Tải bản đầy đủ (.pdf) (48 trang)

Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã .pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (591.45 KB, 48 trang )


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************





VŨ THỊ THANH HẬU




MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************


VŨ THỊ THANH HẬU



MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC






Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái




Thái Nguyên, năm 2009


ụ ụ
ờ ó
ột số ế tứ
t t ộ ứ t ủ tt t

ộ ứ t ủ tt t
Pé tí ồ ề q
ố tố ị ý ủ số ọ
t t ở rộ
P r
Pé tí ồ trì ồ
ị ý rt ở rộ
í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ
ì ý ệ r
P số tụ

í t
ột số ứ ụ ủ số ọ tr ý tết t
t ột số ệ
ệ sr
ệ ố
ột số ệ ũ t ụ

ệ ũ ủ P
tứ tr ổ ì ủ


P tí r từ số tố
P tí rt ở rộ ủ ó
P tí sử ụ số
P tí ù ủ Pr
ệ t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ợ t ớ sự ớ t tì
ủ ị
t tỏ ò í trọ ết s s tớ
ờ ự ề tờ
sứ ể ớ t t
t r t t s ọ
Pò số rờ ọ ọ ọ
ở ụ t tỉ r t ớ
ệ ụ tờ tỉ t ề
ệ t ợ ể t t
ị t tỏ ò ết tớ s Pó
s ế sĩ ủ ệ ọ rờ ọ ọ
ọ ữ ờ t t tì
t ọ ề ệ t ợ t t ọ
ũ ì ộ ú ỡ t
tr sốt q trì ọ t t rờ ọ ọ



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ờ ó
rớ ữ 70 ủ tế ỷ ố ọ tờ ợ ột
tr ữ t ọ t tý ỉ ó ý ĩ ý tết ố tợ
ứ ủ ố ọ q t tr t ợ số tết ớ tồ t
tr ố ọ tết số tố í ó ữ t
ọ r ẹ ủ ố ọ ó ợ ờ sự rờ tự tễ ủ ó t
ó ủ r tts
tt ó ồ ý ớ r ẹ ủ ố ọ
ỉ tể ệ tr ý ĩ t tý ủ ó tr ữ ứ ụ
t ờ tự tễ ó ó tể ì ợ
r ột số ết q ý tết số tr ố ọ ột ộ
tr t t t sở ủ ữ ứ ụ ó í ố
ọ tt t ĩ ự ứ tt t tr ố ọ
ó tể ó t ó từ tờ ổ ờ t ụ t
ột ó ệ tố ể í t t t q sự q sự
t t ủ ờ ổ s sr ệ ổ t ệ
sr t q é t tế ỗ ý tự t ở ý tự ứ s
ó ị trí ị trí
ữ tế ỷ ệ ớ ó tí t ợ
t ệ ớ sự r ờ ủ ệ rts Pr ó ố
t q é t tế t ì s ớ q trì t trể ủ
ị sử ề t t t tr ề ĩ ự tú
ệ ớ r ờ ó tí t ệ ũ ủ P
tế t tứ tr ổ ì ủ
s ữ ệ ột ét ủ ệ tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❧❐♣ ♠➲ ❣ä✐ ❧➭ ♠➲
❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✱ ♠ét ♠➠ ❤×♥❤ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ❝❤♦ ❤Ö ♠➲ ❦✐Ó✉ ♥➭② ➤➢î❝

