Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN KIM THANH

MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA
GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN KIM THANH

MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA
GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Tạ
Duy Phượng. Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy
và gia đình.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,
Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp
trường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tơi hồn
thành luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã hết lịng động viên
tơi trong suốt q trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011
Học viên

Nguyễn Kim Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i




Lời nói đầu
Bài tốn tối ưu hóa ngày nay đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng
rãi vào nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, kinh tế và khoa học. Trong thời gian
gần đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu được quan tâm nhiều vì nó là mơ
hình của nhiều bài tốn thực tế. Bài tốn tối ưu này có hàm mục tiêu nhận
giá trị vectơ và đòi hỏi các khái niệm mới về nghiệm. Việc tính tốn tập
nghiệm, thậm chí là tìm ra một nghiệm của bài tốn nói chung là khó. Vì
vậy phát triển các phương pháp số hữu hiệu giải các bài toán tối ưu đa
mục tiêu, hiện nay đang được quan tâm đặc biệt.
Khái niệm cực tiểu đầu tiên được đưa ra bởi Edgeworth năm 1881, và
Pareto năm 1896. Để xây dựng khái niệm này, Pareto đã sử dụng khái
niệm sắp thứ tự theo nón trong khơng gian ảnh. Sau đó Kuhn và Tucker,
vào năm 1951 đã nghiên cứu kĩ hơn và chặt chẽ hơn bằng tốn học. Kể từ
đó bài tốn tối ưu đa mục tiêu trở thành một lĩnh vực được nghiên cứu
tích cực. Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu giải quyết bài toán này và
đưa ra nhiều kết quả quan trọng, xem [1,2]
Ở thế kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu chính dựa trên các phương pháp
lặp để xác định duy nhất một nghiệm đơn trong một quá trình lặp đi lặp
lại. Bằng cách ấy, các phép tính số được tính tốn liên tiếp với hàm quyết
định được đưa ra bởi mục tiêu mong muốn cho đến khi nào nghiệm được
tìm thấy.
Tuy nhiên, với sự phát triển của công nghệ thông tin và tốc độ của máy
tính hiện nay đã có thể xác định được tập hữu hiệu một cách dễ dàng hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii




Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp tìm tập hữu hiệu
nhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3]. Trong [3] , Gabriele Eichfelder
đã sử dụng phương pháp tiếp cận vơ hướng hóa phụ thuộc tham số của
Pascoletti và Serafini .
Nhiệm vụ của luận văn là trình bày một cách chi tiết, có chứng minh
một số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật tốn giải bài toán tối ưu hai
mục tiêu.
Luận văn của gồm 3 chương:
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong phần đầu
của chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản của
tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn như các khái niệm cực tiểu và các tính chất
của nón sắp thứ tự, đặc biệt là nón đa diện.
Chương 2 dành riêng tìm hiểu kĩ về phương pháp vơ hướng hóa giải
bài tốn tối ưu.
Vơ hướng hóa được đưa ra dựa trên vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini. Đây
là một trong hai chương chính của luận văn.
Chương 3 Trong chương này chủ yếu sử dụng kết quả trước để phát
triển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số trong tiếp cận vơ hướng
hóa Pascoletti-Serafini.
Và cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo.
Thái Nguyên, năm 2011
Học viên
Nguyễn Kim Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyêniii

Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Quan hệ sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Nghiệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Nghiệm cực tiểu yếu . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Nón đa diện sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Phương pháp vơ hướng hóa

16

2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Tính chất của vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini . . . . . . .

19

2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 24

3

2.3.1

Trường hợp với hàm hai mục tiêu . . . . . . . . . .

26

2.3.2

Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Điều khiển tham số

41

3.1 Điều khiển tham số trong trường hợp hai mục tiêu . . . . .

42

3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini . . . . . . . .

49

Tài liệu tham khảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv

53




Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Giả sử f : Rn → Rm , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq

(p, q ∈ N) là các hàm liên tục.

Ta đặt f (x) = (f1(x), ..., fm(x)) với fi : Rm → R , i = 1, .., m.

Cho S ⊂ Rn là một tập lồi đóng và C ⊂ Rp là một nón lồi đóng. Nhắc

lại rằng một tập C ⊂ Rp là một nón lồi đóng nếu λ(x + y) ∈ C với mọi

λ ≥ 0, x, y ∈ C.

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP):
min f (x)
với các hạn chế
g(x) ∈ C,
h(x) = 0q ,
x ∈ S.
Với m = 1 bài toán (MOP) trở thành bài toán tối ưu hàm một mục

tiêu quen thuộc. Trong luận văn này ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục
tiêu (m ≥ 2 ).

Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } được gọi là tập ràng buộc hay

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1




tập hạn chế của bài toán (MOP).
Ta giả sử Ω = ∅ và định nghĩa f (Ω) := {f (x) ∈ Rm | x ∈ Ω}.

1.1
1.1.1

Kiến thức cơ sở
Quan hệ sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1.1. Một tập con khác rỗng
hệ hai ngôi

trên Rm .

Ta viết x y nếu (x, y) ∈

∈ Rm × Rm được gọi là quan

. Quan hệ hai ngơi thường kí hiệu theo thứ tự

quen thuộc là ≤ .

Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi ≤ trên Rm được gọi là sắp thứ
tự bộ phận trên Rm nếu với x, y, z, w ∈ Rm tùy ý ta có:

(i) x ≤ x (tính phản xạ),
(ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính bắc cầu),
(iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (tính tương thích với phép cộng),
(iv) x ≤ y, α ∈ R+ ⇒ αx ≤ αy (tính tương thích với phép nhân vơ hướng).
Định nghĩa 1.1.3. Một quan hệ sắp thứ tự bộ phận ≤ trên Rm được gọi

là phản xứng nếu với x, y ∈ Rm bất kì x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.

Định nghĩa 1.1.4. Một không gian tuyến tính Rm được trang bị một
quan hệ sắp thứ tự được gọi là khơng gian tuyến tính sắp thứ tự.
Ví dụ 1.1.5. Quan hệ sắp thứ tự trên Rm được định nghĩa bởi:
≤m := {(x, y) ∈ Rm × Rm | xi ≤ yi ; ∀i = 1, .., m}
là quan hệ sắp thứ tự bộ phận. Quan hệ này gọi là quan hệ sắp thứ tự tự
nhiên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2




Nhận xét 1.1.6. :
(i) Một quan hệ sắp thứ tự ≤m trên Rm xác định một nón lồi
K := {x ∈ Rm | 0m ≤ x}
Nón K lúc này được gọi là nón sắp thứ tự.
(ii) Cho K là một nón lồi bất kì trên Rm . Khi đó ta xác định được một
quan hệ sắp thứ tự trên Rm như sau:
≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}
(iii) Một quan hệ sắp thứ tự K là phản xứng nếu và chỉ nếu K là nón nhọn.
Nhắc lại rằng, nón K ⊂ Rm được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0m}
Giả sử K là một nón nhọn nào đó . Khi đó quan hệ sắp thứ tự trên Rm
≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}
Nếu x ≤K y với x, y ∈ Rm thì y − x ∈ K. Vì K là nón nhọn x − y ∈ K chỉ

khi x − y = 0m hay y ≤K x khi x = y. Do đó quan hệ sắp thứ tự ≤K là
phản xứng.

1.1.2

Nghiệm cực tiểu

Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω là một tập con khác rỗng của khơng gian tuyến
tính Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi K. Một điểm y¯ ∈ Ω là một điểm
K-cực tiểu của tập Ω nếu

(¯
y − K) ∩ Ω ⊂ y¯ + K

(1.1)

Nếu nón K là nhọn thì (1.1) tương đương với
(¯
y − K) ∩ Ω = {¯
y}
Nếu cho y, y ∈ Ω ta có y − y ∈ K \ {0m }, thì ta nói rằng y trội hơn y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3




Định nghĩa 1.1.8. Một điểm x¯ ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu (không làm

trội được, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục
tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu f (¯
x) là một điểm K-cực

tiểu của tập f (Ω).
Tập tất cả các nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K được kí hiệu M(f (Ω), K).

Tập ảnh của tập tất cả các nghiệm cực tiểu

E(f (Ω), K) := {f (x) | x ∈ M(f (Ω), K)}
được gọi là tập hữu hiệu.
Một điểm y¯ ∈ E(f (Ω), K) được gọi là điểm K-cực tiểu, điểm không làm

trội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K.

Nếu có một điểm f (x) ∈ f (Ω) với f (x) − f (¯
x) ∈ K \ {0m } thì ta nói rằng
f (x) được làm trội bởi f (¯
x) và x được làm trội bởi x¯ một cách tương ứng.

Cho K = Rm
+ , điểm K-cực tiểu cũng được gọi là Edgeword-Pareto-cực tiểu
(EP-cực tiểu).
Trong hình 1.2 là ví dụ về bài tốn tối ưu hai mục tiêu. Tập Ω và f (Ω)
là những nón nhọn sắp thứ tự. Tập hữu hiệu là phần đường tơ đậm.
Trong khơng gian tuyến tính sắp thứ tự, tồn tại những điểm không thể
so sánh được với nhau như các điểm (1; 2) và (2; 1) trong R2 tương ứng với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4




nón sắp thứ tự tự nhiên. Đó là lí do tại sao bài tốn tối ưu tổng qt dễ
có vơ số nghiệm. Bởi vì việc tính tốn trực tiếp tất cả các nghiệm trong
trường hợp tổng quát là không thể nên ta cố gắng đưa ra xấp xỉ tiệm cận
theo điểm của tập hữu hiệu với độ xấp xỉ cao nhất.
Trong trường hợp quan hệ sắp thứ tự toàn phần và nếu bài tốn đa mục

tiêu là giải được thì chỉ có duy nhất một nghiệm cực tiểu trong khơng gian
ảnh.
Một quan hệ sắp thứ tự được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
x, y ∈ Rm hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x là đúng. Nếu một quan hệ sắp thứ tự

được đặc trưng bởi một nón lồi K ⊂ Rm thì nó là sắp thứ tự toàn phần

nếu và chỉ nếu K ∪ (−K) = Rm .

Ví dụ quan hệ sắp thứ tự tự điển xác định bởi nón
K = y ∈ Rm | ∃k ∈ {1, .., m} ; yi = 0 nếu i < k; yk > 0 ∪ {0m}

là sắp thứ tự toàn phần. Tương ứng với tất cả các điểm sắp thứ tự này
trong Rm có thể được so sánh với nhau và có thể sắp xếp được. Tuy nhiên
một nón lồi nhọn khơng thể vừa đóng vừa thỏa mãn tính chất sắp thứ tự
tồn phần K ∪ (−K) = Rm . Ví dụ, nón sắp thứ tự tự điển là khơng đóng.

Trong bài luận văn này ta chỉ xét các nón lồi nhọn đóng và do đó quan hệ
sắp thứ tự ≤K là sắp thứ tự bộ phận.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5




1.1.3

Nghiệm cực tiểu yếu

Định nghĩa 1.1.9. Cho K là một nón nhọn sắp thứ tự với int(K) = ∅.

Một điểm x¯ ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) tương ứng với K
nếu

(¯
y − int(K)) ∩ f (Ω) = ∅
Tập tất cả các nghiệm cực tiểu yếu tương ứng với nón K được kí hiệu là
Mw (f (Ω), K). Tập ảnh của tập tất cả các điểm cực tiểu yếu
Ew (f (Ω), K) := {f (x) | x ∈ Mw (f (Ω), K)}
được gọi là tập các điểm hữu hiệu yếu tương ứng với nón K.
Ta cũng xét tập các điểm hữu hiệu yếu đối với K = Rm
+.
Các điểm K-cực tiểu là các điểm cực tiểu tương ứng với nón int(K)∪{0m }.

Vì vậy xét các mệnh đề dưới đây ta xét trong trường hợp int(K) khác rỗng
đó là
M(f (Ω), K) ⊂ Mw (f (Ω), K).
E(f (Ω), K) ⊂ Ew (f (Ω), K).
Bổ đề 1.1.10. ([5]) Cho K1 và K2 là các nón lồi khác rỗng với K1 ⊂ K2.
Khi đó ta có tập các nghiệm cực tiểu

M(f (Ω), K2) ⊂ M(f (Ω), K1).
Ta cũng có một kết quả tương tự cho tập các điểm cực tiểu yếu.
Bổ đề 1.1.11. Cho K1 và K2 là các nón nhọn sắp thứ tự với phần trong
khác rỗng và K1 ⊂ K2. Khi đó ta có tập các nghiệm cực tiểu yếu
Mw (f (Ω), K2) ⊂ Mw (f (Ω), K1).
Chứng minh. Vì K1 ⊂ K2 nên int(K1) ⊂ int(K2) và vì vậy
Mw (f (Ω), K2) = M(f (Ω), int(K2)) ∪ {0m}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6

⊂ M(f (Ω), int(K1)) ∪ {0m}
= Mw (f (Ω), K1).

Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một khơng gian tuyến tính. Phần trong đại
số của một tập khác rỗng K ⊂ X, hay nhân của K được xác định bởi
¯ > 0 sao cho x¯ + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ]
¯
cor(K) := x¯ ∈ K | với mỗi x ∈ X, ∃λ

Bổ đề 1.1.13. Cho X là một không gian tuyến tính . K là một nón lồi
trong X. Ta có:
(i) cor(K) là một tập lồi,
(ii) Nếu cor(K) = ∅ thì cor(K) ∪ {0X } cũng là một nón lồi,
(iii) Trong trường hợp X = Rm thì int(K) = cor(K).
Chứng minh. (i) Lấy x1, x2 ∈ cor(K) và t ∈ (0, 1).
Theo định nghĩa ta có

¯ > 0 sao cho x1 + λx ∈ K và x2 + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ]
¯
∀x ∈ X, ∃λ
Vì K lồi nên ta có :
¯
tx1 + (1 − t)x2 + λx = t(x1 + λx) + (1 − t)(x2 + λx) ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7

Vậy tx1 + (1 − t)x2 ∈ cor(K) hay cor(K) lồi.

¯ > 0 sao cho
(ii) Lấy x¯ bất kì thuộc cor(K) và µ > 0. Với mỗi x ∈ X có λ
λ
¯
x¯ + x ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ].
µ

Vì K là nón nên ta nhận được :
λ
¯
µ(¯
x + x) = µ¯
x + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ]
µ
Từ đó ta có µx ∈ cor(K) nên cor(K) lồi. Kết hợp với kết quả đã chứng

minh ở (i) ta có (ii).

(iii) Trong trường hợp X = Rm thì dễ dàng ta có int(K) = cor(K).
Định nghĩa 1.1.14. Kí hiệu L(K) là không gian con nhỏ nhất của X
chứa tập K ⊂ X. Khi đó phần trong đại số tương đối được định nghĩa bởi
¯ > 0 sao cho x¯ + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, λ]
¯
icr(K) := x¯ ∈ K | ∀x ∈ L(K), ∃λ
Ví dụ 1.1.15. Ta xét nón sắp thứ tự
K = y ∈ R3 | y1 ≥ 0, y3 = 0 ⊂ R3
Nếu K = R2+ × 0 thì int(K) = ∅ và ta khơng thể xác định nghiệm cực tiểu
yếu. Tuy nhiên

icr(K) = y ∈ R3 | y1 > 0, y2 > 0, y3 = 0
và ta có thể xác định một nghiệm yếu tương ứng với icr(K) ∪ {03}.
¯ là một nghiệm hữu hiệu
Định nghĩa 1.1.16. Cho K = Rm
+ . Một điểm x
chính thường của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) nếu nó là EP −
cực tiểu và nếu có một số thực dương M sao cho với mỗi i ∈ {1, .., m} và

mỗi x ∈ Ω thỏa mãn fi(x) < fi (¯
x), tồn tại ít nhất một j ∈ {1, .., m} sao

cho

fi(¯
x) − fi(x)
≤ M.
fj (x) − fj (¯
x)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8




Dưới đây chúng ta trình bày một số quy tắc tính tốn có lợi sau:
Bổ đề 1.1.17. Cho K là một nón khác rỗng sắp thứ tự, một số α > 0, và
˜ Ω)
˜ ⊂ Rm đã biết. Khi đó:
các tập f (Ω]), f(

(i) E(αf (Ω), K) = αE(f (Ω), K),
˜ K) ⊂ E(f (Ω), K) + E(f˜(Ω),
˜ K),
(ii) E(f (Ω) + f˜(Ω),
(iii) E(f (Ω), K) ⊃ E(f (Ω) + K, K),
(iv) Nếu K là một nón lồi nhọn thì
E(f (Ω), K) = E(f (Ω + K), K).
Chứng minh. (i) Ta có
E(f (Ω), K) := {f (x) | x ∈ M(f (Ω), K)}
⇒ αE(f (Ω), K) = {αf (x) | x ∈ M(f (Ω), K)}
= E(f (Ω), K)
(ii) Lấy
˜ K).
y¯ ∈ E(f (Ω) + f˜(Ω),
˜ Ta sẽ chỉ ra rằng y1 ∈
Khi đó y¯ = y1 + y2 với y1 ∈ f (Ω) và y2 ∈ f˜(Ω).
E(f (Ω, K).

Thật vậy, ta giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại y ∈ f (Ω) và d = 0 sao cho
y1 = y + d. Ta có
y¯ = y1 + y2 = y + y2 + d,
˜ , mâu thuẫn với giả thiết
với y + y2 ∈ f (Ω) + f˜(Ω)
˜ K).
y¯ ∈ E(f (Ω) + f˜(Ω),
˜ K). Từ đó có
Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có y2 ∈ E(f˜(Ω),
˜ K)
y¯ ∈ E(f (Ω), K) + E(f˜(Ω),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9

hay
˜ K) ⊂ E(f (Ω), K) + E(f˜(Ω),
˜ K).
E(f (Ω) + f˜(Ω),
(iii) Việc chứng minh trở nên tầm thường nếu f (Ω) = ∅.
Xét trường hợp f (Ω) = ∅. Giả sử y ∈ E(f (Ω+K), K) nhưng y ∈ E(f (Ω), K).

Nếu y ∈ f (Ω) thì tồn tại y ∈ f (Ω) và d = 0, d ∈ K sao cho y = y + d. Vì
0 ∈ K, f (Ω) ∈ f (Ω + K) suy ra y ∈ (E)(f (Ω + K), K) mâu thuẫn. Nếu

y ∈ f (Ω) hiển nhiên mâu thuẫn.

(iv) Giả sử K là nón lồi nhọn, y ∈ E(f (Ω), K) nhưng y ∈ E(f (Ω + K), K).

Tồn tại y ∈ f (Ω) + K với y − y = d ∈ K \ {0}. Khi đó y = y + d với

y ∈ f (Ω) , d ∈ K. Do đó y = y + d + d và d + d ∈ K ,vì K là nón

lồi. Do K nhọn, d + d = 0 và vì vậy y ∈ E(f (Ω), K), dẫn tới mâu thuẫn.

Bổ đề được chứng minh.

Định lí dưới đây chỉ ra rằng chỉ xét cần biên ∂f (Ω) của tập f (Ω) là đủ
để xác định tất cả các nghiệm cực tiểu.
Định lý 1.1.18. Cho K là một nón khác rỗng sắp thứ tự với K = {0m} .

Khi đó:

E(f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω).
Điều này cũng đúng cho các điểm hữu hiệu yếu.
Định lý 1.1.19. Cho K là một nón nhọn với int(K) = ∅. Khi đó
Ew (f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω).
Chứng minh. Cho y¯ ∈ E(f (Ω), K). Ta giả sử y¯ ∈ f (Ω)\∂f (Ω) = int(f (Ω)).

Khi đó tồn tại δ > 0 và một hình cầu mở B = {y ∈ Rm | y < δ} với

y¯ + B ⊂ f (Ω). Cho k ∈ int(K). Khi đó có một λ < 0 sao cho λk ∈ B và

y¯ + λk ∈ f (Ω). Vì K là một nón nên λk ∈ −int(K) và vì vậy ta có
y¯ + λk ∈ f (Ω) ∩ (¯
y − int(K)).
Điều này mâu thuẫn với y¯ là nghiệm hữu hiệu yếu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên10




Định nghĩa 1.1.20. Cho K là một nón nhọn đóng sắp thứ tự thỏa mãn
int(K) = ∅. Một điểm x¯ ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu địa phương của

bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu

có một lân cận U của x¯ sao cho không tồn tại y ∈ f (Ω ∩ U ) \ f (¯
x) với

f (¯

x) ∈ y + int(K).

Định nghĩa 1.1.21. Cho ∈ Rm với

i

> 0, i = 1, .., m. Một điểm x¯ ∈ Ω

là một nghiệm − EP − cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
nếu không tồn tại x ∈ Ω với
fi(x) +

i

≤ fi (¯
x) ∀i = {1, .., m} ,

và có ít nhất một j ∈ {1, .., m} sao cho
fj (x) +

1.2

< fj (¯
x).

j

Nón đa diện sắp thứ tự

Nón lồi đa diện là một loại nón lồi đặc biệt. Các tính chất của nó có thể

được sử dụng để đơn giản hóa lời giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu.
Định nghĩa 1.2.1. Một tập K ∈ Rm là một nón lồi đa diện nếu K có

thể được biểu diễn bởi:

K = x ∈ Rm | (k¯i) x ≥ 0, i = 1, .., s
với s ∈ N và các vector (k¯i) ∈ Rm , i = 1, .., s.
Định nghĩa 1.2.2. Một tập K ⊂ Rm là một nón lồi hữu hạn sinh nếu có

một bộ vector a1 , a2 , .., as, s ∈ N, chứa trong Rm sao cho K có thể được
mơ tả bởi:

s

K=

m

x∈R |x=

αi ai , i = 1, .., s
i=1

với s ∈ N .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên11




Bổ đề 1.2.3. ([5]) Một nón lồi K là đa diện nếu và chỉ nếu nó là hữu hạn

sinh.
Nếu nón K có thể được biểu diễn dạng
K = x ∈ Rm | (k¯i) x ≥ 0, i = 1, .., s
thì ta có thể nói rằng K được sinh hay được tạo bởi ma trận


¯
1
(k ) 


 . 




¯
K :=  . 




 . 


s
¯
k)
¯ ≥s 0 s .
và ta có K = x ∈ Rm | Kx

¯ và nếu ker(K)
¯ = {0m } thì K là
Nếu nón K là nón sinh bởi ma trận K

nhọn và quan hệ sắp thứ tự là phản xứng . Ví dụ nón nhọn xác định bởi
sắp thứ tự tự nhiên là đa diện sinh bởi ma trận đơn vị m chiều Em .

Công việc tìm điểm K-cực tiểu của bài tốn tới ưu đa mục tiêu tương
¯ ∈ Rs×m , có thể quy về
ứng với nón nhọn sắp thứ tự sinh bởi ma trận K

việc xác định điểm EP -cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
¯ (x)
min Kf
thỏa mãn điều kiện ràng buộc
x∈Ω

với s hàm mục tiêu (k¯1) f (x), (k¯2) f (x), .., (k¯s) f (x).( Xem [] trang 16).
Bổ đề 1.2.4. Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) với nón đa diện sắp
thứ tự K được biểu diễn bởi
¯ ≥s 0 s
K = x ∈ Rm | Kx
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên12




¯ = {0m }. Khi đó
với ¯(K) ∈ Rs×m và ker(K)

¯ ∈ E(Kf
¯ (Ω), Rs )
E(f (Ω), K) = y ∈ f (Ω) | Ky
+
và
¯ (Ω), Rs )
M(f (Ω), K) = M(Kf
+
thỏa mãn
¯ (Ω) := Ky
¯ ∈ Rs | y ∈ f (Ω) .
Kf
Do đó nếu nó sắp thứ tự là đa diện và được cảm sinh bởi ma trận cỡ
s × m, có thể quy bài tốn tìm K-cực tiểu của một bài toán tối ưu đa mục

tiêu với m hàm mục tiêu về bài tốn tìm điểm EP -cực tiểu của bài toán
đa mục tiêu với s tiêu chuẩn. Tuy nhiên nếu s ≥ m bài toán mới lại trở

nên phức tạp hơn.

Ví dụ 1.2.5. Ta xét việc xác định K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu:

với nón sắp thứ tự

ở đây



f (x)

 1 


min f2 (x)
x∈Ω 

f3 (x)









K = y ∈ R3








(1.2)






1 0 1









−1 0 1
 y ≥4 0 4
|



 0 −1 1








0 1 1


K = y ∈ R3 | −y3 ≤ y1 ≤ y3 , −y3 ≤ y2 ≤ y3 , y3 ≥ 0

là một hình chóp với đỉnh chóp là gốc tọa độ.
Theo bổ đề 1.2.4, điểm x¯ ∈ Ω là một nghiệm K-cực tiểu của (1.2) khi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên13




và chỉ khi x¯ ∈ Ω là nghiệm của bài toán:


f (x) + f3(x)

 1


−f1 (x) + f3 (x)
.
min 

x∈Ω 
−f2 (x) + f3 (x)


f2(x) + f3(x)

Trong trường hợp hai mục tiêu, mọi nón sắp thứ tự là hữu hạn sinh.

Ta có:
Bổ đề 1.2.6. Cho K ⊂ R2 là một nón nhọn đóng sắp thứ tự với K = {02 }.
Khi đó K là một đa diện và hoặc có một k ∈ R2 \ {02} sao cho

K = {λk | λ ≥ 0}
hoặc tồn tại l1, l2 ∈ R2 \ {02} , l1, l2 độc lập tuyến tính sao cho
K = y ∈ R2 | l1 ≥ 0, l2 ≥ 0
= y ∈ R2 | y = λ1˜l1 + λ2˜l2, λ1, λ2 ≥ 0 .
Chứng minh. Chúng ta đưa ra cách chứng minh kiến thiết sao cho ta có
thể xác định K và l1, l2 và ˜l1, ˜l2 tương ứng bởi việc giải bài toán tối ưu đơn
giản.
Ta bắt đầu bằng việc giải bài toán:
min ϕ
các điều kiện ràng buộc





cosϕ
 ∈ K,

sinϕ

(1.3)

ϕ ∈ [0, 2π]

với nghiệm cực tiểu ϕ1. Tiếp theo ta giả sử ϕ1 = 0, ta giải
max ϕ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên14

các điều kiện ràng buộc





cosϕ
 ∈ K,

sinϕ

(1.4)

ϕ ∈ [0, 2π]

với nghiệm cực đại ϕ2.
Vì nón K là đóng và khơng tầm thường nên luôn tồn tại nghiệm
của (1.3) và (1.4). Vì nón K là nhọn nên ta có ϕ2 ∈ [ϕ1, ϕ1 + π].
Nếu ϕ1 = ϕ2 thì

K = λk | k = (cosϕ1 , sinϕ1) , λ > 0 .
Nếu ϕ1 = ϕ2 thì do tính lồi của K
K = y ∈ R2 | y = λ(cosϕ, sinϕ) , λ ≥ 0, ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2]
= y ∈ R2 | y = λ1 (cosϕ1 , sinϕ1) + λ2 (cosϕ2, sinϕ2) , λ1 , λ2 ≥ 0
Tương tự ta có thể giải cho trường hợp ϕ1 = 0 và giải bài toán (1) và
(2) tương ứng với ϕ ∈ [π, 3π] thay vì ϕ ∈ [0, 2π].
Ta có l˜1 := (cosϕ1 , sinϕ1) và l˜2 := (cosϕ2 , sinϕ2) với l˜1 , l˜2 độc lập
tuyến tính do tính nhọn của K.
Với các vector l1 , l2 tương ứng trực giao với l1, l2 ta có kết quả sau :

K = {y ∈ R2 | l1 y ≥ 0, l2 y ≥ 0}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên15




Chương 2
Phương pháp vơ hướng hóa
Để xác định nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
min f (x)
các điều kiện ràng buộc
g(x) ∈ C
h(x) = 0q
x∈S
với tập ràng buộc Ω = {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } .

Một trong các phương pháp hay dùng để giải bài tốn (MOP) là phương
pháp vơ hướng hóa. Điều này được thực hiện, chẳng hạn bằng phương
pháp tổng trọng số. Xét bài tốn vơ hướng:
m

min

wifi (x)
i=1

trong đó w ∈ K ∗ \ {0m} với K ∗ là nón đối ngẫu của nón K, tức là
K ∗ = y ∗ ∈ Rm | (y ∗ ) y ≥ 0 với mọi y ∈ K .
Một phương pháp vô hướng hóa khác để tìm EP-cực tiểu là dựa trên cực

tiểu của chỉ một trong m mục tiêu, khi tất cả các mục tiêu cịn lại được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16




đưa vào tập ràng buộc. Phương pháp vơ hướng hóa này gọi là phương pháp
hạn chế và được xác định bởi bài toán:
min fk (x)
điều kiện ràng buộc
fi (x) ≤ , i = {1, .., m}
ở đây, các tham số là các cận trên i , i = {1, .., m} \ {k}, với k ∈ {1, .., m}.
Ngoài ra cịn rất nhiều các phương pháp vơ hướng hóa khác có thể được

tìm thấy. Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tơi quan tâm tới phương
pháp vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini.

2.1

Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini

Pascoletti và Serafini đã đưa bài tốn tối ưu đa mục tiêu trên về bài tốn
vơ hướng hóa chứa tham số a ∈ Rm và r ∈ Rm .
Xét bài toán (SP (a, r)) :

min t
các điều kiện ràng buộc
a + tr − f (x) ∈ K
g(x) ∈ C
h(x) ∈ 0q

t ∈ R, x ∈ S
Bài toán này có tham số phụ thuộc vào tập ràng buộc :
(a, r) := (t, x) ∈ Rn+1 | a + tr − f (x) ∈ K, x ∈ Ω

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên17




Ta giả sử nón K là nón khác rỗng, lồi, đóng, nhọn. Phát biểu của bài tốn
tối ưu vơ hướng dưới dạng này tương ứng với định nghĩa của K-cực tiểu.
Một điểm x¯ ∈ Ω sao cho y¯ = f (¯
x) là K-cực tiểu nếu
(¯
y − K) ∩ f (Ω) = {¯
y} .
(nhìn hình 2.1 với m = 2 và K = R2+ ).

Nếu chúng ra viết lại bài toán (SP(a,r)) như sau:
min t
với điều kiện ràng buộc
f (x) ∈ a + tr − K
x∈Ω
t∈R
Ta thấy rằng để giải bài tốn này nón sắp thứ tự −K đã được chuyển vào
trong hướng −r trên đường thẳng a + tr bắt đầu từ điểm a cho đến khi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên18

(a + tr − K) ∩ f (Ω) giảm dần tới tập rỗng. Giá trị nhỏ nhất t¯ sao cho
(a + t¯r − K) ∩ f (Ø) = ∅ là giá trị cực tiểu của (SP(a,r)).(Xem hình 2.2 với
m = 2 và K = R2+ ).

Bài tốn vơ hướng (SP(a,r)) có mọi tính chất quan trọng cần phải có của
phương pháp vơ hướng hóa xác định nghiệm cực tiểu của (MOP). Nếu
(t¯, x¯) là nghiệm cực tiểu của (SP(a,r)) thì điểm x¯ tối thiểu cũng là nghiệm
yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) và bằng phương pháp thay đổi
tham số (a, r) ∈ Rm × Rm , tất cả các điểm K-cực tiểu của (MOP) có thể

tìm thấy được nghiệm của (SP(a,r)).

2.2

Tính chất của vơ hướng hóa PascolettiSerafini

Ta giả sử K là nón khác rỗng, nhọn, đóng, sắp thứ tự trong Rm .
Định lý 2.2.1. Xét bài tốn tối ưu vơ hướng (SP(a,r)) với int(K) = ∅.
(i) Nếu x¯ là K cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP), thì
(0, x
¯) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham số a := f (¯
x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên19