Các bài Luyện tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (169.83 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG HINH HỌC PHẲNG

I.Kiến thức cơ bản(phương trình đường phân giác trong tam giác)

II.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA:
2x-y+9=0.Viết phương trình các đường phân giác trong của A, B và tìm tâm, bán kính đường
trịn nội tiếp tam giác.

Lời giải



1;7



A AB AC A 



4; 3



BABBC B 



4;1



C BCAC C 

*) Các đường phân giác của góc B

2 5 2 2

4 1 1 4

x y  x y


 

 

1
2

7 0

2 5 2 2

2 5 2 2 1 0

x y l

x y x y

x y x y x y l

   

    



   

       

 

Với

 

l1 :



 1 7 7

 

  4 1 7



0

 Đường phân giác trong của góc B là

 

l2 :x y  1 0

*) Các đường phân giác của góc A

2 5 2 9

4 1 4 1

x y  x y 


 

 

3
4

7 0

2 5 2 9

2 5 2 9 1 0

y l

x y x y

x y x y x l

  

    



   

      

 

Với

 

l3 :



 3 7 1 7

 





0

 Đường phân giác trong của góc A là

 

l4 :x 1 0

   

2 4



1;2



I  l  l  I 





2.( 1) 2 5 5
4 1

r d I AB     


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh BC: 4x-y-3=0; các đường phân giác trong kẻ
từ B,C lần lượt có phương trình: dB:x 2y 1 0;dC:x y  3 0. Viết phương trình cạnh

AB, AC.

Lời giải



B





1;1



B BC  d  B



C





0; 3



B BC  d  C 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BB

B
C
qua

d





  BB1 1

B(1;1)

BB (1; 1)
qua

VTPT n





 






BB

 :1(x1) 1( y1) 0  x y 0





3 3

;

2 2

C

E BB  d  E  

 

E là trung điểm của BB1





1 1

3 3

2.( ) 1;2.( ) 1 4; 4

2 2

B   B

        

 













1 1

C 0; 3
C 0; 3

B 4; 4 ( 4; 1)

qua
qua

AC AC

qua VTCP CB

 

 



 

    

 

 



AC: 1(x-0)-4(y+3)=0 x-4y-12=0

*) Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua dB, F là trung điểm của CC1
1

CC

 :2(x 0) 1( y3) 0  2x y  3 0





7 1

;

5 5

B

F CC  d  F  

 

Vì F là trung điểm của CC1

1 1

7 1 14 13

2.( ) 0;2.( ) 3 ;

5 5 5 5

C   C  

        

   

AB: 8x+19y-27=0

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, A(2;-4), các đường phân giác trong kẻ từ B,C lần lượt có phương
trình: dB:x y  2 0; dC:x 3y 6 0 . Viết phương trình cạnh BC.

Lời giải

*) Gọi Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua dB, D là trung điểm của AA1
1

 :x y  6 0













1 1

AA B 4; 2 6;0

D  d  D   A

*) GọiA2 là điểm đối xứng với A qua dC, E là trung điểm của AA2
2

 :3x y  2 0





2 2

6 8 2 4

AA ; ;

5 5 5 5

C

E  d  D   A  

   









2 1 2

A 6;0 C 6;0

2 4 28 4

A ; ( ; )

5 5 5 5

qua qua

BC BC

qua VTCP A A

 

 



   

 

 

 



 





BC: 1(x 6) 7( y 0) 0  x7y 6 0

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, A(-1;3), đường cao BH: y=x,đường phân giác trong CD có
phương trình: x3y 2 0. Viết phương trình cạnh BC.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

AC

A(-1;3)
qua

BH





  AC

A(-1;3)
(1;1)
qua

VTPT n













AC

 :1(x1) 1( y 3) 0  x y  2 0



4; 2



C CD AC C 

*) Gọi Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua CD, D là trung điểm của AA1
1

 :3x y  6 0









1 1

AA 2;0 3; 3

D CD D   A  









C 4; 2
A 3; 3
qua

BC
qua

 




 




BC: x 7y18 0

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, B(3;5),C(4;-3),đường phân giác trong AD có phương trình:

2 8 0

x y  . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải













B 3;5
C 4; 3

B 3;5 (1; 8)

qua
qua

BC BC

qua VTCP BC



 

 



 

 

 

 



BC: 8(x 3) 1( y 5) 0  8x y  29 0

*) Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua AD, D là trung điểm của BB1
1

BB

 :2(x 3) 1( y 5) 0  2x y  1 0





1 2;3

D BB AD D

D là trung điểm của BB1 B1



2.2 3;2.3 5 



 B1



1;1















1 1

B 1;1
C 4; 3

B 1;1 ( 3;4)

qua
qua

AC AC

qua VTCP CB



 

 



 

 

 

 


AC: 4(x-1)+3(y-1)=0 4x+3y-7=0

*) Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua AD, E là trung điểm của CC1
1

CC

 :2(x 4) 1( y3) 0  2x y  11 0





1 6;1

E CC AD E

E là trung điểm của CC1 C1



2.6 4;2.1 3 



 C1



8;5















1 1

B 3;5
B 3;5

C 8;5 (5;0)

qua
qua

AB AB

qua VTCP BC




 



 



 

 


AB: 1(y-5)=0 y-5=0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải



3; 5



A AD AH  A 

BC

C(-3;1)
qua

AH





  BC:7(x3) 1( y 1) 0  7x y 22 0





C 3;1
C

A ( 6;6)

qua
qua

AC AB

qua VTCP AC

 

 



 

 

 


AC

 :1(x3) 1( y 1) 0  x y  2 0

*) Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua AD, E là trung điểm của CC1
1

CC

 :3(x3) 1( y 1) 0  3x y 10 0

21 13
;

5 5

E CC AD E  

 

E là trung điểm của CC1

1 1

21 13 27 31

2.( ) 3;2.( ) 1 ;

5 5 5 5

C   C  

         

   









1 1

A 3; 5 A 3; 5

27; 31 42 6

( ; )

5 5 5 5

qua qua

AB AB

qua C VTCP C A

   

 



   

  

 

 



 





AB: 1(x 3) 7( y5) 0  x 7y 38 0

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC, C(4;3), đường phân giác trong AD: x2y 5 0 , đường trung
tuyến AM: 4x13y 10 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải



9; 2



A AD AM  A 





C 4;3

( 5;5)
qua

AC

VTCP AC





 






AC: 1(x 4) 1( y 3) 0  x y  7 0

*) Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua AD, D là trung điểm của CC1
1

CC

 :2(x 4) 1( y 3) 0  2x y  5 0





1 3;1

D CC AD D

D là trung điểm của CC1 C1



2.3 4;2.1 3 



 C1



2; 1















1 1

C 2; 1
A 9; 2

2; 1 (7; 1)

qua
qua

AB AB

qua C VTCP C A

 

 



 

  

 

 



AB: 1(x 2) 7( y1) 0  x7y 5 0
( 7 5; )

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

M là trung điểm của BC

7 1 3

( ; )

2 2

b b

M   



7 1 3

4. 13. 10 0 28 4 13 39 20 0

2 2

b b

M AM          b  b  

 

1 ( 12;1)

b B

   













C 4;3
C 4;3

B 12;1 ( 16; 2)

qua
qua

BC AB

qua VTCP CB




 



 

   

 

 



BC: 1(x 4) 8( y 3) 0  x 8y20 0

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A
thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM
phương trình : x – y –2 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, D.

Giải:

A d  A(t; 2 -3t)

Ta có: d(C; DM) = 12 d(A; DM)  | 4t -4 | = 8 | t - 1 | = 2
⇔

t=3

t=−1

¿
¿
¿
¿
¿
t = 3  A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM)

t = -1  A(-1, 5) (thỏa mãn)

Giả sử D(m; m-2).

AD⊥CD

AD=CD

¿⇒

¿(m+1)(m−3)+(m−7)(m+1)=0

m+1¿2

¿
¿
¿

¿ ¿⇔m=5⇒D(5;3)

¿
¿

m−3¿2+¿

m −7¿2=¿

m+1¿2+¿

Gọi I là tâm của hình vuông  I là trung điểm của AC  I (1; 1)

Do I là trung điểm của BD  B(-3; -1)

Bài 9: Cho ABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương

trình lần lượt là (dB) : x – 2y + 1 = 0 và (dC) : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
Giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

+/ Tìm tọa độ A' (x;y):













2 2 1 1 0

2 3
AA' 0

' 0;3

2 1 2 6

2 1 0

2 2
B
x y
x y
u
A

x y x y

I d
   

    
 
          
 
  

   
 
 

 

+/ Tìm tọa độ A'' (x;y) :













2 1 1 0

3
AA'' 0

'' 2; 5

2 1 7

3 0
2 2
B
x y
x y
u
A

x y x y

I d
   

    
 
            
 
  

   
 
 

 

+/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ chỉ phương













' '' 2; 8 // 1;4 :

1 4
x y
A A    u  BC  

 

Bài 10: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)

Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm
của AB

Giải
- Đường tròn (C) :













2 2

/( )

1 3 4 1;3 , 2, M C 1 1 4 2 0

x  y   I R P       M nằm trong hình

trịn (C) .

- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương





2
; :

4
x at
u a b d

y bt
 

  
 



- Nếu d cắt (C) tại A,B thì :

















 

2 2 2 2 2

1 1 4 2 2 0 1

at  bt   a b t  a b t  

( có 2 nghiệm t )

. Vì vậy điều kiện :









 

2 2 2 2 2

' a b 2 a b 3a 2ab 3b 0 *

        

- Gọi A



2at1;4bt1



,B



2at2;4bt2



 M là trung điểm AB thì ta có hệ :

















1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

4 4 0

8 8 0

a t t a t t

t t
b t t b t t

    
 

 
      
    
 

  . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :





1 2 2 2

2 2 4

0 0 : : 6 0

1 1

a b x y

t t a b a b d d x y

a b

  

              

 

Bài 11: Viết phương trình các cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1)

và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1)

Giải
Gọi (AB) có dạng y=kx+b và (AD) : y=-1/kx+b' .

Cho AB và AD qua các điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) và

 

' 1 2
b

k  

Ta có :









3 5 0 '

, ; ,

1 1

k b k kb

h Q AB h R AD

k k

   

 

  . Theo tính chất hình vuông :









3 25 0 2 ' 3 5 '

1 1

k b k kb

h Q AB h R AD k b k kb

k k

   

       

 

Từ đó ta có hệ :

2 1

1 1 4

' 3 , , ' 10 , 7, 15, '

3 3 7

3 5 '

k b

k kb k b b k b b

k b k kb

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó : AB x:  3y 1 0,AD x y: 3  10 0, CD x:  3y12 0, BC: 3x y 1 0
Hoặc : AB: 7x y 15 0, AD x:  7y 4 0, CD: 7x y  26 0, BC x:  7y 7 0
III.Bài tập tương tự

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,

1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) và 2 đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt có pt

: 2 1 0; : 2 6 3 0

B C

d x y  d x y  . Tìm tọa độ của B và C.

2) Cho tam giác ABC, A(-1;3) và 2 đường phân giác trong có pt là: x 2y 1 0;x y  3 0.
Viết pt cạnh BC.

3) Cho tam giác ABC, AB: 4x3y1 0; AC: 3x4y 6 0; BC y: 0
 a)Viết pt các đường phân giác trong của góc A và B.

b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

4) Cho tam giác A(2;0); (4;1); (1;2)B C . Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác ABC.

5) Cho tam giác A( 6; 3); ( 4;3); (9;2)  B  C . Viết pt các đường phân giác trong của góc A

6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), 2 đường phân giác trong dB : 3 x4y7;dC: 5x3y8.
Viết pt đường phân giác trong còn lại.

7) Cho tam giác ABC, A(2;4), đường cao và đường phân giác trong kẻ từ 1 đỉnh lần lượt có
pt: 3x 4y 1 0;2x y  3 0 .Viết pt các cạnh của tam giác ABC

8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), đường cao MH: 3x 4y27 0 , đường phân giác trong PD:

2 5 0

x y  . Viết pt các cạnh của tam giác MNP

</div>

Các bài Luyện tập

<b>CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG HINH HỌC PHẲNG</b>













 

 

 



 



 

 

 

 



 



 

   





































































<sub></sub>

<sub></sub>









