❝➠♥❣ ❜è ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✽✱ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ❍Ö
♠➲ ❘❙❆ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❝ñ❛ ✈✐Ö❝ ➳♣ ❞ô♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt sè ✈➭♦ ♠❐t ♠➲✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ❘❙❆ ✈➭ ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤
sè ♥❣✉②➟♥ ➤❛♥❣ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ t❤➳♠ ♠➲✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣
■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ♥❤➢ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➞♥
sè ❧✐➟♥ tô❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ö ♠➲ t❤➠♥❣ ❞ô♥❣✱
❤Ö ♠➲ ❘❙❆ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝ ✈➭♦ ♠❐t ♠➲ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♥❤➢ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t ♠ë ré♥❣✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sö ❞ô♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✱
♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞✳
❚õ ➤ã ✈✐Õt ♠ét sè t❤ñ tô❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè✱ t❤ñ tô❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝❤➵②
tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚✐Õt ✶✳✶
♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜å♥❣
t❤ê✐ ➤Ó t✐Ö♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✷ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò
♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✸ ❧➭ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝
✈Ò ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✳
✶✳✶ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥
✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠✿
❈ã t❤Ó ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ♥❤✐Ò✉ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❤✐Ó✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♥❤✃t✳
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét q✉✐ t➽❝ ➤Ó ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➲ ❝❤♦✱ t×♠ ➤➢î❝ ❧ê✐
❣✐➯✐ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ①Ðt s❛✉ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥✳
➜Ó ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝➳❝❤ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ t×♠ ❤✐Ó✉ ❝➳❝ ②➟✉ ❝➬✉
➤➷t r❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó s❛✉✿ ❈❤♦ n sè tù ♥❤✐➟♥

X[1], X[2], ..., X[n]✳ ❚×♠ m ✈➭ j s❛♦ ❝❤♦ j ❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿
m = X[j] = max
1≤k≤n
X[k]✳
❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ t×♠ ❝❤Ø sè
❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❱× ❝➬♥ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t ự t t t từ trị X[n] r ớ tứ t t t tờ
m = X[n] j = n ế t t s s X[n] X[n 1] r
trờ ợ n 1 = 0 tứ n = 1 tt t ết tú ế X[n 1] X[n]
t ể s s s X[n] ớ X[n 2] r trờ ợ ợ
X[n 1] í số ự tr số ét số X[n] X[n 1]
ó t t ổ m = X[n 1] j = n 1 ớ tr
t ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉ
số ớ t j tr ỉ số ủ số t ự ó ớ tế t ó
s s ó ớ số ứ trớ ữ số ét ết tú tt t
tr trờ ợ ò số ứ trớ ó
ờ t ó tể tt t tr s
t t tì ự
ớ t t t j n, k n 1, m X[n]
ể tr ế k = 0 tt t ết tú
s ế X[k] m ể s
ổ m t j k, m X[k] t ể m t tờ

k t k k 1 q ề
r tr ù ể ỉ ột é t q trọ
ó é t ỗ r t ột tt t ữ t
tờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ
tí t ó ột trì

r tt t ó ữ số ệ ợ trớ tt t
t ệ ọ ú t tr tt
t tì ự tr í số X[1], X[2], ..., X[n]
ột tt t ó tể ó ề r tt r tt t tì ự
tr r số m j
ó tể t r tt t tì ự t tr t ữ
ủ ột tt t ó ó tí ữ tí í

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
í ữ t t ết tú s ột số ữ ớ
tt t ừ ệ t t ợ tr ờ ề t r
t t tì ự t tr rõ r t ề ệ ì ở
ỗ ớ t ể ợ từ ệ ét ột số s số ứ trớ ó số
số ét ữ
í ị ỗ ớ tt t ị ĩ ỉ rõ
ệ t t tì ự ở tr ỉ r rõ r ữ ệ
ủ ỗ ớ
ữ ế tố ể tr t ò ét ế tí ệ q ủ tt
t ó rt ề tt t ề t ý tết ết tú s ột số ữ
ớ t tờ ệ ó ợt q ệ
ủ ú t ì tế t ò ú ý ế ọ ộ ứ t ủ
tt t ộ ứ t ủ tt t ó tể tứ
ợ ộ ớ ủ tí tết ể tự ệ tt t
tờ tứ tờ tí ệ r
ó ế ộ ứ t ủ tt t t ể ộ ứ t tờ
ộ ứ t ủ tt t
ĩ tờ ệ ủ tí ột tt t ó
ỉ ụ tộ tt t ò ụ tộ tí sử ụ
ể tt t ó ì tế ể ó ột t t sẽ ộ ứ
t ủ ột tt t số é tí tự ệ tt

t tế ù ột tt t số é tí tự
ệ ò ụ tộ ỡ ủ t tứ ụ tộ ộ ớ ủ
ì tế ộ ứ t ủ tt t sẽ ột số ủ ộ ớ ủ
r ữ ứ ụ tự tễ ú t ết í
ỉ ết ỡ ủ ú tứ ó ột ớ ợ ủ tốt
ủ ú

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ệ tí tờ ữ số ữ ó s
tt ó s ỉ số 1 ó tt ỉ số 0 ì tế t tệ t
ù ệ ế số 2 tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù í
ệ 1 ột í ệ 0 1 ợ ọ ột ít ột số n ể
ễ ở k ữ số 1 ữ số 0 ợ ọ số kít r ụ
ụ tế t t sẽ t r số tự n sẽ ột số kít ớ k = [log
2
n]
í ệ ủ ột số
ộ ứ t ủ tt t ợ số é tí ít
Pé tí ít ột é tí số ọ tự ệ tr số ột ít
0 1
ể ớ ợ ộ ứ t ủ tt t t ù ệ ớ
ị ĩ
sử f(n) g(n) ị tr t ợ số
ó f(n) ó ớ ủ g(n) ết f(n) = O(g(n))
f = O(g) ế tồ t ột số C > 0 s n ủ ớ f(n)
g(n) ề ồ tờ f(n) < C.g(n)
í ụ
f(n) = a
i
n

i
+ a
i1
n
i1
+ . . . + a
1
n + a
0
tr ó a
i
> 0 ó
f(n) = O(n
i
) ú t ó tể ể tr ợ r
ế f
1
(n) = O(g(n)), f
2
(n) = O(g(n)) tì f
1
(n) + f
2
(n) = O(g(n))
ế f
1
(n) = O(g
1
(n)), f
2

(n) = O(g
1
(n)) tì (f
1
f
2
)(n) = O(g
1
g
1
(n))
ữ ế tồ t ớ ữ
lim
n
f(n)
g(n)

ị ĩ
ột tt t ợ ọ ó ộ ứ t tứ ó tờ
tứ ế số é tí tết tự ệ tt t ợt q
O(log
d
n) tr ó n ộ ớ ủ d số

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ó
ó ế số kít tì tờ tự ệ tt
t O(k
d
) tứ t ớ ột tứ ủ k

tt t ớ tờ O(n

), > 0 ợ ọ tt t ớ
ộ ứ t ũ tờ ũ ũ ó ữ tt t ó ộ ứ
t tr ữ tứ ũ tờ ọ ó tt t ớ ũ
tt t t ợ ết ế ệ ể tí ột
số n r từ số tt t ó ộ ứ t
(

lognloglogn)
ột t ú t ữ tì r ột tt t
ó ò ố tì r tt t tốt t ộ ứ t ủ
tt t ột tr ữ ể s s tí tì r tt t
tố ộ ứ t t t ể
tt t ó ữ tt t ề t ý tết tì ộ ứ t
ột tt t sử ụ ó ệ q ú
ề ề ụ tộ ữ t ụ tể ữ ụ t
ụ tể ệ ủ ờ sử ụ
t t st ú t ý t ột ể s
ù ị ĩ tt t ú t r t ẽ ó
q ứ tr ữ ứ ụ tự tế ở ú t ò
ế ữ tt t st tứ ữ tt t ụ tộ ột
ề t số ữ tt t ề t
ợ ọ tt t ì ú ó tể ớ st rt é ờ
ết tú tự ệ ỉ r r tt t st tờ
ữ ệ tt t tt ị í tr rt ề trờ ợ
ỉ ó tt t st sử ụ ợ ệ ớ tt
t st t tờ sử ụ số ệ
ọ số ũ ợ í ờ tì ờ t sử
ụ ột s st số ó ũ ý


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
r➺♥❣✱ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t✱ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t✉②Öt ➤è✐
♠➭ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤② ✈ä♥❣✳
➜Ó ❤×♥❤ ❞✉♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➬♥ ♥➭♦ ✧➤é ♣❤ø❝ t➵♣✧ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✭t✃t ➤Þ♥❤ ✈➭
①➳❝ s✉✃t✮ ❦❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ sè ❧í♥✱ t❛ ①❡♠ ❜➯♥❣ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ❦❤♦➯♥❣
t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ n r❛ t❤õ❛ sè ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥
♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ➤➢î❝ ❜✐Õt ❤✐Ö♥ ♥❛② ✭t❛ ①❡♠ ♠➳② tÝ♥❤ sö ❞ô♥❣ ✈➭♦ ✈✐Ö❝ ♥➭② ❝ã tè❝
➤é ♠ét tr✐Ö✉ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ✶ ❣✐➞②✮✳
❙è ❝❤÷ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❙è ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜✐t ❚❤ê✐ ❣✐❛♥
✺✵ ✶✱✹✳10
10
✸✱✾ ❣✐ê
✼✺ ✾✱✵✳10
12
✶✵✹ ♥❣➭②
✶✵✵ ✷✱✸✳10
15
✼✹ ♥➝♠
✷✵✵ ✶✱✷✳10
23
✸✱✽✳10
9
♥➝♠
✸✵✵ ✶✱✺✳10
29
✹✱✾✳10
15
♥➝♠
✺✵✵ ✶✱✸✳10

39
✹✱✷✳10
25
♥➝♠
❚õ ❜➯♥❣ tr➟♥ ➤➞② t❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ♥❣❛② ✈í✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ ♠ò✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥
❧➭♠ ✈✐Ö❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❧➭ q✉➳ ❧➞✉✳ ❱× t❤Õ✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ♥❣➢ê✐ t❛ ❧✉➠♥
❝è ❣➽♥❣ t×♠ ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤❛ t❤ø❝✳
✶✳✷ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥
✶✳✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
❙è ♥❣✉②➟♥ tè✳
❙è ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
♥❣♦➭✐ ✶ ✈➭ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❤î♣ sè✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
▼ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤
tÝ❝❤ ❝➳❝ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ t❤õ❛ sè ➤➢î❝ ✈✐Õt t❤❡♦ t❤ø tù ❦❤➠♥❣
❣✐➯♠✳
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ sè ❦❤➠♥❣ ✈✐Õt ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●ä✐
n ❧➭ sè ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤ã✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ n ♣❤➯✐ ❧➭ ❤î♣ sè✱ n = a.b ✈í✐
1 < a✱ b < n✳ ❉♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ n✱ ❝➳❝ sè a ✈➭ b ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢❛ t❤➭♥❤ tÝ❝❤
❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ n ❝ò♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯
t❤✐Õt✳ ❱❐② ♠ä✐ sè ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ●✐➯ sö t❛ ❝ã✿
n = p
1
p
2

. . . p
s
= q
1
q
2
. . . q
r

tr♦♥❣ ➤ã p
1
, p
2
, . . . , p
s
❀ q
1
, q
2
, . . . , q
r
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●✐➯♥ ➢í❝ ♥❤÷♥❣
sè ♥❣✉②➟♥ tè ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✱ t❛ ➤➢î❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝
p
i
1
p
i
2
. . . p

i
u
= q
j
1
q
j
2
. . . q
j
v
✱ tr♦♥❣ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➭♦ ❝ã
♠➷t ❝➯ ë ❤❛✐ ✈Õ✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ✈Õ tr➳✐ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ q
j
1
✈➭ ❞♦ ➤ã ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ ♠ét
t❤õ❛ sè ❝ñ❛ tÝ❝❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ q
j
1
✿ ➤✐Ò✉ ➤ã ✈➠ ❧ý✱ ✈× ➤➞② ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè
♥❣✉②➟♥ tè ❦❤➳❝ ✈í✐ q
j
1
✳ ❚❛ ❣ä✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭
♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥✳
✶✳✷✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞
▼✶✳ ✭❑Õt t❤ó❝❄✮✳ ◆Õ✉ b = 0✱ ✐♥ r❛ a ✈➭ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥✳
▼✷✳ ✭❈❤✐❛ ❊✉❝❧✐❞✮✳ ➜➷t r ←− a mod b✱ a ←− b✱ b ←− r✱ ✈➭ q✉❛② ✈Ò ▼✶✳
❱Ý ❞ô✿ ❚❛ tÝ♥❤ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✳ ❚❛ ❝ã✿ ❞ ❂ ✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮

❂ ✭✾✷✱✸✹✺✮ ❂ ✭✻✾✱✾✷✮ ❂ ✭✻✾✱✷✸✮ ❂✭✵✱✷✸✮ ❂ ✷✸✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❂ ✷✸
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ♠ë ré♥❣
❈❤♦ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ u, v t×♠ (u
1
, u
2
, u
3
) s❛♦ ❝❤♦
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(u, v) = u
3
= uu
1
+ vu
2
❚r♦♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥✱ t❛ t❤➟♠ ✈➭♦ ❝➳❝ ➮♥ ♣❤ô (v
1
, v
2
, v
3
)✱ (t
1
, t
2
, t
3
) ✈➭ ❧✉➠♥ ❝ã

tr♦♥❣ ♠ä✐ ❜➢í❝ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➞②✿
ut
1
+ vt
2
= t
3
✱ uv
1
+ vv
2
= v
3
✱ uu
1
+ vu
2
= u
3
▼✶✳ ✭❳✉✃t ♣❤➳t✮✳ ➜➷t (u
1
, u
2
, u
3
) ←− (1, 0, u)✱ (v
1
, v
2
, v

3
) ←− (0, 1, v)✳
▼✷✳ ✭❑✐Ó♠ tr❛ v
3
= 0 ❄✮✳ ◆Õ✉ v
3
= 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳
▼✸✳ ✭❈❤✐❛✱ trõ✮✳ ➜➷t q ←− [
u
3
v
3
]✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ➤➷t
(t
1
, t
2
, t
3
) ←− (u
1
, u
2
, u
3
) − q(v
1
, v
2
, v

3
)✱
(u
1
, u
2
, u
3
) ←− (v
1
, v
2
, v
3
)✱ (v
1
, v
2
, v
3
) ←− (t
1
, t
2
, t
3
)
✈➭ q✉❛② ✈Ò ❜➢í❝ ▼✷✳
✶✳✷✳✸ P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✿

❱í✐ ♥ ∈ N✱ sè ❧➢î♥❣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❜Ð ❤➡♥ n ✈➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉
✈í✐ n ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ϕ(n)
❱Ý ❞ô✿
ϕ(4) ❂ ✷ ❀ ϕ(5) ❂ ✹ ❀ ϕ(6) ❂ ✷ ❀ ϕ(7) ❂ ✻ ❀ ϕ(8) ❂ ✹
➜Þ♥❤ ❧ý
◆Õ✉ m, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✱ t❤×
ϕ(m, n) = ϕ(m)✳ϕ(n)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❛ ✈✐Õt ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈➢ît q✉➳ m, n t❤➭♥❤ ❜➯♥❣ s❛✉✿
✶ ♠✰✶ ✷♠✰✶ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✶
✷ ♠✰✷ ✷♠✰✷ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✷
✸ ♠✰✸ ✷♠✰✸ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✸
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
♠ ♠✰♠ ✸♠ ✳✳✳ ♠✳♥
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ sử r ột số ợt q m
sử (m, r) = d > 1 ó số tr ò tứ r
tố ù ớ m.n ỗ tử ủ ò ó ề ó km + r
1 k n 1, d|(km + r) ì d|m, d|r.
ể tì số tr tố ù ớ m.n t ỉ
ò tứ r ớ (m, r) = 1 ét ột ò ó ứ
số r, m + r, ..., (n 1)m + r ì (r, m) = 1 ỗ số tr ò
ề tố ù ớ n
n số tr ò t ệ t ủ modulo m
số ó ũ tố ù ớ m ú tố ù
ớ m.n t s r (m, n) = (m)(n)
Pé tí ồ trì ồ
ị ĩ é tí ồ
sử m ột số ó số a b ồ

