Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HÀ THỊ NGỌC BÍCH

VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Song Hà

THÁI NGUYÊN - 2020


i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Song Hà. Tôi xin bày tỏ
lịng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới người thầy đã dành nhiều thời gian
trực tiếp hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt
q trình làm và hồn thiện luận văn. Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm
ơn tới các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tơi hồn thành khóa học. Cuối cùng, xin gửi

lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể giáo viên trường THPT Nam Phù Cừ,
nơi tôi đang công tác đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi học tập và làm luận văn tốt nghiệp.

Tác giả
Hà Thị Ngọc Bích


ii

Mục lục

❚r❛♥❣ ❜➻❛ ♣❤ö

✐

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

iv

Danh sách bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số vấn đề về điểm bất động và phép chiếu mêtric . . . . .

2
2

1.2. Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ánh xạ đơn điệu và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
16
21

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến
phân trong Rn
24
2.1. Mơ hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Sự tồn tại nghiệm trường hợp miền ràng buộc là tập compact 28
2.3. Sự tồn tại nghiệm trường hợp miền ràng buộc không compact 31
2.4. Một vài phương pháp xấp xỉ nghiệm bài toán (VIP) . . . . . . 40
Kết luận chung và đề nghị

51

Tài liệu tham khảo

52


iii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Rn

Không gian thực hữu hạn chiều

co(C)

Bao lồi của tập C

cl(C)

Bao đóng của tập C

C\D

Phần bù của tập hợp D trong C

x, y

Tích vơ hướng của hai véctơ x và y

x

Chuẩn của véctơ x

∀x

Với mọi x

F :X→Y

Ánh xạ đơn trị từ X vào Y

F :X⇒Y

Ánh xạ đa trị từ X vào Y

PC (x)

Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

α↓0

α giảm dần về 0

∇f (x)

Gradient của ánh xạ f tại x

∂f (x)

Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x

Dãy {xn } hội tụ đến x khi n → +∞

(VIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân

(MVIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty

Fix(T )

Tập điểm bất động của ánh xạ T

KKM

Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz


iv

Danh sách bảng

2.1
2.2
2.3

2.4
2.5

Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.14) với ρ = 1/4 . . . .
Kết quả tính toán cho phương pháp (2.14) tương ứng với các

43

giá trị ρ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.16) tương ứng với
giá trị λ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.17) với τ = 1/4 .
Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.17) tương ứng với
giá trị τ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

. . .
các
. . .
. . .
các
. . .

45
49
50


1

Mở đầu

Bài tốn bất đẳng thức biến phân được hình thành từ những cơng trình
nghiên cứu của Lion, Stampacchia và Minty [1, 6] vào những năm 50 của
thế kỉ trước. Bài tốn này có liên hệ mật thiết với nhiều bài tốn lí thuyết
như: bài tốn tối ưu, bài tốn cân bằng, bài toán điểm bất động, bài toán
minimax, bài tốn điểm n ngựa, phương trình với tốn tử đơn điệu, bài
tốn biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng ... và đóng vai trị rất
quan trọng trong nghiên cứu nhiều lĩnh vực thực tiễn như: công nghệ thông
tin và truyền thông, giao thông, kinh tế, y học, quân sự ... Vì lẽ đó, trong
suốt hơn 70 mươi năm qua, bài toán này đã và đang thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngồi nước.
Những nghiên cứu về bài tốn này chủ yếu theo ba hướng chính: Một là,
nghiên cứu các tính chất định tính của bài tốn về sự tồn tại và tính duy
nhất nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy nghiệm hay tính chất tơpơ của
tập nghiệm. Hai là, nghiên cứu đề xuất các thuật toán hoặc phương pháp giải
số hữu hiệu tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn. Ba là, nghiên cứu ứng dụng lí
thuyết bài tốn này vào giải quyết các mơ hình thực tiễn.
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống
về sự tồn tại nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân trong không gian
hữu hạn chiều cùng một số phương pháp xấp xỉ nghiệm.
Với mục tiêu như vậy, ngồi phần mở đầu, luận văn gồm có hai chương,
kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1, hệ thống lại một số kiến thức cơ
bản của giải tích lồi và giải tích hàm nhằm phục vụ cho việc trình bày các
nội dung chính ở phần sau của luận văn. Chương 2, dành để giới thiệu lớp
bài toán nghiên cứu cùng các kết quả tồn tại nghiệm được xây dựng trên
tính chất loại đơn điệu của ánh xạ mục tiêu và cấu trúc tôpô của miền ràng
buộc. Phần cuối chương, chúng tơi trình bày ba phương pháp chiếu (phương
pháp chiếu gradient, phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu tăng

cường) tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn cùng các ví dụ số minh họa cụ thể.


2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục
vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc
của chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày một số nội
dung cơ bản về lý thuyết điểm bất động và phép chiếu mêtric trên tập con
lồi khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều. Mục 1.2 trình bày một số khái
niệm và tính chất cơ bản về dưới vi phân hàm lồi. Các khái niệm về ánh xạ
loại đơn điệu và liên tục được cụ thể hóa trong Mục 1.3. Phần cuối chương,
Mục 1.4 dùng để giới thiệu về lớp ánh xạ đa trị KKM và nguyên lí ánh xạ
KKM. Đây là cơng cụ chính để chứng minh các kết quả tồn tại nghiệm trong
Chương 2.
1.1.

Một số vấn đề về điểm bất động và phép chiếu mêtric

Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều, tích vơ hướng và chuẩn trên
khơng gian này được kí hiệu lần lượt là ., . và . . Tích vơ hướng của
hai véctơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn xác định bởi
x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn và chuẩn của véctơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
tương ứng sinh bởi tích vơ hướng này là x =

x21 + x22 + ... + x2n .

Định nghĩa 1.1. Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và
với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Hay nói cách khác, tập C ⊆ Rn là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối
hai điểm bất kì thuộc nó.
Ví dụ 1.1. Trong khơng gian Rn , các tập hợp
S = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : x − x0 ≤ r},
Hα = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : a, x ≤ α},


3

∆ = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : A, x ≤ b},
trong đó x0 ∈ Rn , r là số thực dương, a ∈ Rn , α ∈ R, A là ma trận thực cỡ
m × n và b ∈ Rm , tương ứng là hình cầu tâm x0 với bán kính r, nửa khơng
gian đóng, hình đa diện. Các tập hợp này là các tập lồi.
Ví dụ 1.2. Một số ví dụ đơn giản về tập hợp không là tập lồi trong không
gian R2 và R3 là
C1 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 > 1},
C2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 x2 > 1},
C3 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x3 = x21 + x22 },
C4 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : |x1 | + |x2 | + |x3 | = 1}.
Một số tính chất cơ bản về tập lồi được phát biểu trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Trong khơng gian Rn , ta có các khẳng định sau:
(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là tập lồi.
(ii) Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α.
(iii) Tổng của hai tập lồi là tập lồi.
(iv) Tích Descartes của hai tập lồi là tập lồi.
(v) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một phép biến đổi tuyến tính là
tập lồi.

Chứng minh. (i) Giả sử {Ci }, i ∈ I là một họ tùy ý các tập lồi, ở đây I là tập
chỉ số nào đó. Khi đó, với mọi x, y ∈
Ci và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có:
i∈I

x, y ∈ Ci ,

∀i ∈ I.

Vì Ci là tập lồi nên
λx + (1 − λ)y ∈ Ci ,

∀i ∈ I.

Từ đây suy ra
λx + (1 − λ)y ∈

Ci .
i∈I


4

Ci là tập lồi.

Hay nói cách khác,
i∈I

(ii) Lấy tùy ý hai phần tử x, y ∈ αC và λ ∈ [0, 1]. Khi đó, x và y tương
ứng có dạng x = αu và y = λv với u, v ∈ C. Do C lồi nên λu + (1 − λ)v ∈ C.

Điều này dẫn đến
λx + (1 − λ)y = λ(αu) + (1 − λ)(αv) = α[λu + (1 − λ)v] ∈ αC.
Do đó, αC là tập lồi.
(iii) Giả sử C và D là hai tập lồi. Lấy tùy ý hai phần tử x, y ∈ C + D và
λ ∈ [0, 1]. Khi đó, x và y lần lượt có dạng x = u + v và y = w + z, trong đó
u, w ∈ C và v, z ∈ D. Do C, D lồi nên λu+(1−λ)w ∈ C và λv +(1−λ)z ∈ D.
Từ đó suy ra
λx + (1 − λ)y = λ(u + v) + (1 − λ)(w + z)
= [λu + (1 − λ)w] + [λv + (1 − λ)z] ∈ C + D.
Vì vậy, C + D là tập lồi.
(iv) Giả sử H và K là hai tập lồi. Lấy tùy ý hai phần tử x = (u, v) ∈
H × K, y = (w, z) ∈ H × K và λ ∈ [0, 1]. Từ tính lồi của H, K suy ra
λu + (1 − λ)w ∈ H và λv + (1 − λ)z ∈ K. Mặt khác, để ý rằng
λx + (1 − λ)y = (λu, λv) + ((1 − λ)w, (1 − λ)z)
= (λu + (1 − λ)w, λv + (1 − λ)z) ∈ H × K.
Vì thế, ta có H × K là tập lồi.
(v) Giả sử f là một tốn tử tuyến tính, C và D là các tập lồi. Khi đó,
∀x, y ∈ f (C), ∀λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y = λf (u) + (1 − λ)f (v) = f (λu + (1 − λ)v),
ở đây, u, v ∈ C và x = f (u), y = f (v) ∈ f (C). Vì C lồi nên λu + (1 − λ)v ∈ C
và vì thế suy ra λx + (1 − λ)y ∈ f (C). Hay nói cách khác ảnh của C qua
phép biến đổi f là tập lồi.
Bây giờ, nếu x, y ∈ f −1 (D) thì f (x) ∈ D và f (y) ∈ D. Vì D lồi nên
f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) ∈ D.


5

Điều này dẫn đến
λx + (1 − λ)y ∈ f −1 (D).

Do đó, f −1 (D) là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Véctơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ xi ∈ Rn
m

(i = 1, 2, · · · , m) nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , m) với

λi = 1 sao cho
i=1

m

x=

λi x i .
i=1

Mệnh đề 1.2. Cho C ⊂ Rn là tập lồi và x1 , x2 , · · · , xm ∈ C. Khi đó, C chứa
tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 , · · · , xm .
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m.
Trường hợp m = 2, ta có
λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C,
vì C là tập lồi. Do đó, kết luận của mệnh đề là đúng trong trường hợp này.
Giả sử khẳng định của mệnh đề đúng với m = k ≥ 2. Ta cần chứng minh
k+1

λi xi ∈ C.

x=
i=1
k+1

với λi ≥ 0, i = 1, 2, · · · , k + 1,

λi = 1.
i=1

Thật vậy, nếu λk+1 = 1 thì λi = 0 với mọi 1 ≤ i ≤ k. Do đó, ta nhận được
x = λk+1 xk+1 = xk+1 ∈ C.
Bây giờ, giả sử λk+1 < 1. Khi đó, ta thấy
1 − λk+1 = λ1 + · · · + λk > 0,
và

k

i=1

λi
≥ 0,
1 − λk+1

λi
= 1.
1 − λk+1

∀i = 1, 2, · · · , k


6

Do đó, theo giả thiết quy nạp ta có

k

y=
i=1

λi x i
∈ C.
1 − λk+1

k+1

λi xi = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ C. Ta có điều cần

Từ đây suy ra x =
i=1

chứng minh.
Định nghĩa 1.3. Cho C ⊆ Rn . Giao của các tập con lồi chứa C được gọi là
bao lồi của tập C và kí hiệu là co(C).
Nhận xét 1.1. co(C) là một tập lồi (Mệnh đề 1.1) và đó là tập lồi nhỏ nhất
chứa C. Nếu C là tập lồi thì co(C) = C. Hơn nữa, co(C) trùng với tập tất
cả các tổ hợp lồi của C, tức là x ∈ co(C) khi và chỉ khi x biểu diễn được
dưới dạng
m

x=

m

λi x i ,

i=1

λi ∈ [0, 1],

λi = 1,

xi ∈ C.

i=1

Thật vậy, vì C ⊆ co(C) nên co(C) chứa tất cả các tổ hợp của C (Mệnh
đề 1.2). Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của C là lồi và chứa C nên nó
chứa co(C).
Định nghĩa 1.4. Tập con C ⊆ Rn được gọi là:
(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao cho
x ≤ M.
(ii) tập đóng nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C, xn → x thì ta đều có x ∈ C.
(iii) tập compact nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C đều tồn tại một dãy con {xnk }
thỏa mãn xnk → x và x ∈ C.
Mệnh đề 1.3. [1, 2] Trong Rn , ta có các khẳng định sau:
(i) Tập con đóng của một tập compact là tập comapct.
(ii) Một tập là compact khi và chỉ khi tập đó đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.5. Cho C là một tập con khác rỗng của Rn và F : C → C
là một ánh xạ xác định trên C. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của


7

F nếu F (x) = x. Tập tất các điểm bất động của ánh xạ F được kí hiệu là
Fix(F ), tức là

Fix(F ) = {x ∈ C : F (x) = x}.
Ví dụ 1.3. Cho C = [0, 1] ⊂ R. Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) = 1 − x
thì F có duy nhất điểm bất động và Fix(F ) = {1/2}, nếu ánh xạ F xác định
bởi F (x) = x2 thì F có hai điểm bất động và Fix(F ) = {0, 1}, nếu ánh xạ F
xác định bởi F (x) = x thì F có vơ số điểm bất động và Fix(F ) = [0, 1]. Tuy
nhiên, nếu ánh xạ F xác định bởi


cos(x) nếu 0 ≤ x < 1 ,
2
F (x) =
1

0
nếu ≤ x ≤ 1,
2
thì F khơng có điểm bất động.
Ví dụ 1.4. Xét trường hợp tập C = R3 . Với mỗi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ C, khi đó
ta có:
Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) =

x1 x2 x3
, ,
2 3 4

thì F có duy

nhất điểm bất động và Fix(F ) = {(0, 0, 0)}.
Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (−x3 , x42 , x1 ) thì F có hai điểm
bất động và Fix(F ) = {(0, 0, 0), (0, 1, 0)}.

Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (x1 , 1, x3 ) thì F có vơ số điểm
bất động và Fix(F ) = R × {1} × R.
Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (x1 , x22 + 1, x43 + 1) thì F khơng
có điểm bất động.
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập con khác rỗng của Rn và F : C → Rn là
một ánh xạ xác định trên C. Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu
tồn tại L ≥ 0 sao cho
F (x) − F (y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

Bất đẳng thức trên đúng với 0 ≤ L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co cịn nếu
L = 1 thì F được gọi là ánh xạ khơng giãn.
1
Ví dụ 1.5. Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) = x (hoặc F (x) = cos(x))
2
là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ không giãn).


8

Ánh xạ F : R2 → R2 xác định bởi F (x) =
A=

1 1
−1 1

1
1
Ax (hoặc F (x) = √ Ax) với

3
2

là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ khơng giãn).

Định lí 1.1. [6] (Ngun lí ánh xạ co)
Nếu ánh xạ F : Rn → Rn là ánh xạ co thì F có duy nhất điểm bất động.
Nhận xét 1.2. Định lí trên nói chung là khơng cịn đúng trong trường hợp
F là ánh xạ không giãn. Chẳng hạn, tính duy nhất của điểm bất động khơng
cịn bảo đảm với ánh xạ F : Rn → Rn xác định bởi F (x) = x vì trong trường
hợp này Fix(F ) = Rn . Ngoài ra, điều kiện ánh xạ co chỉ là điều kiện cần.
Chẳng hạn, F : R → R xác định bởi F (x) = sin(x) là ánh xạ khơng giãn và
F có duy nhất điểm bất động với Fix(F ) = {0}.
Định lí 1.2. [6] (Brouwer)
Cho F : S → S là một ánh xạ liên tục trên hình cầu đóng S ⊂ Rn . Khi đó,
ánh xạ F có ít nhất một điểm bất động.
Nhận xét 1.3. Nếu F là một ánh xạ liên tục trên hình cầu đóng S ⊂ Rn vào
chính nó thì tập điểm bất động của F có thể khơng duy nhất. Chẳng hạn,
xét hình cầu đóng S = {x ∈ R : |x| ≤ 1} và ánh xạ F : S → S xác định bởi

1 + 2x nếu − 1 ≤ x < 0,
F (x) =
1
nếu 0 ≤ x ≤ 1.
Khi đó, dễ thấy rằng F là ánh xạ liên tục trên S và Fix(F ) = {−1, 1}.
Hơn nữa, điều kiện F liên tục chỉ là điều kiện cần. Thật vậy, ta xét ánh
xạ F : S → S sau đây

0 nếu − 1 ≤ x < 1,
F (x) =

1 nếu x = 1.
Khi đó, dễ thấy rằng ánh xạ F không liên tục trên S nhưng Fix(F ) = {0, 1}.
Định lí 1.3. [6] (Brouwer)
Cho C là tập con lồi compact trong không gian Rn và F : C → C là ánh
xạ liên tục. Khi đó, ánh xạ F có điểm bất động.


9

Định nghĩa 1.7. Cho C là tập con khác rỗng trong khơng gian Rn . Khi đó
với mỗi x ∈ Rn , ánh xạ PC : Rn → C thỏa mãn điều kiện
x − PC (x) = inf x − z .
z∈C

gọi là phép chiếu mêtric trên Rn và y = PC (x) được gọi là hình chiếu của x
trên C.
Sự tồn tại và tính duy nhất của phép chiếu mêtric được phát biểu trong
mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.4. [2]
Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Rn . Khi đó với mỗi
x ∈ Rn tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ C sao cho
x − y = inf x − z .
z∈C

Chứng minh. Nếu x ∈ C thì chọn y = x. Nếu x ∈
/ C, khi đó vì C đóng nên
d := inf x − z > 0 và tồn tại một dãy {yn } ⊂ C sao cho
z∈C

x − yn → d.

Để ý rằng
yn − ym

2

(vì C là tập lồi nên

= (x − yn ) − (x − ym )
= 2 x − yn

2

2

+ 2 x − ym

2

= 2 x − yn

2

+ 2 x − ym

2

yn + ym
−4 x−
2

≤ 2 x − yn

2

+ 2 x − ym

2

− 4d2 ,

− 2x − (yn + ym )

2
2

∀m, n ∈ N,

yn + ym
∈ C). Cho m, n → ∞ trong bất đẳng thức trên
2

ta nhận được
yn − ym → 0.
Điều này suy ra {yn } là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ Rn . Do đó, tồn
tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng
yn → y.


10

Vì C là tập đóng nên y ∈ C. Hơn nữa, ta lại có
x − yn → x − y .
Từ đó dẫn đến d = x − y .
Cuối cùng, giả sử tồn tại z ∈ C thỏa mãn x − z = d. Khi đó, ta có
y−z

2

= (x − y) − (x − z)
=2 x−y

2

=2 x−y

2

2

+2 x−z

2

− 2x − (y + z)

+2 x−z

2

y+z

−4 x−
2

2
2

≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0.
Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất.
Dưới đây là một số ví dụ cụ thể về phép chiếu mêtric lên các nửa khơng
gian đóng, hình cầu đóng trong khơng gian hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.6. [2]
Giả sử C := {x ∈ Rn : x, u ≤ ζ} là nửa khơng gian đóng trong Rn với
ζ ∈ R và u ∈ Rn là phần tử cố định. Khi ấy, ta có
(i) Nếu u = 0 và ζ ≥ 0 thì C = Rn và PC = I.
(ii) Nếu u = 0 và ζ < 0 thì C = ∅.
(iii) Nếu u = 0 thì C = ∅ và với mọi x ∈ Rn ta có


x
nếu x, u ≤ ζ,
PC (x) =
ζ − x, u

u nếu x, u > ζ.
x +
u 2
Ví dụ 1.7. [2]
Cho C := {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r} là hình cầu đóng tâm x0 ∈ Rn và bán
kính r > 0. Khi ấy, với mọi x ∈ Rn ta có



x
nếu x − x0 ≤ r,
PC (x) =
x − x0

nếu x − x0 > r.
x0 + r
x − x0
Mệnh đề sau cho ta một đặc trưng hình học về phép chiếu mêtric.


11

Mệnh đề 1.5. [2]
Cho C ⊆ Rn là tập con lồi đóng khác rỗng. Khi đó, y = PC (x) là hình
chiếu của x trên C khi và chỉ khi
y∈C:

y, z − y ≥ x, z − y

∀z ∈ C.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.4, ta thấy
y = PC (x) ⇔ x − y = inf x − z .
z∈C

Mặt khác, với mọi z ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có
uλ = λz + (1 − λ)y ∈ C,
(vì tính lồi của C) và vì thế ta nhận được y = PC (x) khi và chỉ

x − y ≤ x − uλ ,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

Bất đẳng thức này tương đương với
x−y

2

≤ x − y + λ(y − z)
= x−y

2

2

+ λ2 y − z

2

+ 2λ x − y, y − z ,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

hay
λ
y − z 2,
2
Từ đây suy ra y = PC (x) nếu và chỉ nếu
x − y, z − y ≤

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

x − y, z − y ≤ 0, ∀z ∈ C.
Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Rn . Khi
đó, phép chiếu mêtric PC là ánh xạ khơng giãn, tức là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y

∀x, y ∈ Rn .

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ Rn , từ Mệnh đề 1.5 ta có
PC (y) − PC (x), x − PC (x) ≤ 0,
và
PC (x) − PC (y), y − PC (y) ≤ 0.


12

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được
PC (x) − PC (y), −(x − PC (x)) + (y − PC (y)) ≤ 0.
Bất đẳng thức này suy ra
PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y
≤ PC (x) − PC (y)

x−y .

Từ đây, ta có điều cần chứng minh.
1.2.

Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.8. Cho C ⊆ Rn là một tập con lồi và khác rỗng. Hàm số
f : C → R được gọi là
(i) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
(ii) hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x = y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
Ví dụ 1.8. Xét C = Rn và hàm số f : Rn → R xác định bởi f (x) = x là
một hàm lồi.
Ví dụ 1.9. Xét C = R và hàm số f : R → R xác định bởi f (x) = x2 là một
hàm lồi và cũng là hàm lồi chặt. Tuy nhiên, hàm số

0 nếu x < 0,
f (x) =
x nếu x ≥ 0.
là một hàm lồi nhưng khơng là hàm lồi chặt.
Định lí 1.4. [2]
Cho C ⊆ Rn là tập lồi khác rỗng. Hàm f : C → R là hàm lồi khi và chỉ
m

khi ∀λi ≥ 0 (i = 1, . . . , m),

λi = 1 và ∀x1 , . . . , xm ∈ C ta có
i=1

f (λ1 x1 + · · · + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + · · · + λm f (xm ).


13

Định nghĩa 1.9. Cho f : C → R là hàm xác định trên C ⊆ Rn . Khi đó,
hàm f được gọi là
(i) khả vi Gâteaux tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗
trên C thỏa mãn
lim
α↓0

f (x + αy) − f (x)
= x∗ , y ,
α

∀y ∈ C.

Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x và thường được kí
hiệu là fG (x) hoặc ∇f (x).
(ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ C.
(iii) khả vi Fréchet tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗
trên C thỏa mãn
|f (x + y) − f (x) − x∗ , y |
= 0.
lim
y
y →0
Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và thường được kí
hiệu là fF (x) hoặc f (x).

(iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi x ∈ C.
Nhận xét 1.4. Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũng khả
vi Gâteaux. Thật vậy, điều cần chứng minh được suy ra trực tiếp từ mối liên
hệ sau:
|f (x + y) − f (x) − x∗ , y |
=0
y
y →0
|f (x + αz) − f (x) − α x∗ , z |
⇒ lim
=0
α→0
α z
f (x + αz) − f (x)
⇒ lim
− x∗ , z = 0,
α→0
α
lim

ở đây, ta thay y = αz với α > 0 và z = 0 là phần tử cố định tùy ý trong C.
Tuy nhiên, một hàm f : C → R khả vi Gâteaux tại x ∈ C thì nó có thể
khơng khả vi Fréchet. Thật vậy, chẳng hạn ta xét hàm số f : R2 → R xác
định bởi


3

 uv
f (u, v) = u4 + v 2


0

nếu (u, v) = (0, 0),
nếu (u, v) = (0, 0).


14

Khi đó, hàm số trên khả vi Gâteaux tại 0 vì
α4 u3 v
4 4
2 2
f (0 + αy) − f (0)
= lim α u + α v = 0 = 0, y ,
lim
α↓0
α↓0
α
α

∀y = (u, v) ∈ R2 .

hay fG (0) = 0. Trong khi đó, f khơng khả vi Fréchet tại điểm này vì với
y = (u, v) mà v = u2 , ta lại có
u5
1
|f (y)|
u4 + u4
.

=√
= √
y
u2 + u4
2 u2 + 1
Từ đó suy ra
|f (0 + y) − f (0)|
|f (y)| 1
= lim
= = 0.
y
y
2
→0
y →0

lim
y

Định nghĩa 1.10. Cho f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ Rn .
(i) Phần tử x∗ ∈ Rn được gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm x¯ ∈ E nếu
f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯

∀x ∈ C.

(ii) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x¯ được gọi là dưới vi phân của f
tại x¯, kí hiệu là ∂f (¯
x), tức là
∂f (¯

x) = {x∗ ∈ Rn : f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ C}.
(iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯
x) = ∅.
Ví dụ 1.10. Cho f : R → R xác định bởi f (x) =| x − a |. Khi đó, ta có dưới
vi phân của hàm f là



{−1}
nếu x < a,


∂f (x) = {[−1, 1]} nếu x = a,



{1}
nếu x > a.
Mối liên hệ giữa dưới vi phân và tính khả vi Gâteaux (hoặc khả vi Frétchet)
được phát biểu trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.6. [2]
Cho f : Rn → R là hàm lồi. Khi đó, ta có các khẳng định sau:


15

(i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ Rn với fG (x) = x∗ và f khả dưới vi phân
tại x thì
∂f (x) = {x∗ }.

(ii) Nếu f là hàm liên tục tại x ∈ Rn và ∂f (x) chỉ gồm một phần tử duy nhất
x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và
fG (x) = x∗ .
Chứng minh. (i) Giả sử f khả vi Gâteaux tại x ∈ Rn với fG (x) = x∗ . Ta có
lim
α↓0

f (x + αy) − f (x)
= x∗ , y ,
α

∀y ∈ Rn .

Mặt khác, từ tính lồi của f ta lại có
f (x + λ(z − x)) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x),

∀λ ∈ (0, 1).

Ta đặt y = z − x. Khi đó, ta nhận được
f (x + λy) ≤ f (x) + λ(f (y + x) − f (x)),

∀λ ∈ (0, 1).

Từ đó suy ra
f (x + λy) − f (x)
≤ f (y + x) − f (x),
λ

∀λ ∈ (0, 1).

Điều này dẫn đến
f (x) − f (y + x) ≤ − x∗ , y ,
hay tương đương với
f (x) − f (y + x) ≤ x∗ , x − (y + x) ,

∀y ∈ Rn .

Vì thế, ta có x∗ ∈ ∂f (x). Mặt khác, nếu y ∗ ∈ ∂f (x) thì
y∗, y =

1 ∗
f (x + λy) − f (x)
y , (x + λy) − x ≤
,
λ
λ

Cho λ → 0 ta được
y ∗ , y ≤ x∗ , y ,

∀y ∈ Rn ,

y ∗ − x∗ , y ≤ 0,

∀y ∈ Rn ,

hay

∀y ∈ Rn , ∀λ > 0.

16

Bất đẳng thức này suy ra x∗ = y ∗ . Vì thế, ta có ∂f (x) = {x∗ }.
(ii) Giả sử ∂f (x) = {x∗ }. Khi đó, từ định nghĩa ta có
f (u) − f (x) ≥ x∗ , u − x ,

∀u ∈ Rn .

Do đó, với u = x + λy ta nhận được
f (x + λy) − f (x)
≥ x∗ , y ,
λ
Bất đẳng thức trên dẫn đến
lim
λ↓0

∀λ > 0, ∀y ∈ Rn .

f (x + λy) − f (x)
f (x + λy) − f (x)
= inf
= x∗ , y ,
λ>0
λ
λ

∀y ∈ Rn .

Từ đây suy ra điều cần chứng minh.

1.3.

Ánh xạ đơn điệu và liên tục

Định nghĩa 1.11. Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng và F : C → Rn là ánh
xạ xác định trên C. Ánh xạ F được gọi là:
(i) đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C.

(1.1)

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu
F (x) − F (y), x − y > 0 ∀x = y ∈ C.

(1.2)

(iii) α-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương α sao cho
F (x) − F (y), x − y ≥ α x − y

2

∀x, y ∈ C.

(1.3)

Nhận xét 1.5. Nếu ánh xạ F là α-đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặt
trên C, nếu ánh xạ F đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C. Tuy nhiên,
chiều ngược lại của các khẳng định trên nói chung khơng đúng.
Ví dụ 1.11. Cho C = R. Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) = x là ánh
xạ 1-đơn điệu mạnh và vì thế F cũng là ánh xạ đơn điệu chặt và đơn điệu

trên R. Ánh xạ F : R → R xác định bởi

1 + x2 nếu x ≥ 0,
F (x) =
1 − x2 nếu x ≤ 0,


17

là ánh xạ đơn điệu chặt trên R nhưng không đơn điệu mạnh.
Ánh xạ F : R → R xác định bởi

0 nếu x < 0,
F (x) =
x nếu x ≥ 0,
là ánh xạ đơn điệu trên R nhưng không đơn điệu chặt.
Định nghĩa 1.12. Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng. Ánh xạ F : C → Rn
được gọi là giả đơn điệu trên C nếu
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
Nhận xét 1.6. Mọi ánh xạ đơn điệu là giả đơn điệu nhưng khẳng định ngược
lại nói chung khơng đúng. Chẳng hạn, ánh xạ F : [0, +∞) → R xác định bởi
1
F (x) =
là ánh xạ giả đơn điệu nhưng không đơn điệu. Thật vậy, với
1+x
mọi x, y ∈ [0, +∞) ta luôn có
F (y), x − y ≥ 0 ⇔

x−y
x−y

≥0⇒
≥ 0 ⇔ F (x), x − y ≥ 0.
1+y
1+x

Tuy nhiên, với mọi x, y ∈ [0, +∞) ta lại có
F (x) − F (y), x − y =

1
1
(x − y)2
−
≤ 0.
(x − y) = −
1+x 1+y
(1 + x)(1 + y)

Định nghĩa 1.13. Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng. Ánh xạ F : C → Rn
được gọi là tựa đơn điệu chính tắc trên C nếu ∀J = {x1 , x2 , · · · , xm } ⊆ C và
∀y ∈ co(J) đều tồn tại 1 ≤ i ≤ m sao cho
F (xi ), y − xi ≤ 0.
Nhận xét 1.7. Mọi ánh xạ đơn điệu hoặc giả đơn điệu đều là tựa đơn điệu
chính tắc.
Định nghĩa 1.14. Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng. Ánh xạ F : C → Rn
được gọi là B-giả đơn điệu (đơn diệu theo nghĩa Brézis) nếu với mỗi x ∈ C
và mọi dãy {xn } trong C hội tụ đến x với
lim inf F (xn ), x − xn ≥ 0
n→∞

18

thì ta đều có
F (x), y − x ≥ lim sup F (xn ), y − xn ,

∀y ∈ C.

