Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (655.4 KB, 92 trang )
..
➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❙♦♥❣ ❍➭
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
◆❣✉②Ô♥ ❙♦♥❣ ❍➭
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ●✐➯✐ tÝ❝❤
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿
P●❙✳ ❚❙✳ ❚➵ ❉✉② P❤➢ỵ♥❣
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ơ❝ ❧ơ❝
▼ơ❝ ❧ơ❝
✶
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✸
❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✺
✳
❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶✳✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
✶✳✶✳✷
❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✻
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✻
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✼
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✶
✶✳✶✳✸
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡
✶✳✶✳✹
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡
✶✳✷
✻
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✼
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✺
✶✳✷✳✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✺
✶✳✷✳✷
❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
✳
✷✼
✳
✸✵
✳
✸✾
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡
✶✳✷✳✸
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡✳
✶✳✷✳✹
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡ ♣❤➞♥ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥
❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✳
✷
❈➳❝ t❤Ý ❞ơ tÝ♥❤ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ư✉
✹✹
✷✳✶
❚❤Ý ❞ơ ✶
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✺
✷✳✷
❚❤Ý ❞ơ ✷
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✾
✷✳✸
❚❤Ý ❞ô ✸
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✺✸
✷✳✹
❚❤Ý ❞ô ✹
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✺✽
✷✳✺
❚❤Ý ❞ô ✺
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✻✷
✷✳✻
❚❤Ý ❞ô ✻
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✻✼
✷✳✼
❚❤Ý ❞ô ✼
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✼✶
✷✳✽
❚❤Ý ❞ơ ✽
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✼✺
✷✳✾
❚❤Ý ❞ơ ✾
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✼✾
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✽✼
❑Õt ❧✉❐♥
✳
✳
✳
❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
✽✾
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
❉♦ ý ♥❣❤Ü❛ q✉❛♥ trä♥❣ ✈Ò ❝➯ ❧ý t❤✉②Õt ❧➱♥ t❤ù❝ tÕ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠➵♥❤ ♠Ï tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ✸✵ ♥➝♠ trë ❧➵✐ ➤➞②✳ ❇➭✐
t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤
♣❤✐ t✉②Õ♥ ✭❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï✱✳✳✳✮✳ ◆❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị
❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭tå♥ t➵✐ ệ ổ ị ệ ợ
ứ ỹ
t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❝✃✉ tró❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ✭tå♥
t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✱ tÝ♥❤ ❝♦ rót ➤➢ỵ❝✮ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ơ❝ t✐➟✉
➤➲ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤✐Ị✉✱ t❤× ❝✃✉ tró❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ t
tứ ế ò ợ q t ➤đ✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥
♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✹❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✶❪✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ó♥❣
t➠✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❜➯♥ t❤➞♥ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ♥➭②✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥
❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t❐♣ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❝♦♠♣❛❝t✳
❱✃♥ ➤Ị tr✉♥❣ t➞♠✱ ①✉②➟♥ s✉èt ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❝➳❝ ❝➞✉
❤á✐✿
❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭♦ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠❄
❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭♦ t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
❧➭ ♠ét t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣❄
◆Õ✉ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣
t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ã ❝ã ❝✃✉ tró❝ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦❄
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉♥❣ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✈➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ❧➭♠ s➳♥❣ tá ❧ý t❤✉②Õt ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣
✶ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ♥❤❐♥ ①Ðt ✈Ị ❝✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ọ
ớ
sự
ớ
ủ
P
Pợ
tỏ
sự
í
trọ ò ết s s➽❝ ➤è✐ ✈í✐ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐ó♣ ➤ì ➤Ĩ
❝ã ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤è✐ ✈í✐ ❚r✉♥❣ t➞♠ ➜➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ➜➵✐ ❤ä❝
❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❐♣ t❤Ĩ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝
❚♦➳♥ ✲ ❑✶✺✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈Ị sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✳ ❱➭ ❝✉è✐ ❝ï♥❣✱ ①✐♥
❝➯♠ ữ ờ t tr ì ủ t ❣✐ó♣ ➤ì✱
➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭
❦❤Ý❝❤ ❧Ư r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❞➭✐ ❤ä❝ t❐♣✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉
•Rn+ = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, ..., n}
• x, y
• x
•∂A
x
❧➭ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ ♣❤➬♥ tư
•intA
•clA
❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tư
❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝đ❛
❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
❧➭ ❜✐➟♥ ❝ñ❛
A
✈➭
y
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✳
A
✳
A
✳
¯ 0, )
ãB(x
ì ó t
ãB(x0 , )
ì ♠ë t➞♠
•G : X ⇒ Y
X, Y
x
❤♦➷❝
x0
x0
G : X ⇒ 2Y
í
í
trị ữ t
ãA Rrìn
ãx Rn
ãN (x)
ã0+
tr
tì
xT
rìn
AT
ể ị ủ é t
ó t✉②Õ♥ ❝đ❛
❧➭ ♥ã♥ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛ t❐♣
∆
t➵✐
❧➭ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥
x
✳
x
✳
∆
✳
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
✳
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣
♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶✳✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
●✐➯ sö
∆ ⊂ Rn
❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐✱ ó rỗ
F : Rn
ột t
tử trớ
ị ĩ
t tì ể
x
tỏ ♠➲♥
F (¯
x), y − x¯ ≥ 0,
∀y ∈ ∆,
✭✶✳✶✮
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✮
❤❛②✱ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦Ý
❤✐Ư✉ ❧➭ ❱■✳
❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
Sol(
❱■
)
❝đ❛ ❱■ ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯
x¯ ∈ ∆
t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✷✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã t❤Ĩ ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ s❛✉✿
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚×♠ ➤✐Ĩ♠
x¯ ∈ ∆
s❛♦ ❝❤♦
F (¯
x), y − x¯ ∈
/ −R+ \ {0},
❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ r➺♥❣
tr♦♥❣ ➤ã
N∆ (¯
x)
)
∆
❱■
❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
t➵✐
✭✶✳✷✮
0 ∈ F (¯
x) + N∆ (¯
x)
✱
x¯
✱ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
{z ∈ Rn : z, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ ∆}
∅
N∆ (¯
x) =
✶✳✶✳✷
x¯ ∈ Sol(
∀y ∈ ∆.
