Vấn đề chọn tham số trong phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không chỉnh

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÍ THỊ BÍCH HÀ

VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÍ THỊ BÍCH HÀ

VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH

Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - Năm 2014


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số khái niệm cơ bản

6

1.1

Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J -đơn điệu . . .

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu . . . . .
1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh . .
1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov . . . . .
1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử đơn điệu
1.1.1

6

. . . . .

6

. . . . .

8

. . . . . 11
. . . . . 11
. . . . . 15
. . . . . 16

Kết luận chương 1

19

2 Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J - đơn điệu

20

2.1

Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình
tốn tử J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử
J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Cách chọn tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Cách chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . .
2.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . .
2.2

Kết luận
Tài liệu tham khảo

. 21
. 26
. 26
. 31
33
34


1

MỞ ĐẦU

Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài tốn
mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu
vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài
tốn), thậm chí cịn làm cho bài tốn trở lên vơ nghiệm. Lớp các bài tốn
trên được gọi là lớp các bài tốn khơng chính qui hay bài tốn đặt khơng
chỉnh.
Khái niệm bài tốn đặt không chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi
nghiên cứu ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương
trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài tốn tìm nghiệm của phương

trình

A (x) = f

(1)

ở đây, A là tốn tử từ không gian metric X vào không gian metric Y . Theo
J. Hadamard bài toán (1) được gọi là bài tốn đặt chỉnh (chính qui) nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi y ∈ Y ;
2. Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f .
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính tốn các bài tốn thực tế bằng
máy tính ln xảy ra trong q trình làm trịn số. Chính sự làm trịn đó
dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài
tốn (1) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh. Do lớp bài tốn đặt khơng


2

chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Một số nhà tốn
học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài tốn đặt khơng chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh
Nho Hào, Đặng Đức Trọng. . .
Để giải số bài tốn đặt khơng chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đã đưa về
bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong

một tập compact lồi M và ảnh A (M ) = N sao cho khi f xấp xỉ bởi fδ ∈ N
ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N . Do số liệu xấp xỉ là số liệu khơng
chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại khơng nằm vào tập A (M ). Khi đó,
phương trình A (x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng thường. Để
khắc phục tình trạng này, V. K. Ivanov đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm
cho phương trình (1). Theo V. K. Ivanov phần tử x
˜ ∈ M làm cực tiểu
phiếm hàm inf ρY (A (x) , f ) được gọi là tựa nghiệm của (1) trên tập M ,
x∈M

trong trường hợp M là tập compact của X , thì mọi f ∈ Y bao giờ cũng
tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A (M ) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông
thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể khơng duy
nhất.
Năm 1963, Tikhonov đưa ra một hướng mới giải quyết bài tốn (1), đó
là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số

M α [x, fδ ] = ρ2 (A (x) , fδ ) + αψ (x) ,

(2)

ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X , α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ , α = α (δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có

α (δ) → 0 và điểm cực tiểu xδα của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H (H là không gian Hilbert), là một
tốn tử liên tục và đóng yếu, H. W. Engl đã xét dạng cụ thể của (2) là
M α [x, fδ ] = Ax − fδ

2

+α x

2

(3)

và chứng minh được bài tốn (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ và
hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f.
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian


3

Banach X vào X ∗ , Alber và Ryazantseva đã xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình

A (x) + αJ s (x) = fδ ,

(4)

ở đây, J s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X , tức là J s : X → X ∗ , thỏa
mãn điều kiện

J s (x) , x = x

J s (x) , J s (x) = x

s−1

, s ≥ 2.

Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt khơng chỉnh tức là tìm
nghiệm x0 sao cho

Ai (x0 ) = fi , i = 1, 2, ..., N,

(5)

ở đây, Ai : X → Yi , X và Yi là các không gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình (1), với A : X → Y được xác định
bởi A (x) = (A1 (x) , A2 (x) , . . . , AN (x)) , Y := Y1 × Y2 × . . . × YN và

f = (f1 , f2 , . . . , fN ) .
Có thể coi (1) như là trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên
(5) có lợi hơn (1) ở chỗ (5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Ai , fi ), cịn
(1) cho ta tính chất chung của (Ai , fi ) và nghiệm của (1) phải thỏa mãn
các tọa độ giống nhau.
Dựa trên khoảng cách Bregman
D xδ , x0 := J xδ − J (x0 ) − J (x0 ) , xδ − x0
Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδ
về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử

Ai , i = 1, 2, ..., N.
Trong trường hợp Ai là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
không gian Banach, Nguyễn Bường đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh
dựa vào việc giải phương trình
N

αµi Ai (x) + αJ (x) = θ,
i=1

µ1 = 0 < µi < µi+1 < 1, i = 2, ..., N − 1,

(6)


4

ở đây, J (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗ , tức J (x) = J 2 (x).
Khi Ai : H → H là các toán tử đơn điệu và liên tục, GS.TS Nguyễn
Bường và TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh
lặp bậc khơng tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán

Ai (x) = θ, i = 1, 2, ..., N,

(7)

bằng hồ sơ lặp
N

x

(k+1)

(k)

=x

αki Ai x(k) + αkN +1 x(k) − x∗

− βk

,

(8)

i=1

ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk , βk là
các dãy số dương.
Hệ (7) cũng được GS.TSKH Phạm Kỳ Anh và GS.TS Cao Văn Chung
xét đến khi Ai : H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương
pháp hiệu chỉnh lặp song song. Các kết quả đạt được của phương pháp
cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Trong luận văn này, chúng ta xét các phương pháp hiệu chỉnh, cách
chọn tham số và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Trong trường hợp
các toán tử Ai : X → X là J - đơn điệu và liên tục Lipschitz trên khơng
gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng ta
xét phương pháp hiệu chỉnh (5) dựa vào việc giải phương trình
N

A0 (x) + α

µ

Ai (x) − fiδ + α (x − x∗ ) = f0δ

(9)

i=1

và đưa ra cách chọn tham số α = α (δ), ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được
đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A0 .
Các kết quả đạt được trong luận văn này là kết quả trong quá trình học
tập và nghiên cứu tại Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Ngoài
phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương:
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản.
Trong chương này ta trình bài các khái niệm cơ bản về không gian


5

Banach và bài tốn đặt khơng chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov. Từ
đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử đơn
điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này cịn giới thiệu
bài tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh và các phương
pháp hiệu chỉnh.
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J - đơn điệu.
Trong chương này ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình đối với tốn tử J - đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Tơi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư - Tiến
sĩ Nguyễn Bường, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tơi trong q
trình tơi thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận
văn này.

Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở Viện Toán học,
Viện công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nói chung và
khoa Tốn - Tin nói riêng đã hết lịng giảng dạy, truyền đạt cho tơi nhiều
kiến thức khoa học trong suốt q trình tơi học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ tôi
trong suốt thời gian vừa qua.
Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này khơng thể
tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Tơi rất mong sẽ nhận được nhiều ý kiến
đóng góp của thầy cơ và các bạn.
Hải Phịng, ngày 11 tháng 10 năm 2014
Tác giả

Phí Thị Bích Hà


6

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản
Chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản trong khơng
gian Banach, toán tử đơn điệu và J - đơn điệu. Khái niệm bài tốn đặt
khơng chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov. Đồng thời giới thiệu về
phương pháp hiệu chỉnh với toán tử đơn điệu. Các kiến thức này được
tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [7], [8].

1.1
1.1.1

Không gian Banach - Tốn tử đơn điệu và J-đơn điệu
Khơng gian Banach

Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong
đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của x, thỏa
mãn các điều kiện sau:
1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2) αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R;
3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X, (bất đẳng thức tam giác).
Một không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
+) Sự hội tụ trong không gian Banach:
Dãy các phần tử xn không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần
tử x0 ∈ X khi n → ∞, nếu khi n → ∞, ký hiệu là xn → x0 . Sự hội tụ đó
được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X , ký hiệu là xn


7

hội tụ yếu tới x0 , nếu với ∀f ∈ X ∗ là không gian liên hợp của X , ta có

f (xn ) → f (x0 ), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:
i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {xn } suy ra sự hội tụ yếu của dãy
đó.
ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
iii) Nếu xn → x thì sup xn < ∞ và x ≤ lim xn .
n→∞

1≤n<∞

Nhận xét 1.1. Một số trường hợp hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh
là:
i) X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
ii) {xn } ⊂ M với M là một tập compact trong X .
+) Không gian phản xạ
Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X ∗ là không gian liên hợp
của X và gọi X ∗∗ = L (X ∗ ) là không gian liên hợp thứ hai của X . Ta cho
tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗
nhờ hệ thức

x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗
ở đây f, x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại

x ∈ X . Ta có x = x∗∗ . Đặt h (x) = x∗∗ , nếu h : X → X ∗∗ là tồn
ánh thì khơng gian X được gọi là khơng gian phản xạ.
Ví dụ 1.1. Khơng gian Lp [a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với
chuẩn
b

φ =

|φ (x)p dx|

1
p

, φ ∈ Lp [a, b] .

a

Ví dụ 1.2. Khơng gian Lp [a, b] , p > 1 là không gian phản xạ. Mọi không
gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Định lý 1.2. Nếu X là khơng gian Banach thì các khẳng định sau là tương
đương:
1) X phản xạ,


8

2) Mọi dãy giới nội là compact yếu, nghĩa là

∀ {xn } ⊂ X : xn ≤ K ⇒ ∃ {xn } , xnk → x ∈ X;
3) Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu;
4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu;
5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu.
+) Đạo hàm Fréchet:
Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là
khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X , nếu tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục

T : X → Y , sao cho
lim

h →0

A (x + h) − A (x) − T (h)
= 0,
h

T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là A (x).

1.1.2

Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu

Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A (x) , y ∗ ∈ A (y) .
Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu

Gr (A) không được chứa thực sự trong một tập đơn điệu nào khác trong
X × X ∗ thì tốn tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.(Gr (A) là đồ
thị của toán tử A).
Từ định nghĩa suy ra kết quả sau.
Mệnh đề 1.4. Toán tử đơn điệu A : X × X ∗ là đơn điệu cực đại khi và
chỉ khi từ bất đẳng thức

g − f, y − x0 ≥ 0, ∀ (y, g) ∈ Gr (A)
suy ra x0 ∈ D (A) và f ∈ A (x0 ) .
Định nghĩa 1.5. Toán tử A được gọi là
1) Đơn điệu (monotone) nếu

A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ;


9

2) Đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ
khi x = y;
3) Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ (t) không giảm với

t ≥ 0, δ (0) = 0 và
A (x) − A (y) , x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D (A) ;
Nếu δ (t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì tốn tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.
Chú ý: Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính khơng âm của tốn tử.
Định nghĩa 1.6. Tốn tử A được gọi là
1) h –liên tục (hemicontinous) trên X nếu A (x + ty) → Ax khi t → 0 với
mọi x, y ∈ X
2) d – liên tục (demicontinous) trên X từ xn → x suy ra Axn → Ax khi

n→∞
Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu

lim

x →+∞

Ax, x
= +∞, ∀x ∈ X.
x

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ U S : X → X ∗ (nói chung đa trị) xác định bởi

U S (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ . x ; x∗ = x

S−1

,s ≥ 2

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X .
Khi s = 2 thì U S thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của X .
Định nghĩa 1.9. Hàm F : X → R được gọi là
1) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có

F (tx + (1 − t) y) ≤ tF (x) + (1 − t) F (y) , ∀t ∈ [0, 1] ;
2) lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với x = y;
3) nửa liên tục dưới trên X nếu

lim inf F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X;
y→x


10

4) nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {xn } ta có xn hội tụ yếu
đến x thì

lim inf F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X
n→∞

Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, F : X → R
là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X . Ta định nghĩa ∂F (x) bởi

∂F (x) = {x∗ : F (y) − F (x) ≥ x∗ , y − x } , ∀y ∈ X
Phần tử x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới Gradient của hàm F tại x và ∂F (x)
được gọi là dưới vi phân của F tại x.
Định lý 1.11. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không

gian liên hợp của X . Nếu F : X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên
tục dưới trên X , thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực
đại từ X vào X ∗ .
Định nghĩa 1.12. Toán tử A : X → X được gọi là
1) J -đơn điệu trên X nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ X .
2) J - đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số α > 0
sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y

2

, ∀x, y ∈ X.

3) Ngược J - đơn điệu mạnh trên X với hằng số λ, nếu tồn tại một hằng
số dương λ sao cho

A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ λ A (x) − A (y)

2

, ∀x, y ∈ X,

4) m-J - đơn điệu trong X , nếu A là J - đơn điệu và R (A + λI) = X, ∀λ >

0.
5) Liên tục Lipchitz trên X , nếu
A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X,
Ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là tốn tử khơng

giãn. Dễ thấy nếu A là toán tử ngược J−đơn điệu mạnh với hằng số λ thì

A là liên tục Lipchitz với hằng số 1/λ.


11

1.2
1.2.1

Bài tốn đặt khơng chỉnh
Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh

Khái niệm về bài tốn chỉnh được J. Hadarmard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic.
Việc tìm nghiệm x của bất kỳ một bài tốn nào cũng phải dựa vào dữ
kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R (f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ
kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương
ứng là ρX (x1 , x2 ) và ρY (f1 , f2 ) , x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó, bài tốn tìm nghiệm x = R (f ) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ (ε) > 0, sao cho
từ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ (ε) ta có ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây

x1 = R (f1 ) , x2 = R (f2 ) , f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài tốn
chỉnh trên cặp khơng gian Metric (X, Y ) nếu có:
1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X ,
2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất,

3) Bài tốn này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.
Trong tính tốn các bài tốn thực tế bằng máy tính ln diễn ra q trình
làm trịn số. Chính sự làm trịn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên khơng thỏa mãn, bài tốn tìm
nghiệm được gọi là bài tốn khơng chỉnh. Đơi khi người ta gọi là bài tốn
đặt khơng chính quy hoặc bài tốn thiết lập khơng đúng đắn.
Cũng cần lưu ý rằng một bài tốn có thể thiết lập không đúng đắn trên
cặp không gian Metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không
gian Metric khác.
Đối với bài tốn tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1) dữ kiện ban


12

đầu ở đây chính là tốn tử A và vế phải f .
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, cịn vế phải f cho
bởi fδ với sai số ρ1 (fδ , f ) ≤ δ . Như vậy, với (fδ , f ) ta phải tìm một phần
tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1) khi δ → 0. Phần tử xδ có
tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài tốn khơng chỉnh trên.
Nếu ta ký hiệu

Qδ = {x ∈ X : ρY (A (x)) , fδ ≤ δ}
thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Qδ . Nhưng
rất tiếc tập Qδ này lại rất lớn, tức là các phần tử cách nhau rất xa. Chính
vì vậy, khơng phải các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của
(1) được. Vì lẽ đó, bài tốn đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm
nghiệm xấp xỉ cho (1). Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có các
thơng tin khác nữa về nghiệm chính xác x0 .

Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các thuật tốn tìm nghiệm xấp xỉ cho
bài tốn khơng chỉnh ở chương tiếp theo.
Ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh
Ví dụ 1.3. A là toán tử liên tục mạnh của bài toán bài tốn đặt khơng
chỉnh.
Thật vậy, giả sử {xn } là một dãy chỉ hội tụ yếu đến x, và yn = A (xn ),

y = A (x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y là nghiệm
của phương trình A (x) = f khơng phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình tốn
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D (A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó
chứng minh trên khơng áp dụng được. Và nếu ta xét một tốn tử tuyến
tính compact với miền ảnh R (A) hữu hạn chiều thì tốn tử ngược A−1
nói chung là liên tục và khi đó bài tốn giải phương trình A (x) = f là bài
tốn đặt chỉnh.


13

Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

K (x, s)φ (s) ds = f0 (x) , x ∈ [a, b]

(10)

a

ở đây nghiệm là một hàm φ (x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước,

K (x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K (x, s) cùng với
liên tục trên hình vng [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:

∂K(x,s)
∂x

• Trường hợp 1
A : C [a, b] → L2 [a, b]
b

φ (x) → f0 (x) =

K (x, s) φ (s) ds.
a

Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [a, b],
tức là khoảng cách giữa hai hàm f0 (x) và f1 (x) trong L2 [a, b] được
cho bởi

 12

b



|f0 (x) − f1 (x)|2 dx .