n→∞

Chú ý 1.1. Trong không gian hữu hạn chiều, mọi ánh xạ liên tục hoặc ánh
xạ đơn điệu mà h-liên tục đều là ánh xạ B-giả đơn điệu (Mệnh đề 27.6, trang
586, [9]).
Ví dụ 1.12. Một ánh xạ B-giả đơn điệu có thể khơng giả đơn điệu. Chẳng
hạn, trong khơng gian R2 , xét tập
C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1}
và ánh xạ F : C → R2 được cho bởi
F (x1 , x2 ) = (−x1 , x22 ).
Khi đó, theo Chú ý 1.1 thì dễ thấy F là B-giả đơn điệu. Tuy nhiên, F không
giả đơn điệu. Thật vậy, lấy x = (1, 0) và y = (−1, 0), ta có
F (y), x − y = 2 ≥ 0,
nhưng
F (x), x − y = −2 < 0.
Tiếp theo, ta có tính lồi của một hàm f khả vi Gâteaux có thể đặc trưng
bởi tính đơn điệu của ∇f như dưới đây.
Mệnh đề 1.7. [2]
Cho C ⊆ Rn là tập lồi mở và f : C → R là hàm khả vi Gâteaux trên C.
Khi đó, các khẳng định sau tương đương:
(i) f là hàm lồi.
(ii) ∇f là đơn điệu, tức là
∇f (x) − ∇f (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi. Từ Mệnh đề 1.6 và tính khả vi Gâteaux
của f , ta có
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x ,

∀x, y ∈ C.


19

Đổi vai trị x và y ta lại có
f (x) − f (y) ≥ ∇f (y), x − y ,

∀x, y ∈ C.

Cộng hai vế các bất đẳng thức trên ta nhận được
∇f (x) − ∇f (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

Ngược lại, giả sử ta có (ii). Ta xét hàm số h : R → R xác định bởi
h(t) = f (y + t(x − y)). Khi đó, với mọi t ∈ [0, 1], h là hàm số khả vi và
h (t) = ∇f (y + t(x − y)), x − y .
Với mọi x, y ∈ C, lấy tùy ý 0 < α < β < 1 và đặt
yα = y + α(x − y) ∈ C,

yβ = y + β(x − y) ∈ C.

Khi đó, kết hợp với giả thiết (ii) ta có
h (β) − h (α) = ∇f (yβ ), x − y − ∇f (yα ), x − y
1
∇f (yβ ) − ∇f (yα ), yβ − yα
=
β−α
≥ 0.
Điều này suy ra h là hàm không giảm trên (0, 1). Từ đây dẫn đến
h(t) − h(0) 1
=
t
t

t
0

1
h (w)dw ≤
1−t

1

h (w)dw =
t

h(1) − h(t)
1−t

với mọi t ∈ (0, 1). Từ ước lượng trên suy ra
th(1) + (1 − t)h(0) ≥ h(t).

Do đó, ta nhận được
tf (y) + (1 − t)f (x) ≤ f (x + t(y − x)),

∀x, y ∈ C.

Hay f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.15. Cho C ⊆ Rn là tập con lồi khác rỗng và F : C → Rm là
ánh xạ xác định trên C. Khi đó, F được gọi là:
(i) h-liên tục tại x ∈ C nếu với bất kì dãy {xn } các phần tử trong C mà hội
tụ tới x dọc theo một tia thì ta đều có {F (xn )} hội tụ tới F (x), tức là
F (xn ) := F (x + tn y) → F (x) khi tn → 0 với mọi y ∈ C.


20

(ii) h-liên tục trên C nếu nó h-liên tục tại mọi điểm x ∈ C.
Định nghĩa 1.16. Cho C ⊆ Rn là tập con lồi khác rỗng và f : C → R là
ánh xạ xác định trên C. Khi đó, f được gọi là:
(i) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xn } các phần tử trong C
mà hội tụ tới x ta đều có
f (x) ≥ lim sup f (xn )
n→∞

(ii) nửa liên tục trên trên C nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ C.
(iii) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xn } các phần tử trong C
mà hội tụ tới x ta đều có
f (x) ≤ lim inf f (xn )
n→∞

(iv) nửa liên tục dưới trên C nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ C.

(v) liên tục tại x ∈ C (trên C) nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới tại x ∈ C (trên C).
Ví dụ 1.13. Hàm số f : R → R xác định bởi

x + 1 nếu x ≥ 0,
f (x) =
0
nếu x < 0,
là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không nửa liên tục dưới tại điểm này.
Hàm số g : R → R xác định bởi

−x2 nếu x ≤ 0,
g(x) =
1
nếu x > 0,
là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không nửa liên tục trên tại điểm này.
Hàm số h : R → R xác định bởi


sin 1
x
h(x) =

1

nếu x = 0,
nếu x = 0,

là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không tồn tại giới hạn trái (không liên
tục trái) cũng như giới hạn phải (không liên tục phải) của hàm số h(x) tại

điểm này.