♥Õ✉
♥Õ✉
x¯ ∈ ∆
x¯ ∈
/∆
✱
✭✶✳✸✮
✳
❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳
●✐➯ sư
x¯ ∈ ∆✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè ε > 0 s❛♦ ❝❤♦
¯ x, ε).
∀y ∈ ∆ ∩ B(¯
F (¯
x), y − x¯ ≥ 0,
❑❤✐ ✃②
x¯ ∈ Sol(
❱■
)
✳
ε>0
t =∈ (0, 1)
zt := x¯ + t(y − x¯)
0 ≤ F (¯
x), zt − x¯ = t F (¯
x), y − x¯
y∈∆
x¯ ∈ Sol( )
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö tå♥ t
t
tỏ õ r ớ ỗ
s
y
tồ
x, )
∩ B(¯
F (¯
x), y − x¯ ≥ 0
t❤✉é❝ t❐♣
✳ ❚❤❡♦ ✭✶✳✹✮✱
✳ ❚õ ➤➞② s✉② r❛ r➺♥❣
✈í✐ ♠ä✐
✳ ❉♦ ➤ã
❱■
✳
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t t
tứ
ế
ệ
ủ
ũ
ệ
t
ụ
ệ
ủ
ị
ệ
í
rtt
tr
t
tứ
ớ
ế
ó
ị
ợ
í
ứ
ề
sự
ờ
ể t ộ rr
ị ý tr❛♥❣ ✶✷✮✳
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tå♥
t➵✐
➤Þ♥❤
❧Ý
Rn
ế
rỗ ồ t
F : → Rn
❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝✱ t❤×
❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳
❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♣❤ï ❤ỵ♣ ✭➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ✲ ❝♦❡r❝✐✈✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮✱ ❝❤ó♥❣ t
ó ị í tồ t trờ ợ t ❝❤Õ
∆
❦❤➠♥❣ ❝♦♠♣❛❝t✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ✭❳❡♠ ❬✺❪ tr❛♥❣ ✶✹✮✳
∆ ⊂ Rn t ồ ó rỗ F : → Rn ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥
0
tô❝✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x
∈ ∆ s❛♦ ❝❤♦
●✐➯ sö
F (y) − F (x0 ), y − x0
→ +∞
y − x0
❦❤✐
y → +∞, y ∈ ∆,
✭✶✳✺✮
t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻✳
❇✐Ĩ✉ t❤ø❝ ✭✶✳✺✮ ❝ã ý ĩ ớ
>0
số
trớ ó tể tì ợ ột
s ❝❤♦
F (y) − F (x0 ), y − x0
≥γ
y − x0
ễ
>0
t
r
x0
ế
ợ tỏ ế tồ t
ú ớ ọ
t
y
tì
ớ
tỏ ♠➲♥
♠ä✐
x0 ∈ ∆
y > ρ.
➤✐Ị✉
❦✐Ư♥
s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✺✮ ①➯② r❛ t❤× t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ ➤✐Ị✉
❦✐Ư♥ ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß
q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t❐♣
❤➵♥ ❝❤Õ
∆
❦❤➠♥❣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ✭✶✳✺✮ ❝❤Ø ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ❞➵♥❣
❝đ❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝✳
◆Õ✉ tå♥ t➵✐
x0 ∈ ∆
✈➭
α>0
s❛♦ ❝❤♦
F (y) − F (x0 ), y − x0 ≥ α y x0 2 ,
y
tì ợ tỏ
ế tå♥ t➵✐ ♠ét sè
α>0
s❛♦ ❝❤♦
F (y) − F (x), y − x ≥ α y − x 2 ,
∀x ∈ , y ,
tì ợ tỏ ó ✭✶✳✺✮ ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✭✶✳✼✮
ị ĩ
ế tồ t
>0
s ợ tỏ tì
str t tr
F
ợ ọ ệ
ợ ọ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥
F (y) − F (x), y − x ≥ 0,
F
F
∆
♥Õ✉
∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆.
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥
F (y) − F (x), y − x > 0,
∆
✭✶✳✽✮
♥Õ✉
∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x = y.
✭✶✳✾✮
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✽✳ ✭❇ỉ ➤Ị ▼✐♥t② ✲ ❳❡♠ ❬✽❪ tr❛♥❣ ✽✾✮✳
∆ ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ F : ∆ → Rn ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✱ ♠♦♥♦t♦♥❡
t❤× x
¯ ∈ Sol( ) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x¯ ∈ ∆ ✈➭
◆Õ✉
❱■
F (y), y − x¯ ≥ 0,
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿ ●✐➯ sư
∀y ∈ ∆.
x¯ ∈ Sol(
❱■
)
✳ ❉♦
✭✶✳✶✵✮
F
❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♥➟♥ t❛
❝ã
F (y) − F (¯
x), y − x¯ ≥ 0,
∀y ∈ ∆.
❑Õt ❤ỵ♣ ➤✐Ị✉ ♥➭② ✈í✐ ✭✶✳✶✮ ❞➱♥ tí✐
F (y), y − x¯ ≥ F (¯
x), y − x¯ ≥ 0,
∀y ∈ ∆
❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✭✶✳✶✵✮ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
x¯ ∈ ∆
y(t) := x¯ + t(y − x¯) ∈ ∆
➜✐Ò✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣
♥➭♦ ➤ã✳ ❉♦
y = y(t)
∆
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱
y∈∆
✈➭ ✭✶✳✶✵✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❈❤ä♥
✈í✐ ♠ä✐
t ∈ (0, 1)
✈➭♦ ✭✶✳✶✵✮ t❛ ➤➢ỵ❝
0 ≤ F (y(t)), y(t) − x¯ = F (¯
x + t(y − x¯), t(y − x¯) .
❍❛② t❛ ❝ã
F (¯
x + t(y − x¯), y − x¯ ≥ 0,
∀t ∈ (0, 1).
✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✳ ❚❤❛②
❈❤♦
t→0
✱ ✈➭ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐
y∈∆
F
F (¯
x), y− x¯ ≥ 0
x¯ Sol( )
t ợ
t ó
ệ ề
ữ ị s ú
ế
F
tì t
ệ ❝❤➷t ✭str✐❝❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥
❱■ ❦❤➠♥❣
t❤Ĩ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠✳
F
✭✐✐✮ ◆Õ✉
∆
❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥
t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛
❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭ ❧å✐ ✭❝ã t❤Ĩ ❜➺♥❣ rỗ
F
ứ tết ứ r
x 0
F (¯
y ), x¯ − y¯ ≥ 0
F (¯
x) − F (¯
y ), y¯ − x¯ ≥ 0
F (¯
x), y¯ − x¯ > 0
tr➟♥
❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ str✐❝❧② ♠♦♥♦t♦♥❡
♥❤➢♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ❤❛✐ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt
✈➭
✳
❑Õt
❤ỵ♣
❤❛✐
x¯
❜✃t
y¯
✈➭
✳ ❑❤✐ ✃②
➤➻♥❣
t❤ø❝
F (¯
x), y¯ −
♥➭②
✳ ◆❤➢♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐
t❛
➤➢ỵ❝
F (¯
y) −
✳
✭✐✐✮ ●✐➯ sư r➺♥❣
❤✐Ư✉
Ω(y)
r➭♥❣ r➺♥❣
F
❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯
Ω(y)
❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ tr➟♥
x¯ ∈ ∆
∆
t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
✳
y∈∆
F (y), y x 0
ớ ỗ
t í
õ
ồ ó ❚õ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✽ s✉② r❛ r➺♥❣
Sol(
❱■
)=
Ω(y).
y∈∆
❉♦ ➤ã
Sol(
❱■
)
❧➭ ♠ét t❐♣ ồ ó ó tể rỗ
ét
ế
F : Rn
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ t❤×
❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈×
F
❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ♥➟♥ t❤♦➯
♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝✱ ❞♦ ➤ã t ị í tì t ó ệ
ữ
F
ệ tì
F
ệ t t ✐✮ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị
✶✳✶✳✾ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✳✶✳✸
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡
❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② t❛ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❞➢í✐ ➤➞②✿
H
∆⊆H
●✐➯ sư
✈➭
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ ✭tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt t❛ ❝ã
H = Rn
✮
❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✳
Fi : ∆ → H(i = 1, 2, ..., m)
❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝ t➡✳
F := (F1 , F2 , ..., Fm ) = (Fi )m
i=1
ớ ỗ
x , v H
t ết
F (x)(v) := ( F1 (x), v , F2 (x), v , ..., Fm (x), v ).
❉➢í✐ ➤➞② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣
C ⊆ Rm
❧➭ ♥ã♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✱ ♥❤ä♥✱ ➤Ø♥❤ t➵✐ ố
ó tr rỗ ế ó ì t❤➟♠✳ ❚❛ ❣ä✐
m
C ∗ := {(ξi )m
i=1 ∈ R : ξ, c ≥ 0, ∀c ∈ C}
C.
❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ủ
ị ĩ
t tì ể
x
s
( F1 (¯
x), y − x¯ , ..., Fm (¯
x), y − x¯ ) ∈
/ −C\{0}, ∀y ∈ ∆,
➤➢ỵ❝
❣ä✐
❧➭
❜➭✐
t♦➳♥
❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡
✭✶✳✶✶✮
✭✈❡❝t♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧
✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✮✱ ✈✐Õt ❣ä♥ ❧➭ ❱❱■✳
❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
Sol(
❱❱■
)
❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱❱■ ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝
x¯ ∈ ∆
t❤♦➯ ♠➲♥
✭✶✳✶✶✮✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✷✳
❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ➤✐Ĩ♠
x¯ ∈ ∆
s❛♦ ❝❤♦✿
( F1 (¯
x), y − x¯ , ..., Fm (¯
x), y − x¯ ) ∈
/ −intC, ∀y ∈ ∆,
➤➢ỵ❝
❣ä✐
❧➭
✭✶✳✶✷✮
❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ②Õ✉ ✭✇❡❛❦❧② ✈❡❝t♦r
w
✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✮✱ ✈✐Õt ❣ä♥ ❧➭ ❱❱■
❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
Sol(
❱❱■
)w
w
❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱❱■
✳
❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝
x¯ ∈ ∆
♠➲♥ ✭✶✳✶✷✮✳
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t❤♦➯
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✸✳
❱í✐ ♠ä✐
ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗
x¯ ∈ ∆
✱ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ➤✐Ĩ♠
s❛♦ ❝❤♦✿
m
ξi Fi (¯
x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ ∆,
