Hiệu chỉnh tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.58 KB, 44 trang )
..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ
HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH
TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ
VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ
HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH
TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ
VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành :Tốn ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
TS. Lâm Thùy Dƣơng
THÁI NGUYÊN - 2016
i
Mục lục
Lời cảm ơn
iii
Bảng ký hiệu
1
Lời nói đầu
2
1 Phương trình tốn tử
4
1.1
1.2
1.3
Tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Phương trình tốn tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Phương trình tốn tử đặt không chỉnh . . . . . . . . .
10
1.2.2
Ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh . . . . . .
12
Một số bài toán liên quan đến phương trình tốn tử đơn điệu .
17
1.3.1
Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2
Bài toán cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . .
19
2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử: Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn
chiều
2.1
21
Hiệu chỉnh phương trình tốn tử . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.1
Toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.2
Hiệu chỉnh trong trường hợp tốn tử A liên tục và đóng
yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
ii
2.1.3
2.2
Hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử A đơn điệu . . . .
26
Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.1
Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.2
Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Tài liệu tham khảo
39
iii
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng các
giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa
2014–2016) đã ln động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Thị Việt Hà
1
Bảng ký hiệu
R
tập số thực
H
không gian Hilbert thực
X
không gian Banach
X∗
không gian đối ngẫu của X
C
tập con đóng lồi của H
A
tốn tử đơn điệu trong không gian Hilbert
dom(A)
miền hữu hiệu của tốn tử A
x, y
tích vơ hướng của hai vectơ x và y
x
chuẩn của vectơ x
xn → x
xn hội tụ mạnh đến x
xn ⇀ x
xn hội tụ yếu x
I
ánh xạ đơn vị
2
Lời nói đầu
Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh trong
khơng gian Hilbert H: Tìm phần tử x0 ∈ H thỏa mãn
(1)
A(x0 ) = f
ở đây A : D(A) ⊆ H → H, f ∈ H, D(A) là ký hiệu tập xác định của tốn tử A.
Ta xét phương trình tốn tử (1) trong trường hợp f khơng được biết chính
xác mà được cho xấp xỉ bởi fδ , thỏa mãn
f − fδ ≤ δ ,
δ → 0.
(2)
Nếu khơng có các điều kiện đặc biệt đặt lên tốn tử A (chẳng hạn tính đơn điệu
đều hoặc đơn điệu mạnh), thì phương trình tốn tử (1), nói chung, là một bài
tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay
đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất hoặc nghiệm
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Để giải loại bài toán này ta phải
sử dụng các phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ
thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài tốn ban đầu.
Những người có cơng đặt nền móng cho lý thuyết bài tốn đặt khơng chỉnh là
các nhà tốn học A. N. Tikhonov [6], M.M. Lavrentiev [5] và V.K. Ivanov [4]
vv. . . . Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất hiệu quả giải
bài tốn đặt khơng chỉnh là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Kể từ năm 1963
khi A.N. Tikhonov [6] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng thì lý thuyết bài
3
tốn đặt khơng chỉnh được phát triển hết sức sơi động và có mặt ở hầu hết các
bài tốn thực tế.
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh phương
trình tốn tử đơn điệu (1) trong không gian Hilbert trong bài báo [3]. Cụ thể là
nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh phương trình tốn tử (1) trong
trường hợp tốn tử A liên tục, đóng yếu, đơn điệu; đồng thời nghiên cứu tốc độ
hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1: Giới
thiệu về toán tử đơn điệu, phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh trong
khơng gian Hilbert, khơng gian Banach và một số bài tốn liên quan đến tốn
tử đơn điệu, đó là bài tốn điểm bất động, bài tốn cân bằng. Chương 2: Trình
bày kết quả nghiên cứu trong [3] về phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn
tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và xây dựng xấp xỉ
hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh.
4
Chương 1
Phương trình tốn tử
Chương này trình bày khái niệm về tốn tử đơn điệu, phương trình tốn tử đơn
điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach và không gian Hilbert; giới thiệu
một số bài toán liên quan đến phương trình tốn tử tốn tử đơn điệu. Các kiến
thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[3].
1.1
1.1.1
Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
Không gian Banach
Mục này trình bày khái niệm và một số kết quả về không gian Banach. Các kiến
thức của mục này được tham khảo trong [2].
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X. Ánh xạ d : X × X → R được gọi là một mêtric
nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với mêtric d xác định như trên được gọi là không gian mêtric,
ký hiệu là (X,d).
5
Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric (X,d) được gọi là không gian đầy đủ (hay
không gian đầy) nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực, ánh xạ
||.|| : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
(ii) ||kx|| = |k|.||x|| với mọi x ∈ X, với mọi k ∈ R;
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X.
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . xác định như trên được gọi là
không gian định chuẩn, ký hiệu là (X, ||.||).
Định nghĩa 1.1.4. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
yếu tới x0 ∈ X, ký hiệu là xn ⇀ x0 nếu với mọi f ∈ X ∗ -không gian liên hợp của
X ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞.
Nhận xét 1.1.5. Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nhưng ngược lại thì chưa
chắc đã đúng.
Ví dụ, trong khơng gian l2 lấy dãy {ei}∞
i=1 sao cho ei , e j = 1 khi i = j
và ei , e j = 0 khi i = j. Khi đó, với mọi ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . ) ∈ l2 ta có
e j , ϕ = ϕ j . Vì ϕ ∈ l2 nên lim ϕ j = 0, tức là dãy {e j }∞j=1 hội tụ yếu đến phần
j→∞
√
∞
tử 0. Nhưng dãy {e j } j=1 không hội tụ mạnh. Thật vậy, do ei − e j = 2 nên
dãy {e j }∞j=1 không phải là dãy cơ bản, do đó khơng hội tụ mạnh.
Chú ý 1.1.6. Trong không gian định chuẩn X nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến x0
thì xn ⇀ x0 và xn → x0 .
Định nghĩa 1.1.7. Toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định
chuẩn Y là liên tục nếu với mọi dãy {xn } ⊂ X và xn → x ∈ X thì A(xn ) → A(x).
Tính liên tục của tốn tử tuyến tính A có thể được xác định bằng cách chỉ ra
A(xn ) → 0 với mọi dãy {xn } ⊆ X và xn → 0.
6
Nhận xét 1.1.8. Cho không gian định chuẩn (X, ||.||). Với mọi x, y ∈ X, đặt
d(x, y) = ||x − y|| thì d là một mêtric trên X.
Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric với mêtric sinh
bởi chuẩn xác định như trên.
Định nghĩa 1.1.9. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.10. Khơng gian Rn với chuẩn xác định bởi:
n
||x|| =
∑ |xi|
i=1
1
2 2
,
x = (x1 , x2 , . . . , xn) ∈ Rn
và không gian C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với chuẩn xác định bởi:
|| f || = sup {| f (x)| : x ∈ [a, b]} ,
f ∈ C[a, b]
là các không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là các khơng gian Banach. Một tốn tử phi
tuyến A : X → Y được gọi là đóng yếu nếu với mọi dãy {xn } ⊂ D(A) hội tụ yếu
trong X đến x và A(xn ) hội tụ yếu trong Y đến y thì suy ra x ∈ D(A) và A(x) = y.
Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach Y ,
ta sẽ viết r(x) = o( x ) với x → θX , nếu r(x)/ x → 0 khi x → θX . Ký hiệu
L(X,Y ) là tập tất cả các tốn tử tuyến tính liên tục T : X → Y .
Định nghĩa 1.1.12. Cho A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào
khơng gian Banach Y . Tốn tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu
tồn tại T ∈ L(X,Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),
với mọi h thuộc một lân cận của điểm không. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo
hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A′ (x) = T .
7
1.1.2
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.13. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vơ
hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) x, x > 0 với mọi x > 0, x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
(iii) α x, y = α x, y với mọi x, y ∈ H, với mọi α ∈ R;
(iv) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
Khơng gian tuyến tính H cùng với tích vơ hướng ·, · được gọi là không gian
tiền Hilbert.
Nhận xét 1.1.14.
(i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn
với chuẩn:
||x|| = x, x
1
2
∀x ∈ H.
(ii) Đẳng thức hình bình hành ln thỏa mãn trong khơng gian tiền Hilbert H:
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) ∀x, y ∈ H.
Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng thức
hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng tích vô hướng
x, y =
1
||x + y||2 − ||x − y||2
4
∀x, y ∈ H.
Khi đó X trở thành khơng gian tiền Hilbert.
(iii) Trong không gian tiền Hilbert bất đẳng thức Schwarz luôn thỏa mãn
| x, y | ≤ ||x||.||y||
∀x, y ∈ H.
8
Định nghĩa 1.1.15. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian
Hilbert.
Ví dụ 1.1.16. Các khơng gian Rn , L2 [a, b] là các không gian Hilbert với tích vơ
hướng được xác định tương ứng là:
n
x, y = ∑ xi yi,
x = (x1, x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn ;
i=1
b
x, y =
x(t)y(t)dt,
a
x(t), y(t) ∈ L2 [a, b].
Định nghĩa 1.1.17. Dãy {xn }∞
n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ
yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim xn , y = x, y với mọi y ∈ H.
n→∞
Định nghĩa 1.1.18. Tập hợp C ⊂ H được gọi là lồi nếu
∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ C.
Ví dụ 1.1.19. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.1.20. Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội tụ {xn } ⊂ C
đều có giới hạn thuộc C, tức là
∀{xn} ⊂ C : xn → x ⇒ x ∈ C.
Ví dụ 1.1.21. Hình cầu đóng B(a, r) := {x ∈ H : x − a ≤ r} tâm a, bán kính
r trong khơng gian Hilbert X là tập đóng.
1.1.3
Tốn tử đơn điệu
Định nghĩa 1.1.22. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H, A : C → H là một toán tử từ C vào H. Toán tử A được gọi là:
9
(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
A(x) − A(y) ≤ L x − y
∀x, y ∈ C;
Nếu 0 < L < 1 thì A là tốn tử co, nếu L = 1 thì A là tốn tử khơng giãn;
(ii) Bị chặn trên C, nếu với mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của C, tồn tại
hằng số dương MB chỉ phụ thuộc vào tập B sao cho
A(x) − A(y), x − y ≤ MB x − y
∀x, y ∈ B.
(iii) Đơn điệu trên C, nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(iv) η -đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y
2
∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.1.23. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là
(i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) ⇀ A(x) khi t → 0+
với mọi x, y thuộc X.
(ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra A(x)n ⇀ A(x)
khi n → ∞.
Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi-liên tục.
Định nghĩa 1.1.24. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là bức (coercive) nếu
lim
||x||→+∞
A(x), x
= +∞,
||x||
∀x ∈ X.
10
1.2
1.2.1
Phương trình tốn tử đơn điệu
Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh
Xét phương trình tốn tử
(1.1)
A(x) = f ,
trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y, f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vào không
gian Banach Y. Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu
(1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
(2) nghiệm này là duy nhất;
(3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài tốn (1.1)
được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed).
Bài tốn tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R( f ), được gọi
là ổn định trên cặp không gian (X,Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ (ε ) > 0
sao cho từ ρY ( f1 , f2 ) ≤ δ (ε ) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε , ở đây
xi = R( fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y,
i = 1, 2.
Nhận xét 1.2.2. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng
lại đặt không chỉnh trên cặp khơng gian khác.
Nếu A là tốn tử đơn điệu thì phương trình (1.1) được gọi là phương trình
tốn tử đơn điệu.
Định lý 1.2.3. Giả sử A là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục thỏa mãn điều
kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X, x ≥ M thì A(x), x > 0.
Khi đó phương trình tốn tử A(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
11
Định lý 1.2.4. Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từ không
gian Banach phản xạ X vào X ∗ thì phương trình tốn tử A(x) = f có nghiệm
với mọi f ∈ X ∗ .
Trong nhiều áp dụng, thay cho giá trị chính xác (A, f ), ta chỉ biết được các
xấp xỉ (Ah , fδ ) của chúng. Giả sử Ah ≡ A, còn vế phải của (1.1) được cho bởi
fδ thỏa mãn fδ − f ≤ δ . Gọi xδ là nghiệm của phương trình của (1.1) với f
được thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f , nhưng
với bài tốn đặt khơng chỉnh thì xδ nói chung khơng hội tụ đến nghiệm x0 của
bài toán (1.1), nghĩa là xδ là xấp xỉ tồi cho nghiệm của bài toán này.
Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về tốn tử A mà (1.1) là bài tốn đặt khơng
chỉnh. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa của toán tử liên tục mạnh.
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó ánh
xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh.
Sau đây là một kết quả về toán tử liên tục mạnh.
Mệnh đề 1.2.6. Cho X và Y là các không gian Banach thực. Nếu A là tốn tử
tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.
Nếu A là tốn tử liên tục mạnh thì bài tốn (1.1) (vơ hạn chiều) nói chung là
bài tốn đặt khơng chỉnh. Thật vậy, giả sử {xn } là một dãy chỉ hội tụ yếu đến
x, xn ⇀ x, xn → x và yn = A(xn ), y = A(x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A
suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện ban đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình tốn tử với
tốn tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu
hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên khơng
áp dụng được. Và nếu ta xét một tốn tử tuyến tính compact với miền ảnh R(A)
hữu hạn chiều thì tốn tử ngược A−1 nói chung là liên tục và khi đó bài tốn giải
phương trình A(x) = f là bài tốn đặt chỉnh.
12
1.2.2
Ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh
Ví dụ 1.2.7. Xét phương trình tốn tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp
M = 7 được xác định bởi
3
3
3
3
3
3
3
3 3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3,
001
3
3
3
3
A = 3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3,
001
3
3
3
3
3
3
3
3, 001
và vế phải
f = 21 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001
T
∈ R7 .
Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm
x= 1 1 1 1 1 1 1
T
∈ R7 .
Nếu
3
3
3
3
3
3
3
3 3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3,
001
3
3
3
3
A = Ah1 = 3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3
3,
001
3
3
3
3
3
3
3
3, 001
13
và vế phải
f = fδ1 = 21 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21
T
∈ R7 .
Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f vơ nghiệm.
Nếu
3
3
3
A = Ah1 = 3
3
3
3
và vế phải
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3, 001
3
3
3
3
3
3
3, 001 3
3
3
3
3
3
3
f = fδ2 = 21 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21, 001 21
T
∈ R7 .
Khi đó phương trình A(x) = f vơ số nghiệm.
Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu đã dẫn đến
thay đổi lớn của nghiệm. Vậy bài tốn đã cho là bài tốn đặt khơng chỉnh.
Ví dụ 1.2.8. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b
K(x, s)ϕ (s)ds = f0 (x),
a
x ∈ [a, b],
ở đây nghiệm là một hàm ϕ (x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước, K(x, s) là
∂ K(x, s)
liên tục trên hình
hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x, s) cùng với
∂x
vng [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau.
14
• Trường hợp 1
A : C[a, b] −→ L2 [a, b]
ϕ (x) −→ f0 (x) =
b
K(x, s)ϕ (s)ds.
a
Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [a, b], tức là
khoảng cách giữa hai hàm f0 (x) và f1 (x) được cho bởi
b
ρL2 [a,b]( f0 , f1 ) =
| f0 (x) − f1 (x)|2 dx
a
1/2
.
Giả sử phương trình tích phân Fredholm có nghiệm là ϕ0 (x) khi đó với vế phải
b
K(x, s) sin(ω s)ds
f1 (x) = f0 (x) + N
a
thì phương trình này có nghiệm
ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ω x).
Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không
gian L2 [a, b] là
b
b
ρL2 [a,b] ( f0 , f1 ) = |N|
K(x, s) sin(ω s)ds
a
1/2
2
dx
a
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
Kmax = max |K(x, s)|,
x ∈ [a, b], s ∈ [a, b]
15
ta tính được
d
ρL2 [a,b]( f0 , f1 ) ≤ |N|
≤
Kmax
c
1
cos(ω s)
ω
1/2
b 2
a
dx
|N|Kmax c0
,
ω
ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω tùy ý nhưng
khi đó
N
lại nhỏ. Trong
ω
ρC[a,b](ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N|, x ∈ [a, b]
có thể lớn bất kỳ.
• Trường hợp 2
A : L2 [a, b] −→ L2 [a, b]
ϕ (x) −→ f0 (x) =
b
K(x, s)ϕ (s)ds.
a
Tương tự ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong khơng gian
L2 [a, b] có thể lớn bất kỳ. Thật vậy
b
ρL2 [a,b](ϕ0 , ϕ1 ) =
|ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| dx
2
a
b
sin (ω x)dx
2
=|N|
1
2
1
2
a
=|N|
1
b−a
−
sin(ω (b − 1))cos(ω (b + a)).
2
2ω
Dễ nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [a,b] rất nhỏ nhưng
ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) lại rất lớn. Do đó, phương trình tích phân Fredholm loại I là bài
tốn đặt không chỉnh.
16
Ví dụ 1.2.9. Xét chuỗi Fourier
∞
f1 (t) =
∑ an cos(nt)
n=0
với hệ số (a0 , a1 , . . . , an , . . . ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + εn , n ≥ 1 và
c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
∞
f2 (t) =
∑ cn cos(nt)
n=0
cũng có hệ số (c0 , c1 , . . . , cn , . . . ) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là
ε1 =
∞
∑ (cn − an)
1
2
2
n=0
∞
1
=ε ∑ 2
n=1 n
1
2
=ε
π2
.
6
Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó
f2 (t) − f1 (t) = ε
∞
1
∑ n cos(nt)
n=1
có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong
không gian các hàm với độ đo đều, thì bài tốn tính tổng chuỗi Fourier là không
ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên, nếu xét trong khơng
gian L2 [0, π ], thì
π
0
[ f2 (t) − f1 (t)]2 dt
1
2
=
=
π
0
∞
π
∑ (cn − an) cos(nt)
n=0
π
∑ 2 (cn − an)2
n=1
2
1
2
= ε1
dt
1
2
π
.
2
Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho bởi xấp xỉ cn
17
với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau
không nhiều trong L2 [0, π ].
Vì tính khơng duy nhất của nghiệm của bài tốn đặt khơng chỉnh nên người
ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0
có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn
A(x0 ) = f ,
và
x0 − x∗ = min{ x − x∗ : Ax = f },
trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.1), được giả thiết là khác rỗng. Bằng
cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
1.3
1.3.1
Một số bài tốn liên quan đến phương trình toán tử đơn điệu
Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập lồi bất kỳ trong không gian Hilbert thực H và T : C → C là
một ánh xạ. Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(T,C) (fixed point problem),
được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T (x∗ ).
(1.2)
Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.2) tương đương với việc giải
phương trình tốn tử:
(T − I)(x∗ ) = 0,
(1.3)
ở đây I là tốn tử đơn vị trong khơng gian Hilbert H.
Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào
năm 1922 như sau:
18
Định lý 1.3.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và với xấp xỉ ban đầu tùy ý
x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T (xn ), với n ≥ 0, hội tụ mạnh
tới q.
Chứng minh. Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với n ≥ 0. Do
T là ánh xạ co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y).
Xét:
d(xn , xn+1) = d(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn )
≤ k2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ . . .
≤ kn d(x0 , x1 ).
Lấy m > n ta có:
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2) + . . . + d(xm−1 , xm )
≤ (kn + kn+1 + . . . + km−1 )d(x0 , x1 )
≤ kn (1 + k + . . . + km−n−1 )d(x0 , x1 )
1
≤ kn
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
1−k
Vậy {xn } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Do đó dãy {xn } hội
tụ tới phần tử q ∈ X. Với mỗi n ≥ 0 ta có
0 ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, xn ) + d(xn , T (q))
= d(q, xn ) + d(T (xn−1 ), T (q))
≤ d(q, xn ) + kd(xn−1 , q).
Vì dãy {xn } hội tụ về phần tử q ∈ X nên d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) → 0 khi n → ∞.
Từ đó 0 ≤ d(q, T (q)) ≤ 0 suy ra d(q, T (q)) = 0 hay T (q) = q. Vậy q là điểm
bất động của ánh xạ T .
19
Tính duy nhất: Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho T (p) = p. Khi đó
d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p).
Với k ∈ [0, 1) thì từ đẳng thức trên suy ra d(q, p) = 0 do đó q = p. Vậy q là duy
nhất.
Bài toán điểm bất động được sử dụng để xây dựng, phân tích và tính tốn
nghiệm cho bài tốn cân bằng kinh tế.
1.3.2
Bài toán cân bằng thị trường
Bây giờ ta xét bài tốn cân bằng thị trường được mơ tả dưới dạng phương trình
tốn tử. Một cơ sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu lần lượt bởi i, i =
1, 2, . . . , n cho m đại lý tiêu thụ mỗi đại lý được ký hiệu bởi j, j = 1, 2, . . . , m.
Ký hiệu p là véc tơ n-chiều biểu thị giá của mỗi mặt hàng gồm các thành phần
p = (p1 , p2 , . . . , pn ). Giả sử lượng cầu đối với mặt hàng thứ i của tất cả các đại lý
là di . Nói chung di phụ thuộc vào giá của tất cả các mặt hàng, tức là di = di (p).
Khi đó ta có
m
di (p) =
∑ di j (p),
j=1
trong đó di j (p) là chỉ nhu cầu đối với mặt hàng thứ i của đại lý thứ j.
Tương tự ta có lượng cung của mặt hàng thứ i cho tất cả các đại lý, ký hiệu
là si , nói chung, phụ thuộc vào giá của tất cả các mặt hàng, tức là
m
si (p) =
∑ si j (p),
j=1
trong đó si j (p) là lượng cung của mặt hàng thứ i cho đại lý thứ j với véc tơ giá
p.
Ta có thể tổng hợp lượng cầu đối với tất cả các mặt hàng thành một véc tơ
cột n-chiều d với các thành phần như sau: {d1 , d2 , . . . , dn } và lượng cung đối
với n mặt hàng thành một véc tơ cột n-chiều s với các thành phần như sau:
20
{s1 , s2 , . . . , sn }.
Điều kiện cân bằng của thị trường yêu cầu lượng cung của mỗi mặt hàng
phải bằng lượng cầu của mặt hàng đó với véc tơ giá p∗ , tương đương với hệ
phương trình sau:
s(p∗ ) = d(p∗ ).
Hệ phương trình trên có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình tổng quát
nếu ta xác định véc tơ x ≡ p và A(x) ≡ s(p) − d(p).