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = 

a

Giả sử phương trình (12) có nghiệm là φ0 (x). Khi đó với vế phải
b

f1 (x) = f0 (x) + N

K (x, s) sin (ωs) ds
a

Thì phương trình này có nghiệm

φ1 (x) = φ0 (x) + N sin (ωx) .
Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1
trong không gian L2 [a, b] là


b


ρL[a,b] (f0 , f1 ) = |N | 

a

Có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt

Kmax =

 12


K (x, s) sin (ωs) ds dx


a

2

b



max
x∈[a,b],s∈[a,b]

|K (x, s)| ,


14

Ta tính được
b



2

1
Kmax cos (ωs)|ba
ω

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | 

 12

|N | Kmax c0
dx ≤
,
ω

a

ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng

N /ω lại nhỏ. Trong khi đó
ρC[a,b] (φ0 , φ1 ) = max |φ0 (x) − φ1 (x)| = |N |
x∈[a,b]

Có thể lớn bất kì.

• Trường hợp 2
A : L2 [a, b] → L2 [a, b]
b

φ (x) → f0 (x) =

K (x, s) φ (s) ds.
a

Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm φ0 và φ1 trong

khơng gian L2 [a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy,
b

ρL2 [a,b] (φ0 , φ1 ) =

1
2

|φ0 (x) − φ1 (x)|2 dx

b

= |N |

a

= |N |

b−a
2

−

1
2ω

1
2

sin2 (ωx) dx

a

sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)).

Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 )
rất nhỏ nhưng ρL2 [a,b] (φ0 , φ1 ) lại rất lớn.

Ví dụ 1.5. Xét tốn tử

A : l2 → Y
∞

a → f0 (t) =

an cos (nt) ,
n=1

ở đây Y là một không gian Banach, hệ số a = (a0 , a1 , ...., an , ...) ∈ l2 . Hãy
tính giá trị của tốn tử A tại điểm a được cho xấp xỉ bởi

ε
cn = an + , n ≥ 1, c0 = 0.
n


15

• Trường hợp 1: Y = C [0, 1] .
Ta có chuỗi Fourier tương ứng

∞

f1 (t) =

cn cos (nt).
n=0

với hệ số (c0 , c1 , ...., cn , ...) ∈ l2 . Khoảng cách giữa hai hệ số

(a0 , a1 , ...., an , ...) và (c0 , c1 , ...., cn , ...) trong không gian l2 là
1
2

∞

(cn − an )2

ε1 =

∞

=ε

n=0

n=0

1
n2

1
2

π2
.
6

=ε

Do đó, khoảng cách này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó
∞

ρC[0,1] (f0 , f1 ) = max ε
0≤t≤1

n=1

∞

1
1
cos (nt) = ε
n
n
n=1
∞

Có thể làm lớn bao nhiêu cũng được, vì chuỗi ε
n=1

1
n

phân kì.

Như vậy, nếu khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 được xét trong khơng
gian các hàm với độ đo đều thì bài tốn tính tổng của chuỗi Fourier
khơng ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ.

• Trường hợp 2: Y = L2 [0, π] .
Trong trường hợp này bài toán ổn định. Thật vậy
π

2

|f1 (t) − f0 (t)|

ρL2 [0,π] (f1 , f0 ) =
0
∞

0

n=0

(cn − an ) cos (nt) dt

=
∞

=
n=0

1.2.2

1
2

2

π

1
2

π
2

(cn − an )2

1
2

= ε1

π
2.

Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ biết fδ thỏa mãn

fδ − f ≤ δ.
Định nghĩa 1.13. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach

X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α,


16

tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1)
nếu:
1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (f, α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn:
fδ − f ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ) ,
2) Tồn tại một hàm α = α (δ, fδ ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0,
ln tìm được δ (ε) ≥ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn:

fδ − f ≤ δ ≤ δ (ε)
Thì xδα − x0

≤ ε, ở đây x0 là nghiệm có x∗ − chuẩn nhỏ nhất cỉa bài

toán (1) và

xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) .
Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1), cịn α = α (δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham

số hiệu chỉnh α (δ, fδ ) phải được chọn sao cho:

lim α (δ, fδ ) = 0

δ→0

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu. Như vậy việc
tìm nghiệm xấp xỉ phục thuộc liên tục vào dữ kiện phương trình (1) gồm
các bước:
Bước 1: Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T (f, α).
Bước 2: Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài
toán về phần tử fδ và mức sai số δ.

