Chuyên Đề PT Mũ Và Logarit

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I/ Phương trình mũ :
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
Biến đổi phương trình mũ đã cho về dạng :
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Giải các phương trình mũ :
1/
3
2 8 2 2 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
2/
3
3 27 3 3 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
3/
3 3 3
2 8 2 2 3 3 1
x x
x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
4/
1 1 3
3 27 3 3 1 3 4
x x
x x

− −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = .
5/ 5
x
=1
0
5 5 0
x
x⇔ = ⇔ = .
6/
0
3 3 3
( ) 1 0
4 4 4
x
x
x
   
= ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷
   
7/
8 0
x
=
vô nghiệm , không có x nào mà 8 mũ
lên =0 .
Bài 2: Giải các phương trình mũ :
1/
2 4 2 4

4 16 (2 ) 2 2 2 2 4 2
x x x
x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2/
2 4
9 81 3 3 2 4 2
x x
x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 3: Giải các phương trình mũ :
1/
1 3 1 3
1
8 (2 ) 2 2 2 3 3
2
x
x x
x x
− −
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
 ÷
 
2/
( )
1 1
3 3
2 2
1
3 27 3 3 3 3 3 6
2

x
x
x
x x
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 ÷
 

3/
2 0 1 2
2
1 2.2 2 2 0 1 2 0 1/ 2
4
x x
x
x x
− −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Chú ý :
 Các công thức lũy thừa :

. 0 1
1
. ; ; ( ) ; ; ; 1;
x
x
y
x y x y x y x y x y x x
y

y x
a
a a a a a a a a a a a a
a a
+ − −
= = = = = = =
 4=2
2
, 8=2
3
, 16 = 2
4
, 32=2
5
, 64=2
6
.
 9=3
2
, 27=3
3
, 81 = 3
4
, 243=2
5
.

1
1
2

2
−
=
,
2
2
1 1
2
4 2
−
= =
,
4
4
1 1
2
16 2
−
= =


1
1
3
3
−
=
,
2
2

1 1
3
9 3
−
= =
,
3
3
1 1
3
27 3
−
= =


1
2
2 2=
,
1
2
3 3=
,
1
2
1
2
1 1
2
2

2
−
= =
.

1
3
3
5 5=
,
2
3 2
3
3 3=
1
Bài tập :
1/
3
3 9
x−
=
2/
9 3
x
=
3/
2
10 1
x
=

4/
2
2
7 1
x x−
=
5/
2
2
3 27
x x+
=
6/
2 2
2 64
x−
=
7/
2 3
3 2
x
 
=
 ÷
 
8/
2 1
1
2
2

x−
 
=
 ÷
 
9/
3
3 9
2 4
x−
 
=
 ÷
 
10/
16 4
9 3
x
 
=
 ÷
 
11/
Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mũ cơ bản .
 Đặt t= hàm số mũ , với điều kiện t>0 .
 Thế t vào pt đã cho , ta được pt đại số theo t , giải pt tìm t .
 Giải pt mũ cơ bản tìm x .
Bài tập áp dụng .
Bài 1: Giải pt :
1/ 4 3.2 2 0

x x
− + =
Giải .
Biến đổi pt
4 3.2 2 0
x x
− + =

2 2
(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0
x x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
(1) .
• Đặt t=2
x
, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=


.
• Với t=1
0
2 1 2 2 0
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =
.
• Với t=2
1
2 2 2 2 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm pt là x=0 , x=1 .
2/
4 3.2 2 0
x x
+ − =

Giải .
Biến đổi pt 4 3.2 2 0
x x
+ − =
2 2
(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0
x x x x
⇔ + − = ⇔ + − =
(1) .
• Đặt t=2
x

, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
= −

⇔ + − = ⇔

=

(loaïi )
.
• Với t=2
1
2 2 2 2 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm pt là x=1 .
3/
9 4.3 45 0
x x
− − =

Giải .

Biến đổi pt 9 4.3 45 0
x x
− − =
2 2
(3 ) 4.3 45 0 (3 ) 4.3 45 0
x x x x
⇔ − − = ⇔ − − =
(1) .
• Đặt t=3
x
, đk t>0 .
• Pt (1)
2
5
4 45 0
9
t
t t
t
= −

⇔ − − = ⇔

=

(loaïi )
.
• Với t=9
2
3 9 3 3 2

x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm pt là x=2 .
4/
1
2 2 3 0
x x−
+ − =
.
Giải .
2
Biến đổi pt
1
2 2 3 0
x x−
+ − =
⇔

1
2
2
2 3 0 2 .2 2 3.2 0 (2 ) 3.2 2 0
2
x x x x x x
x
+ − = ⇔ + − = ⇔ − + =
(1) .
• Đặt t=2
x

, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=

.
• Với t=1
0
2 1 2 2 0
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =
.
• Với t=2
1
2 2 2 2 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm pt là x=0 , x=1 .
5/

1
9 9 10 0
x x−
+ − =
.
Giải .
Biến đổi pt
1
9 9 10 0
x x−
+ − =
⇔

1
2
9
9 10 0 9 9 .9 10.9 0 (9 ) 10.9 9 0
9
x x x x x x
x
+ − = ⇔ + − = ⇔ − + =
(1)
.
• Đặt t=9
x
, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1
10 9 0

9
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=

.
• Với t=1
0
9 1 9 9 0
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =
.
• Với t=9
1
9 9 9 9 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm pt là x=0 , x=1 .
6/ 3.4 2.6 9
x x x
− =
Giải
Chia hai vế pt cho 9
x

.

 
     
⇔ ⇔ ⇔
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
   
       
⇔ ⇔
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
       
   
x
x x x
x x x 2
x x x 2
x 2
2 x x x
4 6 9 4 6 2 2
Pt 3. - 2. = 3. - 2. = 1 3. - 2. = 1
9 9 9 9 9 3 3
2 2 2 2
3. - 2. = 1 3. - 2. = 1 (1)
3 3 3 3
Đặt t=

 
 ÷
 
x
2
3
, đk t>0 .
PT (1)


⇔ ⇔ ⇔


2 2
t = 1
3.t - 2.t = 1 3.t - 2.t - 1 = 0
1
t = -
3
(l )oaïi vì t > 0
Với t=1
0
1 0x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
x x
2 2 2
3 3 3

Bài tập : Giải các phương trình .
1/ 16 17.4 16 0
x x
− + = 2/ 81 10.9 9 0
x x
+ − = .
3/ 36 35.6 36 0
x x
+ − = 4/ 49 8.7 7 0
x x
+ + = .
5/
1
5 5 6 0
x x−
+ + = 6/
1
7 7 8 0
x x−
+ − =
7/ 5.25 3.10 2.4
x x x
+ = 8/ 4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
Dạng 3: Lôgarit hóa : Lấy Lôgarit hai vế .
VD : Giải pt :
2
3 .2 1
x x

=
.
3
Giải
Lấy Lôgarit cơ số 3 hai vế , ta được :
2 2 2
2
3 3 3
2
3 3 3 3
2 2
3 3
3
3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0
log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0
0
0 0
1 1
log 3 log
1 log 2 0 log 2 1
log 2 3
x x x x x x
x x
PT
x x x x
x
x x
x
x x
= ⇔ = ⇔ =

⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
−
 

= = − =
+ = = −
 


Bài tập :
1/
2
4 .3 1
x x
=
2/
2
9 .7 1
x x
=
3/
2
7 .8 1
x x

=
4