Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************





VŨ THỊ THANH HẬU




MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************


VŨ THỊ THANH HẬU



MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái




Thái Nguyên, năm 2009


ụ ụ
ờ ó
ột số ế tứ
t t ộ ứ t ủ tt t
ệ
ộ ứ t ủ tt t
Pé tí ồ ề q
ố tố ị ý ủ số ọ
t t ở rộ
P r
Pé tí ồ trì ồ
ị ý rt ở rộ
í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ
ì ý ệ r
P số tụ
ệ
í t
ột số ứ ụ ủ số ọ tr ý tết t
t ột số ệ
ệ sr
ệ ố
ột số ệ ũ t ụ

ệ ũ ủ P
tứ tr ổ ì ủ
ệ
ệ
P tí r từ số tố
P tí rt ở rộ ủ ó
P tí sử ụ số
P tí ù ủ Pr
ệ t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ờ
ợ t ớ sự ớ t tì
ủ ị
t tỏ ò í trọ ết s s tớ
ờ ự ề tờ
sứ ể ớ t t
t r t t s ọ
Pò số rờ ọ ọ ọ
ở ụ t tỉ r t ớ
ệ ụ tờ tỉ t ề
ệ t ợ ể t t
ị t tỏ ò ết tớ s Pó
s ế sĩ ủ ệ ọ rờ ọ ọ
ọ ữ ờ t t tì
t ọ ề ệ t ợ t t ọ
ũ ì ộ ú ỡ t
tr sốt q trì ọ t t rờ ọ ọ
ọ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ờ ó
rớ ữ 70 ủ tế ỷ ố ọ tờ ợ ột
tr ữ t ọ t tý ỉ ó ý ĩ ý tết ố tợ
ứ ủ ố ọ q t tr t ợ số tết ớ tồ t
tr ố ọ tết số tố í ó ữ t
ọ r ẹ ủ ố ọ ó ợ ờ sự rờ tự tễ ủ ó t
ó ủ r tts
tt ó ồ ý ớ r ẹ ủ ố ọ
ỉ tể ệ tr ý ĩ t tý ủ ó tr ữ ứ ụ
t ờ tự tễ ó ó tể ì ợ
r ột số ết q ý tết số tr ố ọ ột ộ
tr t t t sở ủ ữ ứ ụ ó í ố
ọ tt t ĩ ự ứ tt t tr ố ọ
ó tể ó t ó từ tờ ổ ờ t ụ t
ột ó ệ tố ể í t t t q sự q sự
t t ủ ờ ổ s sr ệ ổ t ệ
sr t q é t tế ỗ ý tự t ở ý tự ứ s
ó ị trí ị trí
ữ tế ỷ ệ ớ ó tí t ợ
t ệ ớ sự r ờ ủ ệ rts Pr ó ố
t q é t tế t ì s ớ q trì t trể ủ
ị sử ề t t t tr ề ĩ ự tú
ệ ớ r ờ ó tí t ệ ũ ủ P
tế t tứ tr ổ ì ủ
s ữ ệ ột ét ủ ệ tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❧❐♣ ♠➲ ❣ä✐ ❧➭ ♠➲
❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✱ ♠ét ♠➠ ❤×♥❤ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ❝❤♦ ❤Ö ♠➲ ❦✐Ó✉ ♥➭② ➤➢î❝