1.3

Hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử đơn điệu

Xét phương trình tốn tử (1), ở đó A là một tốn tử đơn điệu và h−
liên tục từ không gian Banach X vào X ∗ , X ∗ lồi chặt và X có tính chất
ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {xn } các phần tử xn ∈ X hội tụ yếu
trong X đến x và xn → x cho ta {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x.


17

Nếu khơng có tính đơn điệu đều, thì bài tốn (1) nói chung là một bài
tốn khơng chỉnh.
Giả sử (1) có nghiệm. Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của hệ phương trình
đó. Khi đó, S0 là một tập đóng và lồi trong X .
Xét phương trình

A (x) + αJ s x − x0 = fδ , fδ − f ≤ δ,

(11)

ở đây J s : X → X ∗ là một ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X . tức là J s
thỏa mãn J s (x) , x = x

s

và J s (x) = x

s−1

với s ≥ 2 còn x0 là

một phần tử bất kỳ trong X . Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệm
của (1) theo ý muốn. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.14. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (11) có duy nhất
nghiệm xδα . Nếu α, δ/α → 0, thì xδα

hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0

thỏa mãn

x0 − x0 = min x − x0 .
x∈S0

(12)

Chứng minh. Do X ∗ là lồi chặt, nên U s là một ánh xạ h- liên tục. Vì
vậy A + αU s cũng là một tốn tử đơn điệu và h- liên tục từ X vào X ∗ .
Mặt khác, do U s là một toán tử bức, nên với mỗi α > 0 toán tử A + αJ s
cũng là một toán tử bức. Do đó, với mỗi α > 0 phương trình (11) có duy
nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm đó bằng xδα . Bây giờ, ta chứng minh xδα
hội tụ đến x0 thỏa mãn (12). Thật vậy, từ (1) và (11) ta có

A xδα − A (x) + f0 − fδ , xδα − x
+α J s xδα − x0 − J s x − x0 , xδα − x
= α J s x − x0 , x − xδα , ∀x ∈ S0
Do A là một toán tử đơn điệu và J s thỏa mãn tính chất x0 = f0 , xk+1 =

xk − Axk − f0 nên
mU xδα − x

s

≤

δ δ
xα − x + U s x − x0 , x − xδα .
α

(13)

Suy ra tập xδα là giới nội. Vì X là một không gian Banach phản xạ,
cho nên tồn tại một dãy con của xδα hội tụ yếu đến phần tử x1 nào đó


18

của X . Khơng giảm tổng qt, ta có thể coi xδα hội tụ yếu đến x1 , khi

δ/α, α → 0. Từ (11) suy ra
A xδα + αU s xδα − x0 − fδ , x − xδα = 0, ∀x ∈ X.
Do A + αU s là một toán tử đơn điệu, đẳng thức trên cho ta

A (x) + αU s x − x0 − fδ , x − xδα ≥ 0, ∀x ∈ X.
Cho α, δ/α →0 ta được

A (x) − f0 , x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Ta có x1 ∈ S0 , tức là x1 là một nghiệm của (1). Từ (13) cũng suy ra x1
thỏa mãn (12). Do phần tử x1 ∈ S0 thỏa mãn (12) là duy nhất, cho nên
cả dãy xδα hội tụ mạnh tới x − 1 = x0 . Định lý được chứng minh.


19

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về giải
tích hàm trong không gian Banach và giới thiệu một số nét cơ bản về bài
tốn đặt khơng chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử đơn điệu. Cụ thể trong chương
2, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình phi tuyến
đối với toán tử J - đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach
phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.


20

Chương 2

Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có
tốn tử J- đơn điệu
Chương này chúng tơi sẽ trình bày vấn đề chọn tham số trong phương
pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình khơng
chỉnh với tốn tử Lipschitz và J - đơn điệu. Kiến thức trong chương này
được viết trên cơ sở bài báo [6] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.

2.1

Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình tốn tử J-đơn điệu

Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho phương trình (1) được trình
bày trong trường hợp tốn tử A : X → Y là J - đơn điệu trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả thiết f
được xấp xỉ bởi fδ thỏa mãn f − fδ ≤ δ . Để tìm nghiệm của bài toán
(1), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm của bài tốn

A (x) + α (x − x∗ ) = fδ , x∗ ∈ X.

(14)

Tính duy nhất nghiệm xδα của (14) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

xδα về nghiệm x0 của bài toán (1) cũng đã được xét đến khi bổ sung tính
chất liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh lên toán tử đối ngẫu chuẩn
tắc J .

21

Trong trường hợp toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J khơng có tính chất liên
tục yếu theo dãy thì nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ về nghiệm x0 của (1) khi
bổ sung thêm hai điều kiện sau:

A (y) − A (x0 ) − QA (x0 )∗ J (y − x0 ) ≤ τ˜ A (y) − A (x0 ) ,

(15)

ở đây, y ∈ X, τ˜ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ , và tồn tại
phần tử ω ∈ X sao cho

x∗ − x0 = A (x0 ) ω.

(16)

Khi tốn tử J khơng có tính chất liên tục yếu theo dãy và điều kiện
(15), (16) khơng thỏa mãn, thì cũng chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm
hiệu chỉnh xδα hội tụ về nghiệm x0 của (1), kết quả này được thể hiện qua
định lý sau:
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn
khả vi Gâteaux đều, A là toán tử đơn trị và m − J− đơn điệu trong X ,

f và fδ thỏa mãn f − fδ ≤ δ , thì
• với mỗi α > 0, (16) có duy nhất nghiệm xδα ;
• nếu tập nghiệm của (1) S0 = ∅ và tham số α được chọn sao cho
α, δ/α → 0 khi δ → 0 thì xδα → x0 và thỏa mãn bất đẳng thức biến

phân
x0 − x∗ , j (x0 ) − z ≤ 0, ∀z ∈ S0 ;
• với mỗi hằng số dương αi , δi , i = 1, 2, ta có
xδα11 − xδα22 ≤ M1
2.2

|α1 − α2 | |δ1 + δ2 |
+
, M1 > 0.
α1
α1

Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử
J-đơn điệu

Trong mục này, chúng tơi trình bày đánh giá sai số tối ưu cho nghiệm
hiệu chỉnh của hệ phương trình với tốn tử J -đơn điệu trong khơng gian
Banach khơng địi hỏi tính liên tục yếu cho ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,

J = J 2 , khi tham số hiệu chỉnh được chọn trước.


22

Cho A là một ánh xạ m − J− đơn điệu và đơn ánh trên X , tức là

A : X → X có các tính chất sau:
(i) A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , ở đây j (x − y) ∈ J (x − y)
(ii) R (A + λI) = X với mỗi λ > 0, ở đây R (A) là kí hiệu miền ảnh của
A và I là toán tử đơn vị trên X .

Nếu tồn tại hằng số α sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y

2

, ∀x, y ∈ X,

khi đó A được gọi là α−mạnh. Khi α = 0 thì A được gọi là J− đơn điệu.
Xét hệ phương trình tốn tử

Ai (x) = fi , fi ∈ X, i = 1, .., N

(17)

Các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (17) được đưa ra trong
trường hợp Ai là J− đơn điệu và ngược J− đơn điệu mạnh trên không
gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vị Gâteaux đều. Để tìm nghiệm
của bài tốn (17), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm
của bài tốn (9)
N

A0 (x) + α

µ

Ai (x) − fiδ + α (x − x∗ ) = f0δ
i=1

ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố định, α là tham số hiệu chỉnh.
Bổ đề 2.2. Với mỗi ánh xạ tuyến tính, liên tục và J− đơn điệu F trên

không gian Banach phản xạ X và với mỗi α > 0, ta có F (F + αI)−1 ≤

2.
Nếu A là một ánh xạ m − J− đơn điệu trong X và f ∈ X là một phần
tử bất kỳ, ta có thể xác định một ánh xạ u = Tf (x) theo

Af (u) + u = x, Af (.) = A (.) − f,

(18)

ở đây x ∈ X . Vì Af cũng là một ánh xạ m − J− đơn điệu, cho nên việc
tồn tại Tf là hiển nhiên. Dễ dàng kiểm tra được Tf có các tính chất sau:
(i) D (Tf ) = X ;
(ii) Tf là không giãn, tức là Tf x − Tf y ≤ x − y ;
(iii) F ix (Tf ) = S˜, ở đây F ix (Tf ) = {x ∈ X : x = Tf (x)}.
Bây giờ ta đi chứng minh định lý cơ bản sau