Độ sâu stanley của iđêan đơn thức

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MẠC THỊ HUYỀN

ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MẠC THỊ HUYỀN

ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2015


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho
việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, ngày 23 tháng 6 năm 2015
Người viết Luận văn

Mạc Thị Huyền

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An
- giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun. Nhân dịp này
tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu,
nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời
gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cơ giáo của Viện Tốn học
và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tơi
vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để
tơi có thể hồn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Thái ngun, ngày 23 tháng 6 năm 2015
Người viết Luận văn

Mạc Thị Huyền

ii


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Môđun phân bậc trên vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Iđêan đơn thức.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Phân tích Stanley và độ sâu Stanley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1. Phân tích Stanley của môđun đa phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Độ sâu Stanley khi chia cho một phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Độ sâu Stanley và phần tử chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4. Độ sâu Stanley và dãy khớp ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5. Phân tích Stanley của iđêan đơn thức khơng chứa bình phương và áp dụng

27

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

iii


Mở đầu
Richard P. Stanley nổi tiếng bởi những đóng góp quan trọng cho Tổ hợp và liên hệ
nó với Đại số và Hình học, đặc biệt là những đóng góp trong lý thuyết phức đơn hình.
Hai dạng phức đơn hình có vai trị trung tâm trong Tổ hợp là phức chia được và phức
Cohen-Macaulay. Stanley đặt ra giả thuyết mọi phức Cohen-Macaulay là chia được.

Năm 1982 trong một bài báo đăng trên tạp chí Inventiones Mathematicae [8], Stanley
đã đưa ra khái niệm mà nay được gọi là độ sâu Stanley (sdepth) của một môđun phân
bậc trên một vành phân bậc giao hốn. Độ sâu Stanley là một bất biến hình học của
mơđun và có liên hệ mật thiết độ sâu thông thường (depth). Stanley cũng đưa ra giả
thuyết sdepth(M) ≥ depth(M). J Herzog, A. S. Jahan và S. Yassemi đã chỉ ra rằng giả
thuyết Stanley về độ sâu kéo theo giả thuyết Stanley về phức đơn hình. Cho đến nay cả
hai giả thuyết này vẫn là những câu hỏi mở cần được giải quyết. Luận văn này trình bày
một số vấn đề mở đầu về độ sâu Stanley như là: phân tích Stanley; một số tính chất cơ
bản; tìm hiểu một chặn dưới của độ sâu Stanley. Các nội dung trong luận văn được trình
bày dựa theo tài liệu [5], [9], [11]. Khi trình bày luận văn, tác giả đã cũng đã cố gắng
trình bày lại chi tiết các chứng minh, bổ sung thêm một số ví dụ và kết quả trong các
tài liệu tham khảo khác.
Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức cơ
sở về môđun phân bậc trên vành phân bậc, lọc ngun tố của một mơđun. Phần cuối
chương trình bày định nghĩa và các tính chất về iđêan đơn thức trên một vành đa thức.
Đây là những công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa và chứng minh ở chương sau.
Chương 2 trình bày về độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc trên vành đa
phân bậc. Phần đầu chương trình bày về phân tích Stanley của mơđun đa phân bậc và
của iđêan đơn thức. Phần tiếp theo chỉ ra các tính chất của độ sâu Stanley với phần tử
chính quy hay khơng chính quy và dãy khớp. Cuối cùng chúng tơi trình bày về phân
tích Stanley của iđêan đơn thức khơng chứa bình phương và áp dụng.

1


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Môđun phân bậc trên vành phân bậc
Trong mục này ta kí hiệu S là vành giao hốn có đơn vị. Trước hết ta trình bày

một số định nghĩa và kết quả về vành và môđun phân bậc.
Định nghĩa 1.1.1. Cho (G, +) là một vị nhóm Abel. Một vành phân bậc hoặc G-vành
phân bậc là một vành S nếu tồn tại một phân tích tổng trực tiếp S =

i∈G Si

như các

Z-môđun thỏa mãn Si S j ⊆ Si+ j với mọi i, j ∈ G.
Nếu S là G-phân bậc và M là một S-mơđun, thì M được gọi là G-phân bậc nếu tồn
tại một phân tích tổng trực tiếp M =

i∈G Mi

như một Z-mơđun thỏa mãn Si M j ⊆ Si+ j

với mọi i, j ∈ G.
Một phần tử u ∈ M là thuần nhất, nếu tồn tại i ∈ G sao cho u ∈ Mi và khi đó i
được gọi là bậc của u, ta viết deg(u) = i. Mỗi Mi được gọi là một thành phần thuần
nhất của M có bậc i, với i ∈ G. Do đó mọi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn được duy
nhất dưới dạng m = ∑i∈G mi , trong đó mi ∈ Mi , chỉ hữu hạn mi = 0 và được gọi là thành
phần thuần nhất của m.
Một môđun con N ⊆ M được gọi là thuần nhất, hay G-môđun con phân bậc nếu nó
được sinh bởi các phần tử thuần nhất ứng với G-phân bậc. Điều kiện này tương đương
với một trong hai điều kiện sau:
(i) Với m ∈ M, nếu m ∈ N thì mỗi thành phần thuần nhất của m đều thuộc N;
(ii) N = ∑i∈G (N ∩ Mi ).
2

Nếu N ⊆ M là một môđun con thuần nhất của M và ta có tập Ni = Mi ∩ N thì
N=

i∈G Ni

và mơđun thương M/N =

i∈G Mi /Ni

lại là một S-mơđun G-phân bậc.