❝➠♥❣ ❜è ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✽✱ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ❍Ö
♠➲ ❘❙❆ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❝ñ❛ ✈✐Ö❝ ➳♣ ❞ô♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt sè ✈➭♦ ♠❐t ♠➲✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ❘❙❆ ✈➭ ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤
sè ♥❣✉②➟♥ ➤❛♥❣ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ t❤➳♠ ♠➲✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣
■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ♥❤➢ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➞♥
sè ❧✐➟♥ tô❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ö ♠➲ t❤➠♥❣ ❞ô♥❣✱
❤Ö ♠➲ ❘❙❆ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝ ✈➭♦ ♠❐t ♠➲ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♥❤➢ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t ♠ë ré♥❣✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sö ❞ô♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✱
♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞✳
❚õ ➤ã ✈✐Õt ♠ét sè t❤ñ tô❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè✱ t❤ñ tô❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝❤➵②
tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚✐Õt ✶✳✶
♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜å♥❣
t❤ê✐ ➤Ó t✐Ö♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✷ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò
♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✸ ❧➭ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝
✈Ò ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✳
✶✳✶ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥
✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠✿
❈ã t❤Ó ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ♥❤✐Ò✉ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❤✐Ó✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♥❤✃t✳
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét q✉✐ t➽❝ ➤Ó ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➲ ❝❤♦✱ t×♠ ➤➢î❝ ❧ê✐
❣✐➯✐ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ①Ðt s❛✉ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥✳
➜Ó ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝➳❝❤ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ t×♠ ❤✐Ó✉ ❝➳❝ ②➟✉ ❝➬✉
➤➷t r❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó s❛✉✿ ❈❤♦ n sè tù ♥❤✐➟♥

X[1], X[2], ..., X[n]✳ ❚×♠ m ✈➭ j s❛♦ ❝❤♦ j ❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿
m = X[j] = max
1≤k≤n
X[k]✳
❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ t×♠ ❝❤Ø sè
❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❱× ❝➬♥ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t ự t t t từ trị X[n] r ớ tứ t t t tờ
m = X[n] j = n ế t t s s X[n] X[n 1] r
trờ ợ n 1 = 0 tứ n = 1 tt t ết tú ế X[n 1] X[n]
t ể s s s X[n] ớ X[n 2] r trờ ợ ợ
X[n 1] í số ự tr số ét số X[n] X[n 1]
ó t t ổ m = X[n 1] j = n 1 ớ tr
t ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉ
số ớ t j tr ỉ số ủ số t ự ó ớ tế t ó
s s ó ớ số ứ trớ ữ số ét ết tú tt t
tr trờ ợ ò số ứ trớ ó
ờ t ó tể tt t tr s
t t tì ự
ớ t t t j n, k n 1, m X[n]
ể tr ế k = 0 tt t ết tú
s ế X[k] m ể s
ổ m t j k, m X[k] t ể m t tờ
ự
k t k k 1 q ề
r tr ù ể ỉ ột é t q trọ
ó é t ỗ r t ột tt t ữ t
tờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ
tí t ó ột trì

r tt t ó ữ số ệ ợ trớ tt t
t ệ ọ ú t tr tt
t tì ự tr í số X[1], X[2], ..., X[n]
ột tt t ó tể ó ề r tt r tt t tì ự
tr r số m j
ó tể t r tt t tì ự t tr t ữ
ủ ột tt t ó ó tí ữ tí í

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
í ữ t t ết tú s ột số ữ ớ
tt t ừ ệ t t ợ tr ờ ề t r
t t tì ự t tr rõ r t ề ệ ì ở
ỗ ớ t ể ợ từ ệ ét ột số s số ứ trớ ó số
số ét ữ
í ị ỗ ớ tt t ị ĩ ỉ rõ
ệ t t tì ự ở tr ỉ r rõ r ữ ệ
ủ ỗ ớ
ữ ế tố ể tr t ò ét ế tí ệ q ủ tt
t ó rt ề tt t ề t ý tết ết tú s ột số ữ
ớ t tờ ệ ó ợt q ệ
ủ ú t ì tế t ò ú ý ế ọ ộ ứ t ủ
tt t ộ ứ t ủ tt t ó tể tứ
ợ ộ ớ ủ tí tết ể tự ệ tt t
tờ tứ tờ tí ệ r
ó ế ộ ứ t ủ tt t t ể ộ ứ t tờ
ộ ứ t ủ tt t
ĩ tờ ệ ủ tí ột tt t ó
ỉ ụ tộ tt t ò ụ tộ tí sử ụ
ể tt t ó ì tế ể ó ột t t sẽ ộ ứ
t ủ ột tt t số é tí tự ệ tt

t tế ù ột tt t số é tí tự
ệ ò ụ tộ ỡ ủ t tứ ụ tộ ộ ớ ủ
ì tế ộ ứ t ủ tt t sẽ ột số ủ ộ ớ ủ
r ữ ứ ụ tự tễ ú t ết í
ỉ ết ỡ ủ ú tứ ó ột ớ ợ ủ tốt
ủ ú

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ệ tí tờ ữ số ữ ó s
tt ó s ỉ số 1 ó tt ỉ số 0 ì tế t tệ t
ù ệ ế số 2 tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù í
ệ 1 ột í ệ 0 1 ợ ọ ột ít ột số n ể
ễ ở k ữ số 1 ữ số 0 ợ ọ số kít r ụ
ụ tế t t sẽ t r số tự n sẽ ột số kít ớ k = [log
2
n]
í ệ ủ ột số
ộ ứ t ủ tt t ợ số é tí ít
Pé tí ít ột é tí số ọ tự ệ tr số ột ít
0 1
ể ớ ợ ộ ứ t ủ tt t t ù ệ ớ
ị ĩ
sử f(n) g(n) ị tr t ợ số
ó f(n) ó ớ ủ g(n) ết f(n) = O(g(n))
f = O(g) ế tồ t ột số C > 0 s n ủ ớ f(n)
g(n) ề ồ tờ f(n) < C.g(n)
í ụ
f(n) = a
i
n

i
+ a
i1
n
i1
+ . . . + a
1
n + a
0
tr ó a
i
> 0 ó
f(n) = O(n
i
) ú t ó tể ể tr ợ r
ế f
1
(n) = O(g(n)), f
2
(n) = O(g(n)) tì f
1
(n) + f
2
(n) = O(g(n))
ế f
1
(n) = O(g
1
(n)), f
2

(n) = O(g
1
(n)) tì (f
1
f
2
)(n) = O(g
1
g
1
(n))
ữ ế tồ t ớ ữ
lim
n
f(n)
g(n)
tì
ị ĩ
ột tt t ợ ọ ó ộ ứ t tứ ó tờ
tứ ế số é tí tết tự ệ tt t ợt q
O(log
d
n) tr ó n ộ ớ ủ d số

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ó
ó ế số kít tì tờ tự ệ tt
t O(k
d
) tứ t ớ ột tứ ủ k

tt t ớ tờ O(n

), > 0 ợ ọ tt t ớ
ộ ứ t ũ tờ ũ ũ ó ữ tt t ó ộ ứ
t tr ữ tứ ũ tờ ọ ó tt t ớ ũ
tt t t ợ ết ế ệ ể tí ột
số n r từ số tt t ó ộ ứ t
(

lognloglogn)
ột t ú t ữ tì r ột tt t
ó ò ố tì r tt t tốt t ộ ứ t ủ
tt t ột tr ữ ể s s tí tì r tt t
tố ộ ứ t t t ể
tt t ó ữ tt t ề t ý tết tì ộ ứ t
ột tt t sử ụ ó ệ q ú
ề ề ụ tộ ữ t ụ tể ữ ụ t
ụ tể ệ ủ ờ sử ụ
t t st ú t ý t ột ể s
ù ị ĩ tt t ú t r t ẽ ó
q ứ tr ữ ứ ụ tự tế ở ú t ò
ế ữ tt t st tứ ữ tt t ụ tộ ột
ề t số ữ tt t ề t
ợ ọ tt t ì ú ó tể ớ st rt é ờ
ết tú tự ệ ỉ r r tt t st tờ
ữ ệ tt t tt ị í tr rt ề trờ ợ
ỉ ó tt t st sử ụ ợ ệ ớ tt
t st t tờ sử ụ số ệ
ọ số ũ ợ í ờ tì ờ t sử
ụ ột s st số ó ũ ý

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
r➺♥❣✱ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t✱ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t✉②Öt ➤è✐
♠➭ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤② ✈ä♥❣✳
➜Ó ❤×♥❤ ❞✉♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➬♥ ♥➭♦ ✧➤é ♣❤ø❝ t➵♣✧ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✭t✃t ➤Þ♥❤ ✈➭
①➳❝ s✉✃t✮ ❦❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ sè ❧í♥✱ t❛ ①❡♠ ❜➯♥❣ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ❦❤♦➯♥❣
t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ n r❛ t❤õ❛ sè ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥
♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ➤➢î❝ ❜✐Õt ❤✐Ö♥ ♥❛② ✭t❛ ①❡♠ ♠➳② tÝ♥❤ sö ❞ô♥❣ ✈➭♦ ✈✐Ö❝ ♥➭② ❝ã tè❝
➤é ♠ét tr✐Ö✉ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ✶ ❣✐➞②✮✳
❙è ❝❤÷ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❙è ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜✐t ❚❤ê✐ ❣✐❛♥
✺✵ ✶✱✹✳10
10
✸✱✾ ❣✐ê
✼✺ ✾✱✵✳10
12
✶✵✹ ♥❣➭②
✶✵✵ ✷✱✸✳10
15
✼✹ ♥➝♠
✷✵✵ ✶✱✷✳10
23
✸✱✽✳10
9
♥➝♠
✸✵✵ ✶✱✺✳10
29
✹✱✾✳10
15
♥➝♠
✺✵✵ ✶✱✸✳10

39
✹✱✷✳10
25
♥➝♠
❚õ ❜➯♥❣ tr➟♥ ➤➞② t❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ♥❣❛② ✈í✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ ♠ò✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥
❧➭♠ ✈✐Ö❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❧➭ q✉➳ ❧➞✉✳ ❱× t❤Õ✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ♥❣➢ê✐ t❛ ❧✉➠♥
❝è ❣➽♥❣ t×♠ ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤❛ t❤ø❝✳
✶✳✷ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥
✶✳✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
❙è ♥❣✉②➟♥ tè✳
❙è ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
♥❣♦➭✐ ✶ ✈➭ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❤î♣ sè✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
▼ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤
tÝ❝❤ ❝➳❝ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ t❤õ❛ sè ➤➢î❝ ✈✐Õt t❤❡♦ t❤ø tù ❦❤➠♥❣
❣✐➯♠✳
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ sè ❦❤➠♥❣ ✈✐Õt ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●ä✐
n ❧➭ sè ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤ã✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ n ♣❤➯✐ ❧➭ ❤î♣ sè✱ n = a.b ✈í✐
1 < a✱ b < n✳ ❉♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ n✱ ❝➳❝ sè a ✈➭ b ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢❛ t❤➭♥❤ tÝ❝❤
❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ n ❝ò♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯
t❤✐Õt✳ ❱❐② ♠ä✐ sè ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ●✐➯ sö t❛ ❝ã✿
n = p
1
p
2

. . . p
s
= q
1
q
2
. . . q
r
✱
tr♦♥❣ ➤ã p
1
, p
2
, . . . , p
s
❀ q
1
, q
2
, . . . , q
r
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●✐➯♥ ➢í❝ ♥❤÷♥❣
sè ♥❣✉②➟♥ tè ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✱ t❛ ➤➢î❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝
p
i
1
p
i
2
. . . p

i
u
= q
j
1
q
j
2
. . . q
j
v
✱ tr♦♥❣ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➭♦ ❝ã
♠➷t ❝➯ ë ❤❛✐ ✈Õ✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ✈Õ tr➳✐ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ q
j
1
✈➭ ❞♦ ➤ã ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ ♠ét
t❤õ❛ sè ❝ñ❛ tÝ❝❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ q
j
1
✿ ➤✐Ò✉ ➤ã ✈➠ ❧ý✱ ✈× ➤➞② ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè
♥❣✉②➟♥ tè ❦❤➳❝ ✈í✐ q
j
1
✳ ❚❛ ❣ä✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭
♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥✳
✶✳✷✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞
▼✶✳ ✭❑Õt t❤ó❝❄✮✳ ◆Õ✉ b = 0✱ ✐♥ r❛ a ✈➭ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥✳
▼✷✳ ✭❈❤✐❛ ❊✉❝❧✐❞✮✳ ➜➷t r ←− a mod b✱ a ←− b✱ b ←− r✱ ✈➭ q✉❛② ✈Ò ▼✶✳
❱Ý ❞ô✿ ❚❛ tÝ♥❤ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✳ ❚❛ ❝ã✿ ❞ ❂ ✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮

❂ ✭✾✷✱✸✹✺✮ ❂ ✭✻✾✱✾✷✮ ❂ ✭✻✾✱✷✸✮ ❂✭✵✱✷✸✮ ❂ ✷✸✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❂ ✷✸
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ♠ë ré♥❣
❈❤♦ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ u, v t×♠ (u
1
, u
2
, u
3
) s❛♦ ❝❤♦
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(u, v) = u
3
= uu
1
+ vu
2
❚r♦♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥✱ t❛ t❤➟♠ ✈➭♦ ❝➳❝ ➮♥ ♣❤ô (v
1
, v
2
, v
3
)✱ (t
1
, t
2
, t
3
) ✈➭ ❧✉➠♥ ❝ã

tr♦♥❣ ♠ä✐ ❜➢í❝ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➞②✿
ut
1
+ vt
2
= t
3
✱ uv
1
+ vv
2
= v
3
✱ uu
1
+ vu
2
= u
3
▼✶✳ ✭❳✉✃t ♣❤➳t✮✳ ➜➷t (u
1
, u
2
, u
3
) ←− (1, 0, u)✱ (v
1
, v
2
, v

3
) ←− (0, 1, v)✳
▼✷✳ ✭❑✐Ó♠ tr❛ v
3
= 0 ❄✮✳ ◆Õ✉ v
3
= 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳
▼✸✳ ✭❈❤✐❛✱ trõ✮✳ ➜➷t q ←− [
u
3
v
3
]✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ➤➷t
(t
1
, t
2
, t
3
) ←− (u
1
, u
2
, u
3
) − q(v
1
, v
2
, v

3
)✱
(u
1
, u
2
, u
3
) ←− (v
1
, v
2
, v
3
)✱ (v
1
, v
2
, v
3
) ←− (t
1
, t
2
, t
3
)
✈➭ q✉❛② ✈Ò ❜➢í❝ ▼✷✳
✶✳✷✳✸ P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✿

❱í✐ ♥ ∈ N✱ sè ❧➢î♥❣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❜Ð ❤➡♥ n ✈➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉
✈í✐ n ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ϕ(n)
❱Ý ❞ô✿
ϕ(4) ❂ ✷ ❀ ϕ(5) ❂ ✹ ❀ ϕ(6) ❂ ✷ ❀ ϕ(7) ❂ ✻ ❀ ϕ(8) ❂ ✹
➜Þ♥❤ ❧ý
◆Õ✉ m, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✱ t❤×
ϕ(m, n) = ϕ(m)✳ϕ(n)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❛ ✈✐Õt ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈➢ît q✉➳ m, n t❤➭♥❤ ❜➯♥❣ s❛✉✿
✶ ♠✰✶ ✷♠✰✶ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✶
✷ ♠✰✷ ✷♠✰✷ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✷
✸ ♠✰✸ ✷♠✰✸ ✳✳✳ ✭♥ ✲ ✶✮♠✰✸
✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳
♠ ♠✰♠ ✸♠ ✳✳✳ ♠✳♥
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ sử r ột số ợt q m
sử (m, r) = d > 1 ó số tr ò tứ r
tố ù ớ m.n ỗ tử ủ ò ó ề ó km + r
1 k n 1, d|(km + r) ì d|m, d|r.
ể tì số tr tố ù ớ m.n t ỉ
ò tứ r ớ (m, r) = 1 ét ột ò ó ứ
số r, m + r, ..., (n 1)m + r ì (r, m) = 1 ỗ số tr ò
ề tố ù ớ n
n số tr ò t ệ t ủ modulo m
số ó ũ tố ù ớ m ú tố ù
ớ m.n t s r (m, n) = (m)(n)
Pé tí ồ trì ồ
ị ĩ é tí ồ
sử m ột số ó số a b ồ

