On thi vào lop 10 Đại Số

" CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC"
CHƯƠNG I(tiết 1)
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B
⇔
A - B ≥ 0. A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B
gọi là vế phải của bất đẳng thức.
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất
đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B
⇒
C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A >
B.
.Nếu ta có: A > B
⇔
C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tương đương.
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
.A ≥ B là A > B hoặc A = B.
.A ≠ B cũng là bất đẳng thức.
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu
đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là
" chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".
II. Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c

⇒
a > c.
Tính chất 2: a > b
⇒
a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c
⇔
a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d
⇒
a + c > b + d.
Tính chất 4: a > b
⇔
ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0
⇒
ac > bd.
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương
⇒

n
a >
n
b
.
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương
n
a⇒
>
n

b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba ⇔≥
22
≥
bab ≥⇔
.
Tính chất 8: a > b, ab > 0
a
1
⇒
<
b
1
.
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a⇒ >
n
a .
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n
⇒

m
a <
n
a .
III. Các hằng bất đẳng thức.
1) .0

2
≥a Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
2) 0
2
≤− a . Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
.0≥a
Dấu " = " xảy ra
0
=⇔
a
.
.aa ≥
Dấu " = " xảy ra
⇔
.0
≥
a
baba +≤+
. Dấu " = " xảy ra
0
≥⇔
ab
.
1
.baba −≥−

Dấu " = " xảy ra
.0;00)( ≤≤≥≥⇔≥−⇔ bababab
4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng
chúng như một bổ đề, chẳng hạn:
.2
22
abba ≥+ Dấu " = " xảy ra
.ba =⇔
ba
baba
,;
411
+
≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )
.4
2
2
2
abbaab
ba
≥+⇔≥







+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
ba
a
b
b
a
,;2≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )( )
( )
.
2
2222
byaxyxba +≥++
Dấu " = " xảy ra
.bxay =⇔
5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng.
. Bất đẳng thức côsi.
Cho n số dương
.,...,
21 n
aaa
Ta có:
....

...
21
21
n
n
n
aaa
n
aaa
≥
+++
Dấu " = " xảy ra
....
21 n
aaa ==⇔
. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số:
.,,,,
21 n
aaa
và
.,,,,
21 n
bbb
Ta có:
)....)(...()...(
22
2
2
1

22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++≤+++
Dấu " = " xảy ra
....
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a
===⇔
CHƯƠNG II.
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
. Lập hiệu số: A - B.
. Chứng tỏ A - B ≥ 0.

. Kết luận A ≥ B.
B. Ví dụ.
1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
).(23
222
cbacba ++≥+++
b)
cba
cba
cba ,,;9)
111
)(( ≥++++
> 0.
Giải:
a) Ta có:
.0)1()1()1(
)12()12()12(
222)(2)3(
222
222
222222
≥−+−+−=
+−++−++−=
−−−++=++−+++
cba
ccbbaa
cbacbacbacba
Do đó:
).(23

222
cbacba ++≥+++
b) Ta có:
9)
111
)(( −++++
cba
cba
.
=
9111 −++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
.
=
).2()2()2( −++−++−+
a
c
c
a

b
c
c
b
a
b
b
a
=
).0,,(;0
)()()(
222
〉≥
−
+
−
+
−
cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
Do đó:
9)
111
)(( ≥++++
cba

cba
. Với a, b, c > 0.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1.
Giải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
=
1)65)(45(
22
++−+− xxxx
.
Dặt
55
2
+−= xxy
, biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y
2
≥ 0.
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1.
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
3
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi
tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A ≥ B
⇔
A
1
≥ B
1

⇔⇔ ...
( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B.
B. Ví dụ
1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a)
baba +≥+
.
b)
yx
yxyx
,;
411
+
≥+
> 0.
Giải:
a)
22
)()( babababa +≥+⇔+≥+

2222
22 bababbbaa ++≥++⇔

abababba ≥⇔≥⇔
.( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.baba +≥+
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:
.04)(4)(
4411

22
≥−+⇔≥+⇔
+
≥
+
⇔
+
≥+ xyyxxyyx
yxxy
yx
yxyx
0)(
2
≥−⇔ yx
, ( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.
411
yxyx +
≥+
Với x, y > 0.
2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
.9)
1
1)(
1
1( ≥++
ba
Giải:

Ta có:
9)
1
1)(
1
1( ≥++
ba
. ( 1 ).
abbaab
b
b
a
a
919
1
.
1
≥+++⇔≥
++
⇔
. Vì ab > 0.
ababba 8281 ≥⇔≥++⇔
. ( Vì a + b = 1 ).
.4)(41
2
abbaab ≥+⇔≥⇔
( Vì a + b = 1 ).
.0)(
2
≥−⇔ ba

( 2 ).
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương
đương có điều kiện, chẳng hạn:
.
22
baba ≥⇔≥ Với a, b > 0.
m > n
m
a⇔ >
n
a . Với m, n nguyên dương, a > 1.
Cần chỉ rỏ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức
B. Ví dụ.
4
1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
44
ba +
>
8
1
.
Giải:
Do
ba +
> 1 ( 1 ).

Bình phương hai vế:
2
)( ba +
> 1
22
2 baba ++⇒
> 1 ( 2 ).
Mặt khác:
020)(
222
≥+−⇒≥− bababa
. ( 3 ).
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được:
)(2
22
ba +
> 1.
Suy ra:
22
ba +
>
2
1
( 4 ).
Bình phương hai vế của ( 4 ):
4224
2 bbaa ++
>
4
1

. ( 5 ).
Mặt khác:
020)(
4224222
≥+−⇒≥− bbaaba
. ( 6 ).
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được:
)(2
44
ba +
>
4
1
.
Suy ra:
44
ba +
>
8
1
.
2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức:
.
2
2
2
2
2
2
c

a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++≥++
Giải:
Ta có:
.20)(
222
xyyxyx ≥+⇒≥−
Dấu " = " xảy ra
.yx
=⇔
áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
.2..2
2
2
2
2
c
a
c
b

b
a
c
b
b
a
=≥+
( 1 ).
Tương tự :
.2
2
2
2
2
a
b
a
c
c
b
≥+
( 2 ).
.2
2
2
2
2
b
c
b

a
a
c
≥+
( 3 ).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được:

.
)(2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c
a
b
c
a
a
c
c

b
b
a
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒
++≥++
5
IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn
hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc
bằng A, từ đó ta có A ≥ B.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
nnn 2
1
...
2
1

1
1
++
+
+
+
>
.
2
1
( Với
nNn ,∈
> 1 ).
Giải:
Ta có:
1
1
+n
>
.
2
11
nnn
=
+
Tương tự:
2
1
+n
>

.
2
1
n
..................

.
2
1
2
1
nn
≥
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>
).1,(;
1
≥∈

+
nNn
n
n
Giải:
Ta có:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
=

1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
=
.
11
1
1
+
=
+
−
n
n
n

Suy ra đpcm.
V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho .2
22
≤+ ba Chứng minh rằng:
.2≤+ ba
Giải: Giả sử
ba +
> 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
22
2 baba ++ > 4. ( 1 )
Mặt khác ta có:
Mà: 2
4)(
22
≤+ ba
( giả thiết ), do đó
.42
22
≤++ baba
( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có
.2≤+ ba
2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.02;02;02
222

≥+≥+≥+ abcacbbca
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
bca 2
2
+ < 0; acb 2
2
+ < 0; abc 2
2
+ < 0.
abcacbbca 222
222
+++++⇒
< 0
2
)( cba ++⇔
< 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy
phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )
VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ.
6
A. Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ
bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a
<
b

thì:
b
a
<
cb
ca
+
+
.
b) Nếu
ba
≥
thì:
.
cb
ca
b
a
+
+
≥
Bài toán 2. Với
zyx ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
.
)(
41
2
yx

xy
+
≥
b)
.
411
yxyx +
≥+
c)
.
9111
zyxzyx ++
≥++
* Chú ý:
Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng
đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+

+
+
< 2.
Giải:
Vì
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác nên
a
<
cb +
, theo bài toán 1a) ta có:

cb
a
+
<
.
2
cba
a
cba
aa
++
=
++
+
( 1 ).
tương tự:
ac
b

+
<
.
2
cba
b
++
( 2 ).

ba
c
+
<
.
2
cba
c
++
( 3 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+

+
<
.2
)(2
=
++
++
cba
cba
2. Ví dụ 2. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:

.
)(
1
8
1
44
1
222
ba
ab
ba +
≥+
+
Giải:
Vì
ba,
> 0

22
44 ba +⇒ > 0 và
ab8
> 0. Theo bài toán 2b) ta có:
.
)(
1
)(4
4
844
4
8
1
44
1
222222
babaabba
ab
ba +
=
+
=
++
≥+
+

⇒
đpcm.
3.Ví dụ 3. Cho
cba ,,

> 0. Chứng minh rằng:
.
3
2
1
2
1
2
1
cbaaccbba ++
≥
+
+
+
+
+
Giải:
Vì
cba ,,
> 0
ba +⇒ 2
> 0;
cb +2
> 0;
ac +2
> 0.
Theo bài toán 2c) ta có:
7
.
3

)(3
9
222
9
2
1
2
1
2
1
cbacbaaccbbaaccbba ++
=
++
=
+++++
≥
+
+
+
+
+

⇒
đpcm.
VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các
bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)

baba +≥+
. Dấu " = " xảy ra khi
0
≥
ab
.
b)
baba −≤−
. Dấu " = " xảy ra khi
0)( ≥− bab
.
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
0, ≠yx
thì:

.2≥+≥+
x
y
y
x
x
y
y
x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
yx ±=
.
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1)
.2≥+
m

n
n
m
2)
.2
1
≥+
m
m
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán
trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
zyxzyx ++≤++
.
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có:
zyxzyxzyx ++≤++≤++
.
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng:
nn
aaaaaa +++≤+++ ......
2121
.
2. Ví dụ 2. Cho
0, ≠ba
. Chứng minh rằng:
04)(3
2

2
2
2
≥++−+
a
b
b
a
a
b
b
a
.
Giải:
Đặt x=
a
b
b
a
+
, ta có:
2≥x
( theo bài toán 2 ).
Ta được:
23234)(3
2
2
2
2
2

2
+−=+






+−






+=++−+ xx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b

b
a
=
0)1)(2( ≥−− xx
. Vì



−⇒
≥
−≤
⇔≥ )2(
2
2
2 x
x
x
x
và
)1( −x
cùng dấu.
0430)1)(2(
2
2
2
2
≥+







+−+⇔≥−−⇒
a
b
b
a
a
b
b
a
zx
. ( đpcm ).
3. Ví dụ 3. cho
.20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa
Chứng minh rằng:

.4017≤− cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba
.
Mà:
2008≤− ca
. Suy ra:
4017≤−+− caaab
.
Theo bài toán 1) ta có:
caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()(

.
Vậy:
4017≤− cab
.
VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ.
8