Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************

VŨ THỊ THANH HẬU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun, năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************
VŨ THỊ THANH HẬU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶

✶✳✷

✶✳✸

✷

✺

❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠✿

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✷

➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷✳✶

❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝

✶✳✷✳✷

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣

✷✳✷

✷✳✸

✶✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷✳✸

P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✹

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✷✳✺

➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✷✳✻

❚Ý♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ ➤å♥❣ ❞➢ ❝đ❛ ❧✉ü t❤õ❛ ❜❐❝ ❧í♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✷✳✼

❚❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

P❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝
✶✳✸✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ư♠✳

✶✳✸✳✷

❚Ý♥❤ ❝❤✃t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ❤ä❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♠❐t ♠➲
✷✳✶

✷

✷✶

◆❣✉②➟♥ t➽❝ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✶✳✶

❍Ö ♠➲ ❈❡❛s❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✶✳✷

❍Ö ▼➲ ❑❤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

▼ét sè ❤Ư ♠➲ ♠ị t❤➠♥❣ ❞ơ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✷✳✶

❍Ư ♠➲ ♠ị ❝đ❛ P♦❤❧✐❣✈➭ ❍❡❧❧♠❛♥

✷✻

✷✳✷✳✷

●✐❛♦ t❤ø❝ tr❛♦ ➤ỉ✐ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❝đ❛ ❉✐❢❢✐❡ ✲ ❍❡❧❧♠❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✷✳✸

❍Ö ♠➲ ❊❧●❛♠❛❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✷✳✹

❍Ö ♠➲ ❘❙❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

P❤➞♥ tÝ❝❤ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✷✳✸✳✶

P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ✈➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ♥ã

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✷✳✸✳✷

P❤➞♥ tÝ❝❤ sư ❞ơ♥❣ ❧✐➟♥ ♣❤➞♥ sè✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✷✳✸✳✸

P❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻

✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤
✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ị
t tỏ ò í trọ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳❚❙❑❍✳
❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐✱ ♥❣➢ê✐ ❚❤➬② ♠➱✉ ♠ù❝ ➤➲ ❣✐➭♥❤ ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥
✈➭ ❝➠♥❣ sø❝ ➤Ĩ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❚r✉♥❣ t➞♠ ➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱
P❤ß♥❣ ➜➵✐ sè✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ tØ♥❤ ◗✉➯♥❣ ◆✐♥❤✱ ❚r✉♥❣ t➞♠ ❍➢í♥❣
♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ●✐➳♦ ❞ơ❝ t❤➢ê♥❣ ①✉②➟♥ tØ♥❤ ◗✉➯♥❣ ◆✐♥❤✱ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉
❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❝➳❝ ●✐➳♦ s➢✱ P❤ã
❣✐➳♦ s➢✱ ❚✐Õ♥ sÜ ❝đ❛ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ✈➭ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝
✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➬② ➤➲ t❐♥ tì
t ọ ề ệ t ợ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤♦➳ ❤ä❝✳ ❚➠✐
❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐
❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳

✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

❚r➢í❝ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠

70

❝đ❛ t❤Õ ❦û ❳❳✱ ❙è ❤ä❝ tờ ợ ột

tr ữ t ọ t t✉ý✱ ❝❤Ø ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ❧ý t❤✉②Õt✳ ➜è✐ t➢ỵ♥❣
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❧➭ ❝➳❝ q✉② ❧✉❐t tr♦♥❣ t❐♣ ❤ỵ♣ sè✱ ❣✐➯ t❤✉②Õt ❧í♥ tå♥ t➵✐
tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝ ❧➭ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✉②Õt sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❤❐♠ ❝❤Ý✱ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t♦➳♥
❤ä❝ ❝❤♦ r➺♥❣ ✈❰ ➤Đ♣ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❝ã ➤➢ỵ❝ ♥❤ê sù ①❛ rê✐ t❤ù❝ t✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥ã✦ ✭t❤❡♦
❝➞✉ ♥ã✐ ❝ñ❛ ●✳❍✳ ❍❛r❞②✱ ❆ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝✐❛♥✬s ❆♣♦❧♦❣②✱ ✶✾✹✵✮✳
◆❣➭② ♥❛②✱ t❤❐t ❦❤ã ➤å♥❣ ý ✈í✐ ❍❛r❞②✱ ❦❤✐ ♠➭ ✈❰ ➤Đ♣ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❦❤➠♥❣
❝❤Ø t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ý ♥❣❤Ü❛ ✧t❤✉➬♥ t✉ý✧ ❝đ❛ ♥ã✱ ♠➭ ❝➯ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣
❜✃t ♥❣ê ✈➭♦ t❤ù❝ t✐Ơ♥✳ ❈➳❝❤ ➤➞② ❦❤♦➯♥❣ ✸✵ ♥➝♠✱ ❦❤ã ❝ã t❤Ĩ ❤×♥❤ ❞✉♥❣ ➤➢ỵ❝
r➺♥❣✱ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧ý t❤✉②Õt sè tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝ ❧➵✐ ❧➭♠ ♥➟♥ ♠ét ❝✉é❝ ❝➳❝❤
♠➵♥❣ tr♦♥❣ ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥✳ ❈➡ së ❝đ❛ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ➤ã ❧➵✐ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❙è
❤ä❝ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝✳
❈ã t❤Ó ♥ã✐✱ ♠❐t ♠➲ ➤➲ ❝ã tõ t❤ê✐ ❝æ ➤➵✐✳ ◆❣➢ê✐ ➤➬✉ t✐➟♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♠❐t ♠➲
♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ư t❤è♥❣ ➤Ĩ ➤➯♠ ❜➯♦ ❜Ý ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥ q✉➞♥ sù ❧➭ ♥❤➭ q✉➞♥ sù
t❤✐➟♥ t➭✐ ❝đ❛ ♥❣➢ê✐ ▲❛ ▼➲ ❝ỉ ➤➵✐✱ ❏✉❧✐✉s ❈❛❡s❛r✳ ❍Ư ♠➲ ❝ỉ ♥❤✃t ❧➭ ❤Ư ♠➲
❈❡❛s❛r✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ♣❤Ð♣ ♠➲ t tế ỗ ý tự t ở ý tự ứ s
ó ị trí ị trí
ữ ♥➝♠ ➤➬✉ t❤Õ ❦û ❳❳ ❤Ư ♠➲ ♠í✐ ❝ã tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t ❝❛♦ ❤➡♥ ➤➢ỵ❝
①✉✃t ❤✐Ư♥ ✈í✐ sù r❛ ➤ê✐ ❝đ❛ ❤Ư ♠➲ ❇r✐t✐s❤ P❧❛②❢❛✐r ♥➝♠ ✶✾✶✵✱ ➤ã ❧➭ ♠➲ ❦❤è✐
t❤➠♥❣ q✉❛ ♣❤Ð♣

t❤❛② t❤Õ

t❤❡♦

❝❤×❛✳

❙♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ q✉➳ tr×♥❤ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝đ❛

❧Þ❝❤ sư ✈➭ ♥❤✉ ❝➬✉ ✈Ị ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥ tr➟♥ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ➤➲ t❤ó❝ ➤➮② ❝➳❝
❤Ư ♠➲ ♠í✐ r❛ ➤ê✐ ❝ã tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t ♥❣➭② ❝➭♥❣ ❝❛♦✱ ♥❤➢ ❤Ư ♠➲ ♠ị ❝đ❛ P♦❤❧✐❣
✈➭ ❍❡❧❧♠❛♥ ✭♥➝♠ ✶✾✼✽✮✱ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ❣✐❛♦ t❤ø❝ tr❛♦ ➤ỉ✐ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❝đ❛ ❉✐❢❢✐❡✲
❍❡❧❧♠❛♥✱ s❛✉ ♥÷❛ ❧➭ ❤Ư ♠➲ ❊❧●❛♠❛❧✳ ▼ét ♥Ðt ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ❤Ư ♠➲ tr➟♥ ❧➭

✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❧❐♣ ♠➲ ❣ä✐ ❧➭

❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✱

♠➲

♠ét ì ệ ể ợ

❜è ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✽✱ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ❍Ö
♠➲ ❘❙❆ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳
▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❝đ❛ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt sè ✈➭♦ ♠❐t ♠➲✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ❘❙❆ ✈➭ ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤

sè ♥❣✉②➟♥ ➤❛♥❣ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ t❤➳♠ ♠➲✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠
trì ế tứ ị ♣❤ơ❝ ✈ơ ❝❤♦ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ♥❤➢ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠
✈Ị t❤✉❐t t♦➳♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➞♥
sè ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ö ♠➲ t❤➠♥❣ ❞ơ♥❣✱
❤Ư ♠➲ ❘❙❆ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ❤ä❝ ✈➭♦ ♠❐t ♠➲ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♥❤➢ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t ♠ë ré♥❣✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✱
♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝đ❛ P♦❧❧❛r❞✳
❚õ ➤ã ✈✐Õt ♠ét sè t❤đ tơ❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè✱ t❤đ tơ❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝❤➵②
tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳

✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t trì ột số ế tứ ị ết ✶✳✶
♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜å♥❣
t❤ê✐ ➤Ĩ t✐Ư♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✷ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò
♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✸ ❧➭ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝
✈Ò ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✳

✶✳✶

❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥

✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠✿

❈ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ♥❤✐Ị✉ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❤✐Ĩ✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♥❤✃t✳

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét q✉✐ t➽❝ ➤Ĩ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ tì ợ ờ
ủ t ợ ét s ột tờ ữ
ể ❤ä❛ ❝➳❝❤ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝ị♥❣ ♥❤➢ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ❝➳❝ ②➟✉ ❝➬✉
➤➷t r❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ơ ❝ơ t❤Ĩ s❛✉✿ ❈❤♦

X[1], X[2], ..., X[n]✳ ❚×♠ m ✈➭ j

s❛♦ ❝❤♦

j

n

sè tù ♥❤✐➟♥

❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿

m = X[j] = max X[k]✳

1≤k≤n
❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ❝➳❝ sè ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ t×♠ ❝❤Ø sè
❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❱× ❝➬♥ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè

✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✱ t❛ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ❣✐➳ trÞ
①❡♠

m = X[n]

tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣

j = n✳

✈➭

X[n]✳

❚r♦♥❣ ❜➢í❝ t❤ø ♥❤✃t t❛ t➵♠ t❤ê✐

X[n]

❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ s♦ s➳♥❤

✈➭

X[n − 1]✳

❚r♦♥❣

n − 1 = 0✱ tø❝ n = 1✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳ ◆Õ✉ X[n − 1] ≤ X[n]✱

t❛ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ s♦ s➳♥❤

X[n]

✈í✐

X[n − 2]✳

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱

X[n − 1] ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ❝ù❝ ➤➵✐ tr♦♥❣ ❤❛✐ sè ➤➲ ①Ðt ✭❤❛✐ sè X[n] ✈➭ X[n − 1]✮✳
❑❤✐ ➤ã t❛ ♣❤➯✐ t❤❛② ➤æ✐

m = X[n − 1] ✈➭ j = n − 1✳ ❱í✐ ❝➳❝❤ ❧➭♠ ♥❤➢ tr➟♥

t❛ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sè ❝ù❝ ➤➵✐ tr♦♥❣ ữ số ét ũ ợ ỉ
số ớ ♥❤✃t

j

tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤Ø sè ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ ➤ã✳ ❇➢í❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ ➤ã ❧➭

s♦ s➳♥❤ ♥ã ✈í✐ sè ➤ø♥❣ ♥❣❛② tr➢í❝ ♥❤÷♥❣ sè ➤➲ ①Ðt✱ ❤♦➷❝ ❦Õt t❤ó❝ tt t
tr trờ ợ ò số ứ trớ ♥ã✳

❇➞② ❣✐ê t❛ ❝ã t❤Ó ❣❤✐ ❧➵✐ t❤✉❐t t♦➳♥ tr➟♥ ♥❤➢ s❛✉

✿

❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐✳

▼✶✳ ✭❇➢í❝ ①✉✃t ♣❤➳t✮✳

➜➷t

▼✷✳ ✭➜➲ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ①♦♥❣❄✮✳
▼✸✳ ✭❙♦ s➳♥❤✮✳

◆Õ✉

▼✹✳ ✭❚❤❛② ➤ỉ✐ m✮✳

j ←− n, k ←− n − 1, m ←− X[n]✳
◆Õ✉

k = 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳

X[k] ≤ m✱ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ▼✺✳
➜➷t

j ←− k, m ←− X[k]

✭t❛ ❤✐Ó✉

m

t➵♠ t❤ê✐ ➤❛♥❣ ❧➭

❝ù❝ ➤➵✐✮✳

▼✺✳ ✭●✐➯♠ k ✮✳

➜➷t

k ←− k − 1✱ q✉❛② ✈Ò ▼✷✳

❚r♦♥❣ ❜➯♥❣ tr
ó é

t ỗ

ù ể ỉ ♠ét ♣❤Ð♣ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣✱

❚r➟♥ ➤➞② t❛ ➤➲ ❣❤✐ ♠ét tt t ữ t

tờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ
tí t ó ột

trì

r tt t ó ữ số ệ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr➢í❝ ❦❤✐ t❤✉❐t t♦➳♥
❜➽t ➤➬✉ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✳ ❚❛ ❣ä✐ ❝❤ó♥❣ ❧➭

➤➬✉ ✈➭♦ ✭✐♥♣✉t✮✳

t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ tr➟♥✱ ➤➬✉ ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ sè
▼ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ❝ã ♥❤✐Ị✉
➤➵✐ tr➟♥✱ ➤➬✉ r❛ ❧➭ ❝➳❝ sè

❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ tr♦♥❣ t❤✉❐t

X[1], X[2], ..., X[n]✳

➤➬✉ r❛ ✭♦✉t♣✉t✮✳

❚r♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝

m ✈➭ j ✳

❈ã t❤Ĩ t❤✃② r➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ♠➠ t➯ tr➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ♥❤÷♥❣ ②➟✉
❝➬✉ ❝đ❛ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ➤ã ❧➭

✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥

✈➭

tÝ♥❤ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝✳




❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝✳ ❑❤✐
t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❣õ♥❣ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✱ t❛ ♣❤➯✐ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ✈✃♥ ➤Ị ➤➷t r❛✳
❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ♠➠ t➯ tr➟♥ ➤➞② rõ r t ề ệ ì ở
ỗ ớ t❛ ❝❤✉②Ĩ♥ ➤➢ỵ❝ tõ ✈✐Ư❝ ①Ðt ♠ét sè s❛♥❣ sè ➤ø♥❣ tr➢í❝ ♥ã✱ ✈➭ sè ❝➳❝
sè ❝➬♥ ①Ðt ❧➭ ❤÷✉

í ị

ỗ ớ tt t ị ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝❤Ø râ

✈✐Ư❝ ❝➬♥ ❧➭♠✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ë tr➟♥ ❝❤Ø r❛ râ r➭♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✐Ư❝ ❝➬♥
❧➭♠ ủ ỗ ớ
ữ ế tố ể tr t ò ♣❤➯✐ ①Ðt ➤Õ♥ tÝ♥❤ ❤✐Ư✉ q✉➯ ❝đ❛ t❤✉❐t
t♦➳♥✳ ❈ã r✃t ♥❤✐Ị✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ✈Ị ♠➷t ❧ý t❤✉②Õt ❧➭ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉
❤➵♥ ❜➢í❝✱ t✉② ♥❤✐➟♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ➤ã ❧➵✐ ✈➢ỵt q✉➳ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❧➭♠ ✈✐Ư❝
❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t ì tế t ò ú ý ế ❣ä✐ ❧➭

t❤✉❐t t♦➳♥✳

➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ➤♦ ❜➺♥❣

❞✉♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❜é ♥❤í

➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥✱

tø❝ ❧➭

❝đ❛ ♠➳② tÝ♥❤ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ✈➭ ➤♦

❜➺♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ tø❝ ❧➭

t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♠➳② tÝ♥❤ ❧➭♠ ✈✐Ö❝✳

❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❦❤✐

♥ã✐ ➤Õ♥ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❤✐Ó✉ ❧➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ t❤ê✐ ❣✐❛♥✳

✶✳✶✳✷ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥
❉Ü ♥❤✐➟♥✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ❝đ❛ ♠➳② tÝ♥❤ ❦❤✐ ❝❤➵② ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ♥➭♦ ➤ã
❦❤➠♥❣ ❝❤Ø ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ♠➭ ❝ß♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ♠➳② tÝ♥❤ sư ❞ơ♥❣
➤Ĩ ❝❤➵② t❤✉❐t t♦➳♥ ➤ã✳ ❱× t❤Õ✱ ➤Ĩ ❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤✉♥❣✱ t❛ sÏ ➤♦ ➤é ♣❤ø❝
t➵♣ ❝ñ❛ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❜➺♥❣ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ♣❤➯✐ ❧➭♠ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t
t♦➳♥✳ ❑❤✐ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❝ï♥❣ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ♣❤➯✐ ❧➭♠ ❦❤✐ t❤ù❝
❤✐Ư♥ ❝ß♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝ì ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✱ tø❝ ❧➭ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉
✈➭♦✳ ❱× t❤Õ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ sÏ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❝đ❛ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉
✈➭♦✳ ❚r♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ❜✐Õt ❝❤Ý♥❤ ①➳❝
❤➭♠ ♥➭②✱ ♠➭ ❝❤Ø ❝➬♥ ❜✐Õt

❝ì

❝đ❛ ❝❤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ ❝➬♥ ❝ã ♠ét ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ➤đ tèt

❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳
✼

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❑❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✱ ♠➳② tÝ♥❤ t❤➢ê♥❣ ❣❤✐ ❝➳❝ ❝❤÷ sè ❜➺♥❣ ♥❤÷♥❣ ❜ã♥❣ ➤❒♥

t➽t✿

❜ã♥❣ ➤❒♥ s➳♥❣ ❝❤Ø sè

❞ï♥❣ ❤Ư ➤Õ♠ ❝➡ sè
❤✐Ư✉ ✵ ✈➭
❞✐Ơ♥ ❜ë✐

1✳

k

2✱

0✳

❜ã♥❣ ➤❒♥ t➽t ❝❤Ø sè

❱× t❤Õ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ♥❤✃t ❧➭

tr♦♥❣ ➤ã ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♠ét sè✱ t ỉ ù í

ột í ệ

ữ số

1

s

0

1

ợ ọ

ột ít

1 ữ số 0 ợ ọ số k ✲❜Ýt✳

♠ô❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ t❤✃② r➺♥❣ sè tù ♥❤✐➟♥

▼ét sè ♥❣✉②➟♥

n

❜✐Ĩ✉

❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ✈➭ ❝➳❝

n sÏ ❧➭ ♠ét sè k ✲❜Ýt ✈í✐ k = [log2 n]

✭❞✃✉ ❬ ❪ ❧➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ♣❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ❝đ❛ ♠ét sè✮✳
➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ ➤♦ ❜➺♥❣ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜Ýt✳

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜Ýt

❧➭ ♠ét ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❧➠❣✐❝ ❤❛② sè ❤ä❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ tr➟♥ ❝➳❝ sè ♠ét ❜Ýt

0 ✈➭ 1

➜Ĩ ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❛ ❞ï♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❜❐❝ ❖✲❧í♥✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✿
●✐➯ sư

f (n)

❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ♥ã✐

f = O(g)



f (n)

g(n)

ị tr t ợ sè ♥❣✉②➟♥

❝ã ❜❐❝ ❖ ❧í♥ ❝đ❛

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè

C > 0✱

g(n)

✈➭ ✈✐Õt

s❛♦ ❝❤♦

n

f (n) = O(g(n))

➤đ ❧í♥✱ ❝➳❝ ❤➭♠

❤♦➷❝

f (n)

✈➭

g(n) ➤Ị✉ ❞➢➡♥❣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ f (n) < C.g(n)✳

❱Ý ❞ơ✿
❈❤♦

f (n) = ai ni + ai−1 ni−1 + . . . + a1 n + a0 ✱

tr♦♥❣ ➤ã

ai > 0✳

❑❤✐ ➤ã

f (n) = O(ni )✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣✿
◆Õ✉

f1 (n) = O(g(n)), f2 (n) = O(g(n)) t❤× f1 (n) + f2 (n) = O(g(n))❀

✈➭ ♥Õ✉

f1 (n) = O(g1 (n)), f2 (n) = O(g1 (n)) t❤× (f1 f2 )(n) = O(g1 g1 (n))✳

❍➡♥ ♥÷❛ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ớ ữ

f (n)
n g(n)
lim

tì

ị ĩ ✷✿
▼ét t❤✉❐t t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ã ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ➤❛ t❤ø❝ ❤♦➷❝ ❝ã t❤ê✐ ❣✐❛♥ ➤❛
t❤ø❝✱ ♥Õ✉ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❝➬♥ t❤✐Õt ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳

O(log d n)✱

tr♦♥❣ ➤ã✱

n

❧➭ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉ ✈➭♦ ✈➭
✽

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

d

❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥➭♦




➤ã✳
◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉ ➤➬✉ ✈➭♦ ❧➭ ❝➳❝ sè
t♦➳♥ ❧➭

k ✲❜Ýt

t❤× t❤ê✐ ❣✐❛♥ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t❤✉❐t

O(k d )✱ tø❝ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ k ✳

❈➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✈í✐ t❤ê✐ ❣✐❛♥

O(nα ), α > 0✱

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✈í✐

➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ♠ị✱ ❤❛② t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♠ị✳ ❈ị♥❣ ❝ã ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã ➤é ♣❤ø❝
t➵♣ tr✉♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐÷❛ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ♠ị✳ ❚❛ t❤➢ê♥❣ ❣ä✐ ➤ã ❧➭

t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ ♠ị✳

❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ➤➢ỵ❝ ❜✐Õt ➤Õ♥ ❤✐Ư♥ ♥❛② ➤Ĩ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét
sè ♥❣✉②➟♥

n r❛ t❤õ❛ sè ❧➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã ➤é ♣❤ø❝ t➵♣

√
❡①♣( lognloglogn)

❑❤✐ ❣✐➯✐ ột t ú t ữ tì r ột tt t
ó ò ố tì r tt t♦➳♥ ✧tèt ♥❤✃t✧✳ ➜➳♥❤ ❣✐➳ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛
t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ➤Ĩ s♦ s➳♥❤✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ✈➭ t×♠ r❛ t❤✉❐t t♦➳♥
tè✐ ➢✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❞✉② ♥❤✃t ➤Ó ➤➳♥❤
❣✐➳ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ❈ã ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ✈Ị ♠➷t ❧ý t❤✉②Õt t❤× ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝❛♦ ❤➡♥
♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❦❤➳❝✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤✐ sư ❞ơ♥❣ ❧➵✐ ❝ã ❤✐Ư✉ q✉➯ ✭❣➬♥ ➤ó♥❣✮ ♥❤❛♥❤
❤➡♥ ♥❤✐Ị✉✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ✱ ♥❤÷♥❣ ♠ơ❝ t✐➟✉
❝ơ t❤Ĩ✱ ✈➭ ❝➯ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♥❣➢ê✐ sư ❞ơ♥❣✳