✭✶✳✶✸✮
i=1
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♣❤ô t❤✉é❝ t❤❛♠ sè ✭♣❛r❛♠❡tr✐❝
✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✮ ✈✐Õt ❣ä♥ ❧➭ ❱■ ✳
ξ
❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠
Sol(
❱■
)ξ
❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■
ξ
❧➭ ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝
x¯
t
ị ĩ
C
t R+
ọ
tì
sở ❝đ❛ ♠ét ♥ã♥
s❛♦ ❝❤♦
tx ∈ Λ
C
♥Õ✉
0∈
/Λ
✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥
∀x ∈ C\{0}
✳
▼Ư♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✶✺✳
◆Õ✉
C ⊂ Rm
❧➭ ♥ã♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ ❝ã ♣❤➬♥ tr rỗ tì
C
ó ột
sở ồ t
ứ
, c = 1}
✳
intC = ∅ ⇒ ∃c ∈ intC, c = 0
❍✐Ó♥
0 ∈
/ Λ
♥❤✐➟♥
∀x ∈ C\{0} : tx ∈ Λ
✳ ❍❛②
Λ
✳
❧➭ ❝➡ së ❝đ❛
❍➭♠ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ♥➟♥
✈➭ ✈× ✈❐② ♥ã ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❉Ơ t❤✃②
◆❤❐♥ ①Ðt ế
C
ữ
C
ế
t
t
:= { C :
1
t =
, c
ọ
tì
t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ✈➭ ❜Þ ❝❤➷♥ tr♦♥❣
Rm
✱
❧➭ t❐♣ ❧å✐✳
❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥ t❤×
C ∗ ❧➭ ♥ã♥ C ✳ ❚õ ♥❛② ✈Ị s❛✉ t❛
ξ, c = 1} ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ♥ã✐ ❣× t❤➟♠✳
❝đ❛
❍➡♥
✳
intC ∗ = ∅✳
(C ∗ )∗
Λ := {ξ ∈ C ∗ :
◆ã♥ ➤è✐ ♥❣➱✉
❧✉➠♥ sư ❞ơ♥❣ ❦Ý ❤✐Ư✉
➜Þ♥❤ ❧Ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ❣✐÷❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✼✳
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚❛ ❝ã
Sol(
❱■
)ξ ⊆ Sol(
❱❱■
) ⊆ Sol(
)w =
Sol(
❱■
❱❱■
)ξ
✭✶✳✶✹✮
ξ∈C ∗
ξ∈intC ∗
❍➡♥ ♥÷❛✱ ế
F
tụ tì
Sol(
)w
t ó
ứ ừ ị ĩ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳
❚❛ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t
Sol(
❱■
)ξ ⊆ Sol(
❱❱■
).
✭✶✳✶✺✮
ξ∈intC ∗
❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã
∀x ∈
Sol(
❱■
)ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ intC ∗ : x ∈ Sol(
❱■
)ξ .
ξ∈intC ∗
▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã
m
0≤
m
ξi Fi (x), y − x = ξ T F (x)(y − x), ∀y ∈ ∆,
ξi Fi (x), y − x =
i=1
i=1
✭✶✳✶✻✮
ξT
y∈∆
tr♦♥❣ ➤ã
❝ã
❧➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✻✮ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ❦❤➠♥❣
♥➭♦ ➤Ó
F (x)(y − x) ∈ −C\{0}
✳ ❍❛②
x ∈ Sol(
❱❱■
)
✳
❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ❜❛
Sol(
❱❱■
)w =
Sol(
)ξ .
❱■
ξ∈C ∗
❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã
∀x ∈
Sol(
❱■
)ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗ \{0} : x ∈ Sol(
❱■
ξ∈C ∗ \{0}
❚❛ ➳♣ ❞ô♥❣ ✭✶✳✶✻✮ s✉② r❛
Sol(
❱■
)ξ ⊆ Sol(
❱❱■
)w .
ξ∈C ∗ \{0}
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
)ξ .
r trờ ợ
=0
tì tứ ũ ú ➤ã
)w .
Sol(
)ξ ⊆ Sol(
)w
{F (x)(y − x) : y ∈ ∆} ∩ (−intC) = ∅
❱■
❱❱■
ξ∈C ∗
▼➷t ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉
x ∈ Sol(
❱❱■
t❤×
✳
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐ t❛ ❝ã
˜ F (x)(y − x) ≥ sup
∃ξ˜ ∈ C ∗ \{0} : inf ξ,
y∈∆
❤❛②
˜v ,
ξ,
v∈−intC
˜ T F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆
∃ξ˜ ∈ C ∗ \{0} : (ξ)
✳ ❙✉② r❛
Ω = C\(−intC)
F (x)(y − x) ∈ Ω}
❱×
F
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭
❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥
x ∈ Sol(
)ξ˜
❱■
✳
τ (x) = {x ∈ ∆ :
❧➭ ➤ã♥❣✳ ❱× ✈❐②
Sol(
❱❱■
)w =
τ (x)
x∈∆
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✽✳
❚❛ ❝ã
Sol(
❱■
)tξ = Sol(
❱■
)ξ , ∀ξ ∈ C ∗ \{0}, ∀t > 0
✳ ❉♦ ➤ã ➤Þ♥❤ ❧Ý tr➟♥ ❝ã
t❤Ĩ ✈✐Õt ❧➵✐ ❞➢í✐ ❞➵♥❣
Sol(
❱■
)ξ ⊆ Sol(
❱❱■
)w =
) ⊆ Sol(
Sol(
❱❱■
ξ∈Λ∩intC ∗
)ξ .
❱■
ξ∈Λ
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✾✳
❚r♦♥❣ tr✉ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt
Λ = {ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn+ :
H = Rn
✈➭
n
C = Rn+
t❤× t❛ ❝ã
C ∗ = Rn+
ξi = 1}
✳ ❉♦ ➤ã
i=1
Sol(
❱■
)ξ ⊆ Sol(
❱❱■
) ⊆ Sol(
ξ∈Λ∩intRn+
❱❱■
)w =
Sol(
❱■
)ξ .
ξ∈Λ
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✵✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✈➭
F
0, ∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ; ∀x, x ∈ ∆
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉
❍➭♠
m
i=1
F
Λ; ∀x, x ∈ ∆
t❛ ❝ã
m
ξi Fi (x), x − x ≥ α x − x 2 .
ξi Fi (x ) −
❍➭♠
∃α >
i=1
➤➢ỵ❝
❣ä✐
❧➭
❤➭♠
➤➡♥
➤✐Ư✉
✭♠♦♥♦t♦♥❡✮
♥Õ✉
∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈
t❛ ❝ã
m
m
ξi Fi (x ) −
i=1
ξi Fi (x), x − x ≥ 0.
i=1
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✷✶✳
❚❛
❜✐Õt
Sol(
r➺♥❣
tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣
F
❱❱■
) ⊆ Sol(
❱❱■
)w
✳
❚❛
sÏ
❝❤Ø
r❛
r➺♥❣
Sol(
❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝đ❛
✈➭
❱❱■
●✐➯ sư
F = (F1 , F2 )
)w
✳
C∗
❱❱■
)
❧➭ t❐♣
tr♦♥❣ ➤ã
✳
F
Λ = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ R2+ : ξ1 + ξ2 = 1}
❧➭ str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✱
C∗ =
❧➭ ❝➡ së
✳
∀ξ ∈ Λ, x¯ ∈ Sol( )ξ ⇔ ξ1 F 1(¯
x) + ξ2 F2 (¯
x) ∈ −N∆ (¯
x)
N∆ (¯
x) = 0
x¯ ∈ int∆ N∆ (¯
x) = {(z1 , z2 ) : z1 ≤ 0, z2 = 0}
x¯ ∈ ∂∆
2
Sol(
)w = {¯
x = (¯
x1 , x¯2 ) ∈ K : x¯2 = 2 +
, 0 ≤ x¯1 ≤ 1},
x¯1 − 2
◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣
❱■
➜Ó ý r➺♥❣
♥Õ✉
Sol(
H = R2 , ∆ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0}, C = R2+
F1 (x) = (x1 − 1, x2 ), F2 (x) = ( 21 x1 , x2 − 1)
❉♦ ➤ã ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥
❝♦♠♣❛❝t ❝đ❛
tr♦♥❣
✳
❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ tr➟♥✱ ❞Ơ t❤✃② r
C = R2+
str t tì tứ ợ ❧➵✐ ✈➱♥ ❝ã t❤Ĩ
❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳ ❚r♦♥❣ ✈Ý ❞ơ ❞➢í✐ ➤➞② t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ➤✐Ị✉ ♥➭② ✈➭
❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✷✷✳
♥❣❛②
♥Õ✉
✳
✈➭
✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ❝❤♦ t❛
❱❱■
✈➭
Sol(
❱❱■
▲✃②
) = {¯
x = (¯
x1 , x¯2 ) ∈ K : x¯2 = 2 +
x˜ = (0, 1) ∈ Sol(
❱❱■
)w
2
, 0 < x¯1 < 1}.
x¯1 − 2
✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐
y∈∆
( F1 (˜
x), y − x˜ , F1 (˜
x), y − x˜ ) = (−y1 + y2 − 1, 0) = R × {0}.
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(y1 , y2 ) = (0, 0) ∈ ∆ ⇒ F (˜
x)(y − x˜) = (−1, 0) ∈ −R2+
)
x˜˜ = (1, 0) ∈
/ Sol(
)
◆❤➢ ✈❐② ♥Õ✉ ❝❤ä♥
x˜ ∈
/ Sol(
❉♦ ➤ã
❱❱■
✳ ❚➢➡♥❣ tù t❛ s✉② r❛
❱❱■
✳
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✸✳
∆⊂H
t❤Ĩ ❧å✐ ❝❤➷t
{xt = (1 − t)x + tx : t ∈ (0, 1)} ⊂ int∆
❚❐♣ ❝♦♥
❣ä✐ ❧➭ ♠ét
♥Õ✉
int∆ = ∅
✈➭
∀x = x ∈ ∆ :
✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ❞✉í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ➤Ĩ
Sol(
❱❱■
) = Sol(
❱❱■
)w
✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✹✳
●✐➯ sư ❍ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝✱
❧➭ ♥ã♥ ❧å✐✱
❱❱■
❧➭ ♠ét t❤Ó ❧å✐ ❝❤➷t✳
➤ã♥❣ ✈➭ ó tr rỗ
: H Rm
) = Sol(
)w
t✉②Õ♥ tÝ♥❤
Sol(
∆⊆H
❱❱■
①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
x ∈ ∆✱
t♦➳♥ tư
❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤✳
❑❤✐ ➤ã
❱í✐ ỗ
v F (x)v
C Rm
ứ sử r
Sol(
) = Sol(
❱❱■
)w ⇒ ∃y ∈ Sol(
❱❱■
)w \Sol(
❱❱■
).
❉♦
y = Sol(
❱❱■
∆
❉♦
) ⇒ ∃z = y, z ∈ ∆ : F (y)(z − y) ∈ −C\{0}.
❧➭ t❤Ó ❧å✐ ❝❤➷t ♥➟♥
✭✶✳✶✼✮
∀t ∈ (0, 1) : θt = (1 − t)y + tz ∈ int∆
✳ ❚õ ✭✶✳✶✼✮
s✉② r❛
F (y)(θt − y) ∈ −C\{0}.
¯ t, )
B(θ
θt
ϕ : H → Rm
¯ t, ) − y
v → F (x)v
B(θ
¯ t , ) − y) := {F (y)(x − y) : x ∈ B(θ
¯ t , )}
θt − y
F (y)(B(θ
µt := F (y)(θt − y)
▲✃②
>0
❜➳♥ ❦Ý♥❤
s❛♦ ❝❤♦✿
¯ t, ) ⊂ ∆
B(θ
x∈∆
✭✶✳✶✽✮
✱ tr♦♥❣ ➤ã
✳ ❱í✐ ♠ä✐
❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤ã♥❣ t➞♠
✱ t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤
①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤ ♥➟♥ ♥ã ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ♠ë✳ ❉♦
❝ñ❛
♥➟♥
❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛
❉♦
❧➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
✳
¯ t , ) − y)
F (y)(B(θ
❧➭ t❐♣ ♠ë ♥➟♥
∃ρ > 0
s❛♦ ❝❤♦
¯ t , ρ) ⊂ F (y)(B(θ
¯ t , ) − y).
B(µ
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❧➭ ♠ét
¯ t , ρ)∩−intC = ∅
B(µ
F (y)(x − y) ∈ −intC\{0}
tá r➺♥❣
intC = ∅
¯ t, )
∃x ∈ B(θ
✶✳✶✳✹
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
▼➷t ❦❤➳❝ ✈×
✈➭ ✭✶✳✶✽✮ t❛ ❝ã
s❛♦ ❝❤♦
✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣
✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥✳
♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉
Sol(
)
Sol(
Sol(
)w
❱❱■
t❤×
✈➭
❱❱■
❱❱■
)w
F
❧➭ str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ t❤×
❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣✳
◆Õ✉
F
❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡
❧➭ t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤è✐ ✈í✐ t➠♣➠ ②Õ✉✳ ❚❛ ✈➱♥ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉
tr♦♥❣ ♠ơ❝ ✸✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✺✳
●✐➯ sư
X
X
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠✳
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ♥Õ✉
X
❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❤ỵ♣
❝đ❛ ❤❛✐ t❐♣ ❝♦♥ ♠ë t❤ù❝ sù✱ rê✐ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ♥ã✳
X
γ : [0, 1] → X
➤➢ỵ❝
❣ä✐ ❧➭
∀x, y ∈ X
γ(0) = x, γ(1) = y
❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣ ♥Õ✉
s❛♦ ❝❤♦
tå♥
t➵✐ ➳♥❤
①➵
❧✐➟♥ tơ❝
✳
ψ : X × [0, 1] → X
ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
❳ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝♦ rót ➤➢ỵ❝ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ❝
✈➭ ♠ét ❞✐Ĩ♠
a∈X
s❛♦ ❝❤♦
∀x ∈ X
t❛ ❝ã
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
G:XY
{(x, y) X ì Y : y G(x)}
ợ ❣ä✐ ❧➭ ➤ã♥❣ tr➟♥
♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ
❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ tr
X
X ìY
ế ồ tị ủ
G
tứ
ị ĩ
trị
ọ
U
aX
a
ủ
G:X Y
ớ ọ t ở
s
G(a )
ợ ❣ä✐ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ tr➟♥
Ω
G(a) ⊂ Ω
a ∈U
t❤♦➯ ♠➲♥
✈í✐ ♠ä✐
X
t❤× tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✷✽✳
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
♥Õ✉ ✈í✐
G:X⇒Y
◆Õ✉ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ
tơ❝ tr➟♥ tr➟♥
❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭
Y
❧➭ ❝♦♠♣❛❝t tì
G ử
X
ị ý tr
sö
X, Y
❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ ✈➭
G:X⇒Y
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ◆Õ✉
❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤♦➯ ♠➲♥✿
✐✮
X
❧➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✳
✐✐✮ ❱í✐ ọ
xX
t
G(x) rỗ t
ử tụ tr tr
tì
G(X) =
X
G(x) t
xX
ị ĩ
sö
M ⊂ Rm , N ⊂ Rl
g : N ⇒ Rn
trị é t
f : Rn ì M Rn
t rỗ
trị ớ t trị ồ ó
t tì ể
x g()
s ❝❤♦✿
f (¯
x, ξ), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ g(λ),
➤➢ỵ❝
❣ä✐
❧➭
❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ t số
(, ) M ì N
ợ í ❤✐Ö✉ ❧➭ ❱■
¯ ∈ N, ∀x ∈ g(λ)
¯
λ
¯
V
λ
∀λ, λ ∈ N V
ớ ỗ
tồ t ột
(,) ✳
❝ñ❛
g
W
❣ä✐ ❧➭ ❣✐➯ ▲✐♣s❝❤✐t③ t➵✐
✱ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
x
❝ñ❛
✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè
¯ x)
(λ,
k>0
♥Õ✉
s❛♦
t❛ ❝ã
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ ) + k B,
tr ó
B
ì ị ó tr♦♥❣
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❧å✐ ➤ã♥❣
sè
p>0
X
Rn
❝ñ❛
x
✳
✱ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
U
❝đ❛
µ
¯
✈➭ ❤➺♥❣
s❛♦ ❝❤♦
f (x , µ )−f (x, µ) ≤ p( x −x + µ −µ ), ∀µ, µ ∈ M U ; x, x X
tì
f
ợ ọ st ị t
(x, à
)
S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✶✳
¯ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ∀x ∈ ∆
¯ ⊂ g(λ)
¯ ➳♥❤ ①➵ g ❧➭ ❣✐➯ ▲✐♣s❝❤✐t③
∆
¯
¯
t➵✐ (λ, x)✳ ❑❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè k > 0 ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ V ❝ñ❛ λ ❝ã tÝ♥❤
¯
❝❤✃t ớ ỗ x tồ t ột W ❝ñ❛ x s❛♦ ❝❤♦ ∀λ, λ ∈ N ∩ V t❤×
●✐➯ sư
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ ) + k λ − λ B.
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✷✳
¯ ∈ M × N ✳ ●✐➯ sư ❝ã ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ X
(¯
µ, λ)
x ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ U ❝đ❛ µ
¯ ✈➭ ❤❛✐ ❤➺♥❣ sè p > α > 0 s❛♦ ❝❤♦
❳Ðt ❝➷♣ t❤❛♠ sè
❝đ❛
f (x , µ )−f (x, µ) ≤ p( x −x + µ −µ ), ∀µ, µ ∈ M ∩U ; ∀x, x ∈ X;
✭✶✳✶✾✮
f (x , µ)−f (x, µ), x −x ≥ α x −x 2 , ∀µ ∈ M ∩U ; ∀x, x ∈ X,
α
❑❤✐ ➤ã✱ ∀θ ∈ (0,
) tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ U˜ ❝đ❛ µ
¯ ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ V˜
2
p
✭✶✳✷✵✮
❝đ❛
¯
λ
s❛♦ ❝❤♦✿
∀(µ, λ) ∈ (M ∩ U ) ì (N V ) t (à,) ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t
tr➟♥ X ✳
✐✮
✐✐✮
∀µ, µ ∈ M ∩ U˜ ; ∀λ, λ ∈ N ∩ V˜
t❛ ❝ã
1
1
x(µ , λ ) − x(µ, λ) ≤
(θp µ − µ + 2k(λ − λ) 2 ),
1−β
1
tr♦♥❣ ➤ã β = (1 − θα) 2 ✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✸✳
●✐➯ sư tå♥ t➵✐
α > 0 ➤Ó ♠➭ ∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ; ∀x, x ∈ ∆ t❛ ❝ã
m
m
ξi Fi (x), x − x ≥ α x − x 2 ,
ξi Fi (x ) −
i=1
i=1
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè
p > 0 s❛♦ ❝❤♦ ∀i = 1, 2, ..., m; ∀x, x ∈ ∆ t❛ ❝ã
Fi (x ) − Fi (x) ≤ p x − x .
❑❤✐ ✃②
Sol(
❱❱■
)=∅
Sol(
❱❱■
)ξ ⊆ Sol(
Sol(
Ω=
✈➭
❱■
)w = ∅
❱❱■
✈➭
) ⊆ Sol(
❱❱■
)w =
ξ∈Λ∩intC ∗
Sol(
❱■
)ξ = cl.
m
ứ ớ ỗ
= (1 , ..., m ) ∈ Λ
t❛ ➤➷t
f (x, ξ) :=
ξi Fi (x).
i=1
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■
ξ✿
❚×♠
x∈∆
f (x, ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆.
s❛♦ ❝❤♦✿
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã
m
m
ξi Fi (x), x − x ≥ α x − x 2 ,
ξi Fi (x ) −
i=1
i=1
❤❛② t❛ ❝ã
f (x , ξ) − f (x, ξ), x − x ≥ α x − x 2 ,
t ớ ỗ
f (x , ) f (x, ξ) ≤ p m ξ x − x .
α
θ ∈ [0,
] x ∈ Sol( )ξ
mp2 ξ 2
x → P∆ (x − θf (x, ξ)), x ∈ ∆
∆
✱
❱■
✳ ❚r♦♥❣ ➤ã
❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ tr➟♥
P∆
✭✶✳✷✷✮
x
❧➭ ➤✐Ĩ♠
P∆ (.)
❧➭ ♣❤Ð♣
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
❝è ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵
❉♦
✭✶✳✷✶✮
✳
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ✈➭ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✶✮✱ ✭✶✳✷✷✮ t❛ ❝ã
P∆ (x − θf (x , ξ)) − P∆ (x − θf (x, ξ))
2
≤ (x − θf (x , ξ)) − (x − θf (x, ξ))
≤ x −x
2
2
− 2θ f (x , ξ) − f (x, ξ), x − x + θ2 f (x , ξ) − f (x, ξ)
2
≤ (1 − θα) x − x 2 , ∀x, x ∈ ∆.
❱×
θ≤
α
mp2
ξ
2
,α < m
✈➭
p≥1
♥➟♥
θα < 1
✳ ❙✉② r❛
❚❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✭
H
P∆
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦✳
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➬② ➤đ✮
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x → P∆ (x − θf (x, ξ))
∆
∀ξ
x(ξ)
), Sol(
)w
t❤× ➳♥❤ ①➵
x(ξ)
Sol(
tr➟♥
❱❱■
✳ ❉♦ ➤ã
t❤×
❱❱■
❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭
❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■
ξ✳
❙✉② r❛
❧➭ rỗ
ò ứ
cl =
Sol(
)
t
Fi
tụ tr
)w
Sol(
Sol(
t ó ì
)
t ó
cl
Sol(
)
ớ ỗ ➤✐Ĩ♠ ❝è ➤Þ♥❤
t❛ ❝ã
f (x, ξ)
ξ∈Λ
✱ ①Ðt
¯ g(λ) = ∆
M := Λ, µ
¯ := ξ,
¯
y, ξ¯
y := x(ξ)
U˜
ξ¯
✳ ❚õ ✭✶✳✷✷✮
❧➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t➵✐
✱ tr♦♥❣ ➤ã
❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✷ t❛ ó tể tì ợ ột
k > 0
ủ
ột ❤➺♥❣ sè
s❛♦ ❝❤♦
x(ξ ) − x(ξ) ≤ kξ¯ ξ − ξ
◆Õ✉
✳ ❑❤✐ ➤ã ➳♣
ξ¯ ∈ Λ∩intC ∗
t❤× ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥
❉♦ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❞➲②
∀ξ, ξ ∈ Λ ∩ U˜ .
✭✶✳✷✸✮
¯ ∈ Ω ⊆ clΩ
x(ξ)
ξ¯ ∈ Λ\intC ∗
ξ (m) ∈ Λ ∩ intC ∗ : ξ (m) → ξ¯
✳ ●✐➯ sư r➺♥❣
✳
✈➭ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐
✭✶✳✷✸✮ t❛ ➤➢ỵ❝
¯ ≤ kξ¯ ξ (m) − ξ −→ 0.
x(ξ (m) ) − x(ξ)
❉♦ ó
cl
x()
ị í ợ ứ t
ị ❧ý ✶✳✶✳✸✹✳
m
●✐➯ sư tå♥ t➵✐
α>0
➤Ĩ ♠➭
∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ
ξi Fi (x ) −
t❛ ❝ã
i=1
m
ξi Fi (x), x − x ≥ α x − x
2
✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè
p > 0
s❛♦ ❝❤♦
∀i =
i=1
1, 2, ..., m; ∀x, x ∈ ∆ t❛ ❝ã Fi (x ) − Fi (x) ≤ p x − x .
❑❤✐ ✃②
✐✮
✐✐✮
)w
Sol(
❱❱■
Sol(
❱❱■
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣✳
) ❧➭ t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶✳✷✾ t❛ ❝ã
Sol(
❱❱■
)w =
Sol(
❱■
)ξ
✱
tr♦♥❣
ξ∈Λ
➤ã
Λ
❧➭ sở ồ t ủ
C
ớ ỗ
t ứ ➤Þ♥❤
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❧Ý
tr➟♥
t❤×
❜➭✐
t♦➳♥
x(.) : Λ → H
Sol(
)w
❱■
ξ
❝ã
❞✉②
♥❤✃t
♥❣❤✐Ư♠
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ✈×
s✉② r❛
❱❱■
❱❱■
❧➭
t❐♣
❝♦♠♣❛❝t
✳
❱×
tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝đ❛
❚❤❐t ✈❐②✱
♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
❉♦ ➤ã
Ω
♥➟♥
)}
x(.)
Sol(
)
a ∈ Λ
Ψ(ξ, t) = (1 − t)ξ + ta
❱❱■
➤➢ỵ❝✳
∆
tr➟♥
✳
▼➷t
❦❤➳❝
t❛
❝ã
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❝♦ rót ➤➢ỵ❝ ♥➟♥
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ờ
Sol(
)w
{ : x() Sol(
x()
ớ ỗ
Sol(
)
t
ị
t
=
①➵ ❧✐➟♥ tơ❝ ♥➟♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
Ω
Ψ : Ω × [0, 1] → Ω
t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❝è ➤Þ♥❤✱
➳♥❤ ①➵
❧➭ t❐♣ ❝♦ rót
➤Þ♥❤
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ị ĩ
t rút ợ
ị ĩ
ột số
T :∆→H
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉
❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉
❝❤Õ
T :M ∩∆→H
M ⊂H
➳♥❤ ①➵ ❤➵♥
❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✻✳
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❱❱■ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt
F
❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✈➭
Fi
❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ❝➳❝
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤ó♥❣✿
ξ ∈ Λ t❤× Sol(
t❤× Sol(
)ξ =
ớ ỗ
)
t ồ ó ế ế
t ị
{(, y) ì : y Sol( )ξ } ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ tr➟♥
tÝ❝❤ Λ × ∆✱ tr♦♥❣ ➤ã t➠♣➠ ❝ñ❛ ∆ ❧➭ t➠♣➠ ❝➯♠ s✐♥❤ ❝ñ❛ H ✳
✭✐✐✮ ❚❐♣
F
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✐✮ ❉♦
m
t❛
❱■
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♥➟♥
∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ; ∀x, x ∈ ∆
m
ξi Fi (x ) −
❝ã
i=1
m
ξi Fi (x), x − x ≥ 0
✳
❱×
✈❐②
t♦➳♥
ξi Fi (.)
tư
i=1
i=1
♠♦♥♦t♦♥❡✳ ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ▼✐♥t② t❛ ❝ã
y ∈ Sol(
❱■
)ξ ⇔
y ∈ ∆
m
ξi Fi (x), x − y ≥ 0, ∀x ∈ ∆
i=1
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❧➭
m
y∈∆:
❱× t❐♣ t✃t ❝➯
ξi Fi (x), x − y ≥ 0
❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ➤ã♥❣ ②Õ✉ ♥➟♥
i=1
Sol(
❱■
)ξ
❧➭ t❐♣ ❧å✐ ó ế ế
t ị tì
Sol(
{( (k) , y (k) )} ⊂ Λ × ∆
{y (k) }
y∈∆
k
y (k) ∈ Sol( )ξ (k)
✐✐✮ ▲✃② ♠ét ❞➲② ❜✃t ❦× ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö
ξ¯ ∈ Λ ξ¯ = (ξ¯1 , ..., ξ¯m )
y Sol( )
x
t
s
ộ tụ ế tớ
ớ
ỗ
) = ∅
t❛
✳
❝ã
✳
ξ (k) →
❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❱■
✳
❚❤❡♦
❇ỉ
➤Ị
▼✐♥t② t❛ ❝ã
m
(k)
ξi Fi (x), x − y (k) ≥ 0.
✭✶✳✷✹✮
i=1
❈è ➤Þ♥❤
x∈∆
t❛ ❝ã
m
m
(k)
ξi Fi (x), x−y (k)
m
(k)
(ξi −ξ¯i )Fi (x), x−y (k)
=
i=1
ξ¯i Fi (x), xy (k) .
+
i=1
i=1
ì
y (k)
ộ tụ ế tớ
y
y (k)
ị
❝ã
m
m
(k)
(ξi
|
− ξ¯i )Fi (x), x − y
(k)
(k)
(ξi − ξ¯i )Fi (x) x − y (k) .
|≤
i=1
i=1
m
(k)
| ξi − ξ¯i | Fi (x) ( x + y (k) ).
≤
✭✶✳✷✻✮
i=1
❉♦
ξ (k) → ξ¯
✈➭ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✹✮✱ ✭✶✳✷✺✮✱ ✭✶✳✷✻✮ t❛ ➤➢ỵ❝
m
ξ¯i Fi (x), x − y ≥ 0, ∀x ∈ ∆.
i=1
m
❍➡♥ ♥÷❛
ξ¯i Fi (.)
❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥
i=1
❝❤✐Ị✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ▼✐♥t② s✉② r❛
y ∈ Sol(
)ξ¯
❱■
✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✼✳
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