ớ modulo m ế m ết ệ a b
ể ỉ a ồ ớ modulo m t ý ệ
a b (mod m) ọ ồ tứ
a b (mod m) ỉ tồ t số k,
s a = b + km
ột số tí t ủ ồ
a a (mod m)
ế a b (mod m) tì b a (mod m)
ế

a b (mod m)
b c (mod m)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
t❤× a ≡ c (mod m) ✭✶✳✷✳✸✳✸✮
✹✳ ◆Õ✉ a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)
t❤× a ± c ≡ b ± d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m) ✭✶✳✷✳✸✳✹✮
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ax ≡ b (mod m)
❑❤✐ gcd(a, m) = 1 t❤× ❝ã ♥❣❛② ♥❣❤✐Ö♠ x ≡ a
−1
b (mod m)
❑❤✐ gcd(a, m) = g t❤× ❝ã ❤❛✐ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ①➯② r❛✿
✭✶✮ ◆Õ✉ g ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ (a/g)x ≡ (b/g) (mod m/g) ✈➭ (a/g, m/g) = 1 ✭➤➲ ①Ðt ë tr➟♥✮
✭✷✮ ◆Õ✉ g ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➠ ♥❣❤✐Ö♠✳
✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣
➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ❜Ð ✿
◆Õ✉ p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥ a ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ t❤× a
p
≡ a (mod p)

◆Õ✉ p ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt a t❤× a
p−1
≡ 1 (mod p)
❱Ý ❞ô✿
6
5
≡ 6 (mod 5)❀ 6
5−1
≡ 1 (mod 5)❀ 10
5−1
≡ 0 (mod 5)
➜Þ♥❤ ❧ý ♠ë ré♥❣ ✭❊✉❧❡r✮
◆Õ✉ gcd(a, m) = 1 t❤× a
ϕ(m)
≡ 1 (mod m)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
●✐➯ sö {r
1
, r
2
, . . . , r
ϕ(m)
} ❧➭ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t
modulo m✳ ❑❤✐ ➤ã {ar
1
, ar
2
, . . . , ar
ϕ(m)
} ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥✿

❱×

(a, m) = 1
(r
i
, m) = 1, i = 1, . . . , ϕ(m)
.
⇒ (r
1
r
2
. . . r
ϕ(m)
, m) = 1
✈➭ r
i
≡ r
j
(mod m) (i = j) → ar
i
≡ ar
j
(mod m)
❉♦ ➤ã t❤➷♥❣ ❞➢ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö ♥➭② sÏ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ {r
1
, . . . , r
ϕ(m)
}✱
s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã t❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✶✳✷✳✸✳✹✮✱ t❛ ❝ã✿
✶✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ar
1
.ar
2
. . . ar
(m)
r
1
.r
2
. . . r
(m)
(mod m)

a
(m)
.r
1
.r
2
. . . r
(m)
r
1
.r
2
. . . r
(m)
(mod m)

ì (r
i
, m) = 1 ế ủ ồ tứ tr r
1
.r
2
. . . r
(m)
t ợ a
(m)
1 (mod m)
ị ý ợ ứ r trờ ợ r số tì
(m) = m 1 t ó ị ý rt
ệ q
ế gcd(c, m) = 1 a b (mod (m)) ớ a, b số tự tì
c
a
c
b
(mod m)
ệ q
ế e, d số tỏ e.d 1 (mod (m)) tì ớ ọ số
c tố ù ớ m t ó (c
e
)
d
c (mod m)
ét ệ q ó trò t ốt tr ệ tết ệ
ũ ở
í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ

ệ sử ụ ệ q ủ ị ý r ể tí t ờ t ò tờ
sử ụ t ì tế s ể ể rõ
ỉ í ụ s
í ụ í 709
23
mod 3137
ó 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
4
709
1
(mod 3137) = 709
709
2
(mod 3137) = 761
709
4
(mod 3137) = 761
2
(mod 3137) = 1913
709
8
(mod 3137) = 1913
2
(mod 3137) = 1827

709
16
(mod 3137) = 1827
2
(mod 3137) = 161
tí ũ từ 2
4
, 2
2
, 2
1
, 2
0
rút ọ t modulo 3137 t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➤➢î❝ ❦Õt q✉➯
709
23
(mod 3137) = 709.761.1913.161. (mod 3137) = 907
✶✳✷✳✼ ❚❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
❈❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ tè p✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ a ≤ p ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣
(mod p) ♥Õ✉ ♥❤➢ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ x t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x
2
≡ a (mod p)
❚❛ ❝ã ♥❣✉②➟♥ ❧ý t❤ó ✈Þ s❛✉✿
◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
▼ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ✧♥❣❤✐Ö♠✧ ❝ñ❛ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢
❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳

❱Ý ❞ô ▲✃② p = 11 t❛ ❝ã a = 4 ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆ã ❝ã ❤❛✐
♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ✷ ✈➭ ✾✱ tr♦♥❣ ➤ã ✾ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛
3
2
≡ 9 (mod 11) ❤♦➷❝ 8
2
≡ 9 (mod 11)
❑ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè p > 2 ✈➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❜✃t ❦ú a✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿
L(a, p) := [
a
p
] = a
p−1
2
(mod p)
❱➭
L(a, p) := [
a
p
] =





0 ♥Õ✉ ❛ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p
1 ♥Õ✉ ❛ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭♠♦❞ p✮
−1 ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝ß♥ ❧➵✐
❚❛ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦ý ❤✐Ö✉ tr➟♥ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ p ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐

❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➢♥❣ ❝❤Ø ①Ðt ♥❤÷♥❣ sè a tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝ñ❛ p✳
❑ý ❤✐Ö✉ ❏❛❝♦❜✐✿
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ n = p
1
.p
2
. . . p
k
❀ p
i
, i = 1, k ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥
❛ ♥➺♠ tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝ñ❛ n✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿
J(a, n) = L(a, p
1
)L(a, p
2
) . . . L(a, p
k
)
◆❤➢ ✈❐② ❦❤✐ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× J(a, n) = L(a, n)
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P số tụ

a b số b > 0 ự ệ tt t t ợ
a = ba
0
+ r
0
, (0 r

0
< b)
b = r
0
a
1
+ r
1
, (0 r
1
< r
0
)
. . . . . . . . .
r
n3
= r
n2
a
n1
+ r
n1
, (0 r
n1
< r
n2
)
r
n2
= r

n1
a
n

số
a
b
ó tể ết
a
b
= a
0
+
r
0
b
= a
0
+
1
b
r
0
= . . . = a
0
+
1
a
1
+

1
. . . + a
n1
+
1
a
n
ết tr ợ ọ ể ễ số ữ tỷ
a
b
ớ số
tụ
ể t ù ết
a
b
= [a
0
; a
1
, . . . , a
n
] P số tụ
[a
0
; a
1
, . . . , a
n
] ợ ọ số tụ ữ
ù tt t ó tể ể ễ ọ số ữ tỷ ớ số

tụ ữ ợ rõ r ỗ số tụ ữ ột số
ữ tỷ
sử x ột số tự tỳ ý t a
0
= [x] ủ
x
0
= x a
0
ủ ế t ó t t a
1
= [
1
x
0
], x
1
=
1
x
0
a
1

ớ ỗ i = 1, 2, . . . t a
i
= [
1
x
i1

], x
i
=
1
x
i1
a
i
ế ở ớ tứ
ó x
i
= 0 tì qú trì ết tú ề r ỉ x số
ữ tỷ ợ t ó x ể ễ ớ số tụ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

×