Và từ đó ta cũng có khái niệm iđêan phân bậc.
Cho I là iđêan bất kì của S. Ta kí hiệu I ∗ là iđêan sinh bởi các phần tử thuần nhất
u ∈ I. Nếu I phân bậc thì I ∗ = I.
Định nghĩa 1.1.2. Cho S là một G-vành phân bậc và M, N là các S-môđun G-phân bậc.
Một S-đồng cấu ϕ : M → N là phân bậc có bậc d với d ∈ G, nếu ϕ(Mi ) ⊆ Ni+d với mọi
i ∈ G. Ta gọi ϕ phân bậc, nếu nó là thuần nhất bậc 0.
Hạt nhân Ker ϕ và ảnh Im ϕ của ánh xạ phân bậc ϕ cũng là các môđun G-phân
bậc.
Nếu G là Z hoặc Zn , ta nói rằng S lần lượt là một vành phân bậc hoặc đa phân bậc,
và S-môđun M được gọi là S-môđun phân bậc hoặc đa phân bậc. Trong cả 2 trường hợp
với G-vành phân bậc bất kì S =

i∈G Si ,

khác với cố định t ∈ G thỏa mãn S(t) =

thì ta có thể xác định một G-vành phân bậc
i∈G S(t)i ,

trong đó S(t)i := St+i .

Ví dụ 1.1.3. Cho vành đa thức S = K[x1 , x2 , x3 ].
(i) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = deg x3 = 1. Khi đó ta có vành phân bậc thơng
thường. Ta có S(1) = Kx1 ⊕ Kx2 ⊕ Kx3 . Do đó dimK S(1) = 3. Một cách tổng quát S(a) là
tập hợp các đa thức thuần nhất bậc a (đối với 3 biến x1 , x2 và x3 ).
(ii) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = (1, 0); deg x3 = (0, 1). Khi đó ta có vành 2phân bậc hay cịn gọi là vành song phân bậc. Ta có S(1,0) = Kx1 ⊕ Kx2 ; S(0,1) = Kx3 ; và
S(1,1) = Kx1 x3 ⊕ Kx2 x3 . Do đó dimK S(1,0) = 2; dimK S(0,1) = 1 và dimK S(1,1) = 2. Một
cách tổng quát S(a,b) là K-không gian véctơ sinh bởi các đơn thức có bậc đối với x1 , x2
là a và bậc của x3 là b. Do đó
S(a,b) = { f (x1 , x2 ).x3b | f (x1 , x2 ) thuần nhất bậc a theo x1 , x2 }.
(iii) Xét phân bậc
deg x1 = (1, 0, 0);

deg x2 = (0, 1, 0);
3

deg x3 = (0, 0, 1).


Khi đó S là vành 3-phân bậc và ta có
S(1,0,0) = Kx1 ;

S(0,1,0) = Kx2 ;

S(0,0,1) = Kx3 .

Vì thế dimK S(1,0,0) = dimK S(0,1,0) = dimK S(0,0,1) = 1.
Tổng quát, S(a,b,c) là không gian véctơ chiều 1 sinh bởi x1a x2b x3c .
Đối với vành đa thức S, ngoài cách phân bậc như đã xét ở trên, còn nhiều cách

phân bậc khác. Ví dụ như sau:
(iv) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = (2, 0);

deg x3 = (0, 1). Khi đó S(1,b) = 0 với

mọi b và
S(2,0) = Kx1 ⊕ Kx2 ;

S(4,2) = Kx12 x32 ⊕ Kx1 x2 x32 ⊕ Kx22 x32 .

Vì thế dimK S(2,0) = 2; dimK S(4,2) = 3. Tổng quát, S(a,b) xác định như sau: nếu a lẻ thì
S(a,b) = 0 với mọi b. Nếu a chẵn thì
S(a,b) = { f (x1 , x2 ).x3b | f (x1 , x2 ) thuần nhất bậc a/2 theo x1 , x2 }.
Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét phân bậc là thuần nhất như Ví dụ (iii).
Phần tiếp theo trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan đến một iđêan
nguyên tố liên kết.
Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một S-môđun. Một iđêan nguyên tố P của S được gọi là
một iđêan nguyên tố liên kết của M, nếu tồn tại một phần tử x ∈ M để P = 0 : x = Ann(x).
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssS M, hoặc Ass M nếu như
không cần thiết phải nhắc đến S. Như vậy
Ass M = {P ∈ Spec S | ∃x ∈ M, P = Ann(x)}.
Nhận xét. Phần tử x làm cho 0 : x là một iđêan nguyên tố, thì x = 0.
Bổ đề 1.1.5. P là một iđêan nguyên tố liên kết của S-môđun M khi và chỉ khi tồn tại
một đơn cấu S-môđun từ S/P tới M, hay tồn tại môđun con của M đẳng cấu với S/P.

4


Bổ đề 1.1.6. Nếu N là một môđun con của của S-mơđun M thì
Ass N ⊆ Ass M.

Chú ý. Khi S là vành Noether, I là iđêan của S. Khi đó I có phân tích ngun sơ
I = Q1 ∩ · · · ∩ Qr , với Qi là Pi -nguyên sơ và Ass(S/I) = {P1 , . . . , Pr }.
Từ hai bổ đề trên ta chỉ ra sự tồn tại một lọc các mơđun con có tính chất đặc biệt.
Trước hết ta nhắc lại kết quả đối với môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành Noether S.
Khi đó tồn tại một dãy các mơđun con
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M
và một họ các iđêan nguyên tố P1 , . . . , Pn sao cho Mi /Mi−1 ∼
= S/Pi với mọi i = 1, 2, . . . , n,
đồng thời Ass(M) ⊆ {P1 , P2 , . . . , Pn }.
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy các môđun con như sau: M0 = 0. Lấy x1 ∈ M sao cho
Ann(x1 ) = P1 ∈ Ass(M) và chọn M1 = Sx1 ∼
= S/P1 . Nếu M = M1 , lấy x2 + M1 ∈ M/M1
sao cho Ann(x2 + M1 ) = P2 ∈ Ass(M/M1 ) và lấy M2 = M1 + Sx2 , ta có M2 /M1 ∼
= S/P2 .
Quá trình trên sẽ dừng do M là một mơđun Noether, và do đó ta xây dựng được dãy các
môđun con của M:
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M
thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼
= S/Pi với Pi ∈ Spec S. Ta có với mỗi j = 1, . . . , n
Ass(M j ) ⊆ Ass(M j−1 ) ∪ Ass(S/Pj ) = Ass(M j−1 ) ∪ {Pj }.
Do đó Ass(M) ⊆ {P1 , P2 , . . . , Pn }. Mệnh đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.8. Cho S là vành phân bậc, M là S-mơđun phân bậc. Khi đó
(i) Với mọi iđêan nguyên tố P, ta có P∗ là iđêan nguyên tố,
(ii) Nếu P ∈ Supp(M) thì P∗ ∈ Supp(M),
5


(iii) Nếu P ∈ Ass(M) thì P là phân bậc, hơn nữa P là linh hóa tử của một phần tử
thuần nhất.

Tương tự ta có kết quả cho mơđun phân bậc. Ta có thể đưa ra một cách chứng
minh khác như sau:
Mệnh đề 1.1.9. Cho M là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậc Noether
S. Khi đó tồn tại lọc
(0) = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M
các môđun con phân bậc thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼
= (S/Pi )(li ) với mỗi i = 1, . . . , n, iđêan
thuần nhất Pi của S và li ∈ G.
Lọc trên được gọi là lọc nguyên tố của M.
Chứng minh. Đặt
Σ = {N | N là mơđun con của M có lọc ngun tố}.
Gọi N là phần tử tối đại của Σ (N tồn tại vì S là Noether và M là hữu hạn sinh). Giả sử
M = N. Đặt N = M/N. Vì N = 0 nên tồn tại Q ∈ AssS N . Do đó N có mơđun con
phân bậc đẳng cấu với (S/Q)(l), l ∈ G. Gọi M là nghịch ảnh của N trong M. Khi đó
N

M và M ∈ Σ, vơ lý. Vậy M = N có lọc ngun tố.

1.2. Iđêan đơn thức.
Trong mục này ta xét một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến S =
K[x1 , . . . , xn ] với hệ số trên trường K là lớp iđêan đơn thức. Ta đặt (a1 , . . . , an ) ∈ Nn và
x1a1 . . . xnan là một đơn thức.
Định nghĩa 1.2.1. Iđêan I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi
các đơn thức. Tức là nếu có tập con A ⊆ Nn (có thể vơ hạn) sao cho iđêan I bao gồm tất
cả các đa thức có dạng

∑

ha1 ,...,an x1a1 . . . xnan ,

a1 ,...,an ∈A

6


trong đó ha1 ,...,an ∈ K[x1 , . . . , xn ], (a1 , . . . , an ) ∈ A. Trong trường hợp này ta viết I =
(x1a1 . . . xnan ; a1 , . . . , an ∈ A).
Ví dụ: I = (xy3 , x3 y2 , x4 y) là iđêan đơn thức.
Nhận xét. (i) Tập các đơn thức trong S kí hiệu là Mon(S) và tạo thành một K-cơ sở của
S.
(ii) Tập các đơn thức thuộc I tạo thành một K-cơ sở của I. Lớp các đơn thức cịn
lại khơng thuộc I tạo nên một K-cơ sở của vành S/I. Ta kí hiệu I c ⊂ S là khơng gian
con tuyến tính của S được sinh bởi tất cả các đơn thức không thuộc I. Khi đó S = I ⊕ I c
và S/I ∼
= I c là các khơng gian tuyến tính.
Bổ đề 1.2.2. Cho I = (x1a1 . . . xnan ; a1 , . . . , an ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức x1b1 . . . xnbn ∈
I khi và chỉ khi x1b1 . . . xnbn chia hết cho một đơn thức x1a1 . . . xnan với (a1 , . . . , an ) ∈ A nào
đó.
Chứng minh. Nếu x1b1 . . . xnbn chia hết cho một đơn thức x1a1 . . . xnan với (a1 , . . . , an ) ∈ A
thì x1b1 . . . xnbn ∈ I theo định nghĩa của iđêan. Ngược lại nếu x1b1 . . . xnbn ∈ I thì x1b1 . . . xnbn =
a (i)

a (i)

∑si=1 hi .x11 . . . xnn , trong đó hi ∈ K[x1 , . . . , xn ], (a1 (i), . . . , an (i)) ∈ A. Xem hi như tổng
hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy mỗi từ của nó phải
a (i)

a (i)

chia hết cho x11 . . . xnn

nào đó. Sau khi giản ước, sẽ cịn lại một từ trong số đó và từ
a (i)

a (i)

đó phải bằng x1b1 . . . xnbn . Vậy x1b1 . . . xnbn phải chia hết cho x11 . . . xnn

nào đó.

Chú ý rằng x1b1 . . . xnbn chia hết cho x1a1 . . . xnan khi
x1b1 . . . xnbn = x1a1 . . . xnan .x1c1 . . . xncn với (c1 , . . . , cn ) ∈ Nn
kéo theo (b1 , . . . , bn ) = (a1 , . . . , an ) + (c1 , . . . , cn ). Do đó tập
(a1 , . . . , an ) + Nn = {(a1 , . . . , an ) + (c1 , . . . , cn ) | (c1 , . . . , cn ) ∈ Nn }
bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho x1a1 . . . xnan .
Từ chú ý này và Bổ đề 1.2.2 cho ta hình ảnh mơ tả các đơn thức trong một iđêan
đơn thức cho trước. Chẳng hạn, nếu I = (xy3 , x3 y2 , x4 y), khi đó số mũ của các đơn thức
7


trong I là tập:
((1, 3) + Nn ) ∪ ((3, 2) + Nn ) ∪ ((4, 1) + Nn ).
Ta có thể hình dung tập này như hợp các điểm ngun trong các khối vng có đỉnh là
(1, 3), (3, 2), và (4, 1) trong mặt phẳng như Hình 1.1.

Bổ đề 1.2.3. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Các điều kiện sau là tương
đương:
(i) f ∈ I;
(ii) Mọi từ của f thuộc I;

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.
Chứng minh. Rõ ràng có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Để chứng minh (i) ⇒ (iii) ta có nhận xét
như bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho x1a1 . . . xnan ∈ I, với (a1 , . . . , an ) ∈ A nào
đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho x1a1 . . . xnan lại thuộc I. Do đó mỗi từ của f là tích của
một đơn thức thuộc I và một phần tử của K, tức f là tổ hợp tuyến tính trên K của các
đơn thức thuộc I.
Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của
nó.
Hệ quả 1.2.4. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa
cùng một tập đơn thức.
8


Bổ đề 1.2.5. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều
thuộc I.
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.2.3. Từ giả thiết suy ra tập tất cả các đơn
thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I. Do đó điều kiện đủ được chứng minh.
Kết quả sau đây chỉ ra với mọi iđêan đơn thức hữu hạn sinh, một trường hợp
đặc biệt của Định lý cơ sở Hilber. Kí hiệu x = {x1 , . . . , xn }, a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn và
xa = x1a1 . . . xnan là một đơn thức.
Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (xa , a ∈ A) bao giờ cũng viết
được dưới dạng I = (xa(1) , . . . , xa(s) , trong đó a(1), . . . , a(s) ∈ A). Nói riêng I là hữu
hạn sinh.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo số biến n.
Khi n = 1 ta có I = (xa ; a ∈ A ⊆ N). Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất. Khi đó xb chia hết
mọi đơn thức xa với a ∈ A. Vậy ta có ngay I = (xb ).
Giả sử n > 1 và bổ đề đúng với không quá n − 1 biến. Đặt x = {x1 , . . . , xn−1 }.
Như vậy mỗi đơn thức trong K[x] đều có thể viết dưới dạng x α xnq , trong đó α ∈ Nn−1
và q ∈ N. Gọi J là iđêan của vành K[x ] sinh bởi các đơn thức x α sao cho tồn tại
xnm để x α xnm ∈ I. Theo giả thiết quy nạp thì J sinh bởi hữu hạn các đơn thức, tức là

J = (x α(1) , . . . , x α(s) ). Theo định nghĩa, với mỗi i = 1, . . . , s tồn tại mi ∈ N sao cho
x α(i) xnmi ∈ I. Giả sử m = max{m1 , . . . , ms }.
Với mỗi k < m, xét iđêan Jk = (x β |x β xnk ∈ I) ⊆ K[x ]. Lại theo giả thiết quy nạp
ta có
Jk = (x αk (1) , . . . , x αk (sk ) ), với k = 0, . . . , m − 1.
Ta sẽ chứng tỏ I sinh bởi các đơn thức
từ J:

x α(1) xnm , . . . , x α(s) xnm ,

từ J0 :

x α0 (1) , . . . , x α0 (s0 ) ,

từ J1 :

x α1 (1) xn , . . . , x α1 (s1 ) xn ,
9


...
từ Jm−1 :

x αm−1 (1) xnm−1 , . . . , x αm−1 (sm−1 ) xnm−1 .

Thật vậy, ta giả sử đơn thức x α xnq ∈ I. Khi đó có hai trường hợp: Nếu q ≥ m thì theo
cách xây dựng J, x α phải chia hết cho x α(i) nào đó, và do đó ta có x α(i) xnm chia hết cho
một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu q ≤ m − 1 thì x α xnq sẽ chia hết cho một đơn
thức ở dòng thứ q + 2 ở trên. Theo Bổ đề 1.2.2 và Hệ quả 1.2.4 thì I được sinh bởi các
đơn thức liệt kê ở trên.

Như vậy I được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức
β (1)

x1

β (1)

, . . . , xn

β (r)

, . . . , x1

β (r)

, . . . , xn

.

β ( j)

β ( j)

Sử dụng Bổ đề 1.2.2 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức x1

γ(1)

, . . . , xn

γ( j)

γ( j)

chia hết cho x1 , . . . , xn

γ(1)

γ(r)

γ(r)

nào đó với γ( j) ∈ A. Từ đó có ngay kết quả J = (x1 , . . . , xn , . . . , x1 , . . . , xn ).
Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.6 suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối
tiểu gồm các đơn thức. Đặt G(I) = J được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I. Mỗi
đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I.
Sử dụng Bổ đề 1.2.5 ta có tổng, tích và giao của các iđêan đơn thức cũng là các
iđêan đơn thức. Ngồi ra nếu ta có I và J là các iđêan đơn thức, thì
G(I + J) ⊆ G(I) ∪ G(J),

G(IJ) ⊆ G(I)G(J).

