Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
..

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2014


i

Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
1.1

1.2

1.3

1

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học
phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange .

1

1.1.2

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong tốn học
trung học phổ thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic . . . . . .

7

1.2.1

Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ

7

1.2.2

Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập

8

. . . . . . .

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1

Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng khơng

1.3.2

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng khơng . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng khơng với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp

dụng

15


ii

2.1

Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ

. . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Đa thức duy nhất kiểu Yn,m . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Đa thức duy nhất kiểu Fn,b

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.1

Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.2

0
Tập duy nhất kiểu Fn,b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng khơng với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của
tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả

Bùi Quang Thiện


iv

Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn tơi hồn thành luận văn. Sau q trình nhận đề tài và
nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định
đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh
ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tơi đã được hồn thành. Tơi xin gửi
lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS.
TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải
đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào
tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt

quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tơi hồn thành đề tài này. Sự
giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và
Khoa Tốn - Tin đã để lại trong lịng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức
tốt đẹp.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp
cao học Tốn K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên
cổ vũ để tôi có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.


v

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp.
Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực. Hai
ông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suy
Newton, Công thức nội suy Lagrange. Đây là các công thức nội suy với hữu
hạn mốc nội suy. Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàm
nguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài. Năm 1979, Hà Huy Khoái là
người đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic
[4]. Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ
vô hạn mốc nội suy. Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưa
được giải quyết. Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàm
nguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bố
giá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]). Một trong những ứng dụng sâu
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các
hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập
hợp điểm. Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm của
Nevalinna. Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm:
1. Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm.

2. Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm.
Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange,
vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ
số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy.
Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đa
thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc
nội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic


vi

qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm. Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xét
vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng
tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng khơng với điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý
duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không.

3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu
3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong tốn
học phổ thơng.
3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic.
3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương
tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng khơng.

4. Kết quả nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là:
• Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6].
• Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6].
• Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6].
• Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6].

5. Bố cục luận văn
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.


vii

Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề
xác định duy nhất của đa thức trong tốn học trung học phổ thơng, trình bày
tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tơi
cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của
hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1]
và đã được trình bày lại ở [2].
Chương 2. Trong Chương 2 chúng tơi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác
định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều
kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã
đưa ra trong [1].
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Học viên

Bùi Quang Thiện

viii

Bảng ký hiệu
f
Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
Tf
Hàm đặc trưng của f
Ef (S)

Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f

E f (S)
K

Ảnh ngược khơng tính bội của S đối với f
Trường đóng đại số, đặc trưng không


1

Chương 1
Tổng quan về vấn đề xác định duy
nhất của hàm phân hình p-adic
1.1

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong
tốn học trung học phổ thơng

1.1.1

Cơng thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange

Công thức nội suy Newton

Ví dụ 1.1.1. Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện
P (1) = 2, P (2) = 5, P (3) = 12.
Nếu P (1) = 2 ta có đa thức thỏa mãn điều kiện là đa thức A(x) = 2.
Nếu B(1) = 2 và B(2) = 5 thì đa thức B(x) là
B(x) = A(x) + α(x − 1) = 2 + α(x − 1).
Khi đó
B(1) = A(1) = 2
B(2) = 2 + α
B(2) = 5 ta chọn α = 3.
Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1).
Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P (2) = 5,


2

P (3) = 12.
Ta xét đa thức có dạng
P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2)
= 2 + 3(x − 1) + α(x − 1)(x − 2).
Bởi vì P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) chúng ta có ngay P (1) = B(1) = 2,
P (2) = B(2) = 5.
Còn P (3) = 8 + 2α để P (3) = 12 thì α = 2.
Ta có P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2).
Khi đó đa thức P (x) cần tìm là

P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2)
= 2x2 − 3x + 3.
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1
số thực khác nhau và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ
tìm đa thức P (x) có bậc bé thua hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện.
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 .
Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng
P (x) = α1 +α2 (x−x1 )+α3 (x−x1 )(x−x2 )+. . .+αn+1 (x−x1 )(x−x2 ) . . . (x−xn+1 ).
Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay x = x1
vào cơng thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số
α1 . Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x2 vào cơng thức nội suy thì chúng ta sẽ
xác định được giá trị của hệ số α2 . Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng αn+1 sẽ
được xác định nếu chúng ta thay x = xn+1 .
Ví dụ 1.1.2. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)


3

+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào cơng thức cần tìm, chúng ta có P (1) = α1 = 1
P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, ta có P (2) = 1 + α2 = 1 do đó α2 = 0. Vậy
P (x) = 1 + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
1
Thay x = 3, ta có P (3) = 1 + 2α3 = 2, do đó α3 = , vậy

2
1
P (x) = 1+ (x−1)(x−2)+α4 (x−1)(x−2)(x−3)+α5 (x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
2
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 2 + 24α5 , do đó α5 =

1
. Do đó đa thức cần
12

tìm là
1
1
1
P (x) = 1+ (x−1)(x−2)− (x−1)(x−2)(x−3)+ (x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
2
6
12
Ví dụ 1.1.3. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào cơng thức trên, chúng ta có P (1) = α1 = 1, vậy
P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, chúng ta có P (2) = 1 + α2 = 4, do đó α2 = 3, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)

4

+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 3, chúng ta có P (3) = 7 + 2α3 = 9, do đó α3 = 1, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 4, chúng ta có P (4) = 16 + 6α4 = 16, do đó α4 = 0, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 25 + 24α5 = 25, do đó α5 = 0. Do đó đa thức
cần tìm là
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x2 .
Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1
có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n.
Công thức nội suy Lagrange

Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1
là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng
n thỏa mãn điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1
Chúng ta thấy rằng đa thức P (x) có thể được xây dựng từ các đa thức
P1 (x), P2 (x), . . . , Pn (x), Pn+1 (x) như sau
P (x) = y1 P1 (x) + y2 P2 (x) + . . . + yn Pn (x) + yn+1 Pn+1 (x)
trong đó, các đa thức P1 (x), . . . , Pn+1 (x) được xác định như sau
(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
P2 (x) =
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 )
P1 (x) =

5

......
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 )
(xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn )
Pn+1 (x) =
.
(xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn )
Pn (x) =

Các đa thức này thỏa mãn điều kiện
P1 (x1 ) = 1, P1 (x2 ) = 0, P1 (x3 ) = 0, . . . , P1 (xn ) = 0, P1 (xn+1 ) = 0
P2 (x1 ) = 0, P2 (x2 ) = 1, P2 (x3 ) = 0, . . . , P2 (xn ) = 0, P2 (xn+1 ) = 0
.........
Pn (x1 ) = 0, Pn (x2 ) = 0, Pn (x3 ) = 0, . . . , Pn (xn ) = 1, Pn (xn+1 ) = 0
Pn+1 (x1 ) = 0, Pn+1 (x2 ) = 0, Pn+1 (x3 ) = 0, . . . , Pn+1 (xn ) = 0, Pn+1 (xn+1 ) = 1.
Tóm lại
(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
+ y2
+ ...
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 )
+ yn
(xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn )

+ yn+1
.
(xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn )

P (x) = y1

Hay viết gọn lại
n+1

P (x) =

yi
i=1

x − xj
.
xi − xj

Đây chính là cơng thức nội suy Lagrange.
Ví dụ 1.1.4. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange
P (x) =

(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
+
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)

+2
+3
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)


6

+5

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
.
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

Ví dụ 1.1.5. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Dùng cơng thức nội suy Lagrange thì
P (x) =

1.1.2

(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
+4
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
+ 16
+9

(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
+ 25
.
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong tốn học trung
học phổ thơng

Định lý 1.1.1. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 ,
. . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x)
có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 .
Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sẽ được xác
định một cách duy nhất bằng n + 1 giá trị của nó.
Ví dụ 1.1.6. Xác định đa thức f (x) ∈ R[x] biết
1, f (1) = 2, f (2) = 3, degf = 1.
2, f (1) = 0, f (2) = 0, degf = 2.
1, Xét đa thức f (x) = ax + b
f (1) = 2 và f (2) = 3 suy ra a = 1, b = 1
Vậy f (x) = x + 1.
2, Xét đa thức f (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2)
Thay x = 1 vào đa thức trên ta có
f (1) = α1 = 0


7

Khi đó f (x) = α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2)

Thay x = 2 vào đa thức
f (2) = α2 = 0
Khi đó f (x) = α3 (x − 1)(x − 2)
Chọn α3 = 1 ta có f (x) = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2

1.2

Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được

phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6].
Ký hiệu Cp là trường số phức p-adic, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng
0 và đầy đủ với chuẩn khơng acsimét.
1.2.1

Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ

Định lý 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp và
a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị phân biệt trong Cp ∪ {∞}.
Khi đó nếu
E f (aj ) = E g (aj ), j = 1, 2, 3, 4
thì f ≡ g.
Định lý 1.2.2. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp , a1 , . . . , aq
là q giá trị khác nhau trên Cp ∪ {∞} và lấy kj ∈ Z+ ∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) với
k1

k2

...

kq ,

q

j=3

kj
kj + 1

2.

Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn
E

kj

(aj ) = E

kj

(aj), j = 1, . . . , q.


8

1.2.2

Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập

Xét đa thức sau
Fn,b (z) =

(n − 1)(n − 2) n
n(n − 1) n−2
z − n(n − 2)z n−1 +
z
+ b,
2
2

0
trong đó b ∈ Cp − {0, 1}. Ta cũng ký hiệu tập các khơng điểm Fn,b bởi Fn,b
.
0
Chú ý rằng Fn,b
có n giá trị phân biệt.

Định lý 1.2.3. Cho n

0
10 là một số nguyên, khi đó tập Fn,b
là tập xác định

duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng.
Tiếp theo ta xét vấn đề chung nhất tính với bội chặn.
Cho m0 là số nguyên dương hoặc ∞, F là một họ nào đó các hàm xác
định trên Cp lấy giá trị trên Cp ∪ {∞}. Với f ∈ F và S là một tập con của
Cp ∪ {∞}, ta ký hiệu
Efm0 (S) =

{(z, m) ∈ Cp × N|f (z) = a với bội n và m = min(n, m0 )}.
a∈S

Trong trường hợp m0 = ∞ (tương ứng, m0 = 1), ta viết
Ef∞ (S) = Ef (S) (tương ứng, Ef1 (S) = E f (S)).
Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp S được gọi là tập xác định duy nhất (cho ngắn
gọn, ta dùng ký hiệu URS) tính bội chặn m0 nếu với mọi cặp các hàm phân
hình khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện
Efm0 (S) = Egm0 (S) thìf ≡ g.
Để đơn giản, trong trường hợp m0 = ∞ tập S thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là URS, còn với m0 = 1 ta gọi S là URS khơng tính bội.
Khi đó ta cũng có thể gọi rằng hai hàm f và g phân chia tập S tính bội
chặn m0 .
Định nghĩa 1.2.2. Một đa thức khác hằng P (z) ∈ Cp [z] được gọi là đa thức
duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác
không c ∈ Cp thỏa mãn điều kiện
P (f ) = cP (g) thì f = g.


9

Tương tự, ta gọi một đa thức khác hằng P (z) là đa thức duy nhất yếu
cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f ) = P (g)
thì f = g.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Cho một điểm a ∈ Cp ta xét hàm
Vfa : Cp → Z xác định bởi công thức
Vfa (z) =



0

nếu f (z) = a

m

nếu z là không điểm bậc m của f − a.

Định nghĩa 1.2.3. Cho tập S = {a1 , a2 , . . . , aq } ⊂ Cp và đa thức
P (z) = (z − a1 )(z − a2 ) . . . (z − aq ).
Khi đó P được gọi là đa thức liên kết với S.
Ta viết đạo hàm của đa thức P dưới dạng sau
P (z) = r(z − d1 )n (z − d2 )n . . . (z − dk )qk ,
và k được gọi là chỉ số đạo hàm của P.
Định nghĩa 1.2.4. Đa thức P (z) khác không được gọi là thỏa mãn điều kiện
(H) nếu P (d1 ) = P (dm ) với mọi 1

l

m

k.

Định lý 1.2.4. Cho m0 là một số nguyên dương hoặc ∞. Giả sử P (z) là đa
thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k
hoặc k = 2 và min(q1 , q2 )

3,

2. Giả sử S là tập các nghiệm của P . Hơn nữa,

các điều kiện sau đây được thỏa mãn
a, q > 2k + 11 trong trường hợp m0 = 1,
b, q > 2k +

4
+ 5 trong trường hợp m0
m0 − 1

2,

c, q > 2k + 5 trong trường hợp m0 = ∞.
Khi đó, S là URS tính bội chặn m0 cho các hàm phân hình. Đặc biệt, S là URS
tính bội chặn m0 cho các hàm nguyên khi các điều kiện sau đây thỏa mãn


10

g, q > 2k + 4 trong trường hợp m0 = 1,
h, q > 2k +

2
+ 1 trong trường hợp m0
m0 − 1

2,

k, q > 2k + 1 trong trường hợp m0 = ∞.
Tiếp theo, chúng tôi nêu khái quát phương pháp chứng minh các định lý
vừa phát biểu trên đây như sau.

Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung các điểm riêng rẽ.
Dùng định lý chính thứ hai, xét bội của không điểm để chuyển hàm đếm tính
với bội 1 về hàm đặc trưng, sau đó ước lượng trên hàm đặc trưng và cho bán
kính của đĩa đang xét tiến ra vô hạn.
Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung một tập. Dùng giả
thiết nhận chung một tập, đưa về phương trình hàm. Dùng hai định lý chính
để phương trình hàm có nghiệm duy nhất.

1.3

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng khơng

1.3.1

Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
trưng khơng

Tiếp theo, tôi nhắc lại các kết quả trong [1] đã được trình bày ở [2]. Từ
đây trở đi, ta ln ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng khơng. Giả sử
f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f . Khi đó viết
f = (z − a)m p(z)
với p(a) = 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f . Đặt µ0f (a) = m. Giả sử
d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f ) là số các khơng điểm của f tính
cả bội;
n(f, d) = n(f − d),
q

nl (f ) =

min{mi , l},
i=1

nl (f, d) = nl (f − d),


11

n0 (f, d) = n0 (f − d).

n0 (f ) = q,

f1
là hàm hữu tỷ trên K, ở đó f1 , f2 ∈ K[x] và khơng có khơng
f2
điểm chung, d ∈ K, ta ký hiệu
Giả sử f =

n(f ) = n(f1 ),

n(f, d) = n(f1 − df2 ),

nl (f ) = nl (f1 ),

nl (f, d) = nl (f1 − df2 ),

n0 (f, d) = n0 (f1 − df2 ), n(f, ∞) = n(f2 ),
nl (f, ∞) = nl (f2 ),

n0 (f, ∞) = n0 (f2 ),

degf = degf1 − degf2 , Tf = max{degf1 , degf2 },
µdf = µ0f1 −f2 ,

0
µ∞
f = µf .

Định nghĩa 1.3.1. Đường cong hữu tỷ f : K → Pn (K) là một lớp tương đương
của các bộ (n + 1) đa thức (f1 , . . . , fn+1 ) sao cho f1 , . . . , fn+1 khơng có khơng
điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f1 , . . . , fn+1 ) và (g1 , . . . , gn+1 ) là
tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho gi = cfi với mọi
i = 1, . . . , n + 1.
Ký hiệu f˜ = (f1 : f2 : . . . : fn+1 ) là một biểu diễn của f . Khi đó ta viết
f :K
z

→ Pn (K)
→ f˜(z) = f1 (z) : . . . : fn+1 (z) .

Giả sử f và g là hai đường cong hữu tỷ từ K và Pn (K) với hai biểu diễn
f˜ = (f1 : f2 : . . . : fn+1 ), g˜ = (g1 : g2 : . . . : gn+1 ) tương ứng. Ta nói f đồng
nhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho f1 = cgi với ∀ i = 1, . . . , n + 1.
Định nghĩa 1.3.2. Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn (K) với hai biểu
diễn f˜ = (f1 : f2 : . . . : fn+1 ) được xác định bởi
Tf = max degfi
1 i n+1

ở đó degfi là bậc của đa thức fi (i = 1, . . . , n + 1).
Định nghĩa 1.3.3. Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn (K) được gọi là khơng

suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng
nào của Pn (K).


12

Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là một
điểm nào của Pn (K).
1.3.2

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng
đại số, đặc trưng khơng

Hai định lý sau đây là được đưa ra trong [1] và trình bày lại ở [2].
Định lý 1.3.1. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞}.
Khi đó
n(f, a)

Tf .

