Về một mô hình cân bằng nash cournot với cước phí lõm

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ MAI

VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG
NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2016


2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ MAI

VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG
NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - Năm 2016


1

Mục lục
Lời mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm .
1.2 Cực trị của hàm lồi . . . .
1.3 Toán tử đơn điệu . . . . .
1.4 Bất đẳng thức biến phân .

2

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

4
4
8
11
14

2 Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm
2.1 Mơ hình Nash - Cournot cổ điển . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Chuyển mơ hình về bài tốn quy hoạch hàm toàn
phương lồi mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mơ hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm . . . . .
2.2.1 Mơ hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm .
2.2.2 Thuật giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
18
18

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

22
27
27
33


2

Lời mở đầu

Mơ hình cân bằng thị trường bán độc quyền A. Cournot đưa ra vào
năm 1838 và đã được rất nhiều tác giả trên thế giới tập chung nghiên cứu.
Mơ hình Cournot có vai trị rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, đặc
biệt là trong lĩnh vực kinh tế. Một tiếp cận thường được dùng trong mơ

hình Cournot là sử dụng khái niệm cân bằng Nash.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của mơ hình là giải
quyết các bài tốn với mơ hình cước phí lõm. Trong những bài tốn thực
tế, khi số lượng hàng hóa sản xuất tăng lên thì cước phí để sản xuất một
đơn vị sản phẩm sẽ giảm đi. Do đó cước phí sẽ là lõm.
Nội dung của luận văn này trình bày về cách tiếp cận mơ hình cân
bằng Nash - Cournot với cước phí lõm, và nghiên cứu về thuật tốn để
tìm ra điểm cân bằng khi mơ hình có cước phí là lõm. Bản luận văn gồm
hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tìm hiểu các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, hàm
lõm, toán tử đơn điệu, cực trị của hàm lồi. Sau đó là tìm hiểu về bất đẳng
thức biến phân.
Chương 2: Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm
Giới thiệu về mơ hình Nash - Cournot cổ điển và cách chuyển mơ
hình về dạng bài tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh. Sau đó,
nghiên cứu mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm và giới thiệu một
phương pháp giải mơ hình trong trường hợp hàm chi phí lõm và tuyến
tính từng khúc.
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo
hướng dẫn GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm và hồn thiện luận văn.
Tơi cũng xin kính gửi lời cảm ơn tới tồn thể thầy cơ tham gia giảng
dạy khóa học cao học 2014 - 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy


MỤC LỤC

trang bị cho tôi những kiến thức cơ sở.
Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán

- Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong q trình học tập tại trường.
Đồng thời, tơi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng
nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K8A đã luôn quan tâm,
động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2016.
Tác giả

Nguyễn Thị Mai

3


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu những kiến thức cơ bản về
tập lồi, hàm lồi, tốn tử đơn điệu... Tiếp đó là trình bày về bài toán bất
đẳng thức biến phân. Các kiến thức ở chương này được tổng hợp từ các
tài liệu [1], [2], [3], [7].
Trong luận văn này chúng ta kí hiệu Rn là không gian Euclide thực
n chiều. Một phần tử x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn là một vectơ cột. Ta nhắc lại
với hai véctơ x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn ,
n

x, y :=

xi yi ,

i=1

được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ. Chuẩn Euclide của phẩn tử x và
khoảng cách Euclide giữa hai phẩn tử x, y được định nghĩa như sau:

x :=

x, y ,

d (x, y) := x − y .
1.1

Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm

Định nghĩa 1.1. Một tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với ∀x, y ∈ C ,
mọi 0 ≤ λ ≤ 1, ta có:
λx + (1 − λ) y ∈ C.
Một số ví dụ về tập lồi: Các tập afin (các siêu phẳng), hình trịn, hình
vng... Tuy nhiên, hình vành khăn, đường trịn khơng phải là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Hàm f : Rn → R ∪ (+∞) được gọi là:
(i) Lồi trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C ta có:

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(ii) Lồi chặt trên C nếu mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C , mọi x = y ta có:

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .

(iii) Lồi mạnh rên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C , tồn tại η ∈ R,
η > 0 ta có:
1
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) η x − y 2 .
2
(iv) Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.3. Cho hàm bất kỳ: f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn ,
các tập
domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} ,
và

epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} .
được gọi lần lượt là miền hữu dụng và tập lồi trên đồ thị của hàm f .
Nếu domf = φ; f (x) > −∞ ∀x ∈ S thì ta nói f là chính thường. Nói
cách khác f là chính thường nếu domf = φ.
Định lý 1.1. Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến
số ϕ (λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn .
Chứng minh.
Ta thấy điều kiện cần là rõ ràng. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử
ϕ (λ) là hàm lồi với mọi x, d ∈ Rn . Lấy bất kỳ x, y ∈ Rn và đặt d = x − y .
Khi đó, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có:

