Single source shortest paths (GIẢI THUẬT SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

Single-Source
Shortest Paths


Các đường đi ngắn nhất từ một đỉnh
nguồn
ª

Bài toán các đường đi ngắn nhất: một số
thuật ngữ.
Cho một đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E),
với một hàm trọng số w : E  
– Trọng số của một đường đi p = v0 , v1,…, vk 
• w(p) =

i = 1…k w(vi 1 , vi )

p
– Trọng số của đường
đi ngắn nhất (shortest path
(u, v) =từ u đến v
weight)
min{w(p) : u
v } nếu có đường đi từ
u đến v
t
v

6 các trường hợp
khác
u 3

– Đường đi ngắn nhất từ u đến v là bất kỳ
2
1 4
2
7
đường đi p nào từ u đến v sao cho w(p) = (u, v).

3

5
x

6

y

2


Các đường đi ngắn nhất từ một đỉnh
nguồn (tiếp)
ª

Bài toán các đường đi ngắn nhất từ một
nguồn duy nhất (Single-source shortest-paths
problem):
– Cho đồ thị G = (V, E) và một đỉnh nguồn s  V.
– Tìm đường đi ngắn nhất từ s đến mọi đỉnh v 
V.
6

s

3
2

1

4

2

7

3

5
6

3


Cạnh có trọng số âm
ª

Giả thiết: Trọng số của cạnh có thể âm
– Chu trình có thể có trọng số âm
– Nếu tồn tại một chu trình có trọng số âm đến
được (reachable) từ s thì trọng số của đường đi
ngắn nhất không được định nghóa: không

đường đi nào từ s đến một đỉnh nằm trên
4
chu trình
3 có thể
1là đường đi ngắn nhất.
a

3

s
0

5

c
5

b
6
3

2

e


d
11

4

8

g


h


i


2
3

8

j

7
f

6 trong mỗi đỉnh là trọng số đường đi ngắn nha
số
từ đỉnh nguồn s.
3

4


Cạnh có trọng số âm (tiếp)

– Nếu tồn tại một chu trình có trọng số âm
trên một đường đi từ s đến v, ta định nghóa (s,
v) =  .
– Trong ví dụ sau, các đỉnh h, i, j không đến được
từ s nên có trọng số đường đi ngắn nhất là 
(chứ không là  mặc dù chúng nằm trên
một chu atrình có b
trọng số âm).
3

4

1
4

3

s
0

5

c
5

6

d
11

8

3
2

e


3

f


7

g


h


i


2
3

8

j

6
5


Biểu diễn các đường đi ngắn nhất
ª

Đồ thị G = (V, E )
– Với mọi đỉnh v, đỉnh cha (predecessor) của v là
một đỉnh khác hay là NIL.
Duy trì [v], con trỏ đến đỉnh cha. Dùng để
suy ra đường đi ngắn nhất từ s đến v.
– Đồ thị con G VE(predecessor subgraph)
• V = {v  V : [v]  NIL}  {s}
• E= {([v], v)  E : v  V{s}}
[v]

v

6


Biểu diễn các đường đi ngắn nhất (tiếp)
ª

Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng, có trọng
số;
G không chứa chu trình trọng số âm đến được từ
đỉnh nguồn s  V.

Cây các đường đi ngắn nhất với gốc tại s là
đồ thị có hướng G’ = (V’, E’), với V’  V và E’  E
sao cho
1. V’ là tập các đỉnh đến được (reachable) từ s
trong G
2. G’ là cây có gốc với gốc là s
3. Với mọi v  V’, đường đi đơn duy nhất từ s đến
v là đường đi ngắn nhất từ s ñeán v trong G .

7


Cây các đường đi ngắn nhất có gốc tại
đỉnh nguồn s

ï: trong (b) và (c) là hai cây các đường đi ngắn nhất có gốc tại đỉnh
àn s của đồ thò trong (a)
u
v
u
v
6
6
3
9
3
9
s 3
s 3
2

1 4
2
7
2
1 4
2
7
0
0
5

3
5
x

5

11
y

6
(a)

u

2

0
5
(c)

6

3

s 3

v

1

3
5
x

6
(b)

11
y

9

4

2

7

3

5
x

6

11
y
8


Cấu trúc của đường đi ngắn nhất
ª

Lemma 25.1 (Đường đi con của đường đi ngắn
nhất cũng là đường đi ngắn nhất)
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E) với
hàm trọng số
w:E
– p = v1 , v2 ,…, vk đường đi ngắn nhất từ v1 đến
vk
– Với mọi i, j mà 1  i  j  k, goïi pij = vi , vi + 1 ,…, vj
 là đường đi con (subpath) của p từ vi đến vj .




v
pjk
pij là một đường đi ngắn nhất

từk vi ñeán vj .
v1

p1i

vj
vi

pij
9


Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp)
Chứng minh
Phản chứng.

p’ij
pjk
v1

p1i

vk

vj
vi

pij

10

Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp)
ª



Hệ luận 25.2
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E) với
hàm trọng số
w:E
p’
– p là
đường đi ngắn nhất từ s đến v, và có
thể được phân thành
s
u  v.

Trọng số của đường đi ngắn nhất từ s đến v laø
(s, v) = (s, u) + w(u, v).
v
p’

u

s
11

Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp)
Chứng minh

v
p’

u

s

12


Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp)
ª



Lemma 25.3
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E) với
hàm trọng số
w:E
– Đỉnh nguồn s

Với mọi cạnh (u, v)  E, ta coù (s, v)  (s, u) + w(u,
v).
v

u

s

13


Kỹ thuật nới lỏng
ª

Kỹ thuật nới lỏng (relaxation)
– Duy trì cho mỗi đỉnh v một thuộc tính d[v] dùng
làm chận trên cho trọng số của một đường đi
ngắn nhất từ s đến v.
– biến d[v] được gọi là ước lượng đường đi ngắn
nhất (shortest path estimate)
– Khởi động các ước lượng đường đi ngắn nhất
và các predecessors bằng thủ tục sau
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
1
2
3
4

for each vertex v  V[G]
do d[v]  
[v]  NIL
d[s]  0

14

Kỹ thuật nới lỏng (tiếp)
ª

Thực thi nới lỏng lên một cạnh (u, v): kiểm tra
xem một đường đi đến v thông qua cạnh (u, v) có
ngắn hơn một đường đi đến v đã tìm được hiện
thờis hay không. Nếu ngắn hơn thì cập nhật d[v]
và [v].
0

5
u

2

9
v

RELAX(u, v, w)
1 if d[v]  d[u] + w(u, v)
2
then d[v]  d[u] + w(u, v)
3
[v]  u
15


Thực thi nới lỏng lên một cạnh
u
5

2

v

u

9

5

2

RELAX(u, v, w)
u
5

2
(a)

v
6

RELAX(u, v, w)

v

u

7

5

2

v
6

(b)

Trị của d[v] giảm sau khi
Trị của d[v] không thay đổi sau khi
gọi RELAX(u, v, w)
gọi RELAX(u, v, w)

16


Kỹ thuật nới lỏng (tiếp)
ª

Các giải thuật trong chương này gọi INITIALIZE-SINGLESOURCE và sau đó gọi RELAX một số lần để nới
lỏng các cạnh.
– Nới lỏng là cách duy nhất được dùng để thay
đổi các ước lượng đường đi ngắn nhất và các
predecessors.
– Các giải thuật khác nhau ở thứ tự và số lần
gọi RELAX lên các cạnh.

17

Các tính chất của kỷ thuật nới lỏng
ª



Lemma 25.4
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E )ø, với
hàm trọng số
w:E
– Cạnh (u, v)  E.

Ngay sau khi gọi RELAX(u, v, w) ta có
d[v]  d[u] + w(u, v) .

18


Các tính chất của kỷ thuật nới lỏng
(tiếp)
ª



Lemma 25.5
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E)ø, với
hàm trọng số

w:E
– Đỉnh nguồn s.
– G được khởi động bởi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s).

– Với mọi v  V, d[v]  (s, v), bất biến này được
duy trì đối với mọi dãy các bước nới lỏng lên
các cạnh của G
– Một khi d[v] đạt đến cận dưới (s, v) của nó thì
nó sẽ không bao giờ thay đỗi.

19


Các tính chất của kỷ thuật nới lỏng
(tiếp)
ª



Hệ luận 25.6
Cho
– Đồ thị có trọng số, có hướng G = (V, E)ø, với
hàm trọng số
w:E
– Đỉnh nguồn s
– Không có đường đi từ s đến một đỉnh v  V.

Sau khi G được khởi động bởi INITIALIZE-SINGLESOURCE(G, s), ta có
– đẳng thức d[v] = (s, v)
– đẳng thức này được duy trì thành bất biến đối

với mọi dãy các bước nới lỏng lên các cạnh
của G.
20


Các tính chất của kỷ thuật nới lỏng
(tiếp)
ª

ª



Để chứng minh tính đúng đắn của các giải thuật
tìm đường đi ngắn nhất (giải thuật Dijkstra và giải
thuật Bellman-Ford) ta cần Lemma sau.
Lemma 25.7
Cho
– Đồ thị có trọng số và có hướng G = (V, E), với
hàm trọng số w : E  
– Một đỉnh nguồn s, và s
u  v là một đường đi
ngắn nhất trong G với các đỉnh nào đó u, v  V.
– G được khởi động bỡi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
và sau đó một chuỗi các bước nới lỏng trong
đó có gọi RELAX(u, v, w) được thực thi lên các cạnh
của G.

Nếu d[u] = (s, u) trước khi gọi RELAX(u, v, w), thì sau khi
gọi luôn luôn có d[v] = (s, v).

21


Cây các đường đi ngắn nhất
ª



Lemma 25.8
Cho
– Đồ thị có trọng số và có hướng G = (V, E),
với hàm trọng số
w:E
– Đỉnh nguồn s  V
– G không chứa chu trình có trọng số âm đến
được từ s

Sau khi khởi động G bởi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s),
ta có
– Đồ thị Glà cây có gốc s
– Mọi chuổi các bước nới lỏng lên các cạnh
của G duy trì tính chất trên thành một bất
biến.

22


Cây các đường đi ngắn nhất (tiếp)
ª



Lemma 25.9
Cho
– Đồ thị có trọng số và có hướng G = (V, E),
với hàm trọng số
w:E
– Đỉnh nguồn s  V
– G không chứa chu trình có trọng số âm đến
được từ s.
Khởi động G bằng INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) và
thực thi chuổi bất kỳ các bước nới lỏng lên
các cạnh của G sao cho d[v] = (s, v) với mọi đỉnh
v  V.

Đồ thị G là một cây các đường đi ngắn nhất
có gốc taïi s.

23


Giải thuật của Dijkstra
Đồ thị G = (V, E) có hướng, có trọng số với
– Hàm trọng số w : E  mà w(u, v)  0 cho mọi
cạnh (u, v)  E
– Đỉnh nguồn s.
ª Giải thuật của Dijkstra:
– Dùng một priority queue Q với khóa là các trị
DIJKSTRA
d[(G,

] w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S
3 Q  V[G]
4 while Q  
5
do u  EXTRACT-MIN(Q)
6
S  S  {u}
7
for each vertex v  Adj[u]
8
do RELAX(u, v, w)
ª

24


Phân tích giải thuật của Dijkstra
ª

Thời gian chạy phụ thuộc vào hiện thực của
priority queue Q:
– Linear array
° Mỗi EXTRACT-MIN tốn O(V) thời gian, vậy tất
cả các EXTRACT-MIN tốn O(V 2)
° Tất cả các lần gọi RELAX tốn O(E) thời gian
Thời gian chạy tổng cộng: O(V 2 + E) = O(V 2).

25