Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để giải phương trình bậc ba

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU HÀ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU HÀ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

HÀ NỘI – 2020


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài nghiên cứu, học tập và làm việc nghiêm túc, em
đã hoàn thành cuốn luận văn tốt nghiệp này. Trƣớc khi trình bày nội dung
chính của luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn đến những ngƣời đã giúp đỡ,
bên cạnh em suốt thời gian qua.
Điều đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tồn thể các
thầy cơ giáo trƣờng Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã truyền
đạt cho em bao kiến thức quý báu và hoài bão trong suốt thời gian học tập và
nghiên cứu.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐH Quốc Gia Hà
Nội, thầy đã quan tâm, giúp đỡ, tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em trong suốt quá
trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Không chỉ đƣợc giúp đỡ về mặt
chun mơn, trong q trình làm việc, em cịn học hỏi đƣợc tinh thần làm việc
khoa học và đầy trách nhiệm từ thầy, từ đó tích lũy đƣợc những kiến thức và
kinh nghiệm quý báu cho bản thân.
Dù đã rất cố gắng song luận văn của em không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc những nhận xét và những lời góp ý từ phía
thầy cơ và bạn đọc để luận văn của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Thu Hà

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐC

Đối chứng

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

TN

Thực nghiệm

THCS Trung học cơ sở
VP

Vế phải

VT

Vế trái

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng sau quá trình thực nghiệm ..................................... 68
Bảng 3.2. Tỷ lệ số bài trên và dƣới trung bình của lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng ................................................................................ 69

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài .................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 2
5. Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu .................................................................. 3
6. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................... 3
7. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 3
8. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 3
9. Những đóng góp mới của đề tài .................................................................... 4
10. Cấu trúc của luận văn .................................................................................. 5
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ............................. 6
1.1. Kĩ năng giải toán ........................................................................................ 6
1.1.1. Kĩ năng là gì? .......................................................................................... 6
1.1.2. Kĩ năng giải tốn ................................................................................... 10
1.1.3. Kĩ năng giải phƣơng trình bậc ba .......................................................... 15
1.2. Phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán học ............................................. 15
1.2.1. Vị trí, chức năng và vai trị của bài tập tốn học .................................. 15
1.2.2. Quy trình giải một bài tốn theo bốn bƣớc của Polya ......................... 15
1.3. Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
“Phƣơng trình bậc hai một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở ............................ 16

1.3.1. Việc rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh khi dạy học
“Phƣơng trình bậc hai một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở ............................ 16

iv


1.3.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thƣờng gặp khi giải tốn
“Phƣơng trình bậc 2 một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở ............................... 20
1.4. Thực trạng của việc rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình bậc ba ở
trƣờng trung học cơ sở .................................................................................... 22
1.4.1. Về phía học sinh .................................................................................... 22
1.4.2. Về phía giáo viên .................................................................................. 23
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 25
CHƢƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG
THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA ............................................... 26
2.1. Một số đẳng thức đại số và lƣợng giác cơ bản......................................... 26
2.2. Rèn luyện kĩ năng dùng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba..... 27
2.2.1. Dạng 1. Phƣơng trình nhẩm đƣợc nghiệm ............................................ 28
2.2.2. Dạng 2. Phƣơng trình khơng nhẩm đƣợc nghiệm ................................. 37
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 62
CHƢƠNG 3..................................................................................................... 63
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................................................... 63
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm ................................... 63
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ............................................................ 63
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm ........................................................... 63
3.2. Hoạt động thực nghiệm sƣ phạm ............................................................. 63
3.2.1.Chọn đối tƣợng thực nghiệm ................................................................. 63
3.2.2. Bố trí thực nghiệm ................................................................................ 64
3.2.3. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 64
3.2.4. Giáo án và đề kiểm tra thực nghiệm ..................................................... 66

3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm ................................................................. 66
3.3.1. Đánh giá định tính ................................................................................. 66
3.3.2. Đánh giá định lƣợng .............................................................................. 67
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................... 71

v


KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 72
1. Kết luận ....................................................................................................... 72
2. Khuyến nghị ................................................................................................ 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 74
PHỤ LỤC

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong mơn Tốn, khả năng tiếp thu kiến thức và vận dụng kiến thức, sự
thơng minh, tính sáng tạo của học sinh đƣợc đánh giá thông qua việc giải các
bài tập. Từ việc giải các bài tập, học sinh có thể rút ra các phƣơng pháp giải,
các cách biến đổi hay nhận dạng nhanh các dạng bài để từ đó có cách giải
nhanh hơn. Tuy nhiên, q trình nhận thức đó địi hỏi nhiều thời gian và năng
lực của chính học sinh. Chính vì vậy, việc hệ thống kiến thức thông qua
phƣơng pháp giải, các dạng bài tập...sẽ giúp học sinh định hƣớng làm bài tốt
hơn. Để làm đƣợc điều này đòi hỏi mỗi giáo viên trƣớc hết phải có trình độ
kiến thức chun mơn vững vàng, học sinh cần có những kĩ năng học tập tốt.
Giải phƣơng trình bậc ba là một dạng bài tập trọng điểm trong chƣơng
trình Trung học cơ sở, thƣờng xuyên có mặt trong các đề Olympic, thi vào các

trƣờng chuyên hay thi học sinh giỏi các cấp. Đây là một dạng bài tập cũng
gây khơng ít khó khăn cho học sinh khi làm bài bởi công cụ giải tốn cịn hạn
chế. Để vận dụng đƣợc các hằng đẳng thức vào việc giải phƣơng trình bậc ba
địi hỏi ngƣời học phải có tƣ duy nhanh nhạy, sử dụng các hằng đẳng thức
một cách linh hoạt. Không những vậy, các dạng bài tập phƣơng trình bậc ba
cũng đa dạng khơng kém và đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp. “Dùng hằng
đẳng thức” là một phƣơng pháp thƣờng gặp trong các bài tốn đại số nói
chung và bài tập phƣơng trình bậc ba nói riêng. Đây là một phƣơng pháp có
tính ứng dụng cao, dễ sử dụng trong các bài tập ở mức độ cơ bản, tuy nhiên
cũng đòi hỏi sự khéo léo, sáng tạo, tự duy logic của ngƣời dùng khi áp dụng
trong các bài tốn kinh điển.
Vì những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng vận
dụng hằng đẳng thức để giải phương trình bậc ba”. Đề tài của tơi sẽ tập trung
nói về giải phƣơng trình bậc ba thơng qua các ví dụ và bài tập, đề xuất
phƣơng án giải quyết bài toán để học sinh có cách nhìn nhận tổng qt hơn về

1


dạng bài này, từ đó có cách giải nhanh và hợp lý nhất cho mỗi phƣơng trình,
đồng thời phục vụ tốt nhất cho học sinh dự thi vào 10, thi vào trƣờng chuyên
hay thi học sinh giỏi qua các năm.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Qua việc phân tích một số bài tốn về phƣơng trình bậc hai, phƣơng
trình bậc ba, đề tài đƣa ra một số kỹ thuật giúp học sinh có thể giải đƣợc các
bài tốn phƣơng trình bậc ba nhanh và hiệu quả. Từ đó nghiên cứu tổ chức
dạy học nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” cho
học sinh giỏi lớp 9, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học mơn Tốn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tổng hợp cơ sở lý luận về hình thành và rèn luyện kĩ năng trong

giảng dạy nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba”.
Phân tích và hệ thống lại một số hằng đẳng thức, phƣơng trình bậc hai
hay gặp và một số phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình bậc ba trong
chƣơng trình Tốn THCS; chú trọng, nghiên cứu sâu về phƣơng pháp “dùng
hằng đẳng thức”.
Xác định cơ sở và hệ thống các hƣớng tƣ duy cần rèn luyện cho học
sinh trong dạy học nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình
bậc ba”.
Nghiên cứu cách tổ chức dạy học nội dung “Rèn luyện kĩ năng vận
dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” nhằm rèn luyện kĩ năng
cho học sinh.
Thiết kế một số giáo án giảng dạy nội dung “Rèn luyện kĩ năng vận
dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba”.
Thực nghiệm sƣ phạm.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Năng lực là gì? Đặc điểm và vai trị của năng lực là gì?
Kĩ năng là gì? Những yếu tố nào ảnh hƣởng sự hình thành kĩ năng?

2


Phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán học là gì?
Tổ chức dạy học theo hƣớng phát triển năng lực nhƣ thế nào?
Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phƣơng
trình bậc hai một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở là gì?
Làm thế nào để học sinh hệ thống đƣợc các trƣờng hợp dùng hằng đẳng
thức trong việc giải phƣơng trình bậc ba?
Dạy học nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc
ba” theo hƣớng rèn luyện kĩ năng có những điểm gì cần quan tâm?
5. Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu

Đối tƣợng nghiên cứu: Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để
giải phương trình bậc ba.
Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 9 trƣờng THCS Lê Quý Đôn – Cầu
Giấy – Hà Nội.
6. Giả thuyết nghiên cứu
Đề tài sẽ hệ thống đƣợc các phƣơng pháp và kĩ năng cần rèn luyện cho
học sinh khi dạy nội dung “Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để
giải phƣơng trình bậc ba” trong chƣơng trình Đại số lớp 9. Nếu áp dụng đƣợc
phƣơng pháp dùng hằng đẳng thức hợp lý thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong
việc giải bài tốn phƣơng trình bậc ba.
7. Phạm vi nghiên cứu
Các bài tốn về phƣơng trình bậc hai, bậc ba trong chƣơng trình Tốn
học ở bậc THCS.
HS lớp 9A4, 9A9 trƣờng THCS Lê Quý Đôn – Cầu Giấy – Hà Nội.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các văn kiện của Đảng và Nhà nƣớc, của Bộ giáo dục và
đào tạo về việc đổi mới, cải cách giáo dục, nâng cao chất lƣợng giáo dục và
vấn đề phát triển năng lực tƣ duy của học sinh.

3


Nghiên cứu các tài liệu về Phƣơng pháp dạy học Toán học, các bài
giảng, giáo án Toán học.
Nghiên cứu các tài liệu về Giáo dục học, Tâm lý học, Logic học… để
áp dụng vào giảng dạy.
Nghiên cứu các kiến thức, nội dung giảng dạy phần “Vận dụng hằng
đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” và thực trạng dạy – học nội dung này
ở trƣờng THCS.

8.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phƣơng pháp điều tra: Quan sát, tiếp xúc, phát phiếu hỏi giáo viên và
học sinh THCS để tìm hiểu, trao đổi các vấn đề liên quan đến việc dạy và học
nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba”.
Phƣơng pháp quan sát: Dự giờ, học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi
trƣớc về phƣơng pháp dạy học; phân tích kết quả học tập của học sinh để tìm
hiểu thực trạng về rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi giảng dạy nội
dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” ở khối THCS.
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Nghiên cứu tính khả thi và hiệu
quả của việc dạy học nội dung “Vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng
trình bậc ba” theo hƣớng đổi mới thông qua việc dạy thử nghiệm tại lớp 9A4,
9A9 tại trƣờng THCS Lê Quý Đôn – Cầu Giấy – Hà Nội.
Phƣơng pháp thống kê toán học: Xử lý số liệu, kết quả thu đƣợc nhằm
đảm bảo sự chính xác, khách quan, khoa học và độ tin cậy cao.
9. Những đóng góp mới của đề tài
Hệ thống hóa lý luận về rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
THCS, thay đổi lối tƣ duy cũ tiếp thu kiến thức thụ động theo một chiều.
Xây dựng hệ thống bài tập, đề xuất cấu trúc của bài soạn giảng về chủ
đề “Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba”
nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.

4


10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ
lục, nội dung chính của luận văn đƣợc trình bày trong 03 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn.
Chƣơng 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng
trình bậc ba.

Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

5


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng giải tốn
1.1.1. Kĩ năng là gì?
1.1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Có một thực tế rằng, cuộc sống ln đặt ra cho con ngƣời chúng ta
thuộc các lĩnh vực lí luận thực hành hay nhận thức. Để giải quyết đƣợc các
công việc, con ngƣời cần phải vận dụng đƣợc vốn hiểu biết sẵn có và kinh
nghiệm xử lí các vấn đề mà ta gặp phải. Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải làm
sao để vận dụng chung nhất cho từng trƣờng hợp. Trong suốt q trình đó,
con ngƣời sẽ dần hình thành cho mình những kĩ năng để giải quyết vấn đề
mình đặt ra.
Từ điển Tiếng Việt thì khẳng định rằng: “Kĩ năng là khả năng vận dụng
những kiến thức thu nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [14].
Dựa theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng, ta biết: “Kĩ năng là năng lực
sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng
chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết
thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [1].
Cịn theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sƣ phạm: “Kĩ
năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp) để
giải quyết một nhiệm vụ mới” [4].
Tổng kết lại, các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ
nhƣng chúng đều khẳng định rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức
(khái niệm, cách thức, phƣơng pháp...) để giải quyết một vấn đề mới.
1.1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng

Trong quá trình vận dụng ta thƣờng chú ý đến các đặc điểm của kĩ năng
nhƣ sau:

6


- Bất kì một kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là
nền tảng kiến thức, bởi cấu trúc của kĩ năng bao gồm những thành phần: Hiểu
mục đích – biết cách thức để đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để có thể
triển khai những cách thức ấy.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đƣợc đầy đủ
các thuộc tính bản chất của đối tƣợng, đƣợc đƣa vào thử nghiệm trong thực
tiễn và tồn tại trong ý thức với tƣ cách của hành động.
- Muốn có những kĩ năng về một hành động nào đó thì ta phải:
+) Có đầy đủ kiến thức để có thể hiểu đƣợc mục đích của hành động,
biết đƣợc điều kiện, cách thức để đi đƣợc đến kết quả và để thực hiện đƣợc
hành động.
+) Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+) Đạt đƣợc những kết quả phù hợp với mục đích đã đặt ra.
+) Ta có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau.
+) Khơng những vậy ta có thể bắt chƣớc, rèn luyện để dần hình thành
kĩ năng nhƣng phải trải qua một thời gian đủ dài.
Tuy nhiên thực tế giáo dục cho thấy, học sinh đã gặp rất nhiều khó
khăn trong việc vận dụng đƣợc những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh
hội đƣợc vào việc giải quyết các nhiệm vụ cụ thể. Khó khăn nằm ở chỗ, học
sinh không phát hiện ra những dấu hiệu bản chất của đối tƣợng, để từ đó phát
hiện ra những mối quan hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tƣợng đó.
Trong trƣờng hợp này, tri thức chƣa biến thành cơng cụ của hoạt động nhận
thức, và nhƣ vậy thì khối kiến thức mà họ có chỉ là khối kiến thức khô cứng,
không gắn với thực tiễn và không thể biến thành cơ sở của kĩ năng.

Tri thức về các sự vật rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh cho ta
biết những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật. Nhƣ
vậy, để tri thức có thể trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động
thì ta cần phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách

7


khác, ta cần lựa chọn tri thức nào phản ánh đƣợc thuộc tính bản chất, phù hợp
với mục tiêu của hành động.
Trong thực tiễn giảng dạy tơi nhận thấy có nhiều học sinh rất thuộc lý
thuyết nhƣng lại không biết cách vận dụng đƣợc lý thuyết đó vào làm bài tập.
Nguyên nhân của hiện tƣợng đó là do kĩ năng của học sinh chƣa đƣợc hình thành.
1.1.1.3. Sự hình thành kĩ năng
Để hình thành nên kĩ năng, đầu tiên ta cần có kiến thức làm cơ sở cho
việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác độc lập cho đến khi nào thực hiện đƣợc
hành động theo đúng mục đích đề ra…Kĩ năng chỉ đƣợc hình thành thơng qua
q trình tƣ duy để giải quyết những nhiệm vụ đƣợc đặt ra. Khi ta tiến hành tƣ
duy trên các sự vật thì chủ thể phải đƣợc biến đổi và phân tích đối tƣợng để
có thể tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới. Q trình tƣ duy diễn ra
đƣợc nhờ những thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa và khái qt hóa
cho đến khi hình thành đƣợc mơ hình về từng mặt của đối tƣợng mang ý
nghĩa bản chất đối với việc giải bài tốn đã cho.
Ta có thể dạy học sinh kĩ năng thông qua các cách khác nhau:
Cách 1: Truyền đạt cho học sinh những tri thức cần thiết, sau đó đƣa ra
các bài tốn cần thiết để vận dụng những tri thức đó. Từ đó học sinh sẽ phải
tìm tịi cách giải bằng những con đƣờng thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm,
qua đó phát hiện ra các mốc định hƣớng tƣơng ứng, hay những phƣơng thức
cải biến thông tin và những thủ thuật hoạt động. Ngƣời ta còn gọi con đƣờng
dạy học này là dạy học nêu vấn đề.

Cách 2: Dạy cho học sinh nhận biết đƣợc những dấu hiệu mà từ đó có
thể xác định đƣợc định hƣớng giải cho một dạng và vận dụng định hƣớng đó
vào bài tốn cụ thể.
Cách 3: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần thiết đối
với việc vận dụng tri thức. Trong trƣờng hợp này giáo viên không những chỉ
cho học sinh tìm hiểu các mốc định hƣớng để chọn lọc các dấu hiệu và thao

8


tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng
thông tin thu đƣợc để giải bài toán đặt ra.
Trong giai đoạn đầu, những mốc định hƣớng của đối tƣợng thƣờng
đƣợc đƣa ra trƣớc học sinh dƣới dạng có sẵn, đƣợc vật chất hóa dƣới dạng sơ
đồ, ký hiệu về các đối tƣợng, còn thao tác và các mốc định hƣớng thì đƣợc
thực hiện bằng các hình thức, các hành động đối tƣợng.
Ở giai đoạn thứ hai, các mốc định hƣớng và các thao tác cho đối tƣợng
thì đƣợc thay thế bằng các ký hiệu hay các hành động ngơn ngữ.
Qua phần trình bày ở trên, ta thấy ngƣời giáo viên đã định hƣớng cho
học sinh những điều sau: Để chứng minh đƣợc các bài toán, trƣớc hết ta phải
phân dạng bài tập và tìm nội dung đã đƣợc học để tìm cách giải bài tốn qua
các giai đoạn cụ thể, để từ đó xây dựng đƣợc cho học sinh các phƣơng pháp
giải toán. Tuy nhiên để có thể phát triển và khắc sâu các bài toán cho học
sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài tốn bằng nhiều hình thức nhƣ:
tìm các cách giải khác nhau hay tổng quát hóa bài tốn, khái qt hóa, trừu
tƣợng hóa, tƣơng tự hóa…
Nhƣ vậy, thông qua những cách tác giả vừa nêu, học sinh đƣợc hình
thành kĩ năng tƣ duy suy luận logic.
Bên cạnh đó, ngƣời ta cịn gọi phƣơng pháp dạy học nói trên là phƣơng
pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn. Trên thực tế, khi

hình thành những tri thức mới thì ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên trong dạy học thơng thƣờng thì những giai đoạn khơng đƣợc tổ chức
một cách có ý thức. Chính bởi vậy, học sinh phải tự phát hiện ra các dấu hiệu
cảm tính hay các dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là do các em tự chọn lựa các
hành động phù hợp để làm điều đó.
Bản chất của việc hình thành kĩ năng là tạo cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các
thông tin chứa đựng trong bài toán.

9


Khi hình thành kĩ năng cho sinh ta cần tiến hành những điều sau:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra những yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối liên hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải các bài toán
cùng loại.
- Xác lập đƣợc mối liên hệ giữa các bài tốn mơ hình khái qt và kiến
thức tƣơng ứng.
Để hoạt động các kĩ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng bƣớc đầu
kiến thức và thực tiễn, cơng việc luyện tập để hồn thiện hành động đó. Sự
hình thành các kĩ năng sẽ diễn ra thơng minh hơn nếu ngồi hoạt động thực
hành q trình đó cịn kèm thêm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh.
1.1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng
Có ba yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành kĩ năng đó là:
Yếu tố thứ nhất: Nội dung của bài toán. Nhiệm vụ đặt ra đƣợc trừu
tƣợng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hƣớng tƣ duy có ảnh
hƣởng đến sự hình thành kĩ năng.
Yếu tố thứ hai: Tâm thế và thói quen cũng ảnh hƣởng đến sự hình thành
kĩ năng. Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ

dàng trong việc hình thành kĩ năng.
Yếu tố thứ ba: Kĩ năng khái quát nhìn đối tƣợng một cách toàn thể ở
mức cao hay thấp.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
1.1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một chuỗi các hành động có mục đích,
do đó chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững đƣợc các tri thức về hành động,
thực hiện hành động theo những yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biến hành
động thành kết quả trong các điều kiện khác nhau. Trong giải tốn, chúng tơi
quan niệm về kĩ năng giải toán của học sinh nhƣ sau: “Đó là khả năng vận

10


dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài
tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải tốn để đi đển
lời giải của bài toán một cách khoa học”.
Để thực hiện đƣợc nhiệm vụ mơn Tốn trong trƣờng THCS, một trong
những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kĩ năng cần phải chú ý là những phƣơng
pháp, đặc biệt là những phƣơng pháp có tính chất thuật toán và những kĩ năng
tƣơng ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập phƣơng
trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động tƣ duy hàm,
…. Tuy nhiên tùy thuộc theo nội dung tốn học mà có những u cầu về rèn
luyện kĩ năng khác nhau.
Có hai phƣơng pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải Tốn
đó là:
+) Phương pháp gián tiếp: Đƣa ra cho học sinh một số bài tốn có cùng
cách giải để sau khi giải xong học sinh có thể tự rút ra kĩ năng giải tốn. Đây
là phƣơng pháp có hiệu quả nhất nhƣng nhƣợc điểm là mất nhiều thời gian,
khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực và trình độ của

học sinh.
+) Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về
những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phƣơng pháp này hiệu quả hơn
và dễ nâng cao độ phức tạp của bài tốn cần giải quyết.
1.1.2.2. Vai trị của kĩ năng giải tốn
Trong các mục đích của dạy học mơn Tốn ở trƣờng phổ thông, việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở. Các mục đích khác muốn
thực hiện đƣợc phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động
nói chung và kĩ năng tốn học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo
mối liên hệ học đi đôi với hành.
Việc dạy học sẽ không thể đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc
lòng các khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng

11


một cách vụng về vào việc giải bài tập. Chính vì thế, để rèn luyện thành thạo
kĩ năng giải tốn cho học sinh, ngƣời giáo viên cần tăng cƣờng hoạt động giải
tốn (chính là hoạt động chủ yếu khi dạy tốn). Cụ thể hơn, thơng qua hoạt
động giải tốn, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần quan
tâm chú trọng những vấn đề sau:
Vấn đề 1: Cần hƣớng cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét đƣợc
yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác,
hƣớng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài tốn.
Vấn đề 2: Hƣớng cho học sinh hình thành mơ hình khái quát để giải
quyết các bài tập hay các đối tƣợng cùng loại. Tiếp theo, xác lập đƣợc mối
liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến thức tƣơng ứng.
Vấn đề 3: Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục
những ảnh hƣởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt
sau: Nhìn bài tốn dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách

giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức; quan sát tỉ mỉ và chú
ý tìm ra đặc điểm của bài tốn; tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải ngắn gọn
trong khi giải tốn.
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức tốn học thì việc rèn
luyện kĩ năng đóng một vai trị vơ cùng quan trọng góp phần bồi dƣỡng tƣ
duy tốn học cho học sinh.
1.1.2.3. Phân loại kĩ năng trong mơn Tốn
a) Kĩ năng chung
* Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài tốn
Ở kĩ năng này, chúng ta cần phân tích bài tốn, làm rõ các dự kiện
đặt ra. Khi bài tốn có tính chất là một vấn đề thì cần tìm ra bƣớc nào còn
chƣa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phƣơng pháp có yếu tố thuật
tốn để giải bài tốn, xác định đƣợc đó là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ
và tìm ra hƣớng giải. Đó là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là kĩ

12


năng quan trọng nhất khi giải bài tập toán, cần làm rõ thành phần mối liên
hệ (tƣờng minh hoặc không tƣờng minh) qua các yếu tố (có hoặc khơng có)
trong bài tốn.
* Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lƣợc giải, hƣớng giải cho bài tốn.
Điều khó khăn nhất của học sinh khi giải quyết một bài toán, đặc biệt
bài tốn hình học là tìm ra đƣờng lối giải, nhiều học sinh không biết phải bắt
đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán. Việc giải một bài tốn bao gồm hai
q trình: một là tìm hƣớng giải, hai là tiến hành giải bài tốn cịn gọi là chiến
thuật giải bài tốn; hai q trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành
đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt; yêu cầu xác định hƣớng
giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này. Có nhiều cách để học sinh
thực hiện biện pháp này: giáo viên giúp học sinh phân dạng bài tập để xác

định phƣơng pháp chung giải các dạng bài tập đó, phƣơng pháp chung sẽ
đƣợc vận dụng để tìm đƣờng lối giải cho từng bài toán cụ thể.
Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán
bao gồm hai dạng. Dạng 1 là những nội dung học sinh tạo ra một cách tích
cực bằng các thao tác tƣ duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành; dạng 2 là
những ý tƣởng tự nhiên đƣợc chợt lóe sáng, ta có thể hiểu theo nghĩa bừng
sáng của quá trình tƣ duy sáng tạo.
* Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài tốn.
* Kĩ năng kiểm tra đánh giá q trình giải bài tốn
*

Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài tốn thành kiến thức mới của

ngƣời giải toán.
b) Kĩ năng cụ thể
Cụ thể giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các kĩ năng:
* Kĩ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong mơn Tốn bao gồm những khía cạnh: kĩ năng
nắm một khái niệm, định lý, kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó

13


yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, bên cạnh đó cịn phải biết dự
đốn và suy đốn.
* Kĩ năng thực hành
Kĩ năng thực hành trong mơn Tốn bao gồm những kĩ năng sau: kĩ
năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải tốn, kĩ năng tốn học hóa các tình
huống thực tiễn (trong Tốn học hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần
thiết trong đời sống thực tiễn.

* Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi ngƣời học phải có
kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản
thân nhằm phấn đấu đạt đƣợc mục đích.
*

Kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá

Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri
thức. Do đó ngƣời học khơng chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt
kết quả nhƣ mong muốn. Muốn đƣợc nhƣ vậy, học sinh phải có kĩ năng tự
kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho sự “tự điều chỉnh”.
Để rèn luyện đƣợc kĩ năng này, đầu tiên phải biết xác định rõ mục tiêu
học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chƣơng trình đối với
bản thân mình.
Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của giáo viên và
quan trọng nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân
học sinh thông qua việc học lý thuyết và việc giải từng bài tập. Từ đó học sinh
tự thấy đƣợc những chỗ cịn yếu, cịn thiếu sót của bản thân về những mặt nào
đó mà đề ra phƣơng hƣớng khắc phục.
Một khi học sinh đã có kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều
chỉnh thì kết quả học tập đƣợc nâng lên dần.
1.1.2.4. Các mức độ kĩ năng giải toán
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kĩ năng giải tốn đó là:

14


- Giải bài tập toán cơ bản
- Giải bài tập tốn tổng hợp

Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:
Mức độ 1. Biết làm: Nắm đƣợc qui trình để giải một bài tốn cơ bản
nào đó tƣơng tự nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa nhanh.
Mức độ 2. Thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách
giải nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa có nhiều biến đổi.
Mức độ 3. Mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đƣa ra đƣợc cách giải ngắn
gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu bởi đã biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng,
kỹ xảo khơng chỉ với các bài tốn cơ bản mà với cả bài tốn mới.
1.1.3. Kĩ năng giải phương trình bậc ba
Trong luận văn này, tác giả đƣa ra hai kĩ năng cơ bản để giải phƣơng
trình bậc ba đó là:
- Kĩ năng nhẩm nghiệm để đƣa phƣơng trình bậc ba về phƣơng trình
chứa tích của nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai.
- Kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba.
1.2. Phƣơng pháp dạy học giải bài tập tốn học
1.2.1. Vị trí, chức năng và vai trị của bài tập tốn học
Vai trị của bài tập tốn vơ cùng quan trọng. Thơng qua việc giải bài
tập, học sinh phải thực hiện một số hoạt động bao gồm nhận dạng đại diện
cho các hoạt động ngôn ngữ, định nghĩa, định lý, quy tắc, phƣơng pháp và các
hoạt động tốn học phức tạp.
1.2.2. Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Theo Polya (1979), phƣơng pháp chung của quá trình tìm lời giải cho
một bài toán gồm bốn bƣớc nhƣ sau: Hiểu bài tốn; Tìm cách giải bài tốn;
Trình bày lời giải; Nhìn lại [13].

15


1.3. Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phƣơng
trình bậc hai một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở

1.3.1. Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương
trình bậc hai một ẩn” – Đại số 9 trung học cơ sở
1.3.1.1. Kĩ năng nhận thức
* Kĩ năng nắm vững khái niệm
Khi dạy học sinh về khái niệm trong bài “Phƣơng trình bậc hai một ẩn
– Đại số 9 trung học cơ sở”, ngƣời giáo viên phải đảm bảo đƣợc các yêu cầu
nhƣ là:
+) Nắm vững các đặc điểm đặc trƣng của khái niệm của phƣơng trình
bậc nhất, phƣơng trình bậc hai, cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn,
hệ thức vi-ét, .
+) Nhận dạng đƣợc các khái niệm này có nghĩa là cho một phƣơng
trình ax2  bx  c  0 (a  0) (1) học sinh phải biết đƣợc phƣơng trình (1) là
phƣơng trình bậc nhất hay phƣơng trình bậc hai và cách tìm nghiệm của
phƣơng trình. Bên cạnh đó học sinh cịn phải nắm đƣợc cách xác định các hệ
số của phƣơng trình và biệt thức   b2  4ac để rút ra cơng thức nghiệm của
phƣơng trình:
+) Với   0 , phƣơng trình vơ nghiêm.
+) Với   0 , phƣơng trình có nghiệm kép x1  x2 

b
a

+) Với   0 , phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 

b  
b  
; x2 
2a

2a

Từ đó học sinh có thể vận dụng đƣợc các khái niệm này trong các tình
huống cụ thể để giải tốn.
Ví dụ 1. Giải phƣơng trình
x2  4 x  5  0

16

(2)


Học sinh phải biết xác định các hệ số của phƣơng trình là:
2
a  1; b  4; c  5 , sau đó phải tính đƣợc   4  4.1. 5  36 .

Học sinh chỉ ra đƣợc   0 nên phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
Để tìm hai nghiệm của phƣơng trình học sinh phải biết áp dụng cơng
thức nghiệm để tìm nghiệm của phƣơng trình.


b   4  6

1
 x1 
2
a
2.1



b   4  6

 5
 x2 
2a
2.1

Hơn nữa để tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình chúng ta có thể sử dụng
cơng thức nghiệm thu gọn, học sinh phải biết cách tính biệt thức  '  b '2  ac
trong đó b ' 

b
là  '  22  1. 5  9 . Tiếp tục lập luận với  '  0 phƣơng
2

trình có 2 nghiệm:

x1 

b '  ' 2  3
b '  ' 2  3

 1; x2 

 5
a
1
2a
1

Học sinh phải nắm đƣợc mối quan hệ giữa công thức nghiệm và công
thức nghiệm thu gọn
Đồng thời học sinh cũng phải nắm đƣợc mối quan hệ giữa phƣơng trình
và các hệ thức liên quan.
Khơng những vậy, giáo viên phải biết lựa chọn con đƣờng hình thành
khái niệm tốt nhất cho học sinh.
Khi dạy về các khái niệm ta nên lựa chọn con đƣờng qui nạp. Giáo viên
có thể cho học sinh thực hành quan sát rồi đƣa ra định nghĩa.
Khi dạy về phƣơng trình bậc hai một ẩn và cách giải ta có thể sử dụng
con đƣờng suy diễn. Ví dụ khi dạy phƣơng trình (2) ta có thể làm nhƣ sau:
x2  4 x  5  0
 x2  x  5x  5  0

17

(2)