f ((1 − λ) x + λy) = f (x + λd) = ϕ (λ) = ϕ ((1 − λ) .0 + λ.1)
≤ (1 − λ) ϕ (0) + λϕ (1) = (1 − λ) f (x) + λf (y) .
Định nghĩa 1.4. Một hàm a-phin là hàm số có dạng f (x) = c, x + α
trong đó c ∈ Rn , α ∈ R cho trước tùy ý.
Nếu f (x) là hàm a-phin thì với mỗi x, y ∈ Rn và mọi số λ, β sao cho
λ + β = 1 ta có:
f (λx + βy) = λf (x) + βf (y).
Một hàm a-phin f (x) = c, x + α khơng lấy giá trị âm thì phải đồng

nhất với một hằng số (véctơ c phải bằng 0), vì nếu c = 0 thì ta sẽ có:

f (λx) = c, x + α → −∞,
khi λ → −∞.
5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.5. Một tập con M của Rn được gọi là nón (mũi tại 0) nếu
x ∈ M, λ > 0 thì λx ∈ M . Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi.
Điểm gốc 0 có thể thuộc hoặc khơng thuộc M. Nón M khơng chứa đường
thẳng nào gọi là nón nhọn. Trong trường hợp này, gốc 0 gọi đỉnh của M.
Mỗi nửa khơng gian (đóng hay mở) đều là một nón, nhưng khơng phải là
một nón nhọn.
Định lý 1.2. Tập con M của Rn là một nón lồi có đỉnh tại gốc khi và chỉ
khi λM ⊂ M, ∀λ > 0 và M + M ⊂ M .
Nghĩa là với mọi x, y thuộc M và với mọi số λ > 0 ta có x + y ∈ M và
λx ∈ M .
Chứng minh.
Nếu M là một nón lồi thì thì λM ⊂ M, ∀λ > 0 theo định nghĩa của
nón. Hơn nữa, lấy x, y ∈ M thì do M lồi nên 21 (x + y) ∈ M , do đó theo
trên x + y ∈ M . Vì thế M + M ⊂ M .
Ngược lại, nếu có λM ⊂ M, ∀λ > 0 và M + M ⊂ M thì M là một nón
và với mọi x, y ∈ M , λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x ∈ M, λy ∈ M . Từ đó,
(1 − λ) x + λy ∈ M , nghĩa là M là một tập lồi.
Tập con M ∈ C là một nón lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp tuyến
tính khơng âm (cịn gọi là tổ hợp nón) của các phần tử thuộc nó.
Nhận xét 1.1.
* Có thể chứng minh hàm f lồi trên S khi và chỉ khi:

+) Tập trên đồ thị epif là một tập lồi hoặc
m

+) f
k=1

λk xk

m

≤

λk f xk , ∀xk ∈ S,

k=1

m

λk = 1, λk ≥ 0 với mọi
k=1

k , trong đó m là số nguyên ≥ 2 ( Bất đẳng thức Jensen).
* Hàm lồi f : S → (−∞, +∞] có thể được mở rộng thành lồi xác định
trên tồn khơng gian Rn bằng cách đặt f (x) = +∞ ∀x ∈
/ S . Vì vậy, để
n
đơn giản ta thường xét hàm lồi trên toàn R .
Định nghĩa 1.6. Bao đóng của một tập C, kí hiệu là C là giao của tất
cả các tập đóng chứa C.
Định nghĩa 1.7. Một điểm a ∈ C được gọi là điểm trong tương đối của C

nếu nó là điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi af f C (tập a-phin nhỏ
nhất chứa C). Kí hiệu tập các điểm trong tương đối của C là riC . Theo
định nghĩa ta có:

riC := {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} .
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

trong đó B là một lân cận mở của gốc. Hiển nhiên

riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} .
Định lý 1.3. Bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi là tập lồi.
Chứng minh.
Giả sử C là một tập lồi và a, b ∈ C .
Chẳng hạn a = lim xk , b = lim y k , trong đó xk , y k ∈ C với mọi k . Với
k→∞

k→∞
k

mọi λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x + λy k ∈ C .
Từ đó:
(1 − λ) a + λb = lim (1 − λ) xk + λy k ∈ C.
k→∞

Như vậy, nếu a, b ∈ C thì [a, b] ⊂ C chứng tỏ C lồi.
Bây giờ, giả sử a, b ∈ riC . Khi đó tìm được hình cầu B tâm O sao cho:
(a + B) ∩ af f C và (b + B) ∩ af f C nằm trọn trong C.