ớ modulo m ế m ết ệ a b
ể ỉ a ồ ớ modulo m t ý ệ
a b (mod m) ọ ồ tứ
a b (mod m) ỉ tồ t số k,
s a = b + km
ột số tí t ủ ồ
a a (mod m)
ế a b (mod m) tì b a (mod m)
ế

a b (mod m)
b c (mod m)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
t❤× a ≡ c (mod m) ✭✶✳✷✳✸✳✸✮
✹✳ ◆Õ✉ a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)
t❤× a ± c ≡ b ± d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m) ✭✶✳✷✳✸✳✹✮
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ax ≡ b (mod m)
❑❤✐ gcd(a, m) = 1 t❤× ❝ã ♥❣❛② ♥❣❤✐Ö♠ x ≡ a
−1
b (mod m)
❑❤✐ gcd(a, m) = g t❤× ❝ã ❤❛✐ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ①➯② r❛✿
✭✶✮ ◆Õ✉ g ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ (a/g)x ≡ (b/g) (mod m/g) ✈➭ (a/g, m/g) = 1 ✭➤➲ ①Ðt ë tr➟♥✮
✭✷✮ ◆Õ✉ g ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➠ ♥❣❤✐Ö♠✳
✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣
➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ❜Ð ✿
◆Õ✉ p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥ a ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ t❤× a
p
≡ a (mod p)

◆Õ✉ p ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt a t❤× a
p−1
≡ 1 (mod p)
❱Ý ❞ô✿
6
5
≡ 6 (mod 5)❀ 6
5−1
≡ 1 (mod 5)❀ 10
5−1
≡ 0 (mod 5)
➜Þ♥❤ ❧ý ♠ë ré♥❣ ✭❊✉❧❡r✮
◆Õ✉ gcd(a, m) = 1 t❤× a
ϕ(m)
≡ 1 (mod m)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
●✐➯ sö {r
1
, r
2
, . . . , r
ϕ(m)
} ❧➭ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t
modulo m✳ ❑❤✐ ➤ã {ar
1
, ar
2
, . . . , ar
ϕ(m)
} ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥✿

❱×

(a, m) = 1
(r
i
, m) = 1, i = 1, . . . , ϕ(m)
.
⇒ (r
1
r
2
. . . r
ϕ(m)
, m) = 1
✈➭ r
i
≡ r
j
(mod m) (i = j) → ar
i
≡ ar
j
(mod m)
❉♦ ➤ã t❤➷♥❣ ❞➢ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö ♥➭② sÏ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ {r
1
, . . . , r
ϕ(m)
}✱
s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã t❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✶✳✷✳✸✳✹✮✱ t❛ ❝ã✿
✶✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ar
1
.ar
2
. . . ar
(m)
r
1
.r
2
. . . r
(m)
(mod m)

a
(m)
.r
1
.r
2
. . . r
(m)
r
1
.r
2
. . . r
(m)
(mod m)

ì (r
i
, m) = 1 ế ủ ồ tứ tr r
1
.r
2
. . . r
(m)
t ợ a
(m)
1 (mod m)
ị ý ợ ứ r trờ ợ r số tì
(m) = m 1 t ó ị ý rt
ệ q
ế gcd(c, m) = 1 a b (mod (m)) ớ a, b số tự tì
c
a
c
b
(mod m)
ệ q
ế e, d số tỏ e.d 1 (mod (m)) tì ớ ọ số
c tố ù ớ m t ó (c
e
)
d
c (mod m)
ét ệ q ó trò t ốt tr ệ tết ệ
ũ ở
í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ

ệ sử ụ ệ q ủ ị ý r ể tí t ờ t ò tờ
sử ụ t ì tế s ể ể rõ
ỉ í ụ s
í ụ í 709
23
mod 3137
ó 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
4
709
1
(mod 3137) = 709
709
2
(mod 3137) = 761
709
4
(mod 3137) = 761
2
(mod 3137) = 1913
709
8
(mod 3137) = 1913
2
(mod 3137) = 1827

709
16
(mod 3137) = 1827
2
(mod 3137) = 161
tí ũ từ 2
4
, 2
2
, 2
1
, 2
0
rút ọ t modulo 3137 t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➤➢î❝ ❦Õt q✉➯
709
23
(mod 3137) = 709.761.1913.161. (mod 3137) = 907
✶✳✷✳✼ ❚❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
❈❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ tè p✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ a ≤ p ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣
(mod p) ♥Õ✉ ♥❤➢ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ x t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x
2
≡ a (mod p)
❚❛ ❝ã ♥❣✉②➟♥ ❧ý t❤ó ✈Þ s❛✉✿
◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
▼ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ✧♥❣❤✐Ö♠✧ ❝ñ❛ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢
❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳

❱Ý ❞ô ▲✃② p = 11 t❛ ❝ã a = 4 ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆ã ❝ã ❤❛✐
♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ✷ ✈➭ ✾✱ tr♦♥❣ ➤ã ✾ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛
3
2
≡ 9 (mod 11) ❤♦➷❝ 8
2
≡ 9 (mod 11)
❑ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè p > 2 ✈➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❜✃t ❦ú a✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿
L(a, p) := [
a
p
] = a
p−1
2
(mod p)
❱➭
L(a, p) := [
a
p
] =





0 ♥Õ✉ ❛ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p
1 ♥Õ✉ ❛ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭♠♦❞ p✮
−1 ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝ß♥ ❧➵✐
❚❛ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦ý ❤✐Ö✉ tr➟♥ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ p ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐

❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➢♥❣ ❝❤Ø ①Ðt ♥❤÷♥❣ sè a tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝ñ❛ p✳
❑ý ❤✐Ö✉ ❏❛❝♦❜✐✿
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ n = p
1
.p
2
. . . p
k
❀ p
i
, i = 1, k ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥
❛ ♥➺♠ tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝ñ❛ n✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿
J(a, n) = L(a, p
1
)L(a, p
2
) . . . L(a, p
k
)
◆❤➢ ✈❐② ❦❤✐ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× J(a, n) = L(a, n)
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P số tụ
ệ
a b số b > 0 ự ệ tt t t ợ
a = ba
0
+ r
0
, (0 r

0
< b)
b = r
0
a
1
+ r
1
, (0 r
1
< r
0
)
. . . . . . . . .
r
n3
= r
n2
a
n1
+ r
n1
, (0 r
n1
< r
n2
)
r
n2
= r

n1
a
n

số
a
b
ó tể ết
a
b
= a
0
+
r
0
b
= a
0
+
1
b
r
0
= . . . = a
0
+
1
a
1
+

1
. . . + a
n1
+
1
a
n
ết tr ợ ọ ể ễ số ữ tỷ
a
b
ớ số
tụ
ể t ù ết
a
b
= [a
0
; a
1
, . . . , a
n
] P số tụ
[a
0
; a
1
, . . . , a
n
] ợ ọ số tụ ữ
ù tt t ó tể ể ễ ọ số ữ tỷ ớ số

tụ ữ ợ rõ r ỗ số tụ ữ ột số
ữ tỷ
sử x ột số tự tỳ ý t a
0
= [x] ủ
x
0
= x a
0
ủ ế t ó t t a
1
= [
1
x
0
], x
1
=
1
x
0
a
1

ớ ỗ i = 1, 2, . . . t a
i
= [
1
x
i1

], x
i
=
1
x
i1
a
i
ế ở ớ tứ
ó x
i
= 0 tì qú trì ết tú ề r ỉ x số
ữ tỷ ợ t ó x ể ễ ớ số tụ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn