Skkn sử dụng phần mềm iata trong việc thẩm định chất lượng câu hỏi đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan và đánh giá năng lực thực sự của học sinh trong chương nguyên hàm tích phân và ứng dụng lớp 1

SỬ DỤNG PHẦN MỀM IATA TRONG VIỆC THẨM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG CÂU
HỎI ĐỀ KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN VÀ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
THỰC SỰ CỦA HỌC SINH TRONG CHƯƠNG NGUN HÀM - TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG LỚP 12
TĨM TẮT
Bài viết trình bày tổng quan về Lý thuyết ứng đáp câu hỏi (IRT) cũng như giới thiệu sơ lượt
về cách cài đặt và sử dụng phần mềm IATA - một phần mềm dùng để phân tích, đánh giá
câu hỏi trắc nghiệm khách quan dựa trên nền tảng IRT. Đồng thời, quy trình biên soạn và
đánh giá đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan dưới dự hỗ trợ của phần mềm IATA cũng đã
nêu trong bài viết. Cuối cùng, cách thẩm định đánh giá một số câu hỏi được biên soạn trong
chương Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng lớp 12 và đánh giá năng lực thực sự của học
sinh dưới sự hỗ trợ phần mềm IATA và Excel.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) ngày càng được sử dụng ngày càng phổ biến
những năm gần đây ở nước ta. Cụ thể, kể từ năm 2017, mơn Tốn (Kỳ thi THPT Quốc gia)
đã thi theo hình thức TNKQ. Mặc dù hình thức thi này có nhiều ưu điểm, nhưng hạn chế lớn
nhất của nó là khơng thể đánh giá chính xác khả năng lập luận, tư duy của học sinh (HS) và
hệ thống câu hỏi (CH) trắc nghiệm đôi khi chưa thật sự chất lượng và phù hợp. Do đó, vấn
đề đặt ra là làm sao để xây dựng được câu hỏi trắc nghiệm khách quan chất lượng, phù hợp
và đánh giá đúng năng lực thực sự của HS ?
2. ĐÁNH GIÁ THEO ĐỊNH HƯỚNG NĂNG LỰC
2.1 Các khái niệm về đánh giá
Theo Lâm Quang Thiệp (2008), cho rằng đánh giá là đưa ra phán quyết về mức độ
giá trị hoặc chất lượng của sự vật cần đánh giá.
Và theo Trần Thị Kim Thanh (2006), đưa ra khái niệm đánh giá là quá trình thu thập
chứng cứ và đưa ra những lượng giá về bản chất và phạm vi của kết quả học tập hay thành
tích đạt được so với các tiêu chí và tiêu chuẩn thực hiện đã đề ra tại một thời điểm thích hợp
trong q trình dạy học.
Đánh giá năng lực của HS: là đánh giá khả năng thực hiện một nhiệm vụ học tập cụ
thể của HS dựa trên việc kết hợp kiến thức, kỹ năng và thái độ đáp ứng với yêu cầu sản
phẩm đầu ra của quá trình giáo dục, sự vận dụng tri thức đã học trong thực tiễn cuộc sống.

1


Qua đó, giáo viên (GV) đưa ra những quyết định sư phạm nhằm định hướng giúp HS học
tập ngày càng tiến bộ hơn.
2.2 Đổi mới kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh
Đổi mới chương trình giáo dục gắn liền với đổi mới về phương pháp dạy và đổi mới
cách đánh giá quá trình dạy học cũng như đổi mới việc kiểm tra và đánh giá thành tích học
tập của HS là một bước đóng vai trị quan trọng khơng thể thiếu trong q trình giáo dục.
Đánh giá kết quả học tập là quá trình thu thập thơng tin, phân tích và xử lí thơng tin, giải
thích thực trạng việc đạt mục tiêu giáo dục, tìm hiểu nguyên nhân, đưa ra những quyết định
sư phạm giúp HS học tập ngày càng tiến bộ.
Theo quan điểm phát triển năng lực, việc đánh giá kết quả học tập không lấy việc
kiểm tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm của việc đánh giá. Đánh giá kết
quả học tập theo năng lực cần chú trọng khả năng vận dụng sáng tạo tri thức trong những
tình huống ứng dụng khác nhau. Đánh giá kết quả học tập đối với các môn học, hoạt động
giáo dục ở mỗi lớp và sau cấp học là biện pháp chủ yếu nhằm xác định mức độ thực hiện
mục tiêu dạy học, có vai trị quan trọng trong việc cải thiện kết quả học tập của HS. Hay nói
cách khác, đánh giá theo năng lực là đánh giá kiến thức, kỹ năng và thái độ trong bối cảnh
có ý nghĩa.
2.3 Định hướng xây dựng câu hỏi, bài tập đánh giá năng lực học sinh
Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014), dạy học định hướng năng lực đòi hỏi việc thay đổi
mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học và đánh giá, trong đó việc thay đổi quan niệm và cách
xây dựng các nhiệm vụ học tập, CH và bài tập (sau đây gọi chung là bài tập) có vai trị quan trọng.
Chương trình dạy học định hướng năng lực được xây dựng trên cơ sở chuẩn năng lực
của môn học. Năng lực chủ yếu hình thành qua hoạt động học của HS. Hệ thống bài tập định
hướng năng lực chính là cơng cụ để HS luyện tập nhằm hình thành năng lực và là công cụ để
GV và các cán bộ quản lí giáo dục kiểm tra, đánh giá năng lực của HS, biết được mức độ đạt
chuẩn của quá trình dạy học.
Bài tập là một thành phần quan trọng trong mơi trường học tập mà người GV cần

thực hiện. Vì vậy, trong quá trình dạy học, người GV cần biết xây dựng các bài tập định
hướng năng lực.
2


Các bậc trình độ trong bài tập định hướng năng lực:
- Các bài tập dạng tái hiện: Yêu cầu sự hiểu và tái hiện tri thức. Bài tập tái hiện
không phải trọng tâm của bài tập định hướng năng lực.
- Các bài tập vận dụng: Các bài tập vận dụng những kiến thức trong các tình huống
khơng thay đổi. Các bài tập này nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng cơ bản, chưa
đòi hỏi sáng tạo.
- Các bài tập giải quyết vấn đề: Các bài tập này địi hỏi sự phân tích, tổng hợp, đánh
giá, vận dụng kiến thức vào những tình huống thay đổi, giải quyết vấn đề. Dạng bài tập này
đòi hỏi sự sáng tạo của người học.
- Các bài tập gắn với bối cảnh, tình huống thực tiễn: Các bài tập vận dụng và giải
quyết vấn đề gắn các vấn đề với các bối cảnh và tình huống thực tiễn. Những bài tập này là
những bài tập mở, tạo cơ hội cho nhiều cách tiếp cận, nhiều con đường giải quyết khác
nhau.
3. SƠ LƯỢC VỀ IRT
Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi (Item Response Theory - IRT) là một lý thuyết của khoa
học về đo lường trong giáo dục, ra đời từ nửa sau thế kỷ 20 và phát triển mạnh mẽ cho đến
nay. Trước đó, Lý thuyết Trắc nghiệm cổ điển (Clasical Test Theory – CTT) đã có nhiều
đóng góp quan trọng cho các hoạt động đánh giá trong giáo dục nhưng cũng thể hiện một
số hạn chế. Xuất phát từ lý do đó các nhà tâm trắc học (psychometricians) cố gắng xây dựng
một lý thuyết hiện đại sao cho khắc phục được các hạn chế đó. Lý thuyết trắc nghiệm hiện
đại được xây dựng dựa trên mơ hình tốn học, địi hỏi nhiều tính tốn, nhưng nhờ sự tiến bộ
vượt bậc của cơng nghệ tính tốn bằng máy tính điện tử vào cuối thế kỷ 20 – đầu thế kỷ 21,
nên nó đã phát triển nhanh chóng và đạt được những thành tựu quan trọng. Để đánh giá đối
tượng nào đó, CTT tiếp cận ở cấp độ một đề kiểm tra (ĐKT), còn lý thuyết trắc nghiệm hiện
đại tiếp cận ở cấp độ từng câu hỏi, do đó lý thuyết này thường được gọi là Lý thuyết Ứng

đáp Câu hỏi.
Nhà toán học Đan Mạch Georg Rasch (1960), đã đưa ra một mơ hình “ứng đáp CH”
để mô tả mối tương tác nguyên tố giữa một HS với một CH của đề trắc nghiệm (ĐTN) và
dùng mơ hình đó để phân tích các dữ liệu thu được từ ĐTN. Để xem xét quan hệ giữa HS và
CH trong sự ứng đáp CH, đối với HS Rasch chọn tham số năng lực θ , đối với CH Rasch
3


chỉ chọn một tham số liên quan đến độ khó. Độ khó của CH được kí hiệu chữ b, đặc trưng
cho khả năng trả lời đúng CH của HS. CH có độ khó càng cao thì xác suất trả lời đúng CH
của HS càng thấp. Theo Baker (2001) phân loại độ khó của các CH theo 5 mức sau: rất khó,
khó, trung bình, dễ, rất dễ. Cụ thể như sau:
- Nếu b≥ 2: CH thuộc loại rất khó;
- Nếu 0,5≤ b ≤ 2: CH thuộc loại khó;
- Nếu −0,5 ≤ b ≤ 0,5:CH thuộc loại trung bình;
- Nếu −2 ≤ b ≤ −0,5: CH thuộc loại dễ;
- Nếu b< −2: CH thuộc loại rất dễ.
Rasch đã tìm ra được một biểu thức đơn giản và thuận lợi dưới dạng một hàm mũ để
tính giá trị xác suất nói trên đối với một cặp HSv và CHi như sau:

Pi (θv ) =

e(θv−bi )
1+ e(θv−bi )

Nếu cho giá trị của tham số năng lực θ của một HS biến đổi liên tục trên trục số thì
chúng ta thu được một đồ thị được gọi là đường cong đặc trưng câu hỏi (item characteristic
curver) có dạng như sau:

Hình 1. Biểu diễn đường cong đặc trưng câu hỏi theo mơ hình Rasch

Có hai mơ hình IRT thường được sử dụng, mơ hình một tham số và mơ hình hai tham
số (sử dụng trong nghiên cứu này).
3.1 Mơ hình hai tham số
Trong trắc nghiệm cổ điển, người ta còn sử dụng một tham số quan trọng thứ hai đặc
trưng cho CH là độ phân biệt a. Từ đó, nhiều nhà nghiên cứu đã đưa thêm một tham số thứ
hai liên quan đến độ phân biệt của CH vào mơ hình đường cong đặc trưng CH. Độ phân biệt
a của CH đặc trưng cho khả năng phân loại HS. Thông thường độ phân biệt của CH có giá
4


trị dương. Trong trường hợp CH sai hoặc mắc lỗi thiết kế thì độ phân biệt có thể mang giá
trị âm. CH có độ phân biệt dương càng lớn thì sự chênh lệch về xác suất trả lời đúng của các
HS có năng lực cao và năng lực thấp càng lớn. Nói một cách khác, CH có độ phân biệt cao
phân loại HS tốt hơn CH có độ phân biệt thấp. Theo Baker (2001) chia độ phân biệt của các
CH thành 5 mức: rất tốt, tốt, bình thường, kém và rất kém. Cụ thể như sau:
- Nếu a≥ 1,7:CH có độ phân biệt rất tốt;
- Nếu 1,35 ≤ a ≤ 1,7:CH có độ phân biệt tốt;
- Nếu 0,65≤ a ≤ 1,35: CH có độ phân biệt bình thường;
- Nếu 0,35≤ a ≤ 0,65: CH có độ phân biệt kém;
- Nếu a< 0,35:CH có độ phân biệt rất kém.
Và hàm đặc trưng CH hai tham số như sau:

ea(θ −b)
P(θ ) =
1+ ea(θ −b)
Hệ số a biểu diễn độ dốc của đường cong đặc trưng CH tại điểm có hồnh độ θ = b
và tung độ P(θ ) = 0,5. Có thể thấy rõ độ nghiêng của đường cong đặc trưng CH phản ánh
độ phân biệt của CH. Thật vậy, khi cho một biến đổi xác định ∆θ của năng lực thì sẽ thu
được một biến đổi ∆P của xác suất trả lời đúng, giá trị ∆P này sẽ lớn hơn trên đường cong
đặc trưng CH có độ dốc lớn và nhỏ hơn trên đường cong có độ dốc nhỏ. Nói cách khác, đối

với CH cho độ dốc lớn, một sự khác biệt rất nhỏ ∆θ về năng lực HS cũng gây ra một độ
chênh lệch lớn ∆P về xác suất trả lời đúng. Đó chính là ý nghĩa của độ phân biệt. Dễ dàng
xác định độ nghiêng của đường cong từ biểu thức đạo hàm của P :
2

∂P
1

 − a(θ −b)
= a
e
− a(θ − b) 
∂θ
1+ e

Khi

θ = b,

∂P a
= ,
∂θ 4 đó là giá trị lớn nhất của độ nghiêng tại điểm uốn của đường cong.

5


3.2
của học sinh

Điểm thực

Hình 2. Các đường cong đặc trưng CH hai tham số

một đề trắc

khi

làm

nghiệm

(điểm năng lực)
Đối với lý thuyết ứng đáp CH, người ta chứng minh được rằng điểm thực τ của một
HS khi làm một ĐTN gồm N câu hỏi được biểu diễn bởi biểu thức:
N

τ = ∑ Pi (θ )
j =1

Do đó điểm thực của một HS có năng lực θ là tổng của các xác suất trả lời đúng của
mọi CH của ĐTN tại giá trị θ .
4. PHẦN MỀM IATA
IATA (Item and Test Analysis) là một phần mềm (được cung cấp miễn phí bởi
Fernando Cartwright) dùng để phân tích dữ liệu trong đánh giá giáo dục và tâm lý học. Nó
thực hiện phân tích các câu hỏi TNKQ cũng như toàn bộ bài kiểm tra dựa trên IRT, từ đó
giúp xây dựng được các câu hỏi TNKQ có chất lượng phù hợp với năng lực người học và
mục đích kiểm tra đánh giá.
4.1 Hướng dẫn cài đặt và sử dụng phần mềm IATA
Phần mềm IATA có thể cài đặt và sử dụng theo các bước sau:
Bước 1: Truy cập vào địa chỉ: />sao đó chọn Download IATA 32bit hoặc Download IATA 64bit để tải file cài đặt
phần mềm

Bước 2: Tiến hành cài đặt ứng dụng chọn Next I accept the agreement  Next 
chọn đường dẫn thư mục  Next  Next  Next  Install  Fisninh.
6


Hình 3. Giao diện khi khởi động phần mền IATA
Bước 3: Phần mềm IATA tự động khởi động sau khi cài đặt hoặc người dùng có thể
tự khởi động. Giao diện khi khởi động của phần mềm như Hình 3 Để sử dụng phần mềm,
người dùng không bắt buộc phải đăng kí tài khoản. Mặc khác, có thể thay đổi ngôn ngữ
sang Tiếng Việt tại bảng chọn “Select language for IATA”. Để bắt đầu phân tích dữ liệu,
người dùngnhấn vào Main Menu (Menu chính).
Bước 4: Menu chính của phần mềm gồm các lựa chọn như sau:

7


Hình 4. Màn hình chính của phần mềm IATA
Sau khi cài đặt phần mềm, trên màn hình Desktop xuất hiện thư mục tên là IATA,
trong đó có chứa các tập tin mẫu về Dữ liệu trả lời của HS (CYCLE1, CYCLE2, CYCLE3,
PILOT1 và PILOT2), dữ liệu câu hỏi (ItemDataAllTests) để chạy thử phần mềm. Mặc khác,
người dùng có thể tải về hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm IATA (bằng tiếng Anh)
tại mục Download IATA Manual.
4.2 Hướng dẫn phân tích dữ liệu câu trả lời
Bước 1: Tại Menu chính của phần mềm, ta chọn mục Response data analysis (phân tích
dữ liệu câu trả lời) .
Bước 2: Nhập tập tin Dữ liệu câu trả lời của HS theo mẫu trong thư mục IATA hoặc
theo mẫu như Hình 5, tập tin này chứa các câu trả lời của từng HS cho từng câu hỏi (dữ liệu
đáp án của HS được xuất ra từ phần mềm Zipgrade một phần mềm chấm trắc nghiệm trên
điện thoại).

Hình 5. Bảng dữ liệu câu trả lời của học sinh
8


Nhấn “Open file” và chọn tập tin Dữ liệu câu trả lời của học sinh (có thể đặt tên khác cho
tập tin này), sau đó chọn Sheet chứa dữ liệu của tập tin tại nút “Select a table”, nhấn OK 
Next.
Bước 3: Người dùng nhập tập tin Dữ liệu câu hỏi, tập tin này chứa đáp án của từng câu
hỏi và nhập bằng Excel, ví dụ như sau:

Hình 6. Bảng đáp án câu hỏi
Nhấn “Open file” và chọn tập tin Dữ liệu câu hỏi (có thể đặt tên khác cho tập tin này),
sau đó chọn Sheet chứa dữ liệu của tập tin tại nút “Select a table”, nhấn OK  Next.
Bước 4: Mục này nhập các thông số dùng để phân tích cũng như cách chấm điểm cho
từng câu hỏi, cách xử lý với những câu hỏi lỗi (khơng có đáp án, chọn hai đáp án, chọn đáp
án khác…). Ta có thể nhấn “Next” để bỏ qua bước này nếu điểm số cho từng câu hỏi là
bằng nhau và tất cả các đáp án không đúng quy định đều được chấm là sai. Các trang còn lại
là kết quả phân tích câu hỏi và bài kiểm tra, tùy vào mục đích nghiên cứu mà ta sẽ xem xét
kĩ những trang tương ứng.
4.3 Những ưu điểm của phần mềm IATA so với một số phần mền khác
- Phần mềm IATA được cung cấp hồn tồn miễn phí, nên rất tiện lợi trong việc phổ
biến cho các giáo viên (GV) và không lo ngại vấn đề bản quyền của phần mềm.
9


- Ngơn ngữ hiển thị có thể chuyển sang Tiếng Việt nên dễ sử dụng.
- Các file dữ liệu đầu vào được nhập bằng file Excel, gần gũi, dễ sử dụng đối với GV
(phần mềm Vitesta yêu cầu GV nhập thủ cơng file dữ liệu từ file text).
- Có giao diện trực quan, sử dụng bằng bảng chọn và chuột nên dễ sử dụng (phần mềm
Quest yêu cầu người dùng phải viết các câu lệnh).

- Có đầy đủ các tính năng cần thiết của một phần mềm thống kê trong việc phân tích câu
hỏi TNKQ, chẳng hạn như độ khó, độ phân biệt của mỗi câu hỏi… và đặc biệt là phần mềm
IATA cho phép ước lượng được năng lực thực sự của mỗi HS, từ đó có thể đánh giá HS một
cách chính xác hơn dựa vào năng lực thực sự của họ.
Từ những ưu điểm trên, phần mềm IATA được lựa chọn để giới thiệu cho GV sử
dụng trong việc phân tích các câu hỏi TNKQ của một ĐKT, cũng như đánh giá đúng năng
lực thực sự của HS ở trường THPT.
5. QUY TRÌNH BIÊN SOẠN VÀ THẨM ĐỊNH ĐỀ KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM
KHÁCH QUAN
Qua nghiên cứu các tài liệu tập huấn Kỹ thuật viết câu hỏi TNKQ, Công văn số
8773/BGDĐT-GDTrH ngày 30/12/2010 về việc hướng dẫn biên soạn đề kiểm tra…., bài
viết trình bày việc biên soạn, so bằng ĐKT TNKQ chương Nguyên hàm – Tích phân và ứng
dụng lớp 12 theo một quy trình như sau:
Bước 1: Biên soạn CH trắc nghiệm theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội
dung CH được thiết kế theo các dạng: CH tái hiện, CH vận dụng, CH giải quyết vấn đề, CH
gắn với bối cảnh và tình huống thực tiễn.
Bước 2: Thiết kế ĐKT TNKQ đảm bảo cấu trúc của ma trận, CH được phân thành 4
mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Bước 3: Tiến hành thực nghiệm ở một số trường THPT trên địa bàn.
Bước 4: Xử lý số liệu, phân tích kết quả thực nghiệm bằng phần mềm IATA, phân tích
độ khó, độ phân biệt, đồ thị… của CH TNKQ. Dựa vào kết quả phân tích đưa ra những kết
luận về tính khách quan, khoa học của CH cũng như đánh giá, phân biệt năng lực HS với
nhau.
6. SỬ DỤNG PHẦN MỀM IATA ĐỂ THẨM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG CÂU HỎI ĐỀ
KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN VÀ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC THỰC
SỰ CỦA HỌC SINH TRONG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG LỚP 12
10

Bài viết chỉ giới thiệu cách thẩm định một số câu hỏi ĐKT TNKQ được biên soạn từ
chương Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng. ĐKT này gồm 30 CH TNKQ và thời gian
làm bài là 54 phút (lấy theo mốc thời gian của Bộ Giáo dục và Đào tạo 1,8 phút/câu). Theo
Bộ Giáo dục và Đào tạo (2009), ma trận chi tiết mô tả chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu
kiểm tra của ĐKT TNKQ được trình bày như sau:
Bảng 1. Ma trận đề kiểm tra chương nguyên hàm – tích phân và ứng dụng
Nhận
thức
Vận dụng
Chủ đề
Nhận biết Thơng hiểu
Cấp độ
Tổng cộng
Cấp độ
thấp
cao
Chủ đề 1
Ngun
hàm

- Nhớ khái

- Tìm được

- Sử dụng

- Giải

niệm

nguyên hàm

được

quyết được

nguyên hàm

của một số

phương

bài toán

của một

hàm tương

pháp đổi

thực tế

hàm số.

đối đơn giản biến số

- Biết các

dựa vào

tính chất cơ

bảng nguyên rõ cách đổi

bản của

hàm và cách

biến số

ngun

tính ngun

và khơng

hàm.

hàm từng

đổi biến số

phần.

q một

(khi đã chỉ

lần) để tính
ngun

hàm.
- Tìm một
hàm số cụ
thể nhờ
xác định
ngun
hàm.

11


8 câu
[2 câu]

[3 câu]

[2 câu]

[1 câu]

26,7%

[0,7 điểm]

[1 điểm]

[0,7 điểm]

[0,3 điểm]

[2,7 điểm]

- Nhớ định
nghĩa

tích

phân

của

hàm số liên
tục

bằng

cơng

thức

Niu-tơn

Chủ đề 2
Tích
phân

- Tính được
tích

phân

của một số
hàm

tương

đối
giản.

–

đơn

- Sử dụng
phương
pháp

tính

tích

phân

từng phần
và phương
pháp

đổi

Lai-bơt-nit.

biến

số

- Nhớ các

(khi đã chỉ

tính chất của

rõ cách đổi

tích phân.

biến số và
khơng đổi
biến số q
một lần) để
tính

tích

phân

của

một

hàm

số.
[2 câu]
[0,7 điểm]

[3 câu]
[1 điểm]

[4 câu]
[1,3 điểm]

12

9 câu
30%
[3 điểm]


- Biết các
cơng

thức

tính

diện

tích

hình

- Tính được diện

Giải

tích, được diện quyết được

thể tích của tích,

một số hình
Chủ đề 3 phẳng, thể
giới hạn bởi
Ứng
tích vật thể,
dụng của
các hàm số
thể
tích
khối
tích phân
đơn giản.
trịn
xoay
nhờ

Tính thể bài

tốn

tích một số thực

tế

hình

phải bằng cách

xác

định sử

các cận.

dụng

tích phân

tích

phân.
[3 câu]
[1 điểm]
Tổng tỉ 7 câu
lệ Điểm
23,3%
[2,3 điểm]

13 câu
[2 câu]

[3 câu]

[5 câu]

43,3%

[0,7 điểm]

[1 điểm]

[1,7 điểm]

[4,4 điểm]

8 câu

9 câu

6 câu

30 câu

26,7%

30%

20%

100%

[2,7 điểm]

[3 điểm]

[2 điểm]

[10 điểm]

Mỗi ĐKT gồm 30 CH TNKQ, trong mỗi CH gồm 4 phương án lựa chọn và chỉ có duy
nhất một đáp án đúng. Các CH trong mỗi đề được sắp xếp theo mức độ nhận thức tăng dần
từ nhận biết đến vận dụng (ở cấp độ). Trong mỗi mức độ, các CH được sắp xếp theo từng
chủ đề (thứ tự như trong ma trận của ĐKT).
Trong mỗi CH, các phương án nhiễu được chúng tơi cân nhắc, dự đốn những sai lầm
mà HS có thể gặp phải trong q trình sử dụng kiến thức hoặc trong quá trình giải bài tập,
quá trình thực nghiệm được thực hiện trên 272 HS thuộc trường THPT ở tỉnh Bạc Liêu.
Theo Linacre (1994), để việc ước lượng các tham số trong IRT chính xác với độ tin
cậy 95% thì cỡ mẫu tối thiểu là 100 và tối thiểu là 150 nếu độ tin cậy là 99%. Nghiên cứu sử
dụng độ tin cậy 95%, nên cỡ mẫu tối thiểu cần thiết là 100.
Theo Ayala (2009) đề xuất cỡ mẫu tối thiểu cần thiết khi phân tích các câu hỏi TNKQ phải
gấp 3 lần số câu hỏi. Vì nghiên cứu sử dụng ĐKT có 30 câu hỏi nên cỡ mẫu ít nhất phải là
90. Các HS kiểm tra trong thời gian 54 phút, sau khi học xong chương Nguyên hàm – Tích
phân và ứng dụng. Phiếu trả lời trắc nghiệm của HS được thu về xử lý dữ liệu bài làm. Các
tập tin Dữ liệu câu trả lời của học sinh và Dữ liệu câu hỏi được xử lý thông qua phần mềm
Excel theo đúng cấu trúc mà phần mềm IATA yêu cầu.

13


Hình 7. Kết quả phân tích 30 câu hỏi của ĐKT
Chúng tôi thống kê lại số câu theo màu sắc, kí hiệu như sau:

Màu sắc
Xanh

Biểu tượng

ĐKT
24 câu

Ý nghĩa
Các thơng số đều ở mức độ an tồn, có thể xem
xét lại CH nếu muốn.

Vàng

2 câu

Một hoặc một vài thông số ở mức độ cảnh báo,
cần xem xét lại CH.

Đỏ

4 câu

Một hoặc nhiều thông số ở mức độ báo động, cần
chỉnh sửa hoặc thay đổi CH.

Ý nghĩa các thông số trong bảng phân tích CH TNKQ:
14

• Discr (the item discrimination index) là độ phân biệt của CH theo lý thuyết trắc nghiệm cổ
điển, theo Lâm Quang Thiệp (2011) [14, tr.62]: “trị số độ phân biệt của CH có thể chấp
nhận phải lớn hơn 0,2”.
• Pval (the item facility) là độ khó của CH theo lý thuyết trắc nghiệm cổ điển, theo Lâm
Quang Thiệp (2011) [14, tr.60]: “độ khó của một CH có thể chấp nhận được nằm trong
khoảng 0,25 - 0,75, CH có độ khó lớn hơn 0,75 là quá dễ, CH có độ khó nhỏ hơn 0,25 là
q khó.”
• Pbis (the point – biserial correlation) là hệ số tương quan. Theo lý thuyết trắc nghiệm cổ
điển, nó là một đại lượng dùng để đo mối quan hệ tuyến tính giữa CH và ĐTN. Theo lý
thuyết trắc nghiệm hiện đại, hệ số tương quan phản ánh mức độ liên hệ và ổn định giữa
đường cong lý thuyết (Theoretical) và đường cong thực nghiệm (Empirical). Hệ số tương
•

quan càng lớn thì CH càng có giá trị. Hệ số tương quan có thể chấp nhận phải lớn hơn 0,2.
a : tham số liên quan đến độ phân biệt theo IRT, đặc trưng cho khả năng phân loại HS. CH
có độ phân biệt cao phân loại HS tốt hơn CH có độ phân biệt thấp. Theo Baker, F.B. (2001)
[16]: “độ phân biệt của các CH được chia thành 5 mức: rất tốt, tốt, bình thường, kém và rất
kém. Cụ thể, một CH được gọi là có độ phân biệt rất tốt nếu a ≥ 1,7, loại tốt nếu
1,35 ≤ a ≤ 1,7, loại bình thường nếu 0,65 ≤ a < 1,35, loại kém nếu 0,35 ≤ a ≤ 0,65 và loại

rất kém nếu a < 0,35 ”.
• b : tham số liên quan đến độ khó theo IRT, đặc trưng cho khả năng trả lời đúng CH đối với
một HS bất kì. CH có độ khó càng cao thì xác suất trả lời đúng CH của HS càng thấp. Theo
Baker, F.B. (2001) [17]: “một CH thuộc loại rất khó nếu b ≥ 2, thuộc loại khó nếu

0,5 ≤ b < 2, thuộc loại trung bình nếu −0,5 ≤ b < 0,5, thuộc loại dễ nếu −2 ≤ b < −0,5 và
thuộc loại rất dễ nếu b < −2 ”.
Qua phân tích của phần mềm IATA ĐKT có 4 câu chưa đạt (hình tam giác màu đỏ) ở các
câu: 2, 6, 19, 24, câu cần xem xét lại (hình thoi màu vàng) là các câu: 22, 28 và 26 câu đạt
u cầu (hình trịn màu xanh).

6.1 Các CH đạt u cầu: gồm 26 câu hình trịn màu xanh (phân tích câu 8)
Câu 8. Tìm

I = ∫ e 2−3 x dx.

1
I = − .e 2−3 x + C.
3
A.

2 −3 x
+ C.
B. I = −e

15


C. I = −3.e

2 −3 x

1
I = e 2 −3 x + C .
3
D.

+ C.

Kết quả phân tích chi tiết câu 8 như sau:

Hình 8. Kết quả thực nghiệm câu 8

Hình 9. Đồ thị thực nghiệm câu 8
Dấu * đươc đánh dấu phía sau chữ cái đại diện cho đáp án đúng. Từ số liệu thống kê ta thấy
câu 8 có độ khó b = −1,38 thuộc loại CH dễ, độ phân biệt a = 0,68 thuộc loại CH có độ
phân biệt bình thường, độ phân biệt CH thể hiện qua tỷ lệ chọn phương án đúng A* của các
nhóm HS: nhóm điểm cao (High) là 98,80%, nhóm điểm trung bình (Medium) là 71,60% và
nhóm điểm thấp là 79,80%. Trên đồ thị, đường cong thực nghiệm (Empirical) và đường
cong lý thuyết (Theoretica) tiến sát gần nhau, qua đó cho thấy đây là CH đánh giá tốt năng
lực và khai thác được khả năng vận dụng lý thuyết vào giải quyết bài toán của HS.
6.2 Các CH xem xét lai: gồm 02 câu hình thoi màu vàng là các câu: 22, 28 (phân tích câu
22).
Câu 22. Cho S = a + b ln 2 (với a, b là các số hữu tỉ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
−3 x
các đường y = −e + 1, y = 0 và x = ln 2. Tính K = a + b.
16


A.

K =−

13
.
8

B.

K=

31
.
24

1
K= .
8
C.

D.

K=

17
.
24

Kết quả phân tích chi tiết câu 22 như sau:

Hình 10. Kết quả thực nghiệm câu 22

Hình 11. Đồ thị thực nghiệm câu 22
Dấu * đươc đánh dấu phía sau chữ cái đại diện cho đáp án đúng. Từ số liệu thống kê ta thấy
câu 22 có độ khó b = 1,25 thuộc loại CH khó, độ phân biệt a = 0,36 thuộc loại CH có độ
phân biệt kém, độ phân biệt CH thể hiện qua tỷ lệ chọn phương án đúng D* của các nhóm
HS: nhóm điểm cao (High) là 50,00%, nhóm điểm trung bình (Medium) là 29,50% và nhóm
điểm thấp là 23,80%, hai nhóm điểm trung bình và nhóm điểm thấp rất gần nhau khơng biệt
được khả năng riêng biệt của từng HS. Đặc biệt ở phương án nhiễu C nhóm HS có điểm
trung bình chọn nhiều hơn so với HS điểm thấp điều này khiến cho mức độ CH cảnh báo
màu vàng và cần phải xem xét CH, phương án nhiễu C. Trên đồ thị đường cong lý thuyết

(Theoretica) có hướng đi lên, trong khi đường cong thực nghiệm (Empirical) có hướng đi
xuống qua đó cho thấy mức độ vận dụng lý thuyết vào giải quyết bài toán của HS là chưa
phù hợp và hiệu quả.
17


6.3 Các CH chưa đạt yêu cầu: gồm 04 câu hình tam giác màu đỏ là các câu: 2, 6, 19, 24
(phân tích câu 6).
Câu 6. Cho đồ thị hàm số

y = f ( x)

như hình dưới đây

Diện tích S của hình phẳng (phần tơ đậm trong hình) được tính theo công thức nào sau đây?
0

2

S=
A.

B.

−4

S=

C.

∫ f ( x ) dx.

S=

−4

∫
0

∫

−4

0

0

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.

S=

D.

2

∫

−4

2

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
0

Kết quả phân tích chi tiết câu 6 như sau:

Hình 12. Kết quả thực nghiệm câu 6

18

2

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.
0


Hình 13. Đồ thị thực nghiệm câu 6
Dấu * đươc đánh dấu phía sau chữ cái đại diện cho đáp án đúng. Từ số liệu thống kê ta thấy
câu 6 có độ khó b = 3,46 thuộc loại CH rất khó, trong khi theo ma trận đề thì đây là CH có
độ khó dễ và ở mức độ nhận biết, độ phân biệt a = 0,18 thuộc loại CH có độ phân biệt kém,
độ phân biệt CH thể hiện qua tỷ lệ chọn phương án đúng D* của các nhóm HS: nhóm điểm
cao (High) là 42,70%, nhóm điểm trung bình (Medium) là 34,70% và nhóm điểm thấp là
28,80%, tỷ lệ chọn các nhóm rất gần nhau khơng biệt được khả năng riêng biệt của từng
HS. Đặc biệt ở phương án nhiễu C nhóm HS có điểm cao chọn nhầm nhiều nhất 42,70%,
tiếp đến là nhóm điểm trung bình 27,90% và ít nhất là nhóm HS có điểm thấp nhất 16,20%
điều này khiến cho mức độ CH ở mức độ báo động và cần phải xem xét CH, phương án
nhiễu C. Trên đồ thị đường cong lý thuyết (Theoretica) và đường cong thực nghiệm
(Empirical) đi theo hướng khác nhau và chỉ giao nhau tại một số điểm, thể hiện sự chưa hợp
lý và thống nhất giữa lý thuyết và kỹ năng giải bài tốn của HS.
6.4 Phân tích kết quả giữa điểm bài kiểm tra và điểm năng lực thực sự của HS

Dựa vào kết quả phần mềm IATA chúng tôi lập bảng thống kê điểm bài thi và điểm
năng lực của 20 HS (thang điểm 100) như sau: (bảng thống kê đầy đủ điểm của 272 HS kèm
ở phụ lục 2)
Bảng 1. Bảng so sánh điểm bài kiểm tra và điểm năng lực của HS
STT

ID HS

Tổng số câu đúng

Điểm bài
kiểm tra (%)

Điểm năng lực
thực sự của HS
(TrueScore)

1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19
20

20190294
20190295
20190297
20190300
20190301
20190304
20190307
20190308
20190309
20190310
20190311
20190313
20190314
20190315
20190316
20190317
20190319
20190320
20190322

7
10
8

25
12
20
21
22
12
11
8
22
11
21
21
23
21
21
24

23,33
33,33
26,67
83,33
40,00
66,67
70,00
73,33
40,00
36,67
26,67
73,33
36,67

70,00
70,00
76,67
70,00
70,00
80,00

17,73
35,92
26,78
79,52
47,29
68,34
62,18
68,77
35,04
33,18
32,91
74,34
43,55
65,67
64,01
73,04
65,35
68,94
77,04

19

Trong bảng trên so sánh điểm bài kiểm tra mà HS làm được với điểm năng lực thực
của các em. Nếu hai kết quả này bằng nhau nghĩa là điểm bài kiểm tra là năng lực thực của
HS, chứng tỏ ĐKT đã đánh giá đúng năng lực vốn có của người học, đảm bảo tính khách
quan và đạt được mục tiêu giáo dục môn học. Qua thống kê trong bảng ta thấy hai dãy điểm
này khá là lệch nhau nhiều. Ngồi ra, kết quả trên cịn cung cấp cho chúng ta thông tin để
đánh và phân biệt năng lực của từng HS với nhau. Cụ thể, có một số trường hợp đặc trưng
dưới đây:
Trường hợp 1: HS cùng số câu đúng và điểm năng lực gần bằng nhau

STT

ID HS

Tổng số câu đúng

Điểm bài
kiểm tra (%)

Điểm năng lực
thực sự của HS
(TrueScore)

1
20190313
22
73,33
74,64
2
20190445
22

73,33
74,75
Giữa hai HS có cùng số câu đúng và điểm năng lực gần bằng nhau do hai HS này có
tham số năng lực gần bằng nhau và hai bài kiểm tra cũng cho thấy hai HS chọn các phuong
án của các CH gần như giống nhau. Ngoài ra, trong trường hợp này hai HS có điểm năng
lực cao hơn điểm bài kiểm tra cho thấy những HS này đã trả lời đúng những CH có độ khó
cao nhiều hơn so với mức điểm mà các em làm được.
Trường hợp 2: HS có cùng số câu đúng và điểm năng lực gần bằng điểm bài
kiểm tra
Điểm năng lực
Điểm bài
STT
ID
Tổng
thực
của lực
HS
STT
ID HS
HS
Tổng số
số câu
câu đúng
đúng kiểm
Điểm
Điểmsự
năng
trabài
(%)
(TrueScore)

kiểm tra (%)
thực
sự của HS
(TrueScore)
1
20190410
15
50,00
50,67
2
20190443
15
50,00
50,60
1
20190308
22
73,33
Giữa hai HS vẫn có cùng số câu đúng nhưng trường hợp này điểm69,03
năng lực của HS
2
20190313
22
73,33
74,64
cũng gần3 bằng20190360
điểm bài kiểm tra do22
tham số năng lực73,33
của hai em cũng gần
bằng nhau cho

71,52
22đồng thời phản73,33
72,23
thấy hai4HS có20190377
năng lực ngang nhau
ánh bài kiểm tra có
thể đánh giá tốt
5
20190386
22
73,33
67,06
năng lực6của HS.
20190413
22
73,33
70,36
7
20190415
22
73,33
69,48
Trường
hợp
3:
HS
có
cùng
số
câu

đúng
nhưng
điểm
năng
lực
lệch
nhau
8
20190445
22
73,33
74,75
9
20190448
22
73,33
72,61
10
20190450
22
73,33
70,98
12
20190456
22
73,33
68,91
13
20190477
22

73,33
63,99
20
14
20190489
22
73,33
69,99
15
20190594
22
73,33
68,19
16
20190613
22
73,33
65,86
17
20190619
22
73,33
66,81


Các HS có cùng số câu đúng nhưng điểm năng lực có thể cao hơn hoặc thấp hơn điểm
bài kiểm tra của các em. Như vậy điểm năng lực đã phân hóa được năng lực của HS dù các
em có điểm bài kiểm tra bằng nhau.
Trường hợp 4: HS có số câu đúng khác nhau nhưng điểm năng lực sắp sĩ bằng
nhau

STT

ID HS

Tổng số câu đúng

Điểm bài
kiểm tra (%)

Điểm năng lực
thực sự của HS
(TrueScore)

1
20190433
19
63,33
65,80
2
20190412
20
66,67
65,34
3
20190319
21
70,00
65,57
4

20190391
23
76,67
65,90
Trường hợp này cho thấy các HS có số câu đúng khác nhau nhưng lại có điểm năng
lực gần bằng nhau do tham số năng lực của các em gần bằng nhau. Khi đó điểm bài kiểm tra
chưa phản ánh đúng năng lực của HS. Thực tế cũng cho thấy có một số HS trong học tập có
năng lực tương đương nhau nhưng vì lí do nào đó các em có sự lệch nhau qua kết quả bài
kiểm tra. Vì thế, để đánh giá đúng năng lực của HS ngồi điểm thơ ta cần xem xét những
yếu khác để xác định năng lực thực sự của các em một cách chính xác nhất.
7. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Qua q trình thực hiện nghiên cứu, chúng tơi thấy rằng để biên soạn một ĐKT tốt với
các đáp án nhiễu hấp dẫn cần phải có q trình nghiên cứu nghiêm túc. Bên cạnh đó, để khai
thác tối đa và hiệu quả hết các tính năng của phần mềm IATA cũng như nắm được nhiều
thông tin nâng cao hơn về ĐKT cũng như đánh giá đúng năng lực thực sự của HS, chúng ta
cần có những nghiên cứu chuyên sâu, chi tiết và quy mơ hơn.
Do cơng trình nghiên cứu có giới hạn, nên việc thực nghiệm chưa thực sự mang tính
quy mơ lớn. Tuy nhiên, các kết quả thực nghiệm cho thấy giả thuyết khoa học của vấn đề
nghiên cứu đã được kiểm nghiệm và bước đầu có các kết quả khả quan về việc thẩm định
chất lượng câu hỏi ĐKT trắc nghiệm khách quan và đánh giá năng lực thực sự của HS dưới
sự hỗ trợ của phần mềm IATA và Excel.
Tóm lại, nhờ vào phần mềm kiểm định và phân tích câu hỏi IATA đã cung cấp cho
chúng tôi công cụ để đánh giá học tập của HS một cách có cơ sở, khoa học hơn. Từ đó đánh
giá đúng năng lực của HS, hoạt động này mang một ý nghĩa quan trọng góp phần tích cực
21


trong quá trình học tập của HS cũng như biên soạn ĐKT một cách khoa học, khách quan, hợp
lý nhất trong quá trình dạy học của GV.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[11\* MERGEFORMAT ] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến
thức kĩ năng mơn Tốn - lớp 12, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[22\* MERGEFORMAT ] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2010), Hướng dẫn biên soạn đề kiểm
tra, Công văn số 8773/BGDĐT-GDTrH, Hà Nội.
[33\* MERGEFORMAT ] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2017), Hướng dẫn thực hiện Quy chế
thi THPT quốc gia và xét công nhận tốt nghiệp THPT năm 2017, Công văn số Số
417/BGDĐT-KTKĐCLGD, Hà Nội.
[4] Trần Thị Anh Đào (2008), Sử dụng phần mềm Quest để phân tích câu hỏi trắc nghiệm
dùng trong kiểm tra đánh giá kết quả học tập ở học sinh lớp 10, Tuyển tập Báo cáo Hội nghị
Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng, ngày 28/5/2008, Đà nẵng, 237250.
[5] Đặng Thị Hương (2012), Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chương
động học chất điểm với sự hỗ trợ của phần mềm Vitesta, (Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh
viên Nghiênn cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng), Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu
Khoa học lần thứ 8, ngày 22/05/2012, Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng, 21 – 32.
[6] Lê Ngọc và Đào Thị Trang (2017), Áp dụng phần mềm IATA để phân tích, đánh giá đề
thi trắc nghiệm khách quan mơn Tốn cao cấp A1, Kỷ yếu hội thảo Dạy học Toán và Đào
tạo giáo viên đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay. ĐHSP Huế, 3-2017, 33-39.

22


[7] Lâm Quang Thiệp (2011), Đo lường trong giáo dục – Lý thuyết và ứng dụng, NXB Đại
học Sư phạm, Hà Nội.
Tiếng Anh
[8] Sudol, L.A. and Studer, C. (2010), March. Analyzing test items: using itemresponse
theory to validate assessments, In Proceedings of the 41st ACM technical symposium on
Computer science education (SIGCSE 1010), March 10 – 13, 2010Linacre, J.M, 1994.
Sample Size and Item

[9] Finch, W.H. and French, B.F. (2019), Educational and Psychological Measurement,
Routledge, New York and LonDon
[10]. Birnbaum, A. (1968), “Some latent trait models and their use in inferring an
examinee’s ability”, Statistical theory of Mental test scores, Reading: Addison Wesley, 395479.
[11]. Baker, F. (2001), The basic of item response theory, ERIC Clearinghouse on
Assessment and Evaluation.
[12]. Weinert F. E. (2001), Vergleichende Leistungsmessung in Schulen - eineumstrittene
Selbstverstondlichkeit, In F. E. Weinert (eds), Leistungsmessung in Schulen, Weinheim und
Basejl: Beltz Verlag.
[13]. Rasch, G. (1960), Probabilistic Models for some Intelligence and Attainment Tests,
Copenhagen, Denmark.
[14]. OECD (2002), Definition and Selection of Competencies: Theoretical and Conceptual
Foundation.

23


PHỤC LỤC I. ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG NGUYÊN - HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
Mức độ nhận biết (7 câu – 23,3%)
Chủ đề 1: Nguyên hàm ( 2 câu)
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

y= x

A. Hàm số

( 2 x + 1)
B.

5

có nguyên hàm trên khoảng

( −∞; +∞ ) .

5

2 x + 1)
là một trong số các nguyên hàm của (

4

trên khoảng

( −∞; +∞ ) .

1
+C
0; +∞ ) .
C. x
là họ nguyên hàm của ln x trên khoảng (

D. Hàm số

y=

1
x có nguyên hàm trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

Bài giải: đáp án A.
Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
Vì

y= x

liên tục trên khoảng

( −∞; +∞ )

nên có ngun hàm trên khoảng

Phân tích

24

( −∞; +∞ ) .


 Phương án nhiễu B dự đoán HS vận dụng sai công thức lấy nguyên hàm của

xα +1
∫ ( 2 x + 1) dx, HS vận dụng công thức ∫ x dx = α + 1 + C ( α ≠ −1) để lấy nguyên hàm
α

4

( 2 x + 1)
của ∫

4

dx.

 Phương án nhiễu C dự đoán HS nhầm lẫn với cơng thức tính đạo hàm của ln x.
1
y=
x dẫn đến
 Phương án nhiễu D dự đoán HS quên xác định điều kiện của hàm số
học sinh cho rằng hàm số

y=

1
x có nguyên hàm trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1

1

dx = ln ( ax + b ) + C.
∫
a
A. ax + b

B. ∫

0dx = C.

C. ∫

D. ∫

a x dx = a x .ln x + C.

dx = 0.

Bài giải: đáp án B.

∫ 0dx = C.
Phân tích
 Phương án nhiễu A dự đốn HS quên dấu giá trị tuyệt đối của ax + b.
 Phương án nhiễu C dự đoán HS nhầm lẫn với cơng thức tính đạo hàm của 1.
x
 Phương án nhiễu D dự đốn HS nhầm lẫn với cơng thức tính đạo hàm của a .
Chủ đề 2: Tích phân ( 2 câu)
Câu 3. Cho
b

A.

B.

C.

D.

f ( x)

là hàm số liên tục trên ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
b

∫ f ( x ) dx ≠ ∫ f ( t )
a

a

b

b

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )
b

a

a

b

dt.

dx + ∫ f ( x ) dx ( a < c < b ) .

∫ f ( x ) dx ≠ −∫ f ( x )

a

a

a

a

c

a

dx.

2∫ f ( x ) dx > ∫ f ( x ) dx.

25