CÁC đặc TRƯNG của đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN và VECTƠ NGẪU NHIÊN (điện tử xác SUẤT THỐNG kê SLIDE)

Chương 3. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên và véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
Ρ Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi
Định nghĩa 1.1: Giả sử (
i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục và có hàm mật độ làf X ( x )

⇒ Ε ( Χ) =

+∞

∫ x. f ( x ) dx
X

−∞

Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

1


§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2
là:


D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) ) 


Định lý 2.1 :

( ) (

D(Χ) = Ε Χ − Ε ( Χ )
2

)

2

( )

vớ
i Ε Χ 2 = ∑ xi2.pi , nế
u X rờ
i rạc ;
+∞

( ) ∫

Ε Χ2 =

−∞

i

x2. fΧ ( x) dx , neá
u X liê
n tục.

2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) = C 2 .D( Χ)
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
3. Độ lệch:
σ ( Χ) = D ( Χ)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2


§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và Ρ ( Χ = xi ) = pi

⇒ M od Χ = xi neá
u pi = M ax pi
0

0

Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm
fX
có

( x)

, ta

⇒ Mod Χ = x0 neá
u f X ( x0 ) = Max f X ( x)

2. Med X(medium – trung vị X)
Med Χ = m ⇔ Ρ ( Χ < m ) ≤ 1/ 2, Ρ ( X > m ) ≤ 1/ 2
Định nghĩa 3.3:

1
MedX
=
m
⇔
F
(
m
)
=
f
x
dx
=
Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì X
∫−∞ X ( )
2
m

Khoa Khoa Học và Máy Tính

3


3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu
nhiên X đối với số a là :
k

Ε ( X − a) 



a = 0: moment gốc
a = E(X): moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)
cos x, x ∈ [ 0, π / 2]
Ví dụ 3.1:

Χ ~ fX ( x) = 
0, x ∉ [ 0, π / 2]

Ε( Χ) =

+∞

∫ x. f ( x ) dx = ∫
X

−∞

Khoa Khoa Học và Máy Tính

π /2

0

π
x.cos xdx = − 1
2
4


2

π

D ( X ) = ∫ x cos xdx −  − 1÷ = π − 3
10 44 2 4 43  2 
π /2

2

( )

Ε X2

Mod X =0
Med X = m

⇔∫

m

−∞

m

f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1/ 2
0

⇔ sin m = 1 / 2 ⇔ m = π / 6

Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau

X
P

1

2

... m − 1

p qp ... q

Khoa Khoa Học và Máy Tính

m−2

p q

m
m −1

m + 1 ...
m

p q p ... q

k
k −2

...
p ...
5


∞

E ( X ) = ∑ kp.q

k −1

k =1

= p.

1

( 1− q)

2

1
=
p

2

1
D ( X ) = ∑ k pq
− ÷
k =1
 p
1
4 2 43
+∞

k −1

2

(

Ε Χ2

)

2

1
1+ q
1+ q
1
q
= p.
− ÷ =
− 2 = 2
3
2
(1 − q )
p
p
p
 p
Mod X = 1

 p ( 1 + q + ... + q m − 2 ) ≤ 1 / 2

Med X =m ⇔ 
m−2
m −1
p
1
+
q
+
...
+

q
+
q
) ≥ 1/ 2

 (
Khoa Khoa Học và Máy Tính

6


 1− q
 m−1 1
p
.
≤
1/
2
q ≥
 1− q
m −1


1 − q ≤ 1/ 2 
2
⇔
⇔
⇔



m
m
1 − q ≥ 1/ 2
 p. 1 − q ≥ 1/ 2
q m ≤ 1

 1 − q
2
⇔ m ln q ≤ − ln 2 , ( m − 1) ln q ≥ − ln 2
m −1

− ln 2
− ln 2
⇔
≤m≤
+1
ln q
ln q

Khoa Khoa Học và Máy Tính

7


.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất
sau:

X
P

2
5
7
0, 4 0,3 0,3

Ε ( Χ ) = 2.0, 4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, 4
D ( Χ ) = 21 .0.4
+
5
.0,3
+
7
.0,3
−
4,
4
(
)
4 4 44 2 4 4 4 43
2

2

2

2

( )

Ε Χ2

σ ( Χ ) = D( X ) = 2,107
Mod X = 2 ; Med X = 5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

8


Cách dùng máy tính bỏ túi ES
• Mở tần số(1 lần): Shift Mode
• Nhập: Mode Stat 1-var

xi

ni

2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Stat On(Off)

x =→ Ε ( Χ ) = 4, 4

xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107

9


Cách dùng máy tính bỏ túi MS:
Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:
SHIFT S – VAR

Khoa Khoa Học và Máy Tính

 x =→ Ε ( Χ ) = 4, 4

 xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107
10


Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân
đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận
được. Hãy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i

Χ = Χ1 + Χ 2 + .... + Χ 5

Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + .... + Ε ( Χ 5 ) = 5Ε ( Χ1 )

Xi độc lập ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ 2 ) + ... + D ( Χ 5 ) = 5D ( Χ1 )
X1
PX

1

2 ... 6

7
⇒ Ε ( Χ1 ) = ,
1 1
1
2
...
6 6
6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

35
D ( Χ1 ) =
12
11


§4: Kỳ vọng của hàm Y = ϕ ( Χ )
1.Trường hợp rời rạc:

Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) .pi
2.Trường hợp liên tục:

i

Χ : fX ( x) ⇒ Ε ( Y ) = ∫

−∞

Ví dụ 4.1:
Cho

+∞

Χ : fX

(

ϕ ( x ) . f X ( x ) dx


 π 
cos
x
,
x
∈
0, 


2



x) = 
0 , x ∉  0, π 



2




Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

12


Ε( Y ) = ∫

π /2

0

Ε( Y

2

) =∫

sin x

sin x cos xdx =
2

π /2

0

D( Y ) = Ε( Y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

3

π /2
0

sin x
sin x cos xdx =
3
2

2

) −( E(Y ) )

2

1

=
2

π /2
0

1
=
3

1 1 1
= − =
3 4 12
13


§5: Kỳ vọng của hàm Ζ = ϕ ( Χ,Y )

(

)

1.Trường hợp rời rạc: Ρ Χ = xi , Y = y j = pij
Ví dụ 5.1:

⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ ϕ ( xi , y j ) . pij

Ε ( ΧY ) = ∑ xi y j pij

i, j

i, j

2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục và có hàm mật độ
f(x,y)

⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) . f ( x, y ) dxdy
14 2 43
2

Ví dụ 5.2:

R

Z

6 44 7Ω 4 48

8xy, nế
u 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, (hình 5.1)
f ( x, y) = 
0 , nế
u trá
i lại .

Khoa Khoa Học và Máy Tính

14

HÌNH 5.1
↑
y

1 Ω
→

0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

1

X
15


Ε ( Χ) =

∫∫ x. f ( x, y ) dxdy = ∫
R

Ε( Y ) =

0

2

∫∫ y. f ( x, y ) dxdy = ∫
R

Ε( Y 2 ) =

Ε( X 2 ) =

1

1

0

2

∫∫

y2. f

y

dy ∫ x.8 xydx
0

y

dy ∫ y.8 xydx
0

( x, y ) dxdy

R2

2
x
∫∫ . f

Ε ( X .Y ) =

( x, y ) dxdy

∫∫ xy. f ( x, y ) dxdy
R2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

16


§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiệp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
n
m
n
 m

(3) cov  ∑ Χ i , ∑ Y j ÷ = ∑∑ cov ( Χ i , Y j )
j =1

 i =1
 i =1 j =1
m
m
 m

(4) cov  ∑ Χ i , ∑ Χ k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , X k )
k =1
i≠k
 i =1
 i =1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

17


3. Hệ số tương quan
Định nghĩa 6.2:

RXY

cov ( Χ, Y )
=
σ ( Χ ) .σ ( Y )

Tính chất: (1) X,Y độc lập ⇒ RΧY = 0
(2) RXY ≤ 1, ∀Χ, Y
(3) RXY = 1 ⇔ ∃a, b, c : a Χ + bY = c
Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng ḅc tún tính
giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan

hệ tuyến tính.
 cov ( Χ, Χ ) ,cov ( Χ, Y ) 
4. Ma trận tương quan:

D ( Χ, Y ) = 
 cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷÷



Khoa Khoa Học và Máy Tính

18


• Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ 2 ,..., Χ m ; Y1 , Y2 ,..., Yn
có phương sai đều bằng 1 và

cov ( Χi , Χ j ) = p1 ;cov ( Yi , Y j ) = p2 ;cov ( Χi , Y j ) = p3

Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:

U = ( Χ1 + Χ 2 + ..... + Χ m ) và V = ( Y1 + Y2 + ..... + Yn )

Giải:
n
 m
 m n
cov ( U , V ) = cov  ∑ Χ i , ∑ Yi ÷ = ∑ .∑ cov ( Χi , Y j ) = m.n. p3
j =1
 i =1

 i =1 j =1
m
 m
 m
D ( U ) = cov  ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1). p1
k =1
i≠k
 i =1
 i =1
D ( V ) = n + n(n − 1). p2
RUV =

cov ( U ,V )

σ ( U ) .σ ( V )

=

Khoa Khoa Học và Máy Tính

m.n. p3

m + m ( m − 1) p1 . n + n ( n − 1) p2
19


5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES:

MODE STAT a+bx

xi

yj

pij
AC

Cách đọc kết quả:
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM
Khoa Khoa Học và Máy Tính

x =→ Ε ( X )
xσ n =→ σ ( X )
y =→ Ε ( Y )

yσ n =→ σ ( Y )

r =→ RXY

∑ xy =→ Ε ( XY )
20


b) Loại MS: MODE REG LIN

Cách xóa dữ liệu cũ :
SHIFT CLR SCL =
Cách nhập dữ liệu :
Cách đọc kết quả:
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-SUM

Khoa Khoa Học và Máy Tính

M+

xi , y j ; pij
x =→ Ε ( X
xσ n =→ σ

)

(X)

> y =→ Ε ( Y )
> yσ n =→ σ ( Y )
>>r =→ RXY
>∑ xy =→ Ε ( XY )

21

Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phới xác suất sau:

Y

3

5

0

0,1

0,2

2

0,3

0,4

X

Khoa Khoa Học và Máy Tính

22


.Bảng trên tương đương với bảng
sau:

pij
xi
yj

Khoa Khoa Học và Máy Tính

0

3

0,1

0

5

0,2

2

3

0,3

2

5

0,4

23


Nhập bảng sớ liệu vào máy tính,ta có:
x =→ Ε ( X ) = 1, 4

xσ n =→ σ ( X ) = 0,9165
y =→ Ε ( Y ) = 4, 2

yσ n =→ σ ( Y ) = 0,9798
r =→ RXY = −0, 0891

∑ xy =→ Ε ( XY ) = 5,8
Khoa Khoa Học và Máy Tính

24