Với ∀x = (1 − λ) a + λb, λ ∈ [0, 1] ,
Ta có:

(x + B) ∩ af f C = (1 − λ) (a + B) ∩ af f C + λ (b + B) ∩ af f C ⊂ C.
Như vậy x ∈ riC , nghĩa là riC lồi.
Tính chất 1.1.
a) Giao của một họ bất kỳ các tâp lồi là một tập lồi;
b) Nếu C, D ∈ Rn là các tập lồi thì:

C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D} ,
αC = {αx : x ∈ C, α ∈ R} , C − D = C + (−1) D.
c) Bao đóng của một tập hợp lồi là một tập lồi;
d) Tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong
Rn là một tập hợp lồi.
Tập C ∈ Rn được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ C, x = y , mọi điểm
λx + (1 − λ) y với 0 < λ < 1 đều là điểm trong của C.
Mệnh đề 1.1.
(i) Cho f và g là các hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với
A ∩ B = φ. Khi đó, hàm (λf ) + (βg) lồi trên, với mọi λ, β ≥ 0;
(ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàm
lồi. Tức là: fi : C → R (i ∈ N ) và dãy số {fi (x)} hội tụ với mỗi x ∈ C
7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

thì hàm f (x) := lim fi (x) cũng lồi trên C;
i→∞

(iii) Nếu f : C → R lồi trên C và hàm một biến ϕ : I → R không giảm

trên khoảng I, sao cho f (C) ⊆ I ,thì hàm hợp ϕ0 f lồi trên C.

1.2

Cực trị của hàm lồi

Định nghĩa 1.8. Cho C ⊆ Rn khác rỗng và f : Rn → (−∞, +∞]. Một
điểm x∗ ∈ C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một
lân cận U của x∗ sao cho:

f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C;
Điểm x∗ ∈ C được gọi là cực đại địa phương nếu:

f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ U ∩ C;
Nếu

f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C;
thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C.
Và nếu:
f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ C;
thì x∗ được gọi là cực đại tồn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C.
Mệnh đề 1.2. Cho f : Rn → Rn ∪ {+∞} lồi. Khi đó, mọi điểm cực tiểu
địa phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập
hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt, thì điểm cực
tiểu nếu tồn tại sẽ là duy nhất.
Chứng minh.
Cho C ⊆ Rn . Giả sử x∗ là điểm cực tiểu địa phương của f trên C. Khi
đó tồn tại lân cận U của x∗ sao cho:

f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C.

với mọi x ∈ C , và 0 < λ < 1 do C lồi và U là lân cận của x∗ ∈ C , nên
điểm xλ := (1 − λ) x∗ + λx ∈ C ∩ U khi λ đủ nhỏ. Do f (x∗ ) ≤ f (xλ ) và
f lồi, ta có:

f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ) f (x∗ ) + λf (x) .
Từ đây suy ra:

f (x∗ ) ≤ f (x) .
8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chứng tỏ x∗ là cực tiểu toàn cục của f trên C.
Giả sử x∗ , y ∗ ∈ C là điểm cực tiểu của f trên C.
Vậy f (x∗ ) = f (y ∗ ) ≤ f (x) với mọi x ∈ C . Lấy z ∗ := λx∗ + (1 − λ) y ∗ ,
với 0 < λ < 1. Do C lồi, nên z ∗ ∈ C và do f lồi, nên:

f (z ∗ ) ≤ (1 − λ) f (y ∗ ) + λf (x∗ ) ≤ f (x) .
Suy ra z ∗ cũng là điểm cực tiểu của f trên C. Chứng tỏ tập các điểm
cực tiểu của f trên C là lồi. Dễ thấy tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một
điểm khi f lồi chặt.
Mệnh đề 1.3.
(i) Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn và C ⊆ Rn là một
tập lồi. Khi đó, nếu f đạt cực đại trên C tại một điểm trong tương đối
của C mà tại đó hàm có giá trị hữu hạn thì f là hằng số trên C.
(ii) Nếu f là một hàm lồi chính thường trên Rn và bị chặn trên trong
một tập a-phin, thì nó là hằng số trên tập này.
Chứng minh.
(i) Giả sử a ∈ riC là điểm tại đó f đạt cực đại của nó trên C. Theo

tính chất của điểm trong tương đối, nên với mọi x ∈ C , đều tồn tại y ∈ C
sao cho a ∈ (x, y). Do f (x) ≤ f (a), f (y) ≤ f (a) và f lồi, nên suy ra
f (a) = f (b).
(ii) Nếu f không là hằng số trên tập a-phin M, có nghĩa là tồn tại
a, b ∈ M sao cho f (a) < f (b). Mọi điểm x thuộc nửa đường thẳng xuất
phát từ a và có hướng b – a đều có dạng x = a + λ (b − a) với λ > 0. Khi
đó:
1
λ−1
b= x+
a.
λ
λ
Với mọi λ > 0, theo tính lồi của f ta có:

f (b) ≤

1
λ−1
f (x) +
f (a) .
λ
λ

Từ đây và do giả thiết f (x) ≤ m < ∞ với mọi x ∈ M , ta suy ra

f (b) − f (a) ≤

1
1

1
f (x) − f (a) ≤ [m − f (a)] .
λ
λ
λ

Điều này đúng với mọi λ > 1, nên khi cho λ → +∞ ở về phải, do
f (a) hữu hạn, nên vế phải tiến tới 0, trong khi đó theo giả thiết, về trái
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

f (b) − f (a) > 0. Mâu thuẫn.
Vậy f phải là hằng số trên tập a-phin M.
Định nghĩa 1.9. Cho f : Rn → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo
hàm của f tại x nếu:

x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z)∀z.
Tương tự đối với hàm lồi khả vi thơng thường, biểu thức này có nghĩa
là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số. Tuy nhiên khác
với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể khơng duy nhất.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x). Nói
chung đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn . Khi ∂f (x) = φ thì ta
nói hàm f khả vi dưới vi phân tại x.
Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một
hệ vơ hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy ∂f (x) là giao của các
nửa khơng gian đóng.
Vậy ∂f (x) ln là tập lồi đóng (có thể rỗng). Như trong lý thuyết tốn
tử đa trị, ta sẽ kí hiệu:

dom (∂f ) := {x|∂f (x) = φ} .
Mệnh đề 1.4. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường.
(i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi f (x, y) ≥ x∗ , y , ∀y. Nếu x ∈ ri (domf )
thì f (x, y) = sup x∗ , y , ∀y;
x∗∈∂f (x)

(ii) Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn , thì với mọi x∗ ∈ dom (∂f ) ta
có: f (x) = f (x) và ∂f (x) = ∂f (x) .
Chứng minh.
(i) Theo định nghĩa

x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z) , ∀z,
Với bất kỳ y ta lấy, z = x + λy, λ > 0, ta có:

x∗ , λy + f (x) ≤ f (x + λy) ,
từ đây suy ra:

x∗ , y ≤

f (x + λy) − f (x)
, ∀λ > 0,
λ

Theo định nghĩa dưới vi phân của f (x, y), từ đây suy ra ngay:
10


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

x∗ , y ≤ f (x, y) , ∀y;
Ngược lại x∗ , y ≤ f (x, y) ∀y thỏa mãn. Lấy z bất kỳ và áp dụng
x∗ , y ≤ f (x, y) ∀y với y = z − x và λ = 1. Ta có:

f (x + y) − f (x) ≥ f (x, y) = f (x, z − x) ≥ x∗, z − x , ∀z,
Vậy x∗ ∈ ∂f (x).
(ii) Cho x ∈ dom (∂f ) và x∗ ∈ ∂f (x). Theo định nghĩa của f , của hàm
liên hợp và do x∗ ∈ ∂f (x) ta có:

f (x) ≥ f (x) = f ∗∗ (x) ≥ x∗ , x − f ∗ (x∗ ) = f (x) ,
Từ đây suy ra: f (x) = f (x).
Nếu y ∗ ∈ ∂f (x), thì với mọi z có:

f (z) ≥ f (z) ≥ f (x) + y ∗ , z − x = f (x) + y ∗ , z − x .
Suy ra ∂f (x) ⊆ ∂f (x) .
Để chứng minh điều ngược lại, lấy z 0 ∈ ri (domf). Với mọi z ta có:

f (z) = lim f (1 − t) z + tz 0 .
t↓0

Vậy theo định nghĩ dưới vi phân ta có:

f (1 − t) z + tz 0 ≥ f (x) + x∗ , (1 − t) z + tz 0 − x ,
Cho t

0 ta được:
f (x) ≥ f (x) + x∗ , z − x = f (x) + x∗ , z − x .

Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x).

1.3

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.10. Cho C là một tập lồi trong Rn , Q : C → Rn là một
ánh xạ. Ánh xạ Q được gọi là:
(i) Đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C ta có:

Q (u) − Q (v) , u − v ≥ 0.

11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(ii) Đơn điệu mạnh trên C với mỗi hằng số η > 0 nếu với mỗi cặp u, v ∈ C
có:
Q (u) − Q (v) , u − v ≥ η||u − v||2 .
(iii) Đơn điệu ngặt trên C nếu với mọi u, v ∈ C và mọi u = v ta có:

Q (u) − Q (v) , u − v > 0.
(iv) Giả đơn điệu trên C nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ C ta có:
Nếu Q (v) , u − v ≥ 0 thì Q (u) , u − v ≥ 0.
Định nghĩa 1.11. Đồ thị (grF ), miền hữu dụng (domF ), miền ảnh
(rgeF ) của ánh xạ đơn trị F : X → Y , được định nghĩa tương ứng bằng
cơng thức sau:

grF = {(x, y) ∈ X × Y : y = F (x)} ;
domF = {x ∈ X : ∃y : F (x) = y} ;
rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y = F (x)} .

Trong khơng gian hữu hạn chiều Rn tốn tử tuyến tính được cho là một
ma trận và tốn tử liên hợp chính là chuyển vị của ma trận đó.
Ví dụ 1.1.
Cho f : H → (−∞, +∞] là hàm lồi chính thường khả vi. Khi đó, ∇f
là đơn điệu.
Chứng minh.
Lấy (x, u) và (y, v) ∈ gra∇f . Ta có:

x − y|u + f (y) ≥ f (x) ,
và

y − x|v + f (x) ≥ f (y) ,
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

x − y|u − v ≥ 0.

Định lý 1.4. Toán tử tuyến tính A : Rn → Rn là đơn điệu trên Rn khi và
chỉ khi:
Az, z ≥ 0, ∀z ∈ Rn .

12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chứng minh.
Hiển nhiên, domA = Rn và A là toán tử đơn điệu. Theo định nghĩa A
là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi:

A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn ,

hay

A (x − y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn ,
Đặt z = x − y ta có:

A (z) , z ≥ 0, ∀z ∈ Rn .
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.5. (Phép tốn bảo tồn tính đơn điệu)
Các tính chất sau ln đúng
(i) Nếu T1 , T2 là tốn tử đơn điệu từ Rn → Rn và nếu λ1 , λ2 ≥ 0 thì
λ1 T1 + λ2 T2 cũng là toán tử đơn điệu. Nếu thêm điều kiện T1 hoặc T2
là đơn điệu chặt thì λ1 T1 + λ2 T2 là đơn điệu chặt.
(ii) Nếu T : Rn → Rn là toán tử đơn điệu và A : Rn → Rn là tốn tử
tuyến tính, A∗ là tốn tử liên hợp của A thì S (x) = A∗ T ∗ (Ax + b)
cũng là tốn tử đơn điệu. Ngồi ra, nếu A là đơn ánh và T là toán tử
đơn điệu chặt thì S là tốn tử đơn điệu chặt.
Chứng minh.
(i) Hiển nhiên ta có:

dom (λ1 T1 + λ2 T2 ) = {z ∈ Rn : λ1 T1 (z) + λ2 T2 (z) = 0}
= domT1 ∩ domT2 .
Giả sử: x, y ∈ domT1 ∩ domT2 và
u ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 ) (x) = λ1 T1 (x) + λ2 T2 (x) ,
v ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 ) (y) = λ1 T1 (y) + λ2 T2 (y) .
Lấy ui ∈ Ti (x) , vi ∈ Ti (y) , i = 1, 2 sao cho:

u = λ1 u1 + λ2 u2 ;
v = λ1 v1 + λ2 v2 .
do T1 , T2 là toán tử đơn điệu nên ta có:

u1 − v1 , x − y ≥ 0,
13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

u2 − v2 , x − y ≥ 0.
Nhân lần lượt hai vế của biểu thức trên với λ1 và λ2 rồi cộng lại ta
được:
u − v, x − y ≥ 0,
Điều này chứng tỏ λ1 T1 + λ2 T2 là toán tử đơn điệu.
(ii) Lấy x, y ∈ domT , u ∈ S(x) = A∗ T (Ax + b),
v ∈ S (y) = A∗ T (Ay + b) chọn u1 ∈ T (Ax + b) và v1 ∈ T (Ax + b)
sao cho: u = A∗ u1 , v = A∗ v1 .
Do tính đơn điệu của T ta có:

v − u, y − x = A∗ v1 − A∗ u1 , y − x
= v1 − u1 , (Ay + b) − (Ax + b) ≥ 0.
từ đó suy ra S là tốn tử đơn điệu.
Giả sử A là đơn ánh và T là tốn tử đơn điệu chặt, khi đó nếu x = y
thì Ax = Ay kéo theo Ax + b = Ay + b. Giả sử u, v, u1 , v1 được lấy
như trên, vì T là tốn tử đơn điệu chặt nên
v1 − u1 , (Ay + b) − (Ax + b) > 0.
Suy ra:

v − u, y − x > 0.
Từ đó chứng tỏ S là tốn tử đơn điệu chặt.

