Giới thiệu về đa thức tutte của đồ thị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.8 MB, 68 trang )
LÀNH THANH TÙNG
GIỚI THIỆU VỀ ĐA THỨC TUTTE
CỦA ĐỒ THỊ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Vũ Thế Khơi
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
1 / 33
Mở đầu
Nội dung chính của luận văn:
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
2 / 33
Mở đầu
Nội dung chính của luận văn:
+) N.Đ. Tân, Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, chương 6, ĐHQG Hà Nội,
(2004).
+) B. BéLa, Modern graph Theory, chap. X, Berlin, New York:
Springer-Verlag, ISBN 978-0-384-98491-9, (2010).
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
2 / 33
Cấu trúc luận văn
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
3 / 33
Cấu trúc luận văn
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa đồ thị
1.2. Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con
1.3. Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng
1.4. Hành trình, đường, chu trình
1.5. Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông
1.6. Đồ thị bao trùm
1.7. Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
3 / 33
Cấu trúc luận văn
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa đồ thị
1.2. Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con
1.3. Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng
1.4. Hành trình, đường, chu trình
1.5. Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông
1.6. Đồ thị bao trùm
1.7. Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
Chương 2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte
2.1. Định lý cơ sở
2.2. Định nghĩa
university-logo
2.3. Tính chất cơ bản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.4. Ví dụ
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
3 / 33
Cấu trúc luận văn
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa đồ thị
1.2. Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con
1.3. Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng
1.4. Hành trình, đường, chu trình
1.5. Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông
1.6. Đồ thị bao trùm
1.7. Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
Chương 2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte
2.1. Định lý cơ sở
2.2. Định nghĩa
university-logo
2.3. Tính chất cơ bản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.4. Ví dụ
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
3 / 33
Cấu trúc luận văn
Chương 3. Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte
3.1. Giá trị đặc biệt của đa thức Tutte TG (x , y ) tại x , y ∈ {1, 2}
3.2. Đa thức tô màu
3.3. Đa thức dịng
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
4 / 33
Cấu trúc luận văn
Chương 3. Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte
3.1. Giá trị đặc biệt của đa thức Tutte TG (x , y ) tại x , y ∈ {1, 2}
3.2. Đa thức tô màu
3.3. Đa thức dòng
Chương 4. Khai triển của đa thức Tutte theo cây bao trùm(cây
khung)
4.1. Các định nghĩa
4.2. Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
4 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.1. Định nghĩa đồ thị.
Cho V là tập hữu hạn và khác rỗng, E ⊆ V × V , khi đó G = (V , E )
gọi là một đồ thị hữu hạn.
i) Mỗi phần tử v ∈ V được gọi là một đỉnh của đồ thị.
ii) Mỗi phần tử e = (x , y ) ∈ E với x = y được gọi là một cạnh của đồ
thị.
iii) Mỗi phần tử e = (x , x ) ∈ E được gọi là một khuyên của đồ thị.
4i) V = V (G ) được gọi là tập các đỉnh, E = E (G ) được gọi là tập các
cạnh, | V | , | E | lần lượt là số các đỉnh và số các cạnh của đồ thị.
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
5 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con
1.2 .1 Định nghĩa
i) G = (V , E ) được gọi là một đồ thị vô hướng nếu với mọi cạnh
e = (x , y ) ∈ E không phân biệt thứ tự các đỉnh x và y hay
(x , y ) = (y , x ).
ii) Đồ thị G = (V , E ) được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh bất kỳ
được nối với nhau bởi khơng q một cạnh và khơng có khun.
iii) Đồ thị G = (V , E ) được gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp
đỉnh được nối với nhau bởi hai cạnh trở lên và không có khuyên.
4i) Đồ thị F được gọi là đồ thị con của đồ thị G nếu V (F ) ⊆ V (G ),
E (F ) ⊆ E (G ). Trong toàn bộ nội dung tiếp theo khái niệm đồ thị được
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nhắc đến đều là đồ thị hữu hạn và vô hướng.
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
6 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.2.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
7 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.3 Đồ thị đủ, đơn đồ rỗng, đồ thị vòng
1.3.1 Định nghĩa
i)Đồ thị đủ là đơn đồ thị gồm n đỉnh, n ≥ 2 và mỗi đỉnh được nối đến
tất cả các đỉnh khác trong đồ thị, kí hiệu đồ thị đủ là Kn .
ii)Đồ thị rỗng là đồ thị gồm n đỉnh và không có cạnh, kí hiệu đồ thị rỗng
là En .
iii)Đồ thị vòng là đơn đồ thị gồm n đỉnh x1 , x2 , ..., xn , n ≥ 3 và n cạnh
(x1 , x2 ), (x2 , x3 ), ..., (xn , x1 ), kí hiệu đồ thị vịng là Cn .
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
7 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.3 Đồ thị đủ, đơn đồ rỗng, đồ thị vòng
1.3.1 Định nghĩa
i)Đồ thị đủ là đơn đồ thị gồm n đỉnh, n ≥ 2 và mỗi đỉnh được nối đến
tất cả các đỉnh khác trong đồ thị, kí hiệu đồ thị đủ là Kn .
ii)Đồ thị rỗng là đồ thị gồm n đỉnh và không có cạnh, kí hiệu đồ thị rỗng
là En .
iii)Đồ thị vòng là đơn đồ thị gồm n đỉnh x1 , x2 , ..., xn , n ≥ 3 và n cạnh
(x1 , x2 ), (x2 , x3 ), ..., (xn , x1 ), kí hiệu đồ thị vịng là Cn .