Định lý 1.3.2. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a1 , . . . , aq ∈
K ∪ {∞}. Khi đó

q

(q − 2)Tf

n1 (f, ai ) − 1.
i=1

Giả sử f là đa thức bậc k trên K và b ∈ K. Khi đó chúng ta có thể viết f
trong dạng
k

bn (z − b)n

f=
n=0

với bk = 0 và ta đặt ωf0 (b) = k. Cho a ∈ K, ta định nghĩa hàm
ωfa : K −→ N bởi ωfa (b) = ωf0=a (b).
Giả sử k là số nguyên dương. Ta định nghĩa hàm ωf k từ K tới N bởi

0
nếu ωf0 (z) > k
k
ωf (z) =
ω 0 (z) nếu ω 0 (z) k
f

f

và
ωf k (z),

n k (f ) =

(z ∈ K)

z∈K

n k (f, a) = n k (f − a).
Chú ý rằng ωf k (z) bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn z ∈ K.
lim n k (f, a) = n(f, a).

k→∞


13

Giả sử l là số nguyên dương. Ta định nghĩa
min ωf k (z), l

nl k (f ) =
z∈K

Chú ý rằng lim nl k (f ) = nl (f ).
k→∞

Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương.
Tương tự như trên, ta định nghĩa các hàm
n k (f, a), n<k (f, a) n k (f, a) n>k (f, a),
k
>k
nl k (f, a), nl (f, a) nl (f, a) nl (f, a).

Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K. Ta định nghĩa khuyết của
f tại a bởi
Θf (a) = 1 −

n1 (f, a)
.
Tf

Trong trường hợp a = ∞, ta kí hiệu
Θf (∞) = 1 −

n1 (f, ∞)
.
Tf

Do hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên K khác hai định lý chính
của hàm phân hình p-adic nên việc tương tự vấn đề duy nhất của trường hợp
p-adic cho trường hợp hàm hữu tỷ trên K là có ý nghĩa.
Sau đây chúng tơi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các khái niệm độ
cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên K.
Ví dụ 1.3.1. Xác định hàm độ cao, hàm đếm, hàm đếm tính với bội bị chặn
của các hàm hữu tỷ trên K sau đây
1. f (x) = x2 + 1.
2. f (x) =

x2 + 1
.
x3 + 2

3. f (x) = (x2 − 2x + 1)(x + 1)4 .
1, Ta có x2 + 1 = (x − z1 )(x − z2 ).
Ta có Tf = 2, n(f, 0) = 2.
Lấy l = 1, ta có n1 (f, 0) = 2.

14

2, Ta có x2 + 1 = (x − z1 )(x − z2 ).
x3 + 2 = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ).
Ta có Tf = 3, n(f, 0) = 2, n(f, ∞) = 3.
Lấy l = 1 ta có n1 (f, 0) = 2, n1 (f, ∞) = 3.
3, Ta có f (x) = (x − 1)2 (x + 1)4 ,
Tf = 6, n(f, 0) = 6,
lấy l = 1, ta có n1 (f, 0) = 2,
lấy l = 3, ta có n1 (f, 0) = 2,
lấy l = 6, ta có n1 (f, 0) = 6.
Ví dụ 1.3.2. Tìm ảnh ngược khơng tính bội, ảnh ngược tính cả bội của 1 đối
với các hàm sau trên K
1. f (x) = x2
2. f (x) = −x2 + 2x.
1, Xét phương trình x2 = 1, x2 − 1 = 0
Ta có x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) = 0
Do đó E f (1) = 2, Ef (1) = 2.
2, Xét phương trình −x2 + 2x = 1 hay x2 − 2x + 1 = 0, (x − 1)2 = 0. Do đó
E f (1) = 1, Ef (1) = 2.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng giả thiết tính đóng đại số của trường K là
cần thiết
Ví dụ 1.3.3. Xét f (x) =

x2 + 1
là hàm hữu tỷ trên trường số thực R. Xét
x4 + 1

(x2 + 1)(x2 + 3)
g(x) = 4
. Nếu ta định nghĩa hàm độ cao tương tự như trên thì
(x + 1)(x2 + 3)
Tf = 4, Tg = 6. Tf < Tg nhưng f (x) = g(x) trên R.


15

Chương 2
Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng
khơng với điều kiện ảnh của tập
hợp điểm và áp dụng
Trong chương này, chúng tôi sẽ tương tự các định lý duy nhất đối với hàm
phân hình p-adic trong [6] cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
khơng và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. Định lý 2.1.1 là tương tự của
Định lý 4 điểm, Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6], Định lý
2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6],...

2.1

Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị
Ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng khơng. Cho f là hàm hữu tỷ

khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Kí hiệu
Ef (a) = {(µaf (z), z) : z ∈ K},
và
E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ K : µaf (z) > 0}.
Cho k là số

k

k
E f (a) = z ∈ K, µf −a
.