❚❤✉❐t t♦➳♥ ✧①➳❝ s✉✃t✧✳

❈❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ❧➢✉ ý t❤➟♠ ♠ét ➤✐Ĩ♠ s❛✉ ➤➞②✳ ▼➷❝

❞ï ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ r❛ ❝❤➢❛ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝❤➷t ❝❤Ï✱ ♥ã ✈➱♥
q✉➳ ✧❝ø♥❣ ♥❤➽❝✧ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ tÕ✳ ở ú t ò
ế ữ tt t st tø❝ ❧➭ ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ♠ét
❤❛② ♥❤✐Ị✉ t❤❛♠ sè ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✳ ◆❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥➭② ✈Ị ♥❣✉②➟♥ t
ợ ọ tt t ì ú ó tể ✈í✐ ①➳❝ s✉✃t r✃t ❜Ð✱ ❦❤➠♥❣ ❜❛♦ ❣✐ê
❦Õt t❤ó❝✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✱ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ st tờ
ữ ệ tt t tt ị ❝❤Ý✱ tr♦♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣✱
❝❤Ø ❝ã ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ❑❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉❐t
t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t✱ t❛ t❤➢ê♥❣ ❤❛② ♣❤➯✐ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ sè ✧♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✧✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠
❝❤ä♥ sè ♥❤➱✉ ♥❤✐➟♥ ❝ị♥❣ ợ í ờ tì ờ t sử
ụ ♠ét ✧♠➳②✧ s➯♥ s✉✃t sè ❣✐➯ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♥➭♦ ➤ã✳ ❈ị♥❣ ❝➬♥ ❧➢✉ ý ♥❣❛②

✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




r➺♥❣✱ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t✱ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t✉②Ưt ➤è✐
♠➭ ❝❤Ø ❝ã t❤Ĩ ♥ã✐ ế tờ ọ
ể ì ợ ✧➤é ♣❤ø❝ t➵♣✧ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✭t✃t ➤Þ♥❤ ✈➭
①➳❝ s✉✃t✮ ❦❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ sè ❧í♥✱ t❛ ①❡♠ ❜➯♥❣ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ❦❤♦➯♥❣
t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ĩ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥

n r❛ t❤õ❛ sè ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥

♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ➤➢ỵ❝ ❜✐Õt ❤✐Ư♥ ♥❛② ✭t❛ ①❡♠ ♠➳② tÝ♥❤ sư ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ✈✐Ư❝ ♥➭② ❝ã tè❝
➤é ♠ét tr✐Ư✉ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ✶ ❣✐➞②✮✳

❙è ❝❤÷ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥

❙è ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜✐t

❚❤ê✐ ❣✐❛♥

✺✵

10
✶✱✹✳10

✸✱✾ ❣✐ê

✼✺

12
✾✱✵✳10

✶✵✹ ♥❣➭②

✶✵✵

15
✷✱✸✳10

✼✹ ♥➝♠

✷✵✵

23
✶✱✷✳10

9
✸✱✽✳10 ♥➝♠

✸✵✵

29
✶✱✺✳10

15
✹✱✾✳10
♥➝♠

✺✵✵

39
✶✱✸✳10

25
✹✱✷✳10
♥➝♠

❚õ ❜➯♥❣ tr➟♥ ➤➞② t❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ♥❣❛② ✈í✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ ♠ị✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥
❧➭♠ ✈✐Ư❝ ❝đ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❧➭ q✉➳ ❧➞✉✳ ❱× tế ó ờ t
ố tì ữ tt t♦➳♥ ➤❛ t❤ø❝✳

✶✳✷

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥

✶✳✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
❙è ♥❣✉②➟♥ tè✳
❙è ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
♥❣♦➭✐ ✶ ✈➭ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤➢ỵ❝
❣ä✐ ❧➭ ❤ỵ♣ sè✳
✶✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ sè ❤ä❝

▼ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ➤Ị✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤
tÝ❝❤ ❝➳❝ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ t❤õ❛ sè ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt t❤❡♦ t❤ø tù ❦❤➠♥❣
❣✐➯♠✳

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sư tồ t ữ số ết ợ t tí sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●ä✐

n

❧➭ sè ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤ã✳ ◆❤➢ ✈❐②✱

1 < a✱ b < n ✳

❉♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛

❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭

n

n✱

❝➳❝ sè

n
a

♣❤➯✐ ❧➭ ❤ỵ♣ sè✱
✈➭

b

n = a.b

✈í✐

♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢❛ t❤➭♥❤ tÝ❝❤

❝ị♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯

t❤✐Õt✳ ❱❐② ♠ä✐ sè ➤Ị✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

●✐➯ sư t❛ ❝ã✿

n = p 1 p 2 . . . p s = q1 q2 . . . qr ✱
tr♦♥❣ ➤ã

p1 , p2 , . . . , ps ❀ q1 , q2 , . . . , qr

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●✐➯♥ ➢í❝ ♥❤÷♥❣

sè ♥❣✉②➟♥ tè ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✱ t❛ ➤➢ỵ❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝

pi1 pi2 . . . piu = qj1 qj2 . . . qjv ✱

tr♦♥❣ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➭♦ ❝ã

♠➷t ❝➯ ë ❤❛✐ ✈Õ✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ✈Õ tr➳✐ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦
t❤õ❛ sè ❝đ❛ tÝ❝❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦
♥❣✉②➟♥ tè ❦❤➳❝ ✈í✐

qj1

qj1

qj1

✈➭ ❞♦ ➤ã ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ ♠ét

✿ ➤✐Ò✉ ➤ã ✈➠ ❧ý✱ ✈× ➤➞② ❧➭ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❝➳❝ sè

✳ ❚❛ ❣ä✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭

♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥✳

✶✳✷✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞
▼✶✳ ✭❑Õt t❤ó❝❄✮✳

◆Õ✉

▼✷✳ ✭❈❤✐❛ ❊✉❝❧✐❞✮✳

b = 0✱ ✐♥ r❛ a ✈➭ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥✳

➜➷t

r ←− a mod b✱ a ←− b✱ b ←− r✱ ✈➭ q✉❛② ✈Ị ▼✶✳

❱Ý ❞ơ✿ ❚❛ tÝ♥❤ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✳ ❚❛ ❝ã✿ ❞ ❂ ✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮

❂ ✭✾✷✱✸✹✺✮ ❂ ✭✻✾✱✾✷✮ ❂ ✭✻✾✱✷✸✮ ❂✭✵✱✷✸✮ ❂ ✷✸✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❂ ✷✸

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ♠ë ré♥❣
❈❤♦ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠

u, v
✶✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t×♠

(u1 , u2 , u3 ) s❛♦ ❝❤♦



(u, v) = u3 = uu1 + vu2
❚r♦♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥✱ t❛ t❤➟♠ ✈➭♦ ❝➳❝ ➮♥ ♣❤ô

(v1 , v2 , v3 )✱ (t1 , t2 , t3 )

✈➭ ❧✉➠♥ ❝ã

tr♦♥❣ ♠ä✐ ❜➢í❝ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➞②✿

ut1 + vt2 = t3 ✱ uv1 + vv2 = v3 ✱ uu1 + vu2 = u3
▼✶✳ ✭❳✉✃t ♣❤➳t✮✳

➜➷t

(u1 , u2 , u3 ) ←− (1, 0, u)✱ (v1 , v2 , v3 ) ←− (0, 1, v)✳

▼✷✳ ✭❑✐Ó♠ tr❛ v3 = 0 ❄✮✳
▼✸✳ ✭❈❤✐❛✱ trõ✮✳

➜➷t

◆Õ✉

v3 = 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳

q ←− [ uv33 ]✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ➤➷t

(t1 , t2 , t3 ) ←− (u1 , u2 , u3 ) − q(v1 , v2 , v3 )✱
(u1 , u2 , u3 ) ←− (v1 , v2 , v3 )✱ (v1 , v2 , v3 ) ←− (t1 , t2 , t3 )
✈➭ q✉❛② ✈Ị ❜➢í❝ ▼✷✳

✶✳✷✳✸ P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✿
❱í✐ ♥
✈í✐

∈ N✱

sè ❧➢ỵ♥❣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❜Ð ❤➡♥

n

✈➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉

n ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ϕ(n)

❱Ý ❞ơ✿
ϕ(4) ❂ ✷ ❀

ϕ(5) ❂ ✹ ❀

ϕ(6) ❂ ✷ ❀

ϕ(7) ❂ ✻ ❀

ϕ(8) ❂ ✹

➜Þ♥❤ ❧ý
◆Õ✉

m, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✱ t❤×

ϕ(m, n) = ϕ(m)✳ϕ(n)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❛ ✈✐Õt ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳

m, n t❤➭♥❤ ❜➯♥❣ s❛✉✿

✶

♠✰✶

✷♠✰✶

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✶

✷

♠✰✷

✷♠✰✷

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✷

✸

♠✰✸

✷♠✰✸

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✸

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

♠

♠✰♠

✸♠

✳✳✳

♠✳♥

✶✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sư
●✐➯ sư

r

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳

(m, r) = d > 1✳

tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐

m.n✱

m✳

❑❤✐ ➤ã✱ số tr ò tứ

r



km + r

ỗ tư ❝đ❛ ❞ß♥❣ ➤ã ➤Ị✉ ❝ã ❞➵♥❣

1 ≤ k ≤ n − 1, d|(km + r) ✈× d|m, d|r.
❱❐②✱ ➤Ĩ t×♠ ❝➳❝ sè tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ♠➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐
❝➬♥ ①❡♠ ❞ß♥❣ t❤ø
sè

r

✈í✐

(m, r) = 1✳

m.n✱

t❛ ❝❤Ø

❚❛ ①Ðt ♠ét ❞ß♥❣ ♥❤➢ ✈❐②✱ ♥ã ❝❤ø❛ ❝➳❝

r, m + r, ..., (n − 1)m + r✳ ❱× (r, m) = 1 ỗ số tr ò

ề tố ù ✈í✐
❱❐②✱

n

n✳

sè ♥❣✉②➟♥ tr♦♥❣ ❞ß♥❣ ❧❐♣ t❤➭♥❤ ❤Ư t❤➷♥❣ ❞➢ ➤➬② ➤đ

❉♦ ❝➳❝ sè ➤ã ❝ị♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐
♥❤❛✉ ✈í✐

m

modulo m✳

♥➟♥ ❝❤ó♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣

m.n✱ ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ ϕ(m, n) = ϕ(m)✳ϕ(n)

✶✳✷✳✹ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ trì ồ
ị ĩ é tí ồ
sử

m

✈í✐ ♥❤❛✉
➜Ĩ ❝❤Ø

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ♥ã✐✱ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥

a

✈➭

b

modulo m ♥Õ✉ m ❝❤✐❛ ❤Õt ❤✐Ö✉ a − b

a ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ❜ modulo m t❛ ❦ý ❤✐Ư✉✿

a ≡ b (mod m) ✭ ●ä✐ ❧➭ ➤å♥❣ ❞➢ t❤ø❝✮
◆❤➢ ✈❐②✱
s❛♦ ❝❤♦

a ≡ b (mod m) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ k,

a = b + km

▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ ✿
✶✳

a ≡ a (mod m)

✷✳ ◆Õ✉

✭✶✳✷✳✸✳✶✮

a ≡ b (mod m) t❤× b ≡ a (mod m)

✭✶✳✷✳✸✳✷✮

✸✳ ◆Õ✉

a ≡ b (mod m)
b ≡ c (mod m)

✶✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



❧➭ ➤å♥❣


a ≡ c (mod m)

t❤×
✹✳ ◆Õ✉

✭✶✳✷✳✸✳✸✮

a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)

a ± c ≡ b ± d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m)

t❤×

✭✶✳✷✳✸✳✹✮

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ax ≡ b (mod m)
❑❤✐

gcd(a, m) = 1 t❤× ❝ã ♥❣❛② ♥❣❤✐Ư♠ x ≡ a−1 b (mod m)

❑❤✐

gcd(a, m) = g

t❤× ❝ã ❤❛✐ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ①➯② r❛✿

✭✶✮ ◆Õ✉ g ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤

(a/g)x ≡ (b/g) (mod m/g) ✈➭ (a/g, m/g) = 1 ✭➤➲ ①Ðt ë tr➟♥✮
✭✷✮ ◆Õ✉

g

❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt

b✱ tì trì ệ

ị ý rt ♠ë ré♥❣
➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ❜Ð ✿
◆Õ✉

p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tố ò a ột số tì ap a (mod p)

◆Õ✉

p ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt a t❤× ap−1 ≡ 1 (mod p)

❱Ý ❞ô✿
65 ≡ 6 (mod 5)❀

65−1 ≡ 1 (mod 5)❀

105−1 ≡ 0 (mod 5)

➜Þ♥❤ ❧ý ♠ë ré♥❣ ✭❊✉❧❡r✮
◆Õ✉

gcd(a, m) = 1 t❤× aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
●✐➯ sö

{r1 , r2 , . . . , rϕ(m) }

❧➭ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t

modulo m✳ ❑❤✐ ➤ã {ar1 , ar2 , . . . , arϕ(m) } ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥✿

❱×

(a, m) = 1
(ri , m) = 1,

i = 1, . . . , ϕ(m)

.

⇒ (r1 r2 . . . rϕ(m) , m) = 1
✈➭

ri ≡ rj (mod m)

(i = j) → ari ≡ arj (mod m)

❉♦ ➤ã t❤➷♥❣ ❞➢ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t ❝đ❛ ❤Ư ♥➭② sÏ ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣
s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã t❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t

✶✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✭✶✳✷✳✸✳✹✮✱

{r1 , . . . , rϕ(m) }✱

t❛ ❝ã✿

ar1 .ar2 . . . arϕ(m) ≡ r1 .r2 . . . rϕ(m) (mod m)
◆❤➢ ✈❐②

aϕ(m) .r1 .r2 . . . rϕ(m) ≡ r1 .r2 . . . rϕ(m) (mod m)
❱×

(ri , m) = 1 ♥➟♥ ❝❤✐❛ ✷ ✈Õ ❝đ❛ ➤å♥❣ ❞➢ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦ r1 .r2 . . . r(m)

t ợ

a(m) 1 (mod m)

ị ý ợ ứ r trờ ợ r số tì

(m) = m − 1 ✈➭ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✮

❍Ö q✉➯ ✶✳✷✳✹✳✶
◆Õ✉

gcd(c, m) = 1 ✈➭ a ≡ b (mod ϕ(m)) ✈í✐ a, b ❧➭ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥✱ t❤×

ca ≡ cb (mod m)

❍Ư q✉➯ ✶✳✷✳✹✳✷
◆Õ✉

e, d ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ t❤á❛ ♠➲♥ e.d ≡ 1 (mod ϕ(m)) t❤× ✈í✐ ♠ä✐ sè

c ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ✈í✐ m✱ t❛ ❝ã (ce )d ≡ c (mod m)✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✿

❍Ö q✉➯ ♥➭② ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß t❤❡♥ ❝❤èt tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❝➳❝ ❤Ư ♠➲

♠ị ✈➭ ♠➲ ❘❙❆ ë ❝❤➢➡♥❣ ■■

✶✳✷✳✻ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ ➤å♥❣ ❞➢ ❝đ❛ ❧✉ü t❤õ❛ ❜❐❝ ❧í♥
◆❣♦➭✐ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ❤Ư q✉➯ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❊✉❧❡r ➤Ĩ tÝ♥❤ t♦➳♥ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ß♥ t❤➢ê♥❣
❤❛② sư ❞ơ♥❣ ♥❤✃t ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❧✐➟♥ t✐Õ♣ s❛✉ ➤➞②✳ ➜Ĩ ❤✐Ĩ✉ râ
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❝❤Ø ❝➬♥ ①❡♠ ✈Ý ❞ô s❛✉✿

❱Ý ❞ô✿

❚Ý♥❤

70923 mod 3137

❚❛ ❝ã ✷✸ ❂ ✶✰✷✰✹✰✶✻ ❂

20 + 21 + 22 + 24

7091 (mod 3137) = 709
7092 (mod 3137) = 761
7094 (mod 3137) = 7612 (mod 3137) = 1913
7098 (mod 3137) = 19132 (mod 3137) = 1827
70916 (mod 3137) = 18272 (mod 3137) = 161
❚❛ ❧✃② tÝ❝❤ ❝➳❝ ❧ò② t❤õ❛ ❜❐❝

24 , 22 , 21 , 20 ✭ rót ❣ä♥ t❤❡♦ modulo 3137✮ ✈➭ t❤✉

✶✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯

70923 (mod 3137) = 709.761.1913.161. (mod 3137) = 907

ì ý ệ r
ị ĩ
sè ♥❣✉②➟♥ tè

p✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ a ≤ p ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣

(mod p) ♥Õ✉ ♥❤➢ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ x t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x2 ≡ a (mod p)
❚❛ ❝ã ♥❣✉②➟♥ ❧ý t❤ó ✈Þ s❛✉✿

◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
▼ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ✧♥❣❤✐Ư♠✧ ❝đ❛ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢
❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳

❱Ý ❞ơ

▲✃②

p = 11

t❛ ❝ã

a=4

❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆ã ❝ã ❤❛✐

♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ ✷ ✈➭ ✾✱ tr♦♥❣ ➤ã ✾ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛

32 ≡ 9 (mod 11) ❤♦➷❝ 82 ≡ 9 (mod 11)

❑ý ❤✐Ư✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè

p > 2 ✈➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❜✃t ❦ú a✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

p−1
a
] = a 2 (mod p)
p
❱➭


♥Õ✉ ❛ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p
0
a
L(a, p) := [ ] = 1
♥Õ✉ ❛ ❧➭ ột t ì p
p

1
trờ ợ ò ❧➵✐
❚❛ ❝ã t❤Ĩ ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❦ý ❤✐Ư✉ tr➟♥ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ p ❦❤➠♥❣

L(a, p) := [

❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➢♥❣ ❝❤Ø ①Ðt ♥❤÷♥❣ sè

♣❤➯✐

a tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝đ❛ p✳

❑ý ❤✐Ư✉ ❏❛❝♦❜✐✿
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥
❛ ♥➺♠ tr♦♥❣ t❐♣

n = p1 .p2 . . . pk

t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥

pi , i = 1, k

❀

❝đ❛

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥

n✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

J(a, n) = L(a, p1 )L(a, p2 ) . . . L(a, pk )
◆❤➢ ✈❐② ❦❤✐

n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× J(a, n) = L(a, n)
✶✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✳✸

P❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝

✶✳✸✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠✳
❈❤♦

a✱ b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ b > 0✳ ❚❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ t❛ ➤➢ỵ❝✿
a = ba0 + r0 ,
b = r 0 a1 + r 1 ,

(0 ≤ r0 < b)
(0 ≤ r1 < r0 )

.........
(0 ≤ rn−1 < rn−2 )

rn−3 = rn−2 an−1 + rn−1 ,

rn−2 = rn−1 an ✳
a
❝ã t❤Ó ✈✐Õt
◆❤➢ ✈❐②✱ ♣❤➞♥ sè
b
a
r0
1
1
= a0 + = a0 +
= . . . = a0 +
1
b
b
b
a1 +
1
r0
. . . + an−1 +
an
a
❈➳❝❤ ết tr ợ ọ ể ễ số ữ tû
❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥
b
tơ❝✳
➜Ĩ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ t❛ ❞ï♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt

a
= [a0 ; a1 , . . . , an ]✳
b

P❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝

[a0 ; a1 , . . . , an ] ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ❤÷✉ ❤➵♥✳
❉ï♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✱ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♠ä✐ sè ❤÷✉ tû ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➞♥ sè
❧✐➟♥ tơ❝ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ợ rõ r ỗ số tụ ữ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét sè
❤÷✉ tû✳
●✐➯ sư

x

x 0 = x − a0
ớ ỗ
ó

ột số tự tỳ ý t

a0 = [x]✱

a1 = [

❧➭ ♣❤➬♥ ❧❰ ❝ñ❛ ①✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ➤ã t❛ ➤➷t

i = 1, 2, . . .

✱ ➤➷t

ai = [

1

xi−1

], xi =

♣❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ❝ñ❛ ①✱ ✈➭

1
xi−1

1
1
], x1 =
− a1 ✳
x0
x0

− ai ✳

◆Õ✉ ë ❜➢í❝ t❤ø ✐

xi = 0 t❤× qó❛ tr×♥❤ ❦Õt t❤ó❝ ✭➜✐Ị✉ ♥➭② ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ỉ x số

ữ tỷ ợ t ❝ã

x ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➠ ❤➵♥✿

✶✼

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

x = a0 +

1

a1 +
... +

1
an + . . .

➜Ó t❤✉❐♥ t✐Ư♥✱ t❛ ❝ß♥ ❝ã t❤Ĩ ❞ï♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt s❛✉ ➤➞②✿

x = a0 +

1
1
1
+
+ ... +
+ ...
a1 + a2 +
an +

❈➳❝ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ tr➟♥ ✈í✐ ❝➳❝ sè
♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ➤➡♥ ❣✐➯♥✳ ❑❤✐ ❦❤➠♥❣ ➤ß✐ ❤á✐

ai

♥❣✉②➟♥ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝

ai ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ ♠➭ ❝ã t❤Ó

❧➭ sè t❤ù❝ t✉ú ý✱ t❛ ❞ï♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt

1
1
1
+
+ ... + ✳
a1 + a2 +
an
tô❝ x = [a0 ; a1 , . . . , an , . . .]✱

x = [a0 ; a1 , . . . , an ] = a0 +
❑❤✐ ❝ã ♠ét ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥

❧➭ ❝➳❝ ♣❤➞♥ sè ❤é✐ tô r✐➟♥❣ ✭t❤ø

t❛ ❣ä✐ ❝➳❝ sè s❛✉ ➤➞②

k ✮ ❝ñ❛ x :

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ]✳

✶✳✸✳✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✳✶
●✐➯ sö
➜➷t

a0 , a1 , . . . , an , . . . ❧➭ ❝➳❝ sè t❤ù❝✱ tr♦♥❣ ➤ã a1 , . . . , an > 0✳

b0 = a0 , b1 = a1 b0 + 1, q0 = 1, q1 = a ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ k ≥ 2,

bk = ak bk−1 + bk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 ✳
❑❤✐ ➤ã✿

(i)

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =

(ii)

ớ ỗ

k 1 t ó

bk
qk
bk qk+1 − bk+1 qk = (−1)k+1 ✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✳✷

bk
qk
αk , Qk , Pk

●✐➯ sö ♥ ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭
r✐➟♥❣ ❝ñ❛
s❛✉✿

√

n✳

❚❛ ➤➷t

√
Pk + n
αk =
✱
Qk

α0 =

√

n✱

✈➭ ❝➳❝ số

số ộ tụ
ợ ị ĩ

ak = [αk ]✱

✶✽

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Pk+1 = ak Qk − Pk ,
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

Qk+1

2
n − Pk+1
=
✳
Qk

b2k − nqk2 = (−1)k+1 Qk+1 ✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝

Pk , Qk , ∈ Z∗ , ∀k

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ♠ét ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✱ ë ➤➞② ❧✃②

αi =

1

xi−1

x=

√

n✱

t❛ sÏ ❝ã

, i ≥ 1 ✭✶✳✸✳✷✳✶✮

i = 1 t❛ ❝ã✿
√
√
1
1
a0 + n P 1 + n
1
=
=√
=
=
= α1
x0
x − a0
(n − a20 )
Q1
n − a0

❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐

✭✶✳✸✳✷✳✶✮

i ≥ 1✱ ❦❤✐ ➤ã✿
1
1
1
√
= √
=
=
1
αi − ai .
Pi + n
n − (ai Qi − Pi )
− ai
− ai
xi−1
Qi
Qi
√
√
1
Pi+1 + n
Pi+1 + n
= √
=
=

= αi+1 ✳
2
Qi+1
( n − Pi+1 )
)
(n − Pi+1
Qi
Qi
√
❱❐② ✭✶✳✸✳✷✳✶✮ ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ ✈í✐ i + 1✳ ❙✉② r❛
n = [a0 ; a1 , . . . , αk+1 ]✳
√
αk+1 bk + bk−1
➤Þ♥❤ ❧ý ✭✶✳✸✳✷✳✶✭✐✮✮ t❛ ❝ã
n=
✳
αk+1 qk + qk1

Pk+1 + n
ừ ó ì
k+1 =
t ợ
Qk+1


(Pk+1 + n)bk + Qk+1 bk−1
√
n=
(Pk+1 + n)qk + Qk+1 qk−1
●✐➯ sö

1
=
xi

1

◆❤➢ ✈❐②

➤ó♥❣ ✈í✐

❚❤❡♦

√
√
nqk + (Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 ) n = (Pk+1 bk + Qk+1 bk−1 ) + bk n✳

❚õ ➤ã s✉② r❛

nqk = Pk+1 bk + Qk+1 bk−1 ,
bk = Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 ✱

✶✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




◆❤➞♥ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t ✈í✐

qk ✱

➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ✈í✐

bk

✈➭ trõ ❤❛✐ ➤➻♥❣

t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ❝❤♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø t t ợ

b2k nqk2 = (1)k+1 Qk+1 ị ❧ý ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✮✳

❍Ư q✉➯
●✐➯ sư ♥ ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ●ä✐
r✐➟♥❣ ❝đ❛

√

n✳

❚❤Õ t❤×✱ ➤å♥❣ ❞➢

♥❤✃t✱ ❝ã ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❜Ð ❤➡♥

❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣
❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý

√

●✐➯ sư✱

❧➭ ❝➳❝ ♣❤➞♥ sè ❤é✐ tơ

b2k (mod n) ❧✃② t❤❡♦ t❤➷♥❣ ❞➢ t✉②Öt ➤è✐ ❜Ð
√
2 n✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✿

P0 = 0 <

bk
qk

Pk <

✭✶✳✸✳✷✳✷✮✱

√

√

n, Qk > 0, ∀k ∈ N✳

t❛ s✉② r❛✿

n, Q0 = 1 > 0; P1 = a0 < n, Q1 = n − a20 > 0✳
√
Pk < n, Qk > 0✱ ✈í✐ k ≥ 1✱ ❦❤✐ ➤ã✿

2
n − Pk+1
=
Qk =
Qk+1

√

√
n + Pk+1 √
( n − Pk+1 ) = αk+1 ( n − Pk+1 )
Qk+1

αk > 1, ∀k ∈ N ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ Qk > 0✳
2
n − Pk+1
√
> 0✳
◆➟♥ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ s✉② r❛
Pk+1 < n ✈➭ Qk+1 −
Qk
√
◆❤➢ ✈❐②
Pk < n, Qk >
√ 0, ∀k ∈ N✳
n + Pk
❍➡♥ ♥÷❛ tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ αk =
✱ ❚❛ s✉② r❛✳
Qk

▼➭

Qk < αk .Qk =

√

n + Pk <

√

n+

√

√
n = 2 n, ∀k ∈ N

❇➞② ❣✐ê t❛ sư ❞ơ♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ t❤ø❝

√
|b2k − nqk2 | = Qk+1 < 2 n✳

b2k ≡ b2k − nqk2 (mod n) ✈➭
✭ ❍Ư qđ❛ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✮✳

◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❍Ư q✉➯ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ❝❤♦ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t s✉② ré♥❣ ♥❤ê ♣❤➞♥ sè
❧✐➟♥ tô❝ sÏ ♥ã✐ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ t❤➳♠ ♠➲ ë ❝❤➢➡♥❣ ■■✳

✷✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤➢➡♥❣ ✷
▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ❤ä❝ tr♦♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt ♠❐t ♠➲
✷✳✶

◆❣✉②➟♥ t➽❝ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥

r ụ tt ữ ợ ể s
❜➯♥ ❧➭ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❣è❝ ❝➬♥ ❝❤✉②Ĩ♥✱ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭

P

✳▼➲ ❤♦➳ ❧➭ ✈✐Ư❝ ❝❤✉②Ĩ♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ➤ã t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ♠❐t ♠➲✳
✳❱➝♥ ❜➯♥ ♠❐t ❧➭ ❜➯♥ ➤➲ ♠➲ ❤ã❛ ❝ñ❛ ✈➝♥ ❜➯♥ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭

C✳

✳❈❤×❛ ❦❤♦➳ ❧➭ ❜Ý q✉②Õt ❣✐➯✐ ✈➭
ó ột ề ết sứ tú ị ữ ❤Ư ♠➲ ❤✐Ư♥ ➤➵✐ ❝ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ①❡♠
❧➭ sù ❝➯✐ t✐Õ♥ ❤Ư ♠➲ ❝đ❛ ❈❛❡s❛r✦ ❱× t❤Õ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❜➽t ➤➬✉ ✈✐Ư❝ tr×♥❤ ❜➭② ❤Ư
♠➲ ❈❡❛s❛r ✦

✷✳✶✳✶ ❍Ư ♠➲ ❈❡❛s❛r
◆❣✉②➟♥ ❧ý t❤ù❝ ❤✐Ư♥

❈❡❛s❛r ➤➲ ❝❤✉②Ĩ♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ♠❐t ❜➺♥❣ s rớ t é
t ứ ỗ ữ ❝➳✐ ✈í✐ ♠ét sè✳ ◆❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤✉②Ĩ♥
♠ét ✈➝♥ ❜➯♥ t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤÷ sè✳ ❙❛✉ ó t ộ t ỗ ữ số
ợ ❧➵✐ ♥❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè✱ t❛ ❜✐Õ♥ ❜➯♥❣ ❝❤÷ sè ♠í✐ ♥➭②
✈Ị ❞➵♥❣ ❝❤÷ ✈✐Õt✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ✈➝♥ ❜➯♥ ♠❐t ❝➬♥ ❝❤✉②Ĩ♥✳

✷✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



➜➞②


q trì ó
ợ t t❛ ❣✐➯✐ ♠➲ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❜✐Õ♥ ♥ã t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤÷
sè ♥❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè✱ s❛✉ ➤ã trừ ở ỗ ữ số
ể ó ✈Ị ❞➵♥❣ ❝❤÷ ➤Ĩ ❧➵✐ ❝ã ✈➝♥ ❜➯♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳

❈❤ó ý✿ ❑❤✐ ❝é♥❣ ❤♦➷❝ trõ ➤✐ ✸ ➤➢❛ t❛ ✈➢ỵt q✉➳ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣✱
t❛ t❤❛② sè ➤ã ❜➺♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t

modulo sè ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝đ❛ ❜➯♥❣

t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè ✭❚r♦♥❣ ❜➯♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ t❤× sè ♥➭② ❧➭ ✷✻✮
❙❛✉ ➤➞② t❛ ①Ðt ✈Ý ❞ơ ❝ơ t❤Ĩ ✈í✐ ❝➳❝ ❝❤÷ ❝➳✐ tr♦♥❣ t✐Õ♥❣ ❱✐Ưt✳
❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❧❐♣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝➳❝ ❝❤÷ ❝➳✐ ớ ữ số t s

q

r

s

t

ệ sr ợ ❤×♥❤ t❤➭♥❤ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿

C ≡ P + 3 (mod 29)
❙è ✸ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❛✮

✭✷✳✶✳✶❛✮
❣ä✐ ❧➭

❝❤×❛ ❦❤♦➳

❝đ❛ ♠➲ ❈❡❛s❛r

❈❤➻♥❣ ❤➵♥ ♠✉è♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈➝♥ ❜➯♥

❊♠ ❦✐♥❤ ❝❤❛♦ ❝❛❝ t❤➞② ❝➠ ❛
❚r➢í❝ ❤Õt ♥❤➺♠ ♥➞♥❣ ❝❛♦ tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t✱ t❛ t➳❝❤ t❤➠♥❣ ❜➳♦ t❤➭♥❤ ♥❤ã♠ ✺ ❝❤÷
❝➳✐✳ ◆❤➢ ✈❐② t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❝➬♥ ♠➲ ❤♦➳ ❧➭✿

❡♠❦✐♥ ❤❝❤❛♦ ❝❛❝t❤ ➞②❝➠❛
❚❛ ❝❤✉②Ó♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ s❛♥❣ ❞➵♥❣ ❝❤÷ sè✿

8 15 13 12 16 11 5 11 1 17 5 1 5 24 11 3 29 5 18 1
ụ



ữ số tr ợ ể t

11 18 16 15 19 14 8 14 4 20 8 4 8 27 14 6 3 8 21 4
❚❛ ❧➵✐ ❝❤✉②Ó♥ ✈Ị ❞➵♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐✱ t❛ ❝ã ✈➝♥ ❜➯♥ ♠❐t✳

❤➠♥♠➡

❧❡❧❜♣

❡❜❡✈❧

❞➞❡q❜
✷✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❚❛ ❝ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ ❧❐♣ ♠ét ❤Ư ♠➲ ♠í✐ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛② sè ✸ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❛✮

❜➺♥❣ ♠ét sè

k

t✉ú ý ❦❤➳❝ ❣✐÷❛ ✶ ✈➭ ✷✾✳

C ≡ P + k (mod 29)

✭✷✳✶✳✶❜✮

❚❛ ❝ã t❤Ĩ ❧❐♣ ♠➲ tỉ♥❣ q✉➳t ❤➡♥ ❝❤ót Ýt ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛② ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❜✮

❜ë✐

❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿

C ≡ aP + b (mod 29)
❚r♦♥❣ ➤ã

✭✷✳✶✳✶❝✮

a, b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➺♠ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ (1; 29) ✈➭ (a, 29) = 1✳

◆❤÷♥❣ ♠➲ ♥❤➢ ✈❐② ❣ä✐ ❧➭

♠➲ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❛❢✐♥✳

❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ trì ồ

ệ ợ tế



P a1 (C − b) (mod 29) ✱ ❦❤✐ ➤➲ ❜✐Õt C, a, b

❱Ý ❞ô ✭❚❤ù❝ ❤➭♥❤ tr➟♥ ▼❛♣❧❡ ✮
[❃

❜❛♥❣❦②t✉s♦ ✿❂ ❬✧❛✧ ❂ ✶✱ ✧❜✧ ❂ ✷✱ ✧❝✧ ❂ ✸✱ ✧❞✧ ❂ ✹✱ ✧❡✧ ❂ ✺✱ ✧❢✧ ❂ ✻✱ ✧❣✧ ❂

✼✱ ✧❤✧ ❂ ✽✱ ✧✐✧ ❂ ✾✱ ✧❦✧ ❂ ✶✵✱ ✧❧✧ ❂ ✶✶✱ ✧♠✧ ❂ ✶✷✱ ✧♥✧ ❂ ✶✸✱ ✧♦✧ ❂ ✶✹✱ ✧❥✧ ❂
✶✺✱ ✧♣✧ ❂ ✶✻✱ ✧q✧ ❂ ✶✼✱ ✧r✧ ❂ ✶✽✱ ✧s✧ ❂ ✶✾✱ ✧t✧ ❂ ✷✵✱ ✧✉✧ ❂ ✷✶✱ ✧✈✧ ❂ ✷✷✱ ✧①✧

❂ ✷✸✱ ✧②✧ ❂ ✷✹✱ ✧③✧ ❂ ✷✺✱ ✧✇✧ ❂ ✷✻✱ ✧ ✧ ❂ ✷✼✱ ✧✱✧ ❂ ✷✽✱ ✧✲✧ ❂ ✵❪✿

[❃ ❜❛♥❣s♦❦②t✉ ✿❂ ✧✲❛❜❝❞❡❢❣❤✐❦❧♠♥♦❥♣qrst✉✈①②③✇ ✱✧✿
[❃ ♥ ✿❂ ♥♦♣s✭❜❛♥❣❦②t✉s♦✮✿
[❃ ❛ ✿❂ ✷✸✿ ❜ ✿❂ ✽✿
[❃ ✐s✭❣❝❞✭❛✱ ♥✮ ❂ ✶✮❀
tr✉❡
❚❛ ❝ã✿

[ ❞❛②❦t♠❛❀
❞❛②❦t♠❛✿❂✧❣①t❢♠qrtsr❜❧ts❜st❞r❜✐ts❧t❜✧
●✐➯✐ ♠➲ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❝✮

❝❤ä♥ ❝➷♣ ✭❛✱❜✮✳

[❃ ✈❜♠❛ ✿❂ ✧❣①t❢♠qrtsr❜❧ts❜st❞r❜✐ts❧t❜✧✿
[❃ ▲ ✿❂ ❧❡♥❣t❤✭✈❜♠❛✮❀
✷✻

[❃ ❞❛②✈❜♠❛ ✿❂ ❬s❡q✭✈❜♠❛❬✐❪✱ ✐ ❂ ✶ ✳✳ ❧❡♥❣t❤✭✈❜♠❛✮✮❪❀
❞❛②✈❜♠❛ ✿❂❬✧❣✧✱ ✧①✧✱ ✧t✧✱ ✧❢✧✱ ✧♠✧✱ ✧q✧✱ ✧r✧✱ ✧t✧✱ ✧s✧✱ ✧r✧✱ ✧❜✧✱ ✧❧✧✱

✷✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên