Chuyên đề LTĐH: Mũ- logarit

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
HAØM SOÁ MUÕ VAØ LOGARIT
I. Hàm số mũ
•
x
y a=
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13

-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II. Hàm số lgarit
•
log
a
y x=
, ĐK:




≠<
>
10
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
0 0 +∞
x
0 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x) /ln(3 )
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13

-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x )/ln(1 /3)
f(x)=(1/3 )^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14

-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y






=
3
1

xy
3
1
log
=
y=x
III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−

m
; a
0
=1; a
−
1
=
a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a

=






;
n m
n
m
aa
=
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x

2
>0;
α
∈R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a

x
2
;
xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x

=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b

a
.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)
=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a
f(x)
=b ⇔
( )



=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3±
), (7
4 3±
),… Nếu trong một phương trình có chứa
{a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
} ta có thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
Phương pháp logarit hóa: a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x).log
c
a=g(x).log
c

b,với a,b>0; 0<c≠1.
b. P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+log
a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=
≠<
xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=

>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
 a
f(x)
>a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



>−−
>
01
0
xgxfa
a
;  a
f(x)
≥a

g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



≥−−
>
01
0
xgxfa
a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);

a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





>−−
>>
≠<

01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; log
a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:

+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
<
0xf
xgxf
.

============================
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( )
( )
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x+ − −
− − + = ⇔ − − =
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích
thành tích:
( )
( )
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x−
− − =
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x= + −
.

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 
− + − =
 
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến
đổi thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
( )
2
2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = −
. Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + − + − + =
. Đặt t = log
3

(x+1), ta có:
( )
2
5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = −
⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá
một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
( )
( )f u f v u v= ⇔ =
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x)
có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
( )
bac ;
∈∃
:
( )
( ) ( )

ab
aFbF
cF
−
−
=
'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rolle: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai
nghiệm thuộc D. ( Xem thêm bài viết “ Nghệ thuật giải toán phổ thông” của tác giả.)
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
Hướng dẫn:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
x x
+ = ⇔ = −
, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên
phương trình có nghiệm duy nhất x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình:
6 2 5 3
x x x x
+ = +
. Phương trình tương đương
6 5 3 2
x x x x
− = −
, giả sử
phương trình có nghiêm
α
. Khi đó:
αααα
2356
−=−
.
Xét hàm số
( ) ( )
α
α
tttf
−+=
1
, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại
( )
2;5c∈
sao cho:
( ) ( )
1
' 1

0 1 0 0, 1f c c c
α
α
α α α
−
−
 
= ⇔ + − = ⇔ = =
 
 
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là
nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− + = −
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
( )

ttf
t
+=
2
là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình
được viết dưới dạng:
( )
( )
2 2
1 1 1f x f x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2 3 2
x x
x+ = +
. Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng
minh không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số
( ) ( )
2 2
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x= + − − ⇒ = + > ⇒
Đồ thị của hàm số này lõm, suy
ra phương trình không có quá hai nghiệm.
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1

2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x

= −

−



= −

−

có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
( )
2
2007
1
x
x
f x e

x
= + −
−
.
Nếu x < −1 thì
( )
02007
1
<−<
−
exf
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x
0
= 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho
0
>≥
ba
. Chứng minh rằng
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   

(ĐH Khối D−2007)
HD: BĐT
1 1
ln 2 ln 2
1 1
2 2
ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
   
+ +
 ÷  ÷
   
   
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
 ÷  ÷
   
. Xét hàm số
( )
1
ln 2
2
x
x
f x

x
 
+
 ÷
 
=
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0
>≥
ba
ta có
( )
bfaf
≤
)(
(Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương
trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình
7 3
log log ( 2)x x= +
. Đặt t =
7
log 7
t
x x⇒ =
. Khi đó phương trình trở thành:
3

7 1
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t
t
t t t
t
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 ÷
 ÷
 
 
.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x− − = − −
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương trình
−
Bất phương trình

−
hệ phương trình Mũ_Logarit
Đặt t = x
2
– 2x – 3 ta có
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
6
log
2 6
log 3 log
x
x x+ =
. Đặt
6
logt x=
, phương trình tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t
 
+ = ⇔ + =
 ÷
 

.
3. Dạng 3:
( )
log
b
x c
a x
+
=
( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
7
log 3
4
x
x
+
=
. Đặt
( )
7
log 3 7 3
t
t x x= + ⇒ = +
,
phương trình tương đương
4 1
4 7 3 3. 1
7 7

t t
t t
   
= − ⇔ + =
 ÷  ÷
   
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
42
5log
3
+=
+
x
x
. Đặt t = x+4 .
phương trình tương đương:
( )
t
t
=
+
1log
3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình
( )
( )
( )

3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x
x x
+ +
− − − =
.
4. Dạng 4:
( )
log
ax b
s
s c dx e x
α β
+
= + + +
, với
,d ac e bc
α β
= + = +
Ph ương pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e+ = +
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ
phương trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy
+ +

+ = +
. Xét
( )
at b
f t s act
+
= +
.
Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x
−
= − +
. Đặt
( )
7
1 log 6 5y x− = −
. Khi đó chuyển thành hệ
( )
( )
1
1
1 1
1
7
7 6 1 1
7 6 5

7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5
x
x
x y
y
y
y
x y
y x
x
−
−
− −
−


= − +
= −
 
⇔ ⇒ + = +
 
− = −
= −




. Xét hàm số

( )
1
7 6
t
f t t
−
= +
suy ra x=y,
Khi đó:
1
7 6 5 0
x
x
−
− + =
. Xét hàm số
( )
567
1
+−=
−
xxg
x
. Áp dụng định lý Rolle và nhẩm nghiệm ta
được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2

x
x x x x− − −
+ =
+ + + +
HD: Viết phương trình dưới dạng
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x− − − −
+ =
+ + + +
, đặt
1 1
2 1, 2 1. , 0
x x
u v u v
− −
= + = + >
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+



= +

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( )
2 3 2 3 4 0
x x
+ + − − =
b.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
− + + =
c.
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
d.
( ) ( )
3
3 5 16 3 5 2
x x
x+
+ + − =
e.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x

− + + − =
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
f. 3.8
x
+4.12
x
−18
x
−2.27
x
=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
(ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2.
i.
3.16 2.8 5.32
x x x
+ =
j.

1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5