will see in this chapter that it greatly simplifies the solu■
CHAPTER 5 INTEGRALS
(1the+integral
z) to dz
I = 6 and 7zhow
Chapters
to use
solve probtion of many problems.
2 volumes, lengths of curves, population
lems concerning

346

However, it is not so easy to find the area of a region with curved sides. We all have

vì p = −1 và mẫu
chungideacủa
mthevàareanoflà
2 nên
đặt
z the
=area
t2 .problem
Thay
an intuitive
of what
a region
is. But
part of
is tovào
maketích phân đã cho
this
intuitive
idea
precise
by
giving
an
exact
definition
of

area.
ta được
Recall that in defining a tangent we first approximated the slope of the tangent line
5.1 Areas
and Distances
by slopes of secant lines and then dt
we took the limit of these approximations. We purI=3
= 3 arctan
t+C
2
sue a similar idea for areas. We1first
approximate
the region S by rectangles and then
+t
In this
section
discoverofthat
in attempting to find the area under a curve or the diswe take the limit of the areas of these rectangles as we
increase
thewenumber
rect●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

tance traveled by a car, we end up with the same special type of limit.

Trở lại biến x taangles.
đượcThe following example illustrates the procedure.
√
3
I
=
3
arctan

x + CThe Area Problem
EXAMPLE 1 Use rectangles to estimate the area under the parabola y ෇ x from 0 to 1
2

(the parabolic region
illustrated
▲ S
Now
is a good in
timeFigure
to read 3).
(or

Try placing rectangles to estimate the area.

reread) A Preview of Calculus (see

Resources / Module 6
/ What Is Area?
/ Estimating Area under a Parabola

3.4.

We begin by attempting to solve the area problem: Find the area of the region S that
lies under the curve y ෇ f ͑x͒ from a to b. This means that S, illustrated in Figure 1, is
bounded by the graph of a continuous function f [where f ͑x͒ ജ 0], the vertical lines
x ෇ a and x ෇ b, and the x-axis.
(1, 1)

page 2). It discusses

the unifying ideas
Tích phân xác định
y
of calculus and helps put in perspective
where we have been and where we
are going.

5 INTEGRALS

y
Bài tốn diện tích miền phẳng. Tìm diện
y=≈ tích miền
y=ƒ
S nằm dưới đường y = f (x) từ a đến b như hình vẽ.
S
x=a
Nghĩa là biên của S là đồ thị của hàm liên tục f (f (x) ≥
S
x=b
However, it is not so easy
to find
area of a region
We all
have Ox. Ta sẽ xét một
0),
cáctheđường
x =witha,curved
x =sides.
b và
trục

x
0
1
FIGURE 1
an intuitive idea of what the area of a regionFIGURE
is. But3part of the area problem is to make
x
0
a
b
vígiving
dụ an
cụexact
thểdefinition
đối với
hàm f . S=s(x, y) | a¯x¯b, 0¯y¯ƒd
this intuitive idea precise by
of area.
2
Recall that in defining aGiả
tangentsử
we f
first
approximated
the
slope
of
the
tangent
line

(x) = x these
, a approximations.
=We0firstvànotice
b=
Gọiof A
là bediện
tíchbetween
của
S. Chia
S thành 4
that1.
the area
S must
somewhere
0miền
and
1 problem
In trying
to solve
the area
we have to ask ourselves: What is the meaning
by slopes of secant lines and then we took the limit ofSOLUTION
We
purbecause
S
is
contained
in
a
square

with
side
length
1,
but
we
can
certainly
do
better
of
the
word
area?
This
question
is
easy
to
answer
regions
phần
và SS4bySuppose
bởi
các
đường
x = 1/4, x =
1/2 và x the
= ver3/4. Bây giờforta
xétwith straight sides. For

sue a similar idea for areas.
We firstS
approximate
rectangles
and
then
1 , S2 , Sthe
3 region
than that.
we divide S into four strips S , S , Sa ,rectangle,
and S bythedrawing
area is defined
as the product of the length and the width. The area of
we take the limit of the areas of these rectangles as we
increase the number
of rectticalxấp
lines x xỉ
Figure các
4(a). We
approximate
each
striplần
෇ ,(xấp
x ෇ , and
෇ as in của
các hình chữ nhật
xỉx trên)
S
chiều
cao

lượt
giá is found by dividing
a triangle
is half
the base
times
the height.
The là
area các
of a polygon
icanmà
angles. The following example illustrates the procedure.
rectangle whose base is the same as the strip anditwhose
height is
same as
into triangles
(asthe
in Figure
2) and adding the areas of the triangles.
2 a tại
trị của f (x) = xby
các
điểm
cuối
của
các
đoạn
[0,
1/4],
[1/4,

1/2],
[1/2,
3/4]
và From Figure 4(b) we see th
the right edge of the strip [see Figure 4(b)]. In other words, the heights of these
EXAMPLE 1 Use rectangles [3/4,
to estimate
the
area
under
the
parabola
from
0
to
1
y
෇
x
rectangles
are
the
values
of
the
function
at
the
right
endpoints

of
the
f
͑x͒
෇
x
1]. Các hình chữ nhật đó có chiều rộng là 1/4. Đặt R4 là tổng diện tích của
(the parabolic region S illustrated in Figure 3).
subintervals [0, ], [ , ], [ , ], and [ , 1].
A™
A£
các hình chữ nhật trên
1

1
4

1
2

2

estimate the area.

le 6

1
4

y

Area under a Parabola

2

3

4

3
4

2

1
4

1
2

1
2

3
4

3
4

y

y

w

y

(1, 1)

h
b

l

y=≈
FIGURE 2

y=≈

y=≈

A= 21 bh

A=lw

Instead A¢
of using the rect
in Figure 5 whose heights a
intervals. (The leftmost rec
A=A¡+A™+A£+A¢

the areas of these approxim

A¡

(1, 1)

(1, 1)

(1, 1)

L 4 ෇ 14 ؒ 0 2 ϩ

S¢

S

S™

S£

S¡
0

x

1

0

1

4

FIGURE 3

1
2

FIGURE 4

x

1

3
4

0

1
4

1
2

3
4

1

(b)

(a)

x

0

1
4

1
2

3
4

1

x

FIGURE 5

SOLUTION We first notice that the area of S must be somewhere between 0 and 1

because S is contained in aKhi
squaređó
with side length 1, butEach
we can
certainly
betterand the heights are ( ) , ( ) , ( ) , and 1 . If we let R

rectangle
width
2 hasdo
2
2
than that. Suppose we divide S into four strips S , S , Sbe, the
and
byofdrawing
S1
1 sum
1theof ver1 approximating
1 3rectangles,
1we get 15
the areas
these
=
+
+
+ 12 =
= 0.46875
tical lines x ෇ , x ෇ , and x ෇ as in Figure R
4(a).
We
can
approximate
each
strip
4
4 height
4 R is෇theؒsame

4( ) ϩas2 ؒ ( ) ϩ 4ؒ ( ) 4ϩ ؒ 1 ෇ 4 ෇ 0.46875
32
by a rectangle whose base is the same as the strip and whose
1
4

1

1
4

1
2

2

3

1 2
4

1 2
2

3 2
4

We see that 345
the area of S is
for A:

2

We can repeat this proce
happens when we divide th

4

4

3
4

4

1
4

1 2
4

the right edge of the strip [see Figure 4(b)]. In other words, the heights of these
rectangles are the values of the function f ͑x͒ ෇ x 2 at the right endpoints of the
1 3
3
NGUYỄN
ĐỨC HẬU
subintervals 0, 14 , 14 , 12 , TS.
2 , 4 , and 4 , 1 .

[ ][ ][ ]

[ ]

y

1
4

1 2
2

1
4

3 2
4

1
4

2

y

15
32

y=≈

y
(1, 1)

(1, 1)

y=≈
0

FIGURE 6
S¢
S™
S¡

S£

Approximating S with eight rectangles

1
8

(a) Using left end


74

3.4. Tích phân xác định

Tương tự ta xét các hình chữ nhật xấp xỉ dưới ở đó chiều cao lần lượt là các giá

trị của f (x) = x2 tại các điểm đầu của các đoạn [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] và
[3/4, 1]. Đặt L4 là tổng diện tích của các hình chữ nhật
đó thì
SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES
◆
349
2 be shown that the2lower approximating
2 sums also approach , that is,
1 It can
1 1
1 3SECTION
7 AND DISTANCES ◆
5.1 AREAS
+
+ lim L ෇ =
= 0.21875
4 It can be shown
4 that
2 the lower 4approximating
4
32
sums also approach , that is,

1
1
L4 = 02 +
4
4

1

3

1
3

n

nlϱ

349

1
3

From Figures 8 and 9 it appears that, as n increases,
both L n and R n become better and
lim L n ෇ 13
better approximations to the area of Sn.lTherefore,
we define the area A to be the limit
ϱ
of the sums of the areas of the approximating rectangles, that is,
From Figures 8 and 9 it appears that, as n increases, both L n and R n become better and
1
10
better approximations to the area
define
the area A to be the30
limit
S. Therefore,
A ෇oflim

R n ෇ lim Lwe
n ෇
3
nlϱ
nlϱ
of the sums of the areas of the approximating
rectangles, that is,

Nhận xét rằng 0.21875 < A < 0.46875. Ta có thể tiếp tục chia nhỏ đoạn [0, 1] thành
n = 10, 30 và 50 điểm chia ta nhận được các tổng trên R = 0.385, R = 0.3502,
R50 = 0.3434 và các tổng dưới L10 = 0.285, L30 = 0.3169, L50 = 0.3234.
y

A ෇ lim R n ෇ lim yL n ෇ 13
nlϱ
nlϱ

y

n=10 R¡¸=0.385

n=50 R∞¸=0.3434

n=30 R£¸Å0.3502

y

y

n=10 R¡¸=0.385

y

n=50 R∞¸=0.3434

n=30 R£¸Å0.3502

0

FIGURE
8
0

1

x

1

x

y

0

1

x

0

0

1

x

0

1

y

y

n=50 L∞¸=0.3234

n=30 L£¸Å0.3169

n=10 L¡¸=0.285

0

FIGURE
9
0

x

n=50 L∞¸=0.3234

n=30 L£¸Å0.3169

y

x

y

y

FIGURE 8
n=10 L¡¸=0.285

1

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1
1

x
x

2 to the more general region S of Figure 1.
Tổng qt
ta có thể tính đượcLet’s apply the idea of Examples 1 and
S ,S ,...,S
FIGURE 9
We start by subdividing S into n strips

1

2

n

of equal width as in Figure 10.

apply the idea of Examples 1 and 2 to the more general region S of Figure 1.
y 2
2 WeLet’s
2
start by subdividing S into n strips S1, S2 , . . . , Sn of equal width2as in Figure 10.

1 2
1 3
1 n
1 1
y=ƒ
+
+
+
... +
n n
n ny
n n
n n
y=ƒ
1 n(n + 1)(2n + 1)
1 2
2
2
2
S£
S
S
= 3 (1 + 2 + 3 + ... +SĂn S) =

n
n3
6
SĂ S SÊ
S
S
a
b

Ô
.  .  . x
x .  .  . x
x
(n + 1)(2n + 1) 0
= FIGURE 10 2
6n
0
a
b

Ô
... x
x ... x
x

Rn =

i

n

i

n

i-1

i

i-1

i

n-1

n-1

FIGURE 10

Cho n +∞ ta có
lim Rn =

1
3

lim Ln =

1
3

n→+∞

Tương tự ta cũng có
n→+∞

Mặt khác ta thấy rằng Ln < A < Rn từ đó suy ra A = 31 .
Định nghĩa 3.5 Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trên [a, b]
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




75

3.4. Tích phân xác định

• Chia đoạn [a, b] thành n khoảng con một cách tuỳ ý bởi các điểm chia a = x0 <
x1 < x2 < ... < xn = b.
• Trên mỗi đoạn con [xi−1 , xi ], i = 1, n chọn điểm ξi tuỳ ý.
n

• Lập tổng tích phân In =

f (ξi )∆xi , ở đây ∆xi = xi − xi−1 .
i=1

• Tăng số điểm chia lên vô hạn (n → +∞) sao cho max ∆xi → 0. Nếu trong
q trình đó mà In dần đến một giá trị xác định I (không phụ thuộc vào việc
chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm ξi trên các đoạn con) thì I gọi là tích phân
b

xác định của hàm f (x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là

f (x)dx. Vậy
a

b

n

f (x)dx =
a

lim

n→+∞
max ∆x→0 i=1

f (ξi )∆xi

Chú ý 3.9 Ta có các định nghĩa bổ xung
a

a

f (x)dx = 0

f (x)dx = −

và

a

b

b

f (x)dx,

a
a
b

Định lý 3.2 (Định lí tồn tại). Nếu hàm f (x) liên tục trên [a, b] thì

f (x)dx tồn
a

tại.
Ví dụ 3.41 Dùng định nghĩa tính các tích phân xác định sau
b

dx

1.
a
2

2.

ex dx

1

Giải.
b

1.

n

dx = lim
a

n→+∞ i=1

∆xi = b − a

2. Vì hàm ex liên tục trên đoạn [1, 2] nên tích phân

2

ex dx tồn tại không phụ

1

thuộc vào cách chia đoạn [1, 2] và không phụ thuộc vào cách chọn điểm ξi trên

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

76

3.4. Tích phân xác định

các đoạn con. Do đó có thể chia đoạn [1, 2] làm n phần bằng nhau nghĩa là
∆xi = n1 và các điểm chia sẽ là:
x0 = 1,

x1 = 1 +

1
,
n

x2 = 1 +

2
, ...,
n

xi = 1 +

i
, ...,
n

xn = 1 +

n
=2
n

Chọn ξi = xi = 1 + ni . Theo định nghĩa thì
2

n
i

x

e1+ n

e dx = lim

n→+∞

1

i=1

1
n

1
2
n

e
e n + e n + ... + e n
n→+∞ n

= lim

1

n

e e n (e n − 1)
= lim
1
n→+∞ n
en − 1
1
n

1

= lim e n
n→+∞

1

en − 1

e(e − 1)

= e(e − 1)

Các tính chất của tích phân xác định. Giả thiết rằng các tích phân sau đều
tồn tại thì ta có các tính chất sau
1. Tính chất cộng tính
b

c

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx
c

2. Tính chất tuyến tính
b

b

[λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x)] dx = λ1
a

b

f1 (x)dx + λ2
a

f2 (x)dx
a

3. Tính chất bảo tồn thứ tự. Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì
b

b

f (x)dx ≤
a

g(x)dx
a

4. Định lí giá trị trung bình. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại giá trị
ξ ∈ (a, b) sao cho
b

f (x)dx = f (ξ)(b − a)
a

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




77

3.4. Tích phân xác định

5. Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân
b

b

f (x)dx =
a

f (u)du
a

6. Công thức đạo hàm theo cận trên
x

d
dx

f (t)dt = f (x)
a

Mở rộng ra ta có
u(x)

d
dx

f (t)dt = f (u(x)) u (x)
a

Định lý 3.3 Định lí cơ bản. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm.

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a, b] thì
b

f (x)dx = F (b) − F (a)
a

Cơng thức trên cịn được gọi là cơng thức Niu-tơn - Lép-nít (Newton-Leibnitz).
2

Ví dụ 3.42

ex dx = ex |21 = e(e − 1)

1

Phép đổi biến số. Giống như tích phân bất định ta có các phép đổi biến x = ϕ(t)
hoặc t = ψ(x). Chỉ khác là khi đổi biến ở tích phân xác định thì ta phải đổi cận.
Ví dụ 3.43 Tính tích phân xác định I =

2√

4 − x2 dx

0

√
Giải. Đặt x = 2 sin t, thì dx = 2 cos tdt. Ta có 4 − x2 = 2| cos t| = 2 cos t. Khi
x = 0 thì t = 0 và khi x = 2 thì t = π2 . Thay vào tích phân đã cho ta được
π
2

I=

π
2

2 cos t2 cos tdt = 2
0

sin 2t
=2 t+
2

(1 + cos 2t)dt
0

π
2

|0 = π

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU




The next theorem uses
calculation of integrals

6 Integrals of Symme

78

3.4. Tích phân xác định
Ví dụ 3.44 Tính tích phân xác định

394
π
2

■

Proof We
split the inte
Symmetry

a
The next theorem
use
dx ෇
7
yϪa off ͑x͒integral
calculation

0

Giải. Đặt sin x = t thì

In the first integral on
and of

when
du ෇6 Ϫdx
Integrals
Symmx

1

dt
π
= arctan t|10 =
2
1+t
4

I=

(b) If f is odd ͓ f ͑Ϫ

CHAPTER 5 INTEGRALS

cos xdx
1 + sin2 x

I=

(a) If f is even ͓ f ͑Ϫ

(a) If f is even ͓ f Ϫ͑
Ϫy
0

(b) If f is odd ͓ f ͑Ϫ

0

Tích phân từng phần. Giả thiết rằng u(x), v(x) khả vi trên [a, b] thì
b

and so Equation 7 beco

b

u(x)d (v(x)) = u(x)v(x)|ba −
a

Proof We split the int
8

v(x)d (u(x))
a

a

f ͑x͒then
dx ෇f
7
(a) If
even,
f isyϪa

e

ln xdx

Ví dụ 3.45 Tính tích phân xác định

a
In the first integral
f ͑x
yϪa on
du ෇ Ϫdx and when

1

Giải.

e

e

ln xdx = x ln x|e1 −
1

(b) If f is odd, then f Ϫ
Ϫy

y

1
x dx = e − x|e1 = 1
x

0
a

y

Ϫ
and so Equation 7 bec

1

Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ. Nếu hàm f (x)
liên tục
trên [−a,
a].
_a
0
a x
1. Khi f (x) là hàm lẻ thì

a

a

(a) ƒ even, j   ƒ dx=2 j ƒ dx
_a

0

a

y

f (x)dx = 0
−a

_a

0
a

2. Khi f (x) là hàm chẵn thì

x

y

Ϫ2

a

a

(b) ƒ odd, j   ƒ dx=0

a

f (x)dx = 2
−a

Theorem

6 is illust
8
part (a) says that the a
because of symmetry.
(a) If the
f isxeven,
above
-axis then
and b
curve. Thus, part (b) sa
a
yϪa f ͑
EXAMPLE 9 Since f ͑x͒
(b) If f is odd, then f
2
y ͑x

_a

f (x)dx

_a

0

0
a

a

x

a

(a) ƒ even, j   ƒ dx=2 j ƒ dx
_a

2

Ví dụ 3.46 Tính tích phân xác định

(x6 + 1)dx

y

Ϫ

FIGURE 4

0

y

Theorem 6 is illus
part (a) says that the a
because of symmetry.
above the x-axis and
curve. Thus, part (b) s

−2

_a

0

Giải. Bởi vì f (x) = x6 + 1 thỏa mãn f (−x) = f (x) nên f (x) là hàm chẵn do đóa
2

2

1
(x6 + 1)dx = 2 x7 + x
7

(x6 + 1)dx = 2
−2

0

2

=2
0

x

128ƒ odd, a   ƒ284
(b) + 2 j = dx=0
_a
7
7

FIGURE 4

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU



EXAMPLE 9 Since f ͑x͒

y

2

Ϫ2

͑