1.3.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
7 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.4 Hành trình, đường, chu trình
1.4.1 Định nghĩa
Cho đồ thị G = (V , E ), khi đó
i) Một hành trình trong G là một dãy các đỉnh v0 v1 v2 ...vn sao cho với
mọi i = 0, 1, ..., n − 1 thì (vi , vi +1 ) là một cạnh của G. Khi đó n được
gọi là độ dài, v0 là đỉnh đầu, vn được gọi là đỉnh cuối của hành trình
trên. Một hành trình được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối
trùng nhau.
ii) Một hành trình được gọi là đường nếu các đỉnh của hành trình đó đều
khác nhau.
iii) Một hành trình khép kín được gọi là chu trình nếu nó có độ dài
university-logo
Số
Trung
Học đi
liệuđỉnh
– Đại học
Thái
Nguyên
n hóa
≥ bởi
3 và
khitâmxố
cuối
thì
trở thành một đường
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
8 / 33
1.4 Hành trình, đường, chu trình.
1.4.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
9 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông
1.5.1 Định nghĩa
i) Đồ thị G = (V , E ) gọi là liên thông nếu ln tìm được một hành trình
giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
ii) Cạnh e ∈ E gọi là một cầu nếu G − e không liên thông.
iii) Đồ thị con liên thông F của đồ thị G = (V , E ) được gọi là một
thành phần liên thông của G nếu không tồn tại một đồ thị con liên
thông của G thực sự chứa F .
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
10 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông
1.5.1 Định nghĩa
i) Đồ thị G = (V , E ) gọi là liên thông nếu ln tìm được một hành trình
giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
ii) Cạnh e ∈ E gọi là một cầu nếu G − e không liên thông.
iii) Đồ thị con liên thông F của đồ thị G = (V , E ) được gọi là một
thành phần liên thông của G nếu không tồn tại một đồ thị con liên
thông của G thực sự chứa F .
1.5.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
10 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.6 Đồ thị bao trùm
1.6.1 Định nghĩa
i) Đồ thị F gọi là đồ thị bao trùm(đồ thị bộ phận) của đồ thị G nếu
V (F ) = V (G ), E (F ) ⊆ E (G ).
ii)Cho G = (V , E ) và e ∈ E , e = (u , v ) khi đó: G − e là đồ thị thu
được từ G bằng cách cắt ( xoá ) cạnh e. G /e là đồ thị thu được từ G
bằng cách sáp nhập các đỉnh u và v và loại bỏ cạnh e = (u , v ).
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
11 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.6.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
12 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.7 Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
1.7.1 Định nghĩa
i) Cây là một đồ thị liên thơng và khơng có chu trình. Rừng là đồ thị
khơng có chu trình.
ii)Cho G là một đồ thị liên thông và F là một đồ thị con của G . Khi đó,
F được gọi là cây bao trùm(cây khung) của G nếu F là một cây và
V (F ) = V (G ). Đồ thị F được gọi là rừng bao trùm của G nếu
V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F là
một cây bao trùm của một thành phần của G .
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
13 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.7 Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
1.7.1 Định nghĩa
i) Cây là một đồ thị liên thơng và khơng có chu trình. Rừng là đồ thị
khơng có chu trình.
ii)Cho G là một đồ thị liên thông và F là một đồ thị con của G . Khi đó,
F được gọi là cây bao trùm(cây khung) của G nếu F là một cây và
V (F ) = V (G ). Đồ thị F được gọi là rừng bao trùm của G nếu
V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F là
một cây bao trùm của một thành phần của G .
1.7.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
13 / 33
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1.7 Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm
1.7.1 Định nghĩa
i) Cây là một đồ thị liên thơng và khơng có chu trình. Rừng là đồ thị
khơng có chu trình.
ii)Cho G là một đồ thị liên thông và F là một đồ thị con của G . Khi đó,
F được gọi là cây bao trùm(cây khung) của G nếu F là một cây và
V (F ) = V (G ). Đồ thị F được gọi là rừng bao trùm của G nếu
V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F là
một cây bao trùm của một thành phần của G .
1.7.2 Ví dụ
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
13 / 33
Chương 2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.
2.1 Định lý cơ sở
Cho đồ thị G = (V , E ). Kí hiệu
k (G ) là số lượng các thành phần liên thông của đồ thị G .
Số r (G ) =| V | −k (G ) gọi là hạng của đồ thị G .
Số n(G ) =| E | − | V | +k (G ) gọi là số khuyết của đồ thị G .
Cho F ⊂ E khi đó ta kí hiệu (F ) cho đồ thị (V , F ) và kí hiệu
r F , n F , k F lần lượt là hạng , số khuyết và số thành phần liên
thông của đồ thị này. trong đó
r E = r (G )
n E = n(G )
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
k Nguyên
E =
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
k (G )
.
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
14 / 33
Chương 2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.
2.1.1 Định nghĩa
Đa thức S (G ; x , y ) của đồ thị G = (V , E ) có bậc phụ thuộc vào
∀F ⊂ E là:
xr
E −r F
yn F
xk
F −k E
yn F .
S (G ; x , y ) :=
F ⊂E (G )
=
(1)
F ⊂E ( G )
Với quy ước S (G ) = S (G ; x , y ) là một đa thức hai biến x , y và
S (G ; x , y ) ∈ Z[x , y ]∀G .
university-logo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lành Thanh Tùng (Cao học k16)
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
15 / 33