1.4

Bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H và ánh xạ F : C → H là
liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩa như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:

F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.1)

Bài toán bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là VIP (C; F). Tập tất
cả các nghiệm của VIP (C; F) được kí hiệu là SOL - VIP (C; F).
Khi F là đạo hàm của hàm lồi thì bài tốn VIP tương đương với bài
tốn quy hoạch lồi.
Cho H là không gian Rn , C là tập con lồi đóng khác rỗng của H ,
F : C → H là ánh xạ đơn điệu và ϕ là hàm lồi chính thường của H . Ta
14


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

xét bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát sau (còn gọi là bất đẳng
thức biến phân hỗn hợp):
Tìm x∗ ∈ C sao cho:

F (x∗ ) , x − x∗ + ϕ (x) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.2)

trong đó, ., . là tích vơ hướng trong H . Thấy rằng khi ϕ khả vi liên tục

trên C , bất đẳng thức (1.2) tương đương với:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:

F (x∗ ) + ∇ϕ (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.3)

Với bài toán (1.2) ta xét hàm đánh giá sau:

g(x) := − min

F (x), y − x +

1
y − x, G(y − x) + ϕ(y) − ϕ(x), y ∈ C ,
2
(1.4)

trong đó G là ma trận đối xứng xác định dương. Trong trường hợp ϕ là
khả vi ta thu được hàm đánh giá:

g1 (x) = − min

F (x) + ∇ϕ(x), y − x +

1
y − x, G(y − x) , y ∈ C .
2
(1.5)

Chú ý rằng hàm mục tiêu trong bài toán xác định g1 (x) là hàm tồn
phương lồi mạnh.Vì C là lồi đóng và hàm mục tiêu là lồi mạnh nên bài
toán quy hoạch (1.4) và (1.5) luôn giải được với x ∈ C . Cho h (x) và h1 (x)
tương ứng là nghiệm duy nhất của bài toán (1.4) và (1.5). Nếu ϕ là hàm
hằng thì hai ánh xạ h (x) và h1 (x) là trùng nhau. Vì thế, trong trường
hợp này h (x) = h1 (x) với mọi x ∈ U . Ngồi ra, cả h (x) và h1 (x) có
tính chất chung là một điểm x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân hỗn hợp (1.2) nếu và chỉ nếu h (x∗ ) = h1 (x∗ ) = x∗ .
Định lý 1.6. Cho C khác rỗng, C ⊂ Rn là tập compact và lồi, ánh xạ
F : C → Rn liên tục, khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân (1.1) có
nghiệm, tức là tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn:

F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Chứng minh. Xây dựng ánh xạ Φ bằng cách với mỗi x ∈ C đặt:

Φ (x) := PC (x − F (x)) .
Ta có:

Φ : C → C,
15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Do F liên tục trên C và phép chiếu PC liên tục nên Φ liên tục.
Vậy định lý điểm bất động Brouwer tồn tại:

x∗ = Φ (x∗ ) .
Theo định nghĩa của Φ, thì:

x∗ = Φ (x∗ ) := PC (x∗ − F (x∗ )) .
Theo tính chất của hình chiếu, ta có:

F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy bài tốn bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm.
Cho tập lồi C = φ, đặt CR = C ∩ R trong đó R là hình cầu đóng
bán kính R tâm O ∈ Rn . Khi đó CR là tập compact. Từ đó ta có:

xR ∈ CR : F (xR ) , y − xR ≥ 0, ∀y ∈ CR .

(1.6)

Định lý 1.7. Cho C ∈ Rn là tập lồi, đóng và ánh xạ:

F : C → Rn ,
liên tục trên C . Điều kiện cẩn và đủ để tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số R > 0 sao cho có một nghiệm
xR ∈ CR của bài toán (1.6) thỏa mãn:

xR < R.

(1.7)

Chứng minh. Rõ ràng nếu tồn tại một nghiệm x của bài tốn (1.1) thì
x là một nghiệm của bài tốn (1.6), miễn là:

xR < R,
vì:

x ∈ CR ⊂ C.

Giả sử xR ∈ CR thỏa mãn xR < R cũng là một nghiệm của bài tốn
(1.1). Thật vậy, vì |xR | < R, cho y ∈ C , w = xR + ε (y − xR ) ∈ CR với
ε ≥ 0 đủ nhỏ.
Vì vậy xR ∈ CR ⊂ C :

0 ≤ F (xR ) , w − xR = ε F (xR ) , y − xR , ∀y ∈ C.
Điều này có nghĩa là xC là một nghiệm của bài toán (1.1)
16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Mệnh đề 1.5. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : C → Rn
là một ánh xạ liên tục. Khi đó:
(i) Nếu F là đơn điệu ngặt trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân
(1.1) có nhiều nhất một nghiệm.
(ii) Nếu F là đơn điệu mạnh trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân
(1.1) có nghiệm duy nhất.

17


18

Chương 2

Mơ hình Nash - Cournot với cước
phí lõm
2.1

Mơ hình Nash - Cournot cổ điển

2.1.1

Khái niệm mơ hình

Trong mơ hình cân bằng thị trường, giả sử có n cơng ty đang cùng sản
xuất một mặt hàng đồng nhất. Kí hiệu, xi ∈ Ui ⊆ R+ là mức sản lượng
sản phẩm của công ty thứ i(i = 1, 2, ..., n) dự định sẽ thực hiện. Ta giả sử
rằng pi là giá của một đơn vị sản phẩm do công ty thứ i sản xuất, nó phụ
n

thuộc vào tổng sản lượng hàng hóa của cả cơng ty. Kí hiệu là: σ :=

xi ,
i=1

nghĩa là ta có pi := pi (σ). Đặt hi (xi ) là hàm chi phí của cơng ty thứ i khi
mức sản lượng của công ty đạt được là xi . Giả sử lợi nhuận của công ty i
đạt được cho bởi hàm:
n

fi (x1 , ..., xn ) = xi pi

xi

− hi (xi ) , (i = 1, ..., n).

(2.1)

i=1

trong đó hi là hàm chi phí của cơng ty thứ i được giả định là chỉ phụ
thuộc vào sản phẩm lượng hàng sản xuất của nó. Mỗi cơng ty tìm cách tối
đa hóa lợi nhuận của riêng cơng ty mình bằng cách chọn sản phẩm lượng
hàng sản xuất cho riêng mình. Gọi Ui ⊂ R (i = 1, ..., n) là tập các chiến
lược sản xuất của công ty i. Đặt U := U1 × ... × Un là tập chiến lược của
tất cả các công ty. Từ đó, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1. Một điểm x∗ = (x∗1 , ..., x∗n ) ∈ U được gọi là một điểm
cân bằng Nash của mơ hình Nash – Cournot nếu với mọi i = 1, 2, ..., n và
với mọi yi ∈ Ui ta đều có:

fi (x∗1 , ..., x∗i−1 , yi , x∗i+1 , ..., x∗n ) ≤ fi (x∗1 , ..., x∗n ) , (∀i = 1, ...., n),

(2.2)


Chương 2. Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Đặt

fi (x∗1 , ..., x∗i−1 , yi , x∗i+1 , ..., x∗n ) = fi (x∗ [yi ]) , (∀i = 1, ...., n),
Khi đó (2.2) sẽ tương đương với:

fi (x∗ [yi ]) ≤ fi (x∗1 , ..., x∗n ) , (∀i = 1, ...., n), yi ∈ Ci .

(2.3)

Từ đây ta thấy rằng tại điểm cân bằng lợi nhuận của các cơng ty là cao
nhất. Vì vậy nếu có một cơng ty rời khỏi vị trí cân bằng mà các cơng ty

vẫn giữ ngun ở vị trí đó thì lợi nhuận của cơng ty đó sẽ bị giảm đi chứ
khơng tăng lên. Do đó, mà các cơng ty đều muốn ở vị trí cân bằng của
mình. Với mỗi x = (x1 , ..., xn ) và y = (y1 , ..., yn ) ta đặt:
n

ψ(x, y) := −

n

fi (x1 , ..., xi−1 , yi , xi+1 , ..., xn ) = −
i=1

fi (x [yi ]), (2.4)
i=1

và

Φ (x, y) := ψ(x, y) − ψ (x, x) .

(2.5)

Khi đó, bài tốn tìm điểm cân bằng của mơ hình cân bằng Nash – Cournot
tương đương với bài tốn sau:
Tìm x∗ ∈ U sao cho:

Φ (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ U.

(2.6)

Mệnh đề 2.1. Điểm x∗ ∈ U là điểm cân bằng của mơ hình Nash - Cournot

và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (2.6).
Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ U là điểm cân bằng của mơ hình. Khi đó,

fi (x∗ [yi ]) ≤ fi (x∗ ) , (∀i = 1, ...., n),∀yi ∈ Ui ,
suy ra:
n
i=1

fi (x∗ [yi ]) ≤

n

fi (x∗ ), (∀i = 1, ...., n), ∀yi ∈ Ui ,

i=1

hay
n

−
i=1

fi (x∗ [yi ]) ≥ −

n

fi (x∗ ), (∀i = 1, ...., n), ∀yi ∈ Ui ,

i=1

Tức là ta có:

ψ (x∗ , y) ≥ ψ (x∗ , x∗ ) , ∀y ∈ U,
19


Chương 2. Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Khi đó:

Φ (x∗ , y) := ψ(x∗ , y) − ψ (x∗ , x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng.
Ngược lại, x∗ là nghiệm của bài tốn cân bằng nên nó thỏa mãn:

Φ (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ U,
nên:

Φ (x∗ , y) := ψ(x∗ , y) − ψ (x∗ , x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U,
suy ra:

ψ(x∗ , y) ≥ ψ (x∗ , x∗ ) , ∀y ∈ U,
Vậy
n

n

∗

−

fi (x [yi ]) ≥ −
i=1

fi (x∗ ), (∀i = 1, ...., n), ∀yi ∈ Ui ,

i=1

Điều này có nghĩa rằng:
n

fi (x∗ [yi ]) ≤

i=1

n

fi (x∗ ), (∀i = 1, ...., n),∀yi ∈ Ui ,

i=1

Do đó:

fi (x∗ [yi ]) ≤ fi (x∗ ) , (∀i = 1, ...., n), ∀yi ∈ Ui .
Vậy x∗ ∈ U là điểm cân bằng của mơ hình.