Hơn nữa ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.7. Cho I, J là hai iđêan đơn thức. Khi đó I ∩ J và I : J là các iđêan đơn
thức. Nếu I = (m1 , . . . , mr ) và J = (n1 , . . . , ns ), mi , n j là các đơn thức, thì
(i) I ∩ J = (BCNN(mi , n j ) | 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s).
(ii) I : n j = (mi / UCLN(mi , n j ) | 1 ≤ i ≤ r). Do đó I : J có thể tính được theo cơng
thức I : J = ∩sj=1 (I : n j ) và (i).
Chứng minh. Ta đã biết I : J = ∩sj=1 (I : n j ). Do đó chỉ cần chứng minh I ∩ J là đơn
thức, và các cơng thức tính ở (i) và (ii) đúng. Giả sử f ∈ I ∩ J và m là một từ của f . Vì
10

I, J là các iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 1.2.5 ta có m ∈ I và m ∈ J. Do đó m ∈ I ∩ J.
Lại theo Bổ đề 1.2.5, I ∩ J là iđêan đơn thức.
Để chứng minh (i), nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức
m ∈ I ∩ J. Theo Bổ đề 1.2.2, m chia hết cho mi và n j nào đó. Do đó m chia hết cho
BCNN(mi , n j ). Suy ra m ∈ (BCNN(mi , n j )|1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s), và ta có (i).
Chứng minh (ii) tương tự với chú ý rằng
UCLN(mi , n j ) BCNN(mi , n j ) = mi n j .
Ta được điều cần chứng minh.
Ví dụ 1.2.8. Cho I = (x12 , x1 x22 , x2 x32 ) và J = (x13 x2 , x2 x3 ) là các iđêan đơn thức trong
vành đa thức S = R[x1 , x2 , x3 ] trên trường K. Khi đó
I + J = (x12 , x1 x22 , x2 x3 ),

I ∩ J = (x13 x2 , x12 x2 x3 , x1 x22 x3 , x2 x32 ),

IJ = (x15 x2 , x12 x2 x3 , x14 x23 , x1 x23 x3 , x13 x22 x32 , x22 x33 ),

I : J = (x12 , x1 x2 , x3 ).

Bổ đề sau tuy đơn giản nhưng hay được sử dụng.
Bổ đề 1.2.9. Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và m1 , . . . , mr là các
đơn thức. Khi đó
(m1 , . . . , mr , mn) = (m1 , . . . , mr , m) ∩ (m1 , . . . , mr , n).
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh ⊇. Nếu đơn thức u ∈ (m1 , . . . , mr , m)∩(m1 , . . . , mr , n)
chia hết cho mi nào đó, i ≤ r, thì u ∈ (m1 , . . . , mr , mn). Trong trường hợp ngược lại, vì
u ∈ (m1 , . . . , mr , m), nên theo Bổ đề 1.2.2 phải có m|u. Tương tự n|u. Vì m, n khơng
chứa biến chung nên mn|u. Do đó u ∈ (m1 , . . . , mr , mn).
Kết quả này giúp ta tìm được phân tích ngun sơ của iđêan đơn thức I và từ đó
tìm được tập iđêan ngun tố liên kết của vành S/I.

11


Chương 2

Phân tích Stanley và độ sâu Stanley
Cho K là một trường và S = K[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức n biến trên trường
K. Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức, và u ∈ S là một đơn thức thỏa mãn u là chính quy
trên S/I. Trong chương này, ta tìm hiểu phân tích Stanley của Zn -mơđun phân bậc dạng
S/I. Sau đó tìm hiểu độ sâu Stanley khi chuyển từ S/I sang S/(I, u) và ngược lại.

2.1. Phân tích Stanley của mơđun đa phân bậc
Trước tiên ta định nghĩa độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc.
Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một trường và S = K[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức n biến
trên trường K. Cho M là một S-môđun đa phân bậc hữu hạn sinh (Zn -phân bậc). Cho
m ∈ M là một phần tử thuần nhất trong M và Z ⊆ {x1 , ..., xn }. Ta kí hiệu mK[Z] là Kkhơng gian con của M sinh bởi tất cả các phần tử mv trong đó v là một đơn thức trong
K[Z].
(i) Một K-không gian con đa phân bậc mK[Z] ⊂ M được gọi là không gian Stanley
chiều |Z|, nếu mK[Z] là một K[Z]-mơđun tự do.
(ii) Một phân tích Stanley của M là một biểu diễn của K-không gian vectơ M như
một tổng trực tiếp hữu hạn của các không gian Stanley
r

D :M=

mi K[Zi ].
i=1

Đặt sdepth(D) = min{|Zi | : i = 1, . . . , r}.

12


(iii) Số
sdepth(M) := max{sdepth(D) : D là một phân tích Stanley của M}
được gọi là độ sâu Stanley của M.
Ví dụ 2.1.2. (i) Xét iđêan I = (x12 x2 ) ⊂ S = K[x1 , x2 ]. Hình 2.1 biểu diễn một phân tích
Stanley của I và I c . Miền màu xám biểu diễn iđêan I. Một phân tích Stanley của iđêan
I là I = x12 x2 K[x1 , x2 ]. Vì S là vành đa thức 2 biến và I ⊂ S là một iđêan chính, do đó
sdepth(I) = 2 . Trong Hình 2.1 đường kẻ màu xanh biểu diễn các khơng gian Stanley
chiều 1. Một phân tích Stanley của môđun S/I là
I c = K[x1 ] ⊕ x2 K[x2 ] ⊕ x1 x2 K[x2 ].
Điều này kéo theo 1 ≤ sdepth(S/I) ≤ 2. Nếu sdepth(S/I) = 2, thì I ∩ I c = {0}, mâu
thuẫn. Vậy sdepth(S/I) = 1.

Hình 2.1:

(ii) Cho iđêan đơn thức I = (x1 x22 , x12 x2 ) của S = K[x1 , x2 ], thì x12 x2 K, x13 x2 K[x1 ],
x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ] là các không gian Stanley với số chiều lần lượt là 0, 1, 1 và
2. Trong Hình 2.3, điểm màu đỏ, cam và xanh gồm có các số mũ của các đơn thức lần
lượt trong x13 x2 K[x1 ], x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ]. Do đó x12 x2 K chỉ gồm 1 đơn thức là
x12 x2 . Số mũ của đơn thức này là một điểm màu tím trong Hình 2.3.
Ln tồn tại ít nhất một phân tích Stanley của I. Ví dụ
D1 : I = x12 x2 K ⊕ x13 x2 K[x1 ] ⊕ x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x22 K[x1 , x2 ]
13


D2 : I = x12 x2 K ⊕ x13 x2 K ⊕ x14 x2 K[x1 ] ⊕ x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x22 K[x1 , x2 ],
D3 : I = x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x2 K[x1 , x2 ]
là các phân tích Stanley của I.

Hình 2.2: Các điểm màu xanh kí hiệu số mũ của các đơn thức thuộc iđêan I = (x1 x22 , x12 x2 ) của S = K[x1 , x2 ].
Hình 2.3: Các điểm màu tím, đỏ, cam và xanh gồm số mũ của các đơn thức lần lượt thuộc
x12 x2 K, x13 x2 K[x1 ], x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ].

Hình 2.4: Hình a biểu diễn phân tích Stanley D2 , Hình b biểu diễn D3 .

Do đó, ta có sdepth(D1 ) = 0, sdepth(D2 ) = 0, sdepth(D3 ) = 1. Từ sự phân tích D3
ta có 1 ≤ sdepth(I) ≤ 2. Nếu sdepth(I) = 2 thì I là iđêan chính, vơ lý. Vậy sdepth(I) = 1.
Ta có thể xác định một phân tích Stanley cũng như độ sâu Stanley của I c . Độ sâu

14


Stanley của I c được kí hiệu là sdepth(S/I), thay cho sdepth(I c ). Ta có
D : I c = x1 x2 K ⊕ K[x1 ] ⊕ x2 K[x2 ]
là một phân tích Stanley của I c . Do đó ta có sdepth(D) = 0. Nhân bất kì đơn thức
nào với x1 x2 đều là phần tử của I nên x1 x2 K luôn là không gian Stanley của I c . Từ đó
sdepth(S/I) = 0.
(iii) Cho I = (x1 x2 , x1 x3 ) là một iđêan đơn thức trong vành đa thức S = K[x1 , x2 , x3 ].
Khi đó một phân tích Stanley của S/I là I c = K[x2 , x3 ]⊕x1 K[x1 ]. Ta có 1 ≤ sdepth(S/I) ≤
3. Ta được sdepth(S/I) = 1, thật vậy ta có một khơng gian Stanley x1 K[x1 ] có chiều 1
và vì x1 nhân x2 hoặc x3 thuộc I, nên không gian Stanley này không thể chứa một khơng
gian Stanley có chiều lớn hơn 1. Một phân tích Stanley của I là I = x1 x2 K[x1 , x2 , x3 ] ⊕
x1 x3 K[x1 , x3 ]. Do vậy sdepth(I) = 2. Vì nếu sdepth(I) = 3 thì I là iđêan chính, vơ lý.
Phần tiếp theo ta trình bày một số tính chất liên quan đến lọc nguyên tố.
Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức. Đặt
F:

I = I0 ⊂ I1 ⊂ · · · ⊂ Ir = S

là một Nn -lọc nguyên tố phân bậc của S/I với Ii /Ii−1 ∼
= S/PFi (−ai ) trong đó Fi ⊂
{1, . . . , r} và (PFi ) = (x j : j ∈ Fi ). Theo [1] lọc nguyên tố F này của S/I cảm sinh
một phân tích Stanley
r

ui K[ZFic ]

S/I =
i=1

của S/I, trong đó ZFic = {x j : j ∈
/ Fi }, và ui = xai . Soleyman-Jahan [2] đã mở rộng kết
quả trên cho bất kì S-mơđun Zn - phân bậc hữu hạn sinh.
Định lý 2.1.3. Cho M là một S-môđun Zn - phân bậc hữu hạn sinh. Nếu
(0) = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M
là một lọc nguyên tố của M thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼
= S/PFi (−ai ), thì
M∼
=

r

mi K[ZFic ]
i=1

15

là một phân tích Stanley của M trong đó mi ∈ Mi là một phần tử thuần nhất có bậc ai
thỏa mãn (Mi−1 :S mi ) = PFi và ZFic = {x j : j ∈
/ Fi }.
Ví dụ 2.1.4. Xét I = (x1 x2 , x3 x4 ) ⊂ S = K[x1 , x2 , x3 , x4 ] là một iđêan đơn thức của vành
đa thức S trên trường K, khi đó một lọc ngun tố của mơđun M = S/I là như sau:
F : M0 = (0) ⊂ M1 = (x1 x3 )M ⊂ M2 = M1 + x1 M
⊂ M3 = M2 + x3 M ⊂ M4 = M
trong đó
M1 ∼
= K[x1 , x3 ](−1, 0, −1, 0),
= S/(x2 , x4 )(−1, 0, −1, 0) ∼
M2 /M1 ∼
= K[x1 , x4 ](−1, 0, 0, 0),
= S/(x2 , x3 )(−1, 0, 0, 0) ∼
M3 /M2 ∼
= S/(x1 , x4 )(0, 0, −1, 0) ∼
= K[x2 , x3 ](0, 0, −1, 0),
M4 /M3 ∼
= S/(x1 , x3 ) ∼
= K[x2 , x4 ].
Vì thế một phân tích Stanley của S/I cảm sinh từ lọc F là
S/I = x1 x3 K[x1 , x3 ] ⊕ x1 K[x1 , x4 ] ⊕ x3 K[x2 , x3 ] ⊕ K[x2 , x4 ].
Chú ý rằng mọi lọc nguyên tố của S-môđun Zn -phân bậc có một phân tích Stanley,
nhưng ngược lại chưa chắc. Khơng phải tất cả phân tích Stanley suy ra từ lọc nguyên
tố. Một ví dụ ngược lại được đưa ra lần đầu bởi McLangan và Smith [3]. Cho I =
(x1 x2 x3 ) ⊂ S = K[x1 , x2 , x3 ] là một iđêan đơn thức của S. Khi đó
S/I = K ⊕ x1 K[x1 , x2 ] ⊕ x2 K[x2 , x3 ] ⊕ x3 K[x1 , x3 ]
là một phân tích Stanley của S/I mà khơng tương ứng với bất kì lọc ngun tố nào của
S/I.
Từ kết quả trên ta có ln tồn tại phân tích Stanley của các mơđun đa phân bậc.

Mệnh đề 2.1.5. Mọi S-môđun Zn -phân bậc hữu hạn sinh M đều có một phân tích
Stanley.
16


2.2. Độ sâu Stanley khi chia cho một phần tử
Nếu ta xét sự rút gọn một phần tử chính quy thì độ sâu giảm 1. Điều gì xảy ra nếu
ta rút gọn một phần tử khơng chính quy?
Mệnh đề 2.2.1. Cho S = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K, I ⊂ S là một
iđêan đơn thức và R = S/I. Khi đó
sdepth(R/xn R) ≥ sdepth(R) − 1.
S/(I, xn ). Ta kí hiệu S¯ = K[x1 , . . . , xn−1 ] và đặt x =

Chứng minh. Đặt R¯ = R/xn R
{x1 , . . . , xn−1 }, x = {x1 , . . . , xn }.

Giả sử ϕ là ánh xạ chính tắc từ R vào R¯ và α là ánh xạ hợp
S¯ −→ S −→ R = S/I.
trong đó ánh xạ đầu là phép nhúng chính tắc, ánh xạ thứ hai là tồn ánh chính tắc. Rõ
¯ Đặt α1 là ánh xạ hợp
ràng rằng ker(α) = I ∩ S.
ϕ
S¯ −→ S −→ R = S/I −→ S/(I, xn ).

¯ Bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên.
Rõ ràng α1 là toàn ánh. Ta cần chỉ ra ker(α1 ) = I ∩ S.
Để chứng minh bao hàm còn lại, ta xét một đơn thức v ∈ ker(α1 ), kéo theo v ∈ (I, xn ).
¯ I¯ ∼
Vì v ∈ S¯ và I là một iđêan đơn thức nên v ∈ I. Đặt ker(α1 ) = I¯ thì S/
= S/(I, xn ). Ta

có một phân tích Stanley
r

D1 : I ∼
=R=
c

ui K[Zi ]
i=1

của R với sdepth(D1 ) = sdepth(R).
Đặt I = {i ∈ {1, . . . , r} : ui K[Zi ] ∩ S¯ = {0}}. Ta chỉ ra
r

¯ I¯ = I¯c =
D2 : S/

ui K[Zi ] ∩ S¯

(2.1)

i=1

¯ I.
¯ Để chứng minh (2.1) ta
và ⊕i∈I ui K[Zi ] ∩ S¯ là một phân tích tổng trực tiếp của S/
¯ Giả sử
chọn một đơn thức v ∈ I¯c . Ta cần chỉ ra tồn tại i ∈ I thỏa mãn v ∈ ui K[Zi ] ∩ S.
17

¯ với mọi i ∈ I . Vì v ∈ S¯ nên v ∈
ngược lại v ∈
/ ui K[Zi ] ∩ S,
/ ui K[Zi ], với mọi i. Do đó ta
¯ điều này mâu thuẫn. Để chứng minh bao hàm
có v ∈ I. Vì v ∈ S¯ kéo theo v ∈ I¯ = I ∩ S,
¯ Kéo theo v1 ∈
thức còn lại, ta chọn một đơn thức v1 ∈ ui K[Zi ] ∩ S.
/ I và vì I¯ ⊂ I, ta có
v1 ∈ I¯c . Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng D2 là một phân tích Stanley. Thật vậy, ta có




ui K[Zi \{xn }],
nếu xn khơng chia hết cho ui
ui K[Zi ] ∩ S¯ =



0,
trường hợp còn lại.
Do vậy ta được sdepth(D1 ) ≤ sdepth(D2 ) + 1. Do đó
¯ I)
¯ + 1.
sdepth(S/I) = sdepth(D1 ) ≤ sdepth(D2 ) + 1 ≤ sdepth(S/
Ta được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 2.2.1 không thể mở rộng cho môđun đa phân bậc M. Ví dụ sau đây chỉ
ra điều đó.

Ví dụ 2.2.2. Cho M = (x, y, z) là một iđêan của S = K[x, y, z]. Xét một phân tích Stanley
M = zK[x, z]⊕xK[x, y]⊕yK[y, z]⊕xyzK[x, y, z]. Vì sdepth(M) ≤ dim(S) = 3 và M khơng
là iđêan chính, nên sdepth(M) = 2. Chú ý rằng x cảm sinh một phần tử khác 0 trong
lớp M/xM khơng chứa trong bất kì khơng gian Stanley chiều lớn hơn hoặc bằng 1. Do
đó sdepth(M/xM) = 0. Do vậy sdepth(M/xM) < sdepth(M) − 1.
Ví dụ 2.2.2 gợi ý rằng nếu xk là một phần tử chính quy trên M thì sdepth(M/xk M) ≤
sdepth(M) − 1. Đó là vấn đề của mệnh đề tiếp theo.
Mệnh đề 2.2.3. Cho M là một S-môđun Zn -phân bậc hữu hạn sinh và xk là chính quy
trên M. Nếu D1 : M/xk M =

r
¯ i K[Zi ],
i=1 m

là một phân tích Stanley của M/xk M, trong

đó mi ∈ M là thuần nhất và m¯ i = mi + xk M thì
r

M=

mi K[Zi , xk ]
i=1

là một phân tích Stanley của M. Đặc biệt
sdepth(M/xk M) ≤ sdepth(M) − 1.
18

(2.2)

Chứng minh. Đặt N = ∑ri=1 mi K[Zi , xk ]. Khi đó N ⊆ M. Vì D1 là một phân tích Stanley
của M/xk M kéo theo ψ(N) = M/xk M trong đó ψ : M → M/xk M là một tồn cấu chính
tắc. Điều đó kéo theo M = xk M + N như một Zn -phân bậc K-không gian vectơ. Ta chỉ
ra M = N. Trước tiên chú ý rằng M = xkd M + N với mọi d. Tiếp tục quy nạp theo d, bởi
vì nếu ta có M = xkd−1 M + N thì
vì xkd−1 N ⊂ N.

M = xkd−1 (xk M + N) + N = xkd M + xkd−1 N + N = xkd M + N,
Điều này hồn thành phép quy nạp.

Vì M là hữu hạn sinh nên tồn tại một số nguyên c thỏa mãn degxk (m) ≥ c với mọi
phần tử thuần nhất m ∈ M. Bây giờ giả sử m ∈ M là phần tử thuần nhất với degxk (m) = a
và đặt d > a − c là một số nguyên. Vì M = xkd M + N , tồn tại phần tử thuần nhất
v ∈ M và w ∈ N sao cho m = xkd v + w, trong đó a = degxk v + d = degxk w. Kéo theo
degxk v = a − d < c, mâu thuẫn. Suy ra v = 0, do đó m = w ∈ N.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra tổng ∑ri=1 mi K[Zi , xk ] là trực tiếp, tức là
r

mi K[Zi , xk ] ∩

∑ m j K[Z j , xk ] = (0).

j=1
j=i

Đặt u = mi qi =

r

m j q j ∈ M là thuần nhất với các đơn thức q j trong K[Z j , xk ] thỏa
∑ j=1
j=i

mãn deg(u) = deg(m j q j ) với mọi j. Đặt p là lũy thừa cao nhất của phép chia xk cho qi .
Nếu p = 0 thì ta có u¯ = m¯ i qi = 0 trong M/xk M vì m¯ i K[Zi ] là một khơng gian Stanley.
Kéo theo
r

u¯ ∈ m¯ i K[Zi ] ∩

∑ m¯ j K[Z j ],

mâu thuẫn.

j=1
j=i

r

Trong trường hợp p > 0, thì trong M/xk M ta có u¯ = 0 = ∑ j=1 m¯ j q¯ j . Suy ra q¯ j = 0,
j=i

vì D1 là một phân tích Stanley của M/xk M. Do vậy q j = xk q j với q j ∈ K[Z j , xk ] và ta
r

r

j=i

j=i

có xk (mi qi − ∑ j=1 m j q j ) = 0, kéo theo mi qi − ∑ j=1 m j q j = 0 vì xk là chính quy trên
M. Lặp lại lí luận trên ta được q j = xkp s j với s j ∈ K[Z j , xk ], và mi si =

19

r

m j s j . Ta xét
∑ j=1
j=i


v = mi si . Vì s¯i = 0, ta có v¯ = 0 vì m¯ i K[Zi ] là không gian Stanley. Mặt khác
r

v¯ ∈ m¯ i K[Zi ] ∩

∑ m¯ j K[Z j ].

j=1
j=i

Suy ra v¯ = 0, mâu thuẫn.
Tương tự ta chỉ ra rằng mỗi mi K[Zi , xk ] là một không gian Stanley. Thật vậy, giả sử
mi f = 0 với f ∈ K[Zi , xk ] trong đó f = ∑aj=0 f j xkj thỏa mãn xk không chia hết cho f j với
mọi j thì ∑aj=0 mi f j xkj = 0 kéo theo m¯ i f0 = 0 trong M/xk M. Ta được f0 = 0 vì m¯ i K[Zi ] là
khơng gian Stanley. Kéo theo f = xk g trong đó g = ∑aj=1 f j xkj−1 và từ xk mi g = mi f = 0
ta được mi g = 0, xk trở thành chính quy trên M. Khi đó phép quy nạp theo bậc của f

kết thúc việc chứng minh vì degxk g < degxk f .
Hệ quả 2.2.4. Trong Mệnh đề 2.2.1 dấu bằng xảy ra nếu xn là chính quy trên S/I.
Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.3 với M = S/I.

2.3. Độ sâu Stanley và phần tử chính quy
Đối với độ sâu thơng thường (depth) qua phần tử chính quy ta có các kết quả sau.
Bổ đề 2.3.1. ([10]) Nếu M là một môđun phân bậc trên một vành phân bậc S và z là
một phần tử chính quy thuần nhất trên M trong một iđêan cực đại phân bậc. Khi đó
(i) depth(M/zM) = depth(M) − 1,
(ii) dim(M/zM) = dim(M) − 1.
Để chứng minh ta cần hai Bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.2. Nếu M là một S-mơđun hữu hạn sinh thì
Ass(M) ⊂ Supp(M),
và bất kì phần tử cực tiểu nào của Supp(M) đều thuộc Ass(M).

20