20


Chương 2. Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Hình 2.1: Mơ hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí tuyến tính

Nhận xét 2.1.
- Hiển nhiên x ∈ D là nghiệm tối ưu tồn cục của bài tốn (P ) thì x là
nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ).
- Nếu D là một tập lồi và f là một hàm lồi trên D thì bài toán (P )
được gọi là một bài toán quy hoạch lồi.
- Nếu D = Rn thì bài tốn (P ) được gọi là bài tốn tối ưu khơng ràng
buộc. Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán tối ưu (P ) là bài tốn
quy hoạch tồn phương lồi mạnh với ràng buộc tuyến tính, tức là:

1
f (x) = q T x + xT Qx,
2
trong đó q ∈ Rn và Q là ma trận đối xứng xác định dương.
Ta cần mệnh đề sau đây:
Xét bài toán quy hoạch lồi:

min {f (x) : x ∈ D} ,
trong đó f là hàm lồi mạnh trên D và D là một tập lồi đóng. Khi đó, bài
tốn này có duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Giả sử α > 0 là hệ số lồi mạnh của hàm f , tức là hàm:
α
x 2,
g (x) := f (x) −
2
là hàm lồi.
21

Chương 2. Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Dễ thấy rằng hàm:

α
x 2,
2
thỏa mãn điều kiện bức trên D, nghĩa là: f (x) → ∞ khi x ∈ D, x →
+∞ (Xem bổ đề 11.2 trong [2].)
Vì vậy bài toán:
min {f (x) : x ∈ D} ,
f (x) = g (x) +

ln tồn tại.
Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử bài toán min {f (x) : x ∈ D} có
hai nghiệm là x∗ và y ∗ .
Khi đó, do tính lồi mạnh của f ta suy ra:

x∗ = y ∗ .
Phần tiếp theo chúng ta sẽ trình bày cách chuyển bài tốn (2.6) về bài
tốn tối ưu một hàm tồn phương.
2.1.2

Chuyển mơ hình về bài tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh

Trong mơ hình cân bằng kinh tế thị trường Nash – Cournot cổ điển
hàm giá và hàm chi phí của mỗi cơng ty giả sử là hàm a-phin, có dạng
sau:
n

pi (σ) ≡ p (σ) = α0 − β.σ, α0 > 0, β > 0, σ =

xi ,

(2.7)

i=1

hi (xi ) ≡ µi xi + ξi , µi > 0, ξi > 0(i = 1, ...n).

22

(2.8)


Chương 2. Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Như vậy, hàm giá là chung cho mọi công ty. Từ (2.4), và (2.5) ta có:
n

Φ (x, y) := ψ(x, y) − ψ (x, x) =

n

fi (x) −
i=1

n

=

i=1



xp
 i i

n

n

− hi (xi ) − yi pi 

xi
i=1

j=i,j=1



(xj [yi ]) + hi (yi )



n

i=1

n

xi − (µi xi + ξi ) − yi α0 − β

xi α0 − β
=

i=1



n

fi (x [yi ])

i=1

(xj [yi ])
j=i,j=1

+µi yi + ξi }


n 
n
n

2
2
(xj ) + βyi
=
(x − yi ) α0 − β

xi + µi (yi − xi ) − βyi
 i

i=1
i=1
j=i,j=1




n 
n

2
2
=
(y − xi ) β
xj − α0 + µi  + βyi − βxi
 i

i=1
j=i,j=1



n
n
n
n 


2


xj − α0 + µi
+β
yi − β
(yi − xi ) β
x2i
=


i=1

i=1

j=i,j=1

i=1

= Bx + µ − α, y − x + y T By − xT Bx.
trong đó:


β
 0
B := 
 ...
0

0

β
...
0

0
0
...
0

...
...
...
...



0
0


0 
 β
;
B
:=
 ...
... 
β
β

β
0
...
β

β
β
...
β

...
...
...
...


β
β 

... 
0

và

αT = (α0 , α0 , ...., α0 ) , µT = (µ1 , µ2 , ..., µn ) .
Do đó, bài tốn tìm điểm cân bằng trong của mơ hình cân bằng Nash –
Cournot có thể được viết lại thành bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn
hợp sau:
Tìm x ∈ U sao cho:

Bx + µ − α, y − x + y T By − xT Bx ≥ 0, ∀y ∈ U ;

